文档内容
专题 02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间...........................2
题型二：已知函数 在区间 上单调求参数.........................3
题型三：已知函数 在区间 上存在单调区间求参数.................5
题型四：已知函数 在区间 上不单调求参数.......................7
题型五：已知函数 在单调区间的个数.............................9
三、专项训练........................................................9
一、必备秘籍
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
2、已知函数 的递增（递减）区间为
， 是 的两个根
3、已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
4、已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调递增区间 ， 有解.
②已知 在区间 上单调递区间减 ， 有解.
5、已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （且 是变号零点）
二、典型题型
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间
1．（2023上·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，
， ， ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
故选：A
2．（2023下·陕西汉中·高二校考期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域为 ，
，因为 ，可得 ，解得 ，可得 ，
因此，函数 的单调递减区间为 .
故选：D.
3．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）函数 的单调递增区间是（ ）
A． 和 B． C． D． 和
【答案】D
【详解】 的定义域为 ，
，令 ，解得 或 ，
故 的单调递增区间为 和 .
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的单调性.
【答案】函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
【详解】由 ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
题型二：已知函数 在区间 上单调求参数
1．（2023上·广东汕头·高三统考期中）设 ，若函数 在 递增，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数 在 递增，
所以 在 上恒成立，则 ，即 在 上恒成立，
由函数 单调递增得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
2．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）若函数 在区间 单调递增，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】若函数 在区间 单调递增，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立；
又函数 在 上递减，所以 恒成立，则
故 的取值范围是 .
故选：D.
3．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数 的图象在区间 上单调递增，则
实数 的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ．
由 的图象在区间 上单调递增，
可知不等式 即 在区间 上恒成立．
令 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
故要使 在 上恒成立，只需 ．
由 ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ，则a的最小值为 ．
故答案为：
4．（2023上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数 在区间 上单调
递增，则a的取值范围是： .
【答案】
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 .
故a的取值范围是 .
故答案为：
5．（2023下·高二课时练习）已知函数 是区间 上的单调函数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】 ，
令 ，则 或 ，
因为 是区间 上的单调函数，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
题型三：已知函数 在区间 上存在单调区间求参数
1．（2019下·安徽六安·高二校联考期末）若函数 存在增区间，则实数 的取值范围为A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若函数 不存在增区间，则函数 单调递减，
此时 在区间 恒成立，
可得 ，则 ，可得 ，
故函数存在增区间时实数 的取值范围为 ．故选C.
2．（2023下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数 在 上存在单调递增区
间，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数 ，∴ ，
∵函数 在 上存在单调递增区间， ，即 有解，
令 , ,∴当 时， ， 即可．
故答案为:
3．（2020上·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知函数 在 上有增区间，则a
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题得 ，
因为函数 在 上有增区间，
所以存在 使得 成立，
即 成立，
因为 时， ，所以 .
故答案为：
4．（2019下·辽宁沈阳·高二校联考期中）设 .
（1）若 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围；
【答案】（1） ；
【详解】解：（1） ，
当 时， ，
则当 时，令 ，得 ，
所以，当 时， 在 上存在单调递增区间；
题型四：已知函数 在区间 上不单调求参数
1．（2021上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 在区间 上不是单调函数，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 在区间 上不是单调函数，
所以 在区间 上有解，即 在区间 上有解．
令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
故 在 上单调递减，在 上单调递增．又因为 ，且当 时，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，解得 .
故选：A
2．（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数 在 上
不是单调函数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】因为 ，所以 ，
又 不是单调函数，所以函数 有极值点，即 在 上有变号零点，
则 成立，
当 时， 可化为 ，显然不成立；
当 时， ，
因为 ， ，所以 或 ，
所以实数m的取值范围为 或 （因为要有变号零点，故不能取等号），
经检验， 或 满足要求.
故答案为： 或 .
3．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意 ，函数 在区间(t,3)上总不为
单调函数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】 ，若存在 ， 在区间 上为单调函数，
则① 在 上恒成立，或② 在 上恒成立．
由①得 在 上恒成立，由于 ，所以 ，
即 在 上恒成立，由于函数 均为 上的单调递减函数，
所以 单调递减，当 时，取最大值，则 ，
又存在 ，所以 ，
当 时， 取到最小值-5，所以 ，即 ；由②得 在 上恒成立，则 ，即 ，
所以存在 ，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为 或 ，
因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为 .
故答案为：
4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ．若 在 内不单调，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由 ，得 ，
当 在 内为减函数时，则 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
当 在 内为增函数时，则 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
令 ，因为 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 在 内的值域为 ，所以 或 ，
所以函数 在 内单调时，a的取值范围是 ，
故 在 上不单调时，实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型五：已知函数 在单调区间的个数
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意得函数 的定义域为 ， ，
要使函数 恰有三个单调区间，
则 有两个不相等的实数根，∴ ，解得 且 ，
故实数a的取值范围为 ，
故选：C.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则“ 在区间 上单调递增”的
一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 在区间 上单调递增等价于 在区间 上大于等于 恒成立，
即 在 上恒成立，即 ，
故 是 的充分不必要条件，故D正确.
故选：D.
2．（2023上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）若函数 在 具有单调
性，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，
当函数 在 单调递增时，
恒成立，得 ，设 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 ，
因此有 ，当函数 在 单调递减时，
恒成立，得 ，设 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 ，
显然无论 取何实数，不等式 不能恒成立，
综上所述，a的取值范围是 ，
故选：C
3．（2023上·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）下列函数中，在区间 内不单调的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A选项， 在 上恒成立，故 在 上单调递增，A错误；
B选项， 在 上恒成立，故 在 上单调递减，B错误；
C选项，当 时， ，
由于 在 上单调递增，在 上不单调，
故 在 上不单调，C正确；
D选项，由于 和 在 上单调递增，故 在 上单调递增，D错误.
故选：C
4．（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）若函数 在区间 上是增
函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ，可得 ，记 ，
则 ，所以 在 单调递增，所以 .
故选：C5．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数 在区间 内存在单调递减区
间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
由题意可知：存在 ，使得 ，整理得 ，
且 在 上单调递减，则 ，可得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
6．（2023下·广东江门·高二校考期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，令 ，
即 的单调递增区间为 .
故选：B
7．（2023下·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）若函数 在区间 上单调递增，
则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
函数 在区间 单调递增，
在区间 上恒成立． 在 上恒成立，
而 在区间 上单调递减， ．
故选：C二、多选题
8．（2023下·高二单元测试）函数 的单调减区间可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由题意得 ，
令 ，解得 或 ，
结合选项可知函数 的单调减区间可以为 , ,
故选:AC.
9．（2023下·江苏南通·高二统考阶段练习）若函数 的单调递增区间为 ，则 可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】A选项， 的定义域为 ，故单调递增区间不可能为 ，A错误；
B选项， 定义域为 ，
，令 ，解得 ，
所以 单调递增区间为 ，B正确；
C选项， 定义域为 ，
，令 ，解得 或 ，
所以 单调递增区间为 ， ，C错误；
D选项， 定义域为 ，
，令 ，解得 ，
故 单独递增区间为 ，D正确.
故选：BD
三、填空题10．（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知函数 的减区间为 ，则
.
【答案】3
【详解】由题意可得， ，解集为 ，则 .
故答案为：3
11．（2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）已知函数 存在单调递减区间，
则实数 的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
依题意，不等式 在 上有解，等价于 在 上有解，
而 ，当且仅当 时取等号，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围
是 .
【答案】
【详解】
∵函数 在区间 上不单调，
∴ 在区间 内有解，
则 在 内有解，
易知函数 在 上是减函数，
∴ 的值域为 ，
因此实数a的取值范围为 .故答案为：
13．（2023·安徽·高二校联考竞赛）如果函数 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，则 的值为 ．
【答案】1
【详解】由题意得， ，由 ，得 ，
解得 或 ．
当 时， ，当 时， ，
则 在区间 上单调递增，不满足条件，舍去；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，满足 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，故 ．
故答案为：1
四、单空题
14．（2023上·上海·高二校考阶段练习）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值
范围为 ．
【答案】
【详解】函数 在区间 上单调递减，
在区间 上恒成立，
即 ，又 ，
故 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：
