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重难点突破10 利用导数解决一类整数问题
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利用导数解决一类整数问题常见技巧有：
1、分离参数、分离函数、半分离
2、直接限制法
3、虚设零点
4、必要性探路
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
例1．（2023·贵州·校联考一模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对 恒成立，求整数a的最小值．
【解析】（1） 的定义域为 ，
（ⅰ）当 时， ，∴ 在 上单调递增；
（ⅱ）当 时，令 ，
令 ，
∴当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由 ，可得： ，
∵ ，∴原命题等价于 对 恒成立．
令 ，∴ ，
令 ，∴ ，∴ 在 上单调递增．
又 ，
故存在唯一的 ，使得 ．
当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递减．
∴ ，
∴ 时， 恒成立．
∴ ，又 ，∴a的最小整数值为2．
例2．（2023·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
(2)当 时，关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1） ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
若 在 上有两个零点，则
解得 ，故 的取值范围是（2） ，即 ，在 时恒成立，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 单调递增，在 上单调递减，
，即 ，当且仅当 时等号成立，
而 时， ，故
，
当 时，不等式为 ，而 时满足题意，
故整数 的最小值为
例3．（2023·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 为整数，且 恒成立，求 的最大值.
【解析】（1） 的定义域为 ， .
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时，解 ，即 ，得 （舍去负值）；
解 ，即 ，得 ，所以 在 上单调递增；解 ，即
，得 ，所以 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单
调递增，在 上单调递减.
（2）由已知可得， 恒成立， ，即 在 上恒成立.
令 ，则只需 即可. ，
令 ， 在 上恒成立，所以 单调递增.
且 ， ，
所以， ，使得 ，且当 时， ，当 时， .
即 ，使得 ，且当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值.
又 ，则 .
所以 ，
令 ， ， ， ，
则 ，当 时， ，
所以， 在 上单调递增，
从而 在 上单调递减，则 ，
又 ， ，
所以 ，所以 .
又 为整数， ，所以 的最大值为0.
变式1．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知函数
(1)判断 的单调性，并比较 与 的大小；(2)当 时，不等式 恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）由题意知：函数 的定义域为 ，
，当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，又因为 在 上单调递增，
所以 ，
（2）因为 ，所以 ，
所以不等式 可化为 ，
因为 ，所以 ，
所以不等式等价转化为 对任意的 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 对任意的 恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
故 ，使得 ，
因此当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增，
故 ，
所以 ，
故整数 的最大值为 .
变式2．（2023·天津河北·统考一模）已知函数 .(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若对任意的 ，都有 成立，求整数 的最大值.
【解析】（1）函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 .
（2）函数 的定义域是 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
（3） ， ，
令 ，求导得 ，
由（2）知， 在 上单调递增， ， ，
因此存在唯一 ，使得 ，即 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，则 ，
所以整数 的最大值是3.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若函数 在 上有两个不同的零点，求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得对任意的 ，都有函数 的图象在 的图象的下方？
若存在，请求出最大整数k的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： ）
【解析】（1）因为 ，
则由题意知方程 在 上有两个不同的根.由 得 令 ，则 ，
由 解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 ，
又 ， ，
所以 ，解得 .
（2）假设存在实数k满足题意，则不等式 对 恒成立，
即 对 恒成立.
令 则 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增， ，
且 的图象在 上不间断，所以存在 使得
即 则 ，
所以当 时， 单凋递减；当 时， 单调递增，则 取到最小值 ，
当且仅当 时，等号成立，
但由于 故等号无法取到，则 ,
所以 即 在区间 内单调递增.
所以 ，
所以存在实数k满足题意，且最大整数k的值为1.
变式4．（2023·云南·校联考三模）设函数 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则
的取值范围是________.
【答案】
【解析】由函数 ，设 和
因为存在唯一整数 ，使得 ，
所以存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，如图所示，
因为 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， 取得极小值，也为最小值 ，
且当 时， ，当 时， ，
又由直线 恒经过原点 ，斜率为 （其中 ），
所以 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：变式5．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若关于x的不等式 的
解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】 ， 不等式 可化为 ，
令 ， ，由 解得 ，由 解得 ， 在 为增函
数， 在 为减函数，
令 ，则 的图象恒过 ，若解集恰有 个整数，
当 时，有无数个整数解，不满足题意；
当 时， 如图，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足不等式，即 且 ，
解得 ，
故答案为：
变式6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，满足f（x）＜0恒成立的最
大整数m的值为___．
【答案】3
【解析】原不等式等价于 ，由 与 的图象平移变换可知，
若满足题意，则只要 小于 与 两个函数相切时的 值即可.设公切点为 ，则有 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，故 单调递增，
而 ，
故 ，使得 ，所以 ，
由对勾函数的性质，可得 ，
故最大整数m取3.
故答案为：3.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，
使得 ，则实数 的取值范围是____.
【答案】 .
【解析】设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ，
当 时， ,所以，函数 的最小值为 .
又 ， （1） ，
直线 恒过定点 且斜率为 ，
故 且 ，解得 .故答案为： .
变式8．（2023·全国·高三专题练习）若对 ，关于x的不等式 恒成立，则整数
m的最小值为___________.
【答案】
【解析】设 ， ，只需保证 的图象在 的上方即可
易知： 在区间 上单调递增，且 （否则当 无限趋近无穷大时，不能成立）
则存在 与 在某个点处相切，设切点为
可得：
化简可得：
设 ，易知 在区间 上单调递增
可得： ，
可得：
则 ，这是 与 在某个点处相切的 范围，当 比相切时大，则 会在 上方，即
也满足题意
故 的最小整数为
故答案为：2
题型二：整数解问题之直接限制法
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若有且仅有两个整数
，满足 ，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】若 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，记 ，故只需有且仅有两个整数 使得 成立即可，
所以 ，
记 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
在 上 ，即 ， 单调递减，
在 上 ，即 ， 单调递增，所以 有最小值 ，
因为 ，且 ，
，而 ，
若使 有且仅有两个整数 ，
只需 即可，解得 .
故答案为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 为整数，且关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1）若 时， 在区间 上单调递减，
所以 .
若 ，则二次函数图象对称轴 ，
当 ，即 时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以 .
当 ，即 时，1离对称轴远，2离对称轴近，.
若 ，对称轴 在区间 上单调递减，
综上， .
（2）因为 恒成立，
即 恒成立，
令 ,
所以 ,
当 时，因为 ，所以 ，
所以 在 上是单调递增函数.
又因为 ，所以关于 的不等式 不能恒成立.
当 时， ,
令 得 ，所以当 时， ；当 时， .
因此函数 在 上是增函数，在 上是减函数.
故函数 的最大值为 .
令 ，因为 .
又因为 在 上是减函数，所以当 时， ,
即关于 的不等式 恒成立，
所以整数 的最小值为2.
例6．（2023·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数 .(1)讨论函数 的单调性；
(2)若m为整数，且关于x的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1）由题意知， 的定义域为 ，
对 求导，得
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 恒成立，即 ，
即 恒成立，令 .
所以 .
当 时，因为 ，所以 ，所以 在 上是递增函数.
又因为 ，所以关于 的不等式 不能恒成立.
当 时， .
令 得 ，所以当 时， ；当 时， .
因此函数 在 上是增函数，在 上是减函数.
故函数 的最大值为 .
令 ，因为 ， .
又因为 在 上是减函数，所以当 时， .
所以整数 的最小值为2.变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线 在点 处的切线不经过原点；
（Ⅲ）设整数 使得 对 恒成立，求整数 的最大值.
【解析】（Ⅰ）函数的导数为 ，由 得 ，
由 ，得 ，所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，所以 在 上单调递减.
所以 的单调减区间为 ，增区间为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线 在点 处的切线为 ，其中 ，
假设 在点 处的切线经过原点.
则有 ，即 ，
整理得 与 矛盾，
则曲线 在点 处的切线不经过原点；
（Ⅲ） 对 恒成立等价于当 时， 恒成立.
令 ，则 .由 ，得 ，
随着 变化， ， 的变化情况如下表所示：
﹣ 0 +
极小
值
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，
令 ，则 .
当 时，因为 的最小值为 ，所以 恒成立，符合题意；
当 时.由 ，得函数 ，在 上单调递减，所以
，
故此时 的最小值 ，不符合题意，
所以整数 的最大值是2.
题型三：整数解问题之虚设零点
例7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意的 ，不等式 在 上恒成立，求整数 的最大值.
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
令 得 ， ，
①当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，
故 在 上单调递增，在 ， 上单调递减.
（2）因为 且 ，所以 ，
于是原命题等价于不等式 对任意的 恒成立.
从而 对一切 恒成立，
令 ，则 ，
∵ ，
令 ， ，则 ，
∴ 在 上单增，又 ， ，∴ 使 ，即 ①，
当 时， ，即 在 递减；
当 时， ，即 在 ，递增，
∴ ，
由①知 ，∴ ，
∵函数 在 上单调递增，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，因此整数 的最大值是1.
例8．（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数 的图象在 处的切线方程为
．
(1)求 ， 的值；
(2)若关于 的不等式 对于任意 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据： ）
【解析】（1）函数 ，求导得： ，
因为函数 的图象在 处的切线方程为 ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ， ，令 ， ，
在 上单调递增，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
于是存在 ，使得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
即有函数 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ， ，
显然函数 在 上的最小值为 与 中最小的，由 得 ，因此 ，函数 图象对称轴 ，显然 ，以下比较
到 的距离大小：
若 ，则有 ， ， ，
若 ，则 ，
从而函数 在 上，
当 时，有 ，即 ，显然
，
综上，函数 在 上的最小值在区间 内， 对于任意 恒成立，则有
，
所以整数 的最大值为3.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若 为整数，且函数 有4个零点，求 的最小值．
【解析】（1）函数的定义域为 ，
，令 ，即 ， ， 的关系如下表：
0
↗ 极大值 ↘
时， 的极大值为 ， 无极小值．
（2）由题意得， 有4个零点，
即方程 在 有4个不相等的实根．
令 ， ，
令 ，可知要使 有四个零点，则 至少应有三个零点， ，至少有两个零点， ，其中 ，
①当 时， ，则 在 上单调递增， 至多只有一个零点不合题意；
②当 时， 时， ； ， ，
在 上递减，在 上递增，
要使 有两个零点， ，解得
此时 ， ，
， ， ，
在 存在一个零点 ，且
下面证明当 时，
当 时，
令 ， ，令 ， ；
当 时， ， 在 上递增，
在 上递增， ，即
， ，
，
在 存在一个零点 ，且 ，
时， ， ， ，
在 和 单调递减， 和 单调递增，
只需 ， 在 ， ， ， 各有一个零点其中 ， ，
令 ， ；
在 上单调递减， ， ，
存在 ，使得 ， 当 时， ，
又∵ 是整数，∴ 的最小值是4．
变式10．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且存在整数 使得 恒成立，求整数 的最大值.
（参考数据： ， ）
【解析】（1） ， ，
若 ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
若 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
若 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 和 上递增，
若 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 和 上递增，
综上所述，当 时，函数 在 上递减，在 上递增，
当 时，函数 在 上递增，
当 时，函数 在 上递减，在 和 上递增，当 时，函数 在 上递减，在 和 上递增；
（2）若 ， ， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，即函数 在 上递增，
又 ，则当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
又 ， ， ，
所以函数 存在唯一的零点 ，且 ，此时 ，
则当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
令 ， ，则 ， ，
所以函数 在 上递减，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
又存在整数 使得 恒成立，
所以整数 的最大值为0.
变式11．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 为整数时，当 时， 恒成立，求 的最小值.
（参考数据： ， ， …）
【解析】（1）当 时， ，则 ，
所以， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） .
且函数 的定义域为 ， ，
令 ， ， ， ，
令 ，其中 ，则 ，
所以， 在 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
①当 时， ，
在 上恒成立， 单调递增，
，
记 ，则 ，
在区间 上单调增递，
， ，
故当 时， 恒成立；
②当 时，又 ，即 时， ，
因为 ， ，记 ，由上可知 在 上单调递增，
且 在 单调递减，在 单调递增，
， ， ，
所以， ， ， ，
且当 时， ，当 时， ，
所以， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
由 ，
所以，
令 ， ，则 ，
当 时， ， ， 单调递减，
，故当 时， ；
③当 时， ， ，
记 ， ， ，
易知 单调递增， 在 单调递减， 单调递增，
， ， ，
， ，当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增.
因为 ， 当 时， ，不符合题意，
的最小值为 .题型四：整数解问题之必要性探路
例10．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）对于定义在 上的函数 ，若存在 ，使得
，则称 为 的一个不动点．设函数 ，已知 为函数 的
不动点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，且 对任意满足条件的 成立，求整数 的最大值．
（参考数据： ， ， ， ， ）
【解析】（1）依题意，方程 在 内有根 ，且 ，
令 ， ，求导得 ，
当 时， 在 ， 上都递增，而 ，因此函数 在 、 无零点，
当 时，令 ， ， ，则函数 在 ， 上都
递增，
当 时，当 时， ，函数 在 上递增，无零点，
当 时， ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， 递减，在 时， 递增，
，而 ，有 ，
，
因此存在 ，使得 ，即函数 在 上有零点 ，则 ，
当 时，当 时， ，函数 在 上递减， ，无零点，
当 时， ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， 递减，在 时， 递增， ，
，令 ，求导得 ，
令 ，则 ，即函数 在 上单调递增，
，函数 在 上单调递增，
因此存在 ，使得 ，即函数 在 上有零点 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）依题意， ，于是 ，即因为 ，取 ，有 ，因此 取2，
下证： 对任意 成立，令 ，
，当 时， 递增，当 时， 递减，
，即 对 恒成立，当 时， ，
令 ， ，函数 在 上递增， ，
即 ，从而 成立，
当 时，只需证： 成立，
令 ， ，只需证 ，
，令 ，
，显然 在 上递增，
， ，即存在 ，使 ，
且当 时， 递减，当 时， 递增，
，整理得 ，
因为函数 在 递减，
所以 ，
所以 在 恒成立，即 在 递增，
显然 ，所以成立.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ， ．
(1)若 ，求证： 在 上是增函数；
(2)若存在 ，使得 对于任意的 成立，求最大的整数 的值．【解析】（1） ，令 ， ，
令 ,解得
在 上单调递减, 单调递增，
，
，
命题得证.
（2）存在 ,使得 对于 成立,
等价于存在 ,使得 对于 成立，
由于 ,原题意的必要条件是 ,对 都成立
设 ,使得 ,即 ，
在 是减函数,在 是增函数,其中 ,即 ，
，
显然 ,
由上图知, ，
对 都成立的最大整数 是2，
以下证明充分性,当 时,存在 ,使得 恒成立,,由上证明知 存在大于0的正的最小值,
故存在大于0的 ,使得 恒成立，
当 时,设 ,
故对 不恒成立，
存在 ,使得 对于任意的 成立,最大的整数 的值是2.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 在 上恒成立，求整数a的最小值.
【解析】（1）当 时， ，则 ，
令 得 .
若 ，则 ；若 ，则 .
所以 ；
（2）由 ，可得 ，当 时， ，则 ，即 .
当 时，令 ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 ，所以 成立.
因此整数a的最小值为1.
变式12．（2023·上海·高三专题练习） ，对 ， ，求整数 的最
小值．
【解析】当 时， ，此时 不合题意，
当 时， ，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，函数的最大值为 ，
即 满足题意，
下面证明当 时， 对 恒成立，
由于 ，
其对称轴为 ，
故当 时， ，
综上可得，整数 的最小值为1．
