5.8导数与不等式恒成立、存在性问题（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_导数知识点+题型分类_单独的原卷版+解析版

5.8 导数与不等式恒成立、存在性问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：分离参数法................................................................... 2
考点二：分类讨论法................................................................... 2
考点三：恒成立问题的等价转化法..................................................2
考点四：存在性等价转化法.......................................................... 2
考点五：最值定位法解决双参不等式问题.........................................2
考点六：值域法解决双参等式问题..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：分离变量法求恒成立....................................................... 3
题型二：分离变量法求存在性问题..................................................4
题型三：分类讨论法求恒成立....................................................... 6
题型四：分类讨论法求存在性问题..................................................7
题型五：等价转化法求恒成立....................................................... 8
题型六：等价转化法求存在性问题................................................10
题型七：最值定位法解决双参不等式问题....................................... 11
题型八：值域法解决双参等式问题................................................13
5.8 导数与不等式恒成立、存在性问题
模块一：基础知识
考点一：分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
1.恒成立问题步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
( )
a
f x

)对x
D

恒成立，则只需
max
( )
a
f x

；若
( )
a
f x

对x
D

恒成立，则只需
min
( )
a
f x

．
③求最值.
2.存在性问题步骤
①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：x
D

，使得
( )
a
f x

能成立
min
( )
a
f x

；
x
D

，使得
( )
a
f x

能成立
max
( )
a
f x

．
③求最值.
考点二：分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
0
a 
，
0

或
0
a 
，
0

)求解．
考点三：恒成立问题的等价转化法
当遇到
( )
( )
f x
g x

型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x


或者“右减左”的函数
( )
( )
( )
H x
g x
f x


，进而只需满足
min
( )
0
F x

，或者
max
( )
0
H x

，将比较法
的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
考点四：存在性等价转化法
当遇到
( )
( )
f x
g x

型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x


或者“右减左”的函数
( )
( )
( )
H x
g x
f x


，进而只需满足
max
( )
0
F x

，或者
min
( )
0
H x

，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
考点五：最值定位法解决双参不等式问题
（1）
1x
A


,
2x
B


,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x

成立
1 max
2
max
(
)
(
)
f x
g x

（2）
1x
A


,
2x
B


,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x

成立
1 min
2
min
(
)
(
)
f x
g x

（3）
1x
A


,
2x
B


,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x

成立
1 max
2
min
(
)
(
)
f x
g x

（4）
1x
A


,
2x
B


,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x

成立
1 min
2
max
(
)
(
)
f x
g x

考点六：值域法解决双参等式问题
1
1
x
D


,
2
2
x
D


,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x

成立
①
1
1
x
D


，求出
1
(
)
f x
的值域，记为
1
1
1
{ (
) |
}
A
f x
x
D


②
2
2
x
D


求出
2
(
)
g x
的值域，记为
2
2
2
{ (
) |
}
B
g x
x
D


③则A
B

,求出参数取值范围.
模块二：题型分类
题型一：分离变量法求恒成立
1.已知函数

ex
f x
kx


，xR ，k 为常数，e 是自然对数的底数．
(1)当
e

k
时，求

f
x 的极值；
(2)若
0
k 
，且对于任意
0
x 
，

0
f x 
恒成立，试确定实数k 的取值范围．
2.已知函数

2e
2
x
f
x
x


.
(1)求曲线

y
f x

在点



0,
0
f
处的切线方程；
(2)求

f
x 的极值；
(3)若对于任意xR ，不等式



2 e 1
f
x
x
m



恒成立，求实数m 的取值范围.
3.（1）已知
1
ln
x
a
x
x



对于
1 ,2
2
x





恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）已知函数

2
e
2
x
f x
a
x


，若不等式
( )
0
f
x


在R 上恒成立，试求a 的取值范围.
4.已知函数



e
1
x
f x
a x



．
(1)求函数

f
x 的单调区间；
(2)当


1,
x时，

0
f x 
恒成立，求实数a 的取值范围．
5.已知函数
2
( )
2
f x
x
x
k



，
3
2
( )
(
0)
g x
ax
bx
cx
d a





是R 上的奇函数，当
1
x 时，( )
g x 取得极值2
．
(1)求函数( )
g x 的单调区间和极大值；
(2)若对任意


1 3
,
x
，都有
( )
( )
f x
g x

成立，求实数k 的取值范围；
题型二：分离变量法求存在性问题
1.已知函数

3
2
6
f x
ax
bx
x
c



，当= 1
x 时，

f
x 的极小值为
5
2

，当
2
x 
时，

f
x 有极大值．
（1）求函数

f
x ；
（2）存在


0
2,0
x 
，使得


2
0
2
f x
t
t


成立，求实数t 的取值范围．
2.已知函数
( )
ln ,(
0)
f x
x x x


.
(1)求函数
( )
f x 的极值；
(2)若存在
(0
)
x

,+
，使得

2
3
2
x
mx
f x




成立，求实数m 的最小值.
3.已知函数

3
2
3
1
a
f x
x
x
x



，a R .
(1)当
5
a 
时，讨论

f
x 在区间

0, 

上的单调性；
(2)若存在
1 ,4
2
x





，使不等式

2
2ln x
f x
x

成立，求a 的取值范围.
4.已知函数
2
( )
ln
f x
a
x
x


(a 为实常数）．若存在
[1,e]
x
，使得
( )
(
2)
f x
a
x


成立，求实数a 的取值范
围．
题型三：分类讨论法求恒成立
1.已知不等式


e
2
3
x
a
x


对任意xR 恒成立，则实数a 的最大值是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 .
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
2.设函数
2
e
1
( )
x
f x
x
ax



，若当
0
x 
时
( )
0
f x 
，求a 的取值范围．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
3.设函数



ln
1
1
ax
f x
x
x



．
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)若

0
f x 恒成立，求a 的值．
4．已知函数
2
1
1
( )
(
1)ln
(
,
0)
2
2
f x
x
a
x
a
a






R
．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的
[1,
)
x
，都有
( )
0
f x 
成立，求a 的取值范围．
题型四：分类讨论法求存在性问题
1.已知

ln
f x
x
ax
a



(1)若

f
x 在
1
x 处取到极值，求a 的值；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(2)若存在
0
(0,
)
x 
使得
0
(
)
0
f x

，求a 的范围；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
(3)直接写出
( )
f x 零点的个数，结论不要求证明.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
2.已知函数




2
e
2
2
R
x
f
x
x
ax
a
a




，其中e是自然对数的底数．
(1)讨论函数

f
x 的单调性；
(2)若

2e
a
f
x 
在区间

2,0

上有解，求实数a 的取值范围．
3.已知函数





e
1
,




x
f x
m
x m
R
(1)当
1
m 时，求曲线

y
f x

在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在


,1 2
x
，使得不等式

2
l
e
n
2




x
x
m x
m
f x 成立，求m 的取值范围．
4.已知函数
3
2
( )
2
8
f
x
x
ax



．
（1）当
1
a 时，求曲线
( )
y
f x

在点(1，f （1）)处的切线方程；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得
( )
0
f x 
成立，求实数a 的取值范围．
题型五：等价转化法求恒成立
1.已知函数



1 ln
a
f
x
a
x
x
x




，
a
g x
x

（其中a R ）．
(1)若
2
a ，求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若对于任意


1,e
x
，都有

f x
g x

成立，求a 的取值范围．
2.已知函数




2
1
e
,
1
2
x
f
x
x
g x
ax
a
R





.
(1)求

f
x 的图象在
0
x 
处的切线方程；
(2)当


0,
x
时，


f x
g x

恒成立，求a 的取值范围.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
3.已知函数
( )
ln(
1)
f x
x


，( )
g x
kx

．
(1)当
1
k 时，求函数( )
( )
( )
h x
f x
g x


的最大值；
(2)若关于x 的不等式
( )
( )
f x
g x

恒成立，求实数k 的值．
4.已知函数



2
1
ln
f x
x
a
x
x




，
2
2
1
g x
x
x
a



．
(1)若

f
x 在

1,上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)当


1,e
x
时，

f x
g x

恒成立，求实数a 的取值范围．
5.已知函数

e
ln
x
f x
a
a


，( )
ln(
1)
1
g x
x


（其中a 为常数，e 为自然对数底数）.若
( )
( )
f x
g x

恒成
立，求a 的取值范围．
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
题型六：等价转化法求存在性问题
1．已知函数
1
( )
ln , ( )
(
R)
a
f x
x
a
x g x
a
x





，若在[1,e]上存在一点
0x ，使得




0
0
f
x
g x

成立，求a
的取值范围.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
2.已知函数

ln
f x
x
a x


，
1
(
0)
a
g x
a
x



．
(1)若

f
x 在点



1,
1
f
处的切线为
1
y ，求实数a 的值；
(2)设函数

h x
f x g x

，求函数
h x 的单调区间与极值；
(3)若存在


0
1,e
x 
，使得




0
0
f
x
g x

成立，求a 的取值范围．
3.已知函数f(x)＝－2aln x－2
x ，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2
x ，其中a∈R.
(1)若x＝2 是函数f(x)的驻点，求实数a 的值；
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
(2)当a >0 时，求函数g(x)的单调区间；
(3)若存在x[ 1
e ，e2 ]（e 为自然对数的底），使得不等式f(x)g (x)成立，求实数a 的取值范围．
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
4.设函数

2ln
p
f
x
px
x
x



，其中e 是自然对数的底数.
(1)当
3
2
p 
时，求函数

f
x 的极值
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-.
(2)若

f
x 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
(3)设
2e
g x
x

，若在

1,e 上至少存在一点
0x ，使得




0
0
f x
g x

成立，求实数p 的取值范围.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
题型七：最值定位法解决双参不等式问题
1.已知函数

sin x
f x
x

．
(1)当
π
0, 2
x






时，求函数

f
x 的最小值；
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
(2)若
3
3
ex
x
g x
x
x
a




，且对
1
π
0, 2
x







，都


2
0,2
x


，使得



1
2
f x
g x

成立，求实数a 的取值范
围．
2.已知函数

2
ex
x
f x 
，
ln
e
g x
x
ax



，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数

f
x 的极值；
(2)对


1
1,0
x


，总存在
2
2
2,e
x



，使



1
2
f x
g x

成立，求实数a 的取值范围．
3.已知函数
1
2
( )
(
1)e x
f x
x
mx




，当0
6
m


时，
3
4
( )
g x
x
mx
x



，


0,2
x
，若
1x

R ，


2
0,2
x 
，
使
1
2
(
)
(
)
f x
g x

成立，求实数m 的取值范围．
4.设函数



2
e
ex
x
ax
a
f x



，

R
a
．
(1)若曲线

y
f x

在
1
x 处的切线过点


2,3
M
，求a 的值；
(2)设
1
1
1
3
g x
x
x




若对


0,2
n

，


0,2
m


，使得


f m
g n

成立，求a 的取值范围．
5.已知函数



1
ln
1
R
a
f x
x
ax
a
x






．
(1)当
1
0
2
a


时，讨论

f
x 的单调性；
(2)设
2
2
4
g x
x
bx



．当
1
4
a 
时，若对


1
0,2
x


，


2
1,2
x


，使



1
2
f x
g x

，求实数b 的取值范围．
题型八：值域法解决双参等式问题
1.已知函数

1
2
x
x
m
f x
m
n



（其中
0
m 
且
1,
0
m
n


）是奇函数．
(1)求m ，n 的值并判断函数

y
f x

的单调性；
(2)已知二次函数
2
g x
ax
bx
c


满足



2
2
g
x
g
x



，且其最小值为3
．若对


1
1,2
x


，都
2
1 ,8
2
x







，使得




1
2
2
log
f
x
g
x

成立，求实数a 的取值范围．
2.函数

2
1
1
x
x
f
x
x




，
2
3
g x
x
ax



.
(1)当


1,4
x
时，总有

g x
a

成立，求实数a 的取值范围；
(2)若
3
a ，对


1
2,
x


，


2
2,
x


，使得



1
2
f x
g x

，求实数a 的取值范围.
3.已知函数

2
2
f x
x
x
a



，
5
g x
ax
a


.
(1)若函数

y
f x

在区间

3,0

上存在零点，求实数a 的取值范围；
(2)若对任意的


1
3,3
x 
，总存在


2
3,3
x 
，使得



1
2
f x
g x

成立，求实数a 的取值范围.
4.已知函数
2
( )
2,
R




f x
x
ax
a
．
(1)若不等式
( )
0
f x 
的解集为[1,2] ，求不等式
2
( )
1
f x
x

的解集；
(2)若对于任意
[ 1,1]
x
，不等式
( )
2 (
1)
4
f x
a x



恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)已知
( )
g x
x
m

，当
3
a 时，若对任意
1
[1,4]
x 
，总存在
2
(1,8)
x 
，使



1
2
f x
g x

成立，求实数m
的取值范围．