5.11 函数与导数压轴小题技巧
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：零点构造型................................................................... 2
考点二：存在(几个)整数解...........................................................2
考点三：零点同构......................................................................2
考点四：不等式型同构求参.......................................................... 2
考点五：恒成立求参................................................................... 3
考点六：双变量型常见问题及策略..................................................3
考点七：多参型解决策略............................................................. 4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：函数零点构造型............................................................. 4
题型二：存在(几个)整数解...........................................................5
题型三：方程零点型同构............................................................. 6
题型四：不等式型同构求参.......................................................... 6
题型五：移项讨论或分离参数求恒成立问题......................................7
题型六：虚设零点型求恒成立问题..................................................8
题型七：等式型求恒成立问题....................................................... 8
题型八：倍缩型函数求参数.......................................................... 9
题型九：双变量型求不等式........................................................ 10
题型十：双变量型转化为凸凹反转型.............................................11
题型十一：多参代换型.............................................................. 11
题型十二：多参二次构造放缩型...................................................12
题型十三：多参韦达定理求参型...................................................13
题型十四：多参单峰函数绝对值型................................................13
题型十五：导数与三角函数........................................................ 14
模块三：综合巩固....................................................................... 15
5.11 函数与导数压轴小题技巧
模块一：基础知识
考点一：零点构造型
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
1.与对称有关的常用结论
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
①若点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
关于直线x
a
对称，则
1
2
2
x
x
a
；
②若
( )
f x 的图象关于直线x
a
对称，则
( )
(2
)
f x
f
a
x
=
-
；
③若
(
)
(
)
f a
x
f b
x
，则
( )
f x 的图象关于直线
2
a
b
x
对称；
④若
(2
)
( )
2
f
a
x
f x
b
，则
( )
f x 的图象关于点( , )
a b 对称．
2.数形结合法解决零点问题
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积.
考点二：存在(几个)整数解
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉
及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最
大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究
函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
考点三：零点同构
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现ex 与ln x ，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破
口。
如
e
2
e
(e 1)ln
2
x
x
x
变形得到
eln
2
ln
e
eln
2 e
ln
x x
x
x x
x
，从而构造
( )
et
f t
t
进行求解.
常见同构：
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
①
1
ln
ln
ln
ln
log
ln
ln
ln
ln
ln
ln
x
x
a
x
a
x
e
a
x
a
x
e
x
a e
x
x
x e
x
a
x
a
e
a
；
②
ln
ln
1
ln
ln
ln
ln
x
x
x
x
x
x
e
e
x
x e
x
x
x e
x e
x
x
e
；
③
ln
1
ln
1
1
ln
1
ln
1
x
ax
e
ax
x
x
e
x
ax
x
④
ln
e
e
ln
1
x
x
x
x
x
x
；
ln
ln
e
e
1
x
x
x
x
x
x
考点四：不等式型同构求参
（1）乘积模型：
ln
ln
( )
ln
ln
ln
( )
ln
ln
ln
ln(ln )
( )
ln
a
b
x
a
a
a
ae
b e
f x
xe
ae
b
b
e
e
b
b
f x
x
x
a
a
b
b
f x
x
x
（2）商式模型：
ln
( )
ln
ln
ln
( )
ln
ln
ln
ln
ln(ln )
( )
ln
a
a
a
a
b
x
e
b
x
f x
e
b
x
e
b
e
e
e
f x
a
b
a
b
x
a
a
b
b
f x
x
x
（3）和差模型：
ln
ln
ln
( )
ln
ln
ln
ln
( )
ln
a
a
a
a
a
b
x
e
e
b
b
f x
x
x
e
a
b
b
e
e
e
b
f x
e
x
考点五：恒成立求参
1.移项讨论型
一般地，已知函数
( ),
,
y
f x x
a b ，
( ),
,
y
g x x
c d
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
max
1
2
min
(
)
(
)
f x
g x
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
1 max
2
max
( )
(
)
f x
g x
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
1 min
2
max
(
)
(
)
f x
g x
；
（4）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，故
1 min
2
min
(
)
(
)
f x
g x
；
2.虚设零点法
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出
来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，
如比值代换等等。
（2）反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，
则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求
导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立
含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为
止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
3.等式型求参数
一般地，已知函数
( ),
,
y
f x x
a b ，
( ),
,
y
g x x
c d
，若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
(
)
(
)
f x
g x
，
则
( )
f x 的值域是( )
g x 值域的子集．
考点六：双变量型常见问题及策略
1.不等关系型
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
不等关系
(1)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
max
min
f x
g x
；
(2)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
max
max
f
x
g x
；
(3)若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
min
f x
g x
；
(4) 若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
max
f
x
g x
．
2.转化法
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。
考点七：多参型解决策略
1.代换型
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x x
x
x
，可用
两边同除
2
x ，
令
1
2
x
t
x
整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
2.二次构造放缩：能够两次构造函数，利用导数求出相应函数的最值
3.韦达定理求参数
模块二：题型分类
题型一：函数零点构造型
1.已知函数
ln
,0
2
ln ,
x
x
e
f x
x x
e
，若实数0
a
b
c
互不相等，且
f a
f b
f c
，则b
c
a
的取值
范围为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289__．
2.已知函数
2
ln ,
1
( )
1
3 ,
1
2
2
x x
f x
x
x
，若实数
1
2
,
x x 满足
1
2
x
x
，
1
2
( )
(
)
4
f x
f x
，则
1
2
x
x
的取值范围为_
13723366289 13723366289 13723366289
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289___ .
3.已知函数
x
f
x
xe
，
ln
g x
x
x
，若
1
2
f x
g x
t
，其中
0
t
，则
1
2
ln t
x x 的取值范围是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289_.
4.设函数
,
0,
,
0,
x
a x
f x
lnx x
已知
1
2
x
x
，且
1
2
f x
f x
，若
2
1
x
x
的最小值为1
e ，则a 的值为___________．
5.已知函数
1
( )
|
1| 1
f x
x
，
2
( )
2
g x
x
x
a
，若方程
( )
( )
f x
g x
有4 个不同的实根
1
x ，
2
x ，
3x ，
4
1
2
3
4
x
x
x
x
x
，则
1
4
3
a x
x
x
的取值范围是______．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
题型二：存在(几个)整数解
1.已知函数
( )
(
N )
k
f x
k
x
，
ln
1
( )
1
x
g x
x
，若对任意的
1
c ，存在实数,a b 满足0
a
b
c
，使得
( )
( )
( )
g a
f b
g c
，则k 的最大值是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
A．3
B．2
C．4
D．5
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
2.已知函数
( )
1
x
f x
e
ax
在区间( 1,1)
内存在极值点，且
( )
0
f x
恰好有唯一整数解，则
的取值范围
是（
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233）
A．
2
2
1,e
2
e
e
B．
2
2
2
1
1
,1
1,
2
2
e
e
e
e
C．
1,
e
e
D．
2
2
1
1
,
1,
2
e
e
e
e
e
e
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
3.在关于x 的不等式
2
2
2
2
e
e
4e
e
4e
0
x
x
x
a
x
a
（其中e=2.71828 L为自然对数的底数）的解集中，
有且仅有两个大于2 的整数，则实数a 的取值范围为（
）
A．
4
16
1
,
5e
2e
B．
2
9
1
,
4e
2e
C．
4
2
16
4
,
5e
3e
D．
2
2
9
4
,
4e
3e
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
4.已知偶函数
f
x 满足
3
3
f
x
f
x
，且当
0,3
x
时，
2
x
f
x
xe
，若关于x 的不等式
2
0
f
x
tf x
在
150,150
上有且只有150 个整数解，则实数t 的取值范围是（
）
A．
1
2
0,e
B．
1
3
2
2
,3
e
e
C．
3
1
2
3
,2
e
e
D．
1
1
2,2
e
e
5.已知函数
1 ln
( )
x
f x
x
，若关于x 的不等式
2( )
( )
0
f
x
af x
恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是
A．
1 ln 2
1 ln3
(
,
]
2
3
B．1
ln 3 1
ln 2
[
,
)
3
2
C．
1 ln 2
1 ln3
(
,
)
2
3
D．
1
ln 3
( 1,
]
3
题型三：方程零点型同构
1.已知m 是方程
e
2
e
(e 1)ln
2
x
x
x
的一个根，则
2
e 1
e
(e 1)ln
m
m
（
）
A．1
B．2
C．3
D．5
2.若方程
2
2
2 ln
(
0)
ex
a
x
a
a
x
在
,0
a
上有实根，则a 的取值范围是（
）
A．
, 2
B．
2,0
C．
, ln 2
D．
ln 2,0
3.已知
0x 是方程e
ln3
2
0
x
x
x
的一个根，则
0
0
ex
x （
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
D．3
4.已知
0,
1,
a
b
且
2
2
e
2ln
1
2 ,
a
b
b
a
则一定有（
）
A．
ea
b
B．lnb
a
C．
ln
1
a
b
D．
ln
1
a
b
5.已知正实数x ，y 满足
n
ln
e
l
x
y
x
y
y
，则ln
1
ln
x
y
x
的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
题型四：不等式型同构求参
1.已知关于x 的不等式
1
ln
e
1
x
m
m x
x
x
在
3
1,e
上恒成立，则正数m 的最大值为（
）
A．1
e
B．0
C．e
D．1
2.已知不等式
1
ln
e
a
x
x
a
x
x
对
1
x
，
恒成立，则实数a 的最小值为（
）
A．
e
B．
e
2
C．e
D．2e
3.若关于x 的不等式
e
ln
1
e
x
ax
a
x
x
在
1,上恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
, e
B．
,3
C．
,2
D．
,e
4.已知关于x 的不等式e
ln
2 ln
x
a
x
a
x
x
恒成立，其中e 为自然对数的底数，a
R
，则（
）
A．a 既有最小值，也有最大值
B．a 有最小值，没有最大值
C．a 有最大值，没有最小值
D．a 既没有最小值，也没有最大值
5.已知a<0 ，若
1
x
时，e
lne
ln
x
x
a
a
x
x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．e
D．2e
题型五：移项讨论或分离参数求恒成立问题
1.已知函数
2
ln 1
ln
f x
x
x
a
x
有唯一零点，则
a
（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．2
2.若对任意
0,
x
，不等式
2
2
ln
ln
0
x
e
a
a
a
x
恒成立，则实数a 的最大值为（
）
A．
e
B．e
C．2e
D．
2e
3.已知2
1
a
，且
0
x
时，
5
8
5
48
4 2
x
e
x
a
恒成立，则a 的最小值是（
）
A．1
B．ln 2
2
C．1 e
D．ln3 3
4.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
x
f x
xe
ax
ax
，
0,
x
，若
f
x 有最小值，则实数a 的取值范围是
A．
,e
B．
,e
C．
3
2
2
,
3 e
D．
3
2
2
,
3 e
5.当
0
x
时，不等式
2e
2ln
1
x
x
mx
x
有解，则实数m 的范围为（
）
A．
1,
B．
1 ,
e
C．
2 ,
e
D．
2,
题型六：虚设零点型求恒成立问题
1.已知不等式
1
e
ln
2
3
x
x
x
x
m
对
0,
x
恒成立，则m 取值范围为（
）
A．
1
2
m
B．
1
2
m
C．
2
m
D．
2
m
2.若关于x 的不等式
ln
x a
e
x
a
对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
, e
B．
,e
C．
,1
D．
,2
3.设实数
0
，若对任意
0,
x
，不等式
ln
0
xe
x
恒成立，则的取值范围是（
）
A．
1
0
e
B．0
1
e
C．0
e
D．
2
0
e
4.已知函数
2
ln 1
ln
f x
x
x
a
x
有唯一零点，则
a
（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．2
5.若对任意
0,
x
，不等式
2
2
ln
ln
0
x
e
a
a
a
x
恒成立，则实数a 的最大值为（
）
A．
e
B．e
C．2e
D．
2e
题型七：等式型求恒成立问题
1.已知函数
( )
x
f x
x e
，
2
1
( )
ln
2
g x
x
x
a
，若
1
2
,
[1,2]
x x
，使得
1
2
f x
g x
，则实数a 的取值范
围是
A．
2
2
1
1
ln2
2,
2
e
e
B．
2
2
1
1
ln2
2,
2
e
e
C．
2
1
1 2
,
ln 2
2
2
e e
D．
2
1
1 2
,
ln2
2
2
e e
2.已知
1
x ，
2
x 是函数
2
2
2ln
f x
x
ax
x
的两个极值点，且
1
2
x
x
，当
5
2
a
时，不等式
1
2
f
x
mx
恒成
立，则实数m 的取值范围（
）
A．
8
ln 2,0
9
B．
8
,
ln 2
9
C．
8
ln 2,0
9
D．
8
ln 2,
9
3.设函数
1
e
e
x
f
x
x
，
ln
g x
x
ax
，其中a R ．若对任意的正实数
1
x ，2
x ，不等式
1
2
f x
g x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．0
B．1
C．1
e
D．e
4.已知函数
ln
( )
x
f x
x
，
2
( )
ln(
1)
2
g x
x
ax
，若
2
1
1,e
x
，
2
(0,1]
x
使得
1
2
f x
g x
成立，则实
数a 的取值范围是（
）
A．
ln 2
,
2
B．
ln 2
,
2
C．
1
,
e
D．
ln 2
,e
2
5.已知函数
( )
(
2)e
e
1
x
f x
x
，( )
ln
a
g x
x
x
x
，对任意的
1 ,3
e
m
，总存在
1 ,3
e
n
使得(
)
( )
g m
f n
成立，则a 的范围为_________．
题型八：倍缩型函数求参数
【基础知识】
如果函数
( )
f x 在定义域的某个区间
,
m n （m
n
）上的值域恰为
,
km kn （
0
k
），则称函数
( )
f x 为
,
m n
上的k 倍域函数，
,
m n 称为函数
( )
f x 的一个k 倍域区间．
把函数( )
h x 存在区间
,
m n ，使得函数( )
h x 为
,
m n 上的k 倍域函数，结合函数的单调性，转化为
( )
( )
h m
km
h n
kn
是解答的关键.
1.设函数的定义域为D，若满足条件：存在
,a b
D
，使
f x 在
,a b 上的值域为
,
2 2
a b
，则称
f x 为“倍
缩函数”.若函数
=
x
f x
e
t
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是
A．
1
ln2
,
2
B．
1 ln2
,
2
C．1
ln2 ,
2
D．1
ln2 ,
2
2.设函数
( )
f x 的定义域为D ，若函数
( )
f x 满足条件：存在[ , ]
a b
D
，使
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域是
,
2 2
a b
，
则
( )
f x 称为“倍缩函数”，若函数
2
( )
log
2x
f x
t
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289___.
3.设函数
h x 的定义域为D，若满足条件：存在
,a b
D
，使
h x 在
,a b 上的值域为
2 ,2
a
b ，则称
h x 为
“倍胀函数”.若函数
ln
f x
x
t
为“倍胀函数”，则实数t 的取值范围是________.
4.设函数
f
x 的定义域为I ，若存在
,a b
I
，使得
f
x 在区间
,a b 上的值域为
*
,
ka kb
k
N
，
则称
f
x 为“ k 倍函数”.已知函数
3
log
3x
f x
m
为“3 倍函数”，则实数m 的取值范围为（
）
A．
2 3
0, 9
B．
2 3 ,0
9
C．2 3 ,
9
D．
2 3
, 9
5.设函数
f
x 的定义域为D ，若满足条件：存在[ , ]
m n
D
，使
f
x 在[
]
m
n
，
上的值域为[
]
km
kn
，
（k R
且
0
k
），则称
f
x 为“ k 倍函数”，若函数
( )
x
f x
a
1
a
为“3 倍函数”，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3
1,
ee
B．
3
1,e
C．
2
,
ee
e
D．
3
,e e
题型九：双变量型求不等式
1.已知函数
ex
f x
ax
有两个零点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
，则下列说法不正确的是（
）
A．
e
a
B．
1
2
1
2
ln
2
x
x
x x
C．
1
2
1
x x
D．
f
x 有极小值点
2.已知函数
2 ex
f x
x
，若
1
2
f x
f x
，且
1
2
x
x
，
1
2
0
x
x
，则（
）
A．
1
1
2
x
B．
2
3
2
x
C．
1
2
1
x x
D．
1
2
2
x
x
3.已知函数
2
1
1
ln
x
f x
k
x
k
x
，
2,
k
，曲线
y
f x
上总存在两点
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
使曲线
y
f x
在
,
M N 两点处的切线互相平行，则
1
2
x
x
的取值范围为（
）
A．4 ,
5
B．8 ,
5
C．4 ,
5
D．8 ,
5
4.若方程x﹣2lnx+a＝0 存在两个不相等的实数根x1 和x2，则（
）
A．
1
2
1
1
1
x
x
＜
B．
1
2
1
1
1
x
x
＞
C．
1
2
1
1
1
x
x
D．
1
2
1
1
1
x
x
5.已知直线
2
y
x
分别与函数
x
y
e
和
ln
y
x
的图象交于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则下列结论错误的是
（
）
A．
1
2
2
x
x
B．
1
2
2
x
x
e
e
e
C．
1
2
2
1
ln
ln
0
x
x
x
x
D．
1
2
2
e
x x
题型十：双变量型转化为凸凹反转型
1.设大于1 的两个实数a，b 满足
2
2
ln
a
n
b
b
e
a
，则正整数n 的最大值为（
）．
A．7
B．9
C．11
D．12
2.已知正数,a b 满足
2e
1
2
ln
1
8
2
a
b
a
b
，则ea
b
（
）
A．9
4
B．3
2
C．1
D．3
4
3.已知实数x ，y 满足
2
ln 4
3
6
3
2
6
x y
x
y
e
x
y
，则x
y
的值为
A．2
B．1
C．0
D．1
4.已知函数
( )
(| ln
|
)
x
f x
e
x
m
x
有两个零点，则m 的取值范围为（
）
A．(
,
)
e
B．
1
(
,
)
e
C．( 1,
)
D．(0,
)
题型十一：多参代换型
1.已知函数
ln x
f
x
x
，对于正实数a，若关于t 的方程
a
f t
f
t
恰有三个不同的正实数根，则a 的取
值范围是（
）
A．
1,8
B．
2,8
e
C．
8,
D．
2,
e
2.若对任意正实数
2
2
, ,
(
)
a b a
lnb
lna b
ab
mab
恒成立，则实数m 的取值范围是_________
3.设三次函数
3
2
1
1
( )
3
2
f x
ax
bx
cx
，（a,b,c 为实数且
0
a
）的导数为
( )
f
x ，记( )
( )
g x
f
x
，若对任
意xR ，不等式
( )
( )
f
x
g x
恒成立，则
2
2
2
b
a
c
的最大值为____________
4.已知存在
1
2
(0,
)
x
x
，
，若要使等式
1
2
1
1
2
2
(
2
)(ln
ln
)
x
x
ex
x
x
成立（e=2.71828…），则实数的可
能的取值是（
）
A．1
2e
B．2
e
C．1
e
D．0
5.若正实数,a b 满足
1
a
b
，则函数
2
1
( )
(3
)
f x
ax
x
a
b
的零点的最大值为______.
题型十二：多参二次构造放缩型
1.已知关于x 的不等式
1
ln
a
x
x
b
恒成立，则
1
eb
a
的最小值为（
）
A．1
B．
1
2
C．
1
4
D．
1
8
2.已知e 为自然对数的底数，,a b 为实数，且不等式ln
(2
1)
1
0
x
e
a
x
b
对任意的
(0,
)
x
恒成立.
则当
2
1
b
a
取最大值时，a 的值为（
）
A．2e
B．2
1
e
C．3e
D．3
1
e
3.设k ，bR ，若关于x 的不等式
ln
1
x
x
kx
b
在
1,上恒成立，则
1
1
b
k
的最小值是（
）
A．
2e
B．
1
1
e
C．
2
1
e
D．
1
e
4.已知函数
2
3
1
2
xe
x
f
x
x
，若x
R
时，恒有
2
'
3
f
x
x
ax
b
，则ab
b
的最大值为
A．
e
B．
2
e
C．2
e
D．e
5.已知
0
a
，
0
b
，关于x 的不等式
ln
1
a
b
x
x
a
无实数解，则b
a
的最小值为（
）
A．
1
4
B．1
4
C．
1
2
D．
1
2
题型十三：多参韦达定理求参型
1.若函数
2
( )
ln
(
0)
b
c
f x
a
x
a
x
x
既有极大值也有极小值，则错误的是（
）
A．
0
bc
B．
0
ab
C．
2
8
0
b
ac
D．
0
ac
2.若函数
2
3
1
ln
0
2
x
f x
a
x
a
x
x
既有极大值也有极小值，则a（
）
A．
9
0, 4
B．(0,3)
C．
9
0,
9,
4
D．(
)
(
)
0 3
9
,
,
3.若函数
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
ax
=
+
+
有两个极值点
1
2
,
x x ，且
1
2
5
f
x
f
x
，则（
）
A．
4 2
a
B．
2 2
a
C．
2 2
a
D．
4 2
a
4.已知
2
1
ln
f
x
x
a
x
在1 ,
4
上恰有两个极值点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，则
1
2
f x
x
的取值范围为（
）
A．
1
3,
ln 2
2
B．1
ln 2,1
2
C．
1
,
ln2
2
D．1
3
ln 2,
ln 2
2
4
5.已知函数
2
1
ln
2
f x
x
ax
a
x
的两个极值点分别是
1
2
,
x x ，则下列结论正确的是（
）
A．a<0 或
4
a
B．
2
2
1
2
16
x
x
C．存在实数a，使得
1
2
0
f x
f x
D．
2
2
1
2
1
2
1
6
4
f
x
f
x
x
x
题型十四：多参单峰函数绝对值型
1.若存在实数a
b
、，对任意实数
0 4
x
，，使不等式
x
m
ax
b
x
m
恒成立，则实数m 的取值范围
为________.
2.设函数
3
2
6
f
x
x
x
ax
b
，若对任意的实数a 和b ，总存在
0
0,3
x
，使得
0
f x
m
，则实数m 的
最大值为__________．
3.设函数
1
( )
f x
ax
b
x
，若对任意的实数,a b ，总存在
0
1 ,2
2
x
使得
0
f x
m
成立，则实数m 的取值
范围是________．
4.若
0
a
，
2
ln
1
f x
x
a
x
，
2
2ln 2
g x
x x
a
，对任意
1
1
x
，
，总存在唯一的
．．．
2
2
x
，
，
使得
1
2
f x
g x
成立，则实数a 的取值范围____________．
5.设函数
3
( )
|
| 3
f x
x
x
a
.若
( )
f x 在[ 1,1]
上的最大值为2，则实数a 所有可能的取值组成的集合是
________.
题型十五：导数与三角函数
1.函数
sin 2
4cos
f x
x
x
的最大值为（
）
A．
9
6 3
B．3 2
C．10
6 2
D．
6
3
2.已知函数
( )
sin
2 sin(
)
4
f x
x
x
x
，若对于任意的
1
2
1
2
,
[0,
),(
)
2
x x
x
x
，均有
1
2
1
2
|
( )
(
)|
|
|
x
x
f x
f x
a e
e
成立，
则实数a 的最小值为
A．2
3
B．1
C．3
2
D．3
3.函数
π
π
5sin
( 15
10)
5
5
y
x
x
的图象与函数
2
5(
1)
2
2
x
y
x
x
图象的所有交点的横坐标之和为
___________.
4.已知0
π
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（
）
A．
co
co
s
0
s x
y
B．cos
cos
0
x
y
C．cos
sin
x
y
D．sin
sin
x
y
5.已知函数
3
1
( )
sin
2cos (
)
3
f x
ax
x
x
x a
R ，若f(x)在R 上单调，则a 的取值范围是（
）
A．
1
1
,
,
2
2
B．
2
2
,
,
C．(
, 1]
[1,
)
D．
,
,
2
2
模块三：综合巩固
1.已知函数
( )
1
x
f x
e
ax
在区间( 1,1)
内存在极值点，且
( )
0
f x
恰好有唯一整数解，则
的取值范围
是（
）
A．
2
2
1,e
2
e
e
B．
2
2
2
1
1
,1
1,
2
2
e
e
e
e
C．
1,
e
e
D．
2
2
1
1
,
1,
2
e
e
e
e
e
e
2.已知函数
( )
ln(
1)
f x
x
x
，( )
ln
g x
x
x
，若
1
( )
1 2ln
f x
t
，
2
2
(
)
g x
t
，则
1
2
2
(
)ln
x x
x
t
的最小值为
___________.
3.已知实数
1
x ，
2
x 满足
1
1
4
ex
x
，
2
2
2
2
ln x
x
，则
2
1
2
x x （
）
A．1
B．2
C．4
D．8
4.设
0
k
，若存在正实数x ，使得不等式
1
27
log
3
0
kx
x
k
成立，则k 的最大值为（
）
A．
1
ln3
e
B．ln3
e
C．ln3
e
D．ln3
2
5.若
0,1
x
，
ln
mx
x
x
m
恒成立，则实数m 的取值范围为（
）
A．
1,
B．1 ,
2
C．
2,
D．
,1
6.当
0
x
时，不等式
2e
2ln
1
x
x
mx
x
有解，则实数m 的范围为（
）
A．
1,
B．
1 ,
e
C．
2 ,
e
D．
2,
7.设函数的定义域为D，若满足条件：存在
,a b
D
，使
f
x 在
,a b 上的值域为
,
2 2
a b
，则称
f
x 为“倍
缩函数”.若函数
=
x
f x
e
t
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是
A．
1
ln2
,
2
B．
1 ln2
,
2
C．1
ln2 ,
2
D．1
ln2 ,
2
8.已知
2
1
x
f
x
xe
e
e
，
2
1
ln
1
g x
x
a
x
，若存在
1x
R
，
2
1,
x ，使得
1
2
f x
g x
成
立，则实数a 的取值范围是______.
9.若
1
2
ln
xe
x
，令
2
1
t
x
x
，则t 的最小值属于（
）
A．
3
1, 2
B．3 ,2
2
C．
5
2, 2
D．5 ,3
2
10.已知函数
ln ,
1
1
,
1
2
x x
f x
x x
，若
1
F x
f
f
x
m
有两个零点
1
2
,
x x ，则
1
2
x
x
的取值范围是（
）
A．
4
2ln 2,
B．
1
,e
C．
4
2ln 2,1
e
D．
,1
e
11.若存在两个正实数x，y 使等式
2
2
ln
ln
0
x
m y
ex
y
x
成立，（其中
2.71828...
e
）则实数m 的取
值范围是________.
12.已知
f
x
mx
n
，
ln
g x
x
，对于
0,
x
，
f x
g x
恒成立，则
2
m
n
的最小值为（
）
A．
ln 2
B．－1
C．
ln 4
D．－2
13.已知
1
x ，
2
x 是函数
2
2
2ln
f x
x
ax
x
的两个极值点，且
1
2
x
x
，当
5
2
a
时，不等式
1
2
f
x
mx
恒
成立，则实数m 的取值范围（
）
A．
9
ln 2,0
8
B．
9
,
ln 2
8
C．
9
ln 2,0
8
D．
9
ln 2,
8
14.设函数
f x
x
ax
b
，a ，b
R
，若对任意的实数a ，b ，总存在实数
0
0,4
x
，使得不等式
0
f x
m
成立，则m 的最大值是_______．
15.已知函数
2
sin ,
0
1
,
0
xe
a
x
x
f x
x
a
x
a
x
．若关于x 的不等式
0
f x 的解集为
1,
，则实数a 的
取值范围为___________．
