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第 3 节 三角恒等变换
考试要求 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正
弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包
括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__ α cos __ β ±cos __ α sin __β.
cos(α∓β)＝cos__ α cos __ β ±sin __ α sin __β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__ α cos __α.
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α
－φ).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
角α，β都成立.( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为cos＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
3.(2021·泰安模拟)＝( )
A.－ B.－1 C. D.1
答案 D
解析 原式＝2×
＝2×＝2sin 30°＝1.故选D.
4.(2022·南昌质检)若tan＝2，则tan＝( )
A.－2－ B.－
C.2＋ D.
答案 B
解析 tan＝tan＝tan＝＝＝－.故选B.
5.化简：＝________.
答案
解析 原式＝
＝＝＝.
6.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
答案
解析 因为α，β为锐角，且sin α＝＜，cos β＝＞，则cos α＝，
且α∈，sin β＝且β∈，
所以sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝×＋×＝.
又α＋β∈，所以α＋β＝.第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切
考点一 公式的基本应用
1.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A. B.－ C.－ D.
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
2.已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A.－ B. C. D.－
答案 A
解析 ∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
3.(2021·德州一模)已知sin α＝sin＋，则cos的值为( )
A. B.－ C. D.－
答案 B
解析 由sin α＝sin＋，得sin α＝sin αcos ＋cos αsin ＋＝sin α＋cos α＋，则cos α
－sin α＝－，即cos＝－.
4.若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，
可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，①
sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，②
由①＋②得2sin 2αcos β＝，
所以sin 2αcos β＝.
感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二 公式的逆用及变形
角度1 公式的活用
例1 (1)(多选)(2021·聊城质检)下列选项中，值为的是( )
A.sin sin B.－cos215°
C.＋ D.cos 72°·cos 36°
答案 AD
解析 对于A，sinsin＝sin cos＝sin＝，故A正确；
对于B，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－，故B错误；
对于C，原式＝
＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，cos 36°·cos 72°
＝
＝＝＝，故D正确.综上，选AD.
(2)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
答案 2
解析 tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan
β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
角度2 辅助角公式的运用
例2 化简：(1)sin －cos ；
(2)cos 15°＋sin 15°；
(3)－；
(4)3sin x＋3cos x.
解 (1)法一 原式＝
2
＝2
＝－2cos＝－2cos ＝－.
法二 原式＝2
＝2
＝－2sin
＝－2sin ＝－.
(2)cos 15°＋sin 15°
＝(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝cos(45°－15°)＝×＝.(3)原式＝
＝
＝.
＝＝4.
(4)3sin x＋3cos x
＝6
＝6
＝6sin.
感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要
熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角
的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思
维向逆向思维转化的能力.
2.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
训练1 (1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
答案 －
解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得
sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.
(2)函数f(x)＝cos x－sin－sin在[0，π]的值域为( )
A.[－1，1] B.[－2，1]
C.[－2，2] D.
答案 B
解析 f(x)＝cos x－sin x－cos x－sin x＋cos x＝cos x－sin x＝2cos.
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
则当x＋＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x＋＝时，函数取得最大值2cos
＝2×＝1，
即函数的值域为[－2，1].
考点三 角的变换问题
例3 (1)已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )
A. B. C. D.答案 C
解析 因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以cos α＝，cos(β－α)＝，
所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝＝，所以
β＝.
(2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
答案 －
解析 由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－＜0，
所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－.
(3)(2022·沈阳质量监测)若sin＝，则sin＝________.
答案 －
解析 法一 因为cos
＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝，cos＝sin＝sin＝－sin＝，
所以sin＝－.
法二 因为cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝，
cos＝(cos 2θ－sin 2θ)，
sin＝(sin 2θ－cos 2θ)，
所以sin＝－cos＝－.
感悟提升 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的
关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋
β，＋＝等.
训练2 (1)已知α为锐角，且cos＝，则cos α的值为________.
答案
解析 ∵0＜α＜，∴＜α＋＜，
∴sin＝，
∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝.
(2)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )A. B.－ C. D.
答案 C
解析 cos＝cos
＝coscos
＋sinsin.
∵0<α<，则<＋α<，
∴sin＝.
又－<β<0，则<－<，
∴sin＝.
故cos＝×＋×＝.
1.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
A.1 B. C. D.－
答案 B
解析 sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝
sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2.(多选)下列各式中，值为的是( )
A. B.tan 15°cos215°
C.cos2－sin2 D.
答案 ACD
解析 ∵＝tan 45°＝，
tan 15°·cos215°＝sin 15°cos 15°
＝sin 30°＝，
cos2－sin2＝cos ＝，
＝sin 30°＝，∴选A、C、D.
3.(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，所以cos α ＝，tan α＝＝.
4.(2022·烟台模拟)若sin＝，则sin＝( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 D
解析 法一 因为sin＝，
所以sin＝sin
＝cos＝1－2sin2
＝1－2×＝.故选D.
法二 因为sin＝cos
＝cos＝，
所以cos＝2×－1＝－.
因为cos＝－sin，
所以sin＝.
5.若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A.－ B. C.－ D.
答案 C
解析 由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α
－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.
6.(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 C
解析 因为tan θ＝－2，
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝＝.
7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.已知sin＝，α∈，则cos的值为________.
答案 －
解析 由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
答案 －1
解析 ∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
10.(2021·信阳模拟)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan β的值.
解 (1)因为α为锐角，所以cos α≠0，
因为tan α＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝＝＝＝.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝
＝＝，
所以tan(α＋β)＝－3，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝3.
11.已知cos＝－，sin＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β).
解 由已知，得＜α－＜π，0＜－β＜，
∴sin＝，cos＝，
∴cos ＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝×＋×＝.
则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.12.(多选)(2021·潍坊调研)下列四个选项中，化简正确的是( )
A.cos(－15°)＝
B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝
D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
答案 BCD
解析 对于A，法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×
＋×＝，A错误.
法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×
＝.
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确.
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝.
13.已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________.
答案 －
解析 由题意可得m＝＝
＝＝＝－.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x
轴非负半轴为始边的锐角 α与钝角 β的终边与单位圆 O分
别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已
知S ＝，点B的纵坐标是.
△OAM
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值.
解 (1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S ＝|OA|·|OM|sin α＝，
△OAM
所以sin α＝，又α为锐角，
所以cos α＝.
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，
所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.(2)因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－
×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，sin α＝＞，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.
