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§4.4 简单的三角恒等变换
课标要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公
式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要
求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ 2sin α cos α .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
2．半角公式(不要求记忆)
sin ＝±；cos ＝±；tan ＝±.符号由所在象限决定．
常用结论
1．二倍角公式的变形公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，
tan2α＝.(降幂公式)
2．半角正切公式的有理化
tan ＝＝.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( × )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z)．( √ )
(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( √ )
(4)sin2－cos2＝.( × )
2．cos 15°等于( )
A. B.
C．± D．±
答案 A
解析 因为15°是第一象限角，
所以cos 15°>0，由半角的余弦公式可知cos 15°＝.
3．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意知，tan α＝－2，
所以tan 2α＝＝.
4．若cos＝－，则cos 2θ的值为 ．
答案
解析 因为cos＝－，所以sin θ＝，
所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝.
题型一 三角函数式的化简
例1 (1)＋的化简结果为( )
A．－sin 20° B．－cos 20°
C．cos 20° D．sin 20°
答案 C
解析 原式＝＋＝|sin 20°－cos 20°|＋
＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°
＝cos 20°.
(2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝ .
答案
解析 cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝＝
＝＝.
积化和差、和差化积公式
在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊
角进行计算．
典例 化简下列各式．
(1)sin 54°－sin 18°＝ ；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝ .
答案 (1) (2)－解析 (1)由和差化积公式可得，
sin 54°－sin 18°＝2cos 36°·sin 18°
＝2×＝
＝＝＝.
(2)由和差化积和积化和差公式可得，
cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2×cos 26°＋＋cos 26°
＝－.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特
征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)(2023·成都联考)已知θ∈，cos2＝1＋cos 2θ，则tan θ等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 B
解析 因为cos2＝1＋cos 2θ，将cos2＝，cos 2θ＝2cos2θ－1代入化简，
可得3cos2θ－4cos θ－4＝0，
解得cos θ＝2(舍去)或cos θ＝－，
又因为θ∈，
所以sin θ＝，则tan θ＝＝－.
(2)已知0<θ<π，则＝ .
答案 －cos θ
解析 原式＝
＝cos ·
＝.
因为0<θ<π，所以0<<，
所以cos >0.
所以原式＝－cos θ.
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 (2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为
108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t＝，则等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 依题意，得t＝＝＝2cos 72°，
则＝＝＝＝＝.
命题点2 给值求值
例3 (2023·济宁模拟)已知cos＝，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin＝sin
＝－cos 2
＝1－2cos2＝1－2×＝.
命题点3 给值求角
例4 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .
答案
解析 因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，
所以0<2α<，
又β为锐角，
所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，
所以2α－β＝.
思维升华 (1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，
然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．
(2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特
殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解．
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原
则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，
选正、余弦皆可；
②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
跟踪训练2 (1)已知cos＝－，则sin＝ .
答案
解析 ∵cos＝－，
∴cos＝2cos2－1
＝2×2－1＝，
∴sin＝sin
＝cos＝.
(2)(2023·青岛统考)已知α为锐角，1＋＝，则α＝ .
答案 50°
解析 因为1＋＝
＝＝
＝＝＝＝，
所以sin α＝sin 50°，
又因为α为锐角，所以α＝50°.
题型三 三角恒等变换的综合应用
例5 (2023·广州模拟)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的
是( )
A．2α＋β＝ B．2α－β＝
C．α＋β＝ D．α－β＝
答案 A
解析 ∵α，β∈，
∴sin α≠0，
∵(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，
∴2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，
即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β.
∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
∴cos(α＋β)＝cos，
∵α，β∈，∴π<α＋β<2π，且－<－α<0，
∴α＋β＝－α＋2π，解得2α＋β＝.
思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；
注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与
对称性．
跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)已知<θ<，若a＝，b＝－cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的
大小关系是( )
A．c>a>b B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
答案 C
解析 a＝＝＝sin θcos θ，
b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ，
c＝－cos θ＝＝sin θtan θ，
又<θ<，则sin θ∈，
且tan θ>1>sin θ>>cos θ>，
所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α＝，则sin 等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为α为锐角，
所以sin ＝＝
＝＝.
2．(2023·邢台模拟)1＋tan 22.5°等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由tan 45°＝＝1，
得2tan 22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan 22.5°＋1)2＝2，
又tan 22.5°>0，
所以1＋tan 22.5°＝.
3．(2023·湖南师范大学附属中学模拟)已知＝2，则tan θ等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案 C
解析 由＝＝＝tan ＝2，
得tan θ＝＝＝－.
4．(2023·连云港模拟)已知2cos(2α＋β)－3cos β＝0，则tan αtan(α＋β)等于( )
A．5 B. C．－5 D．－
答案 D
解析 2cos(2α＋β)＝3cos β，
则2cos(α＋β＋α)＝3cos(α＋β－α)，
则2cos(α＋β)cos α－2sin(α＋β)sin α
＝3cos(α＋β)cos α＋3sin(α＋β)sin α，
即－5sin(α＋β)sin α＝cos(α＋β)cos α，
所以－5tan(α＋β)tan α＝1，
所以tan αtan(α＋β)＝－.
5．(2023·茂名模拟)已知tan α＝，则－sin2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 因为tan α＝，
所以－sin2α＝－sin2α
＝－sin2α
＝cos 2α＋2cos2α－sin2α
＝cos2α－sin2α＋2cos2α－sin2α
＝3cos2α－2sin2α
＝
＝＝＝－.
6．(2024·平顶山模拟)若sin＝－，<α<，则sin 2α＋sin2α等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由<α<，知<α＋<2π，
因为sin＝－，所以cos＝＝，
所以sin α＝sin＝sin－cos＝×＝－，
而sin 2α＝－cos＝－cos 2＝－＝－＝－，
所以sin 2α＋sin2α＝－＋2＝.
二、多项选择题
7．下列计算结果正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
答案 BD
解析 对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B正确；
对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－
60°)＝cos 60°＝，所以C错误；
对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D正确．
8．已知f(x)＝sin xsin－，则f(x)的值不可能是( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案 CD
解析 因为f(x)＝sin xsin－
＝sin x－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝×＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以－≤f(x)≤，f(x)的值不可能是－2和2.
三、填空题
9．已知0<β<α<，若α－β＝，cos(2α＋2β)＝－，则cos α＝ .
答案
解析 ∵cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝－，
0<β<α<，∴0<α＋β<，
∴sin(α＋β)＝，∴α＋β＝，
又α－β＝，∴α＝，∴cos α＝.10．(2024·温州模拟)若cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，则sin 2α＝ ，tan α＝ .
答案 1 1
解析 由cos 2α＝2cos，
得cos2α－sin2α＝2，
即(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝，
当sin α＝cos α时，α＝，sin α＋cos α＝；
当sin α≠cos α时，sin α＋cos α＝.
对sin α＋cos α＝两边平方，
得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝2，
化简得2sin αcos α＝1，
即sin 2α＝1，由2sin αcos α＝1，
得＝1，即＝1，
整理得tan2α－2tan α＋1＝0，解得tan α＝1.
11．(2023·淄博模拟)喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受．如图所示，若
不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为 α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方
向上移动的距离D＝sin 2α，能够达到的最高高度H＝(1－cos 2α)(其中g为重力加速度)．若
tan α＝，则H与D的比值为 ．
答案
解析 ＝＝＝＝＝tan α＝.
12．已知cos＝，θ∈，则sin＝ .
答案
解析 由题意得cos2＝＝＝，
即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，0<2θ<，
所以cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝.
四、解答题
13．化简并求值．
(1)2cos 50°－；(2)·.
解 (1)原式＝2cos 50°－
＝＝
＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝32.
14．(2023·镇江模拟)已知a＝，b＝，记f(x)＝a·b，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若f ＝，x∈，求cos 2x.
0 0
解 (1)因为f(x)＝a·b
＝2cos2x－2sincos
＝1＋cos 2x－sin
＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x
＝－sin 2x－cos 2x＋1
＝－sin＋1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f ＝－sin＋1＝，
可得sin＝，
又因为x∈，
0
则x＋∈，
0
则cos＝－＝－，
则sin 2＝2sincos＝－，
cos 2＝cos2－sin2
＝，
可得cos 2x＝cos
0
＝cos 2cos ＋sin 2sin
＝×＋×＝，
所以cos 2x＝.
0
15．(2023·临沂模拟)已知 f(x)＝sin2x＋sin2(x＋α)＋sin2(x＋β)，其中 α，β 为参数，若对
∀x∈R，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是( )A．满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝
B．α－β＝π
C．α＋β＝π
D．满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝
答案 D
解析 f(x)＝＋＋
＝－[cos 2x(1＋cos 2α＋cos 2β)－sin 2x(sin 2α＋sin 2β)]，
由题意得
两式平方相加可得cos(2α－2β)＝－，
所以2α－2β＝＋2kπ或2α－2β＝－＋2kπ，k∈Z.
当α＝，β＝时，2α－2β＝－，符合题意，故D正确，A，B，C错误．
16．(2023·商洛模拟)已知tan(α＋15°)＝7tan(α－15°)，则sin(α－15°)cos(α＋15°)等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由tan(α＋15°)＝7tan(α－15°)
⇒＝7·
sin(α＋15°)cos(α－15°)＝7sin(α－15°)cos(α＋15°)，
⇒设A＝sin(α＋15°)cos(α－15°)，
B＝cos(α＋15°)sin(α－15°)，
则A＝7B，①
又A－B＝sin 30°＝，②
联立①②，解得A＝，B＝，
故sin(α－15°)cos(α＋15°)＝.
