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§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正
切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝ ；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝ ；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝ ；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝ ；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝ ；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝ .
(α＋β)
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都
成立．( )
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
教材改编题
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
2．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
3．已知α∈，且sin α＝，则tan的值为 ．题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)计算：等于( )
A．－ B. C．－ D.
(2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表
示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，
完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)(2023·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则( )
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝ ，cos 2β＝ .
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用
及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)(2022·咸阳模拟)已知sin＝，则sin x＋sin等于( )
A．1 B．－1 C. D.
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组
________．
题型三 角的变换问题
例3 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于( )
A. B. C. D.
(2)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－.则sin(2α＋β)的值为 ．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－
＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛质检)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
