精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_下学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 华东师大二附中 2022 学年第二学期期中考试卷高一数学 一、填空题（每题 4分，共 40分）  a3,4 1. 向量 的单位向量是______. 3 4 【答案】 ,  5 5 【解析】  a  【分析】利用结论：非零向量a的单位向量为  ，可求得结果. a   【详解】因为a3,4，则 a  32 42 5，  a 1 3 4   3,4 , 所以，向量a的单位向量为   . a 5 5 5 3 4 故答案为： , . 5 5 2. 若a  1,k，b  4k,k，当实数k＝______时，a  b  . 【答案】4或0 【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于k的方程求解即可． 【详解】因为a  1,k，b  4k,k，且a  b  ， 所以4kk2 0，解得k 0或k 4， 故答案为：4或0． 3. 函数y sin2x的两条对称轴之间距离的最小值为______. π 【答案】 2 【解析】 【分析】求出函数的对称轴即可求解. π kπ π 【详解】由已知条件得2xkπ+ ，kZ，即x  ，kZ， 2 2 4 因为相邻的两条对称轴之间的距离最小， 第 1 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) π 3π 所以分别令k 0，1得x ，x  ， 4 4 3π π π 即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为   ， 4 4 2 π 故答案为： . 2 1 4. 已知sincos ，则sin2_________ 2 3 【答案】 4 【解析】 【分析】原式两边平方后，即可计算sin2的值. 1 【详解】因为sincos ，两边平方后， 2 1 sincos2 sin2cos22sincos1sin2 ， 4 3 所以sin2 . 4 3 故答案为： 4 4 5. 在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是 ，则底角的余弦值是_________． 5 10 【答案】 10 【解析】  π 【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出sin ，再利用coscos  求解即可. 2  2  4 【详解】设顶角为，底角为，则2π，cos ， 5    π 又  cos12sin2 ,   0, ， 2 2  2 4 1  1cos 5 10 ， sin    2 2 2 10 π  10 coscos   sin  .  2  2 10 10 故答案为： . 10 第 2 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 6. 方程sinxcos2x在区间 0,π 上的解集为______. π 5π 【答案】 ,  6 6  【解析】 【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由sinxcos2x得sinx12sin2 x， 1 即2sin2 xsinx10，解得sinx1或sinx ， 2 π 5π 因为x0,π ，所以x 或 ， 6 6 π 5π 所以方程sinxcos2x在区间 0,π 上的解集为 , , 6 6  π 5π 故答案为： , . 6 6   4  7. 将函数y sin2x的图象向左平移 个单位后得到得到函数图象关于点 ,0 成中心对称，那 4  3  么的最小值为__________．  【答案】 6 【解析】 【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.     【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：y sin  2  x    2cos2x ，   4   4  4  函数图象关于点 ,0 成中心对称，则：2 k kZ，  3  3 2 13 整理可得：k kZ， 6  则当k 2时，有最小值 . 6 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力.  x 8. 函数 y sinx  1tanxtan 的最小正周期为____________．  2 第 3 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】2 【解析】  x 【详解】解析：当x=2k,kZ 时，y sinx  1tanxtan  0，  2  sinx 1cosx  当x2k,kZ 时，y sinx  1   tanx，其中xk 且x2k，  cosx sinx  2 画出图象可得函数周期为2． 故答案为：2. 9. 已知 f x ，gx 都是定义在R上的函数，若hxmf xngx ，其中m，n实数，则称hx 为 f x ，gx 在R上的生成函数.已知m 1，n1， f x sinx ，gx cosx ，则 f x ， gx 在R 上的生成函数hx 的单调增区间为______.  π 【答案】  kπ,kπ  ,kZ  2 【解析】 【分析】求出hx 的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间即可. 【详解】由题意可知hx sinx  cosx ， 则hxπ sinxπ  cosxπ  sinx  cosx hx ， 所以π是函数hx 的周期， 又∵hx sinx  cosx  sinx  cosx hx ， ∴函数hx 为偶函数， π  π 当0 x 时，hx sinx  cosx sinxcosx 2sin  x ， 2  4 第 4 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) π π π 此时函数的单调递增区间为2kπ  x 2kπ ，kZ, 2 4 2 π 3π 解得2kπ  x2kπ ，kZ, 4 4  π 3π  π 当k 0时，单调递增区间为   ,  ，故在  0,  上函数单调递增，  4 4   2 π  π 当  xπ时，hx sinx  cosx sinxcosx 2sin  x ， 2  4 π π 3π 此时函数的单调递减区间为2kπ+  x 2kπ ，kZ， 2 4 2 π 5π 解得2kπ+  x2kπ ，kZ, 4 4 π 5π π  当k 0时，单调递减区间为  ,  ，故在  ,π  上函数单调递减， 4 4  2   π 综上所述，函数的单调递增区间为  kπ,kπ  ,kZ,  2  π 故答案为：  kπ,kπ  ,kZ.  2 10. 已知向量a  ,b  的夹角为锐角，且满足 a  8 、 b   4 ，若对任意的 15 15 (x,y)  (x,y)|xa yb  1,xy 0  ，都有|x y|1成立，则a v b v 的最小值为_______. 8 【答案】 15 【解析】 【详解】分析：设单位向量a,b  的夹角为锐角，由|xa yb  1,xy 0，得2x ycos2 ysin2  15 ， 16 2 1 2cos 由 x y 1得 出 [2x ycos2 ysin2 ][  ]x y2 1， 令 t cos， 得 出   4  2sin  1 2t2 16 +  ，求不等式的解集可得结果. 4 4  1t2 15 详解：设向量a,b  的夹角为锐角，由 xa yb  1，xy 0，得 64 x2  16 y2  64 xycos1，∴ 15 15 15 第 5 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 16  4x2 4xycos y2cos2 y2sin2  1， 15 15 即2x ycos2 ysin2  ；又 x y 1，由柯西不等式得 16 2 1 2cos [2x ycos2 ysin2 ][    ]x y2 1 ； 4  2sin  1 2t2 16 令t cos，则 +  ，化简得64t2 60t110， 4 4  1t2 15 解得 1 t  11 ，所以ab   32 cos 8 ，即ab  的最小值为 8 ，故答案为 8 ． 4 16 15 15 15 15 点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具 有一定难度. 二、选择题（每题只有一个正确答案，每题 4分，共 16分） 11. 已知 ABC，则“sin AcosB”是“ ABC是直角三角形”的（ ）   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】    【分析】若sin AcosB，则AB  或A B ；若A ，则sin AcosB；由充分条件和必 2 2 2 要条件的概念即可得解.   【详解】若sin AcosB，则AB  或A B ，不能推出 ABC是直角三角形；  2 2  若A ，则sin AcosB，所以 ABC是直角三角形不能推出sin AcosB;  2 所以“sin AcosB”是“ ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.  故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 12. 为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )． 197 199 A. 98π B. π C. π D. 100π 2 2 【答案】B 【解析】 第 6 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】试题分析：因为，使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值， 1 197 2 所以，49 ×T≤1，即  ≤1， 4 4  197 所以，ω≥ π，故选B． 2 考点：本题主要考查正弦型函数的图象和性质． 2 点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定 应满足的条件．  π  13. 已知函数 f xsin  x ，其中 x 表示不超过x的最大整数，下列关于 f x 说法正确的是 2  （ ）  1 ① f x 的值域为 1,1 ；② f  x 为奇函数；③ f x 为周期函数，且最小正周期T 4；④ f x  2 与y =x2的图像有且仅有两个公共点. A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可. 【详解】由已知条件得：当1 x0时， x1， f x1； 当0 x1时， x0， f x0；当1 x2时， x1， f x1； 当2 x3时， x2， f x0；当3 x4时， x3， f x1；…； π  π π  π  则 f x4sin  x4  sin  x 4  sin  x   f x ， 2  2 2  2  所以 f x 为周期函数，且最小正周期T 4，即③正确； 由此可知 f x 的值域为 1,0,1 ，即①错误；  1  1  1 若 f  x 为奇函数，则 f  x  f  x ，  2  2  2 1  1 1 1 1 当x 时， f      f 00，f    f 11， 2  2 2 2 2 第 7 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1  1  1  1 故当x 时， f  x  f  x 不成立，故 f  x 不是奇函数，即②错误； 2  2  2  2 在一个周期内作出 f x 的图象，如下图所示， 由图象可知 f x 与y =x2的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点O和点A, 即④正确； 故选：C. 14. 克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦 表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且 仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为2 3 的圆，A120，B45，AB AD，则四边形ABCD的周长为（ ） A. 4 36 2 B. 10 3 C. 4 34 2 D. 4 35 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC，BD．利用正弦定理求出BD6，AC 2 6 ，AB AD2 3，再利用托勒密定理 求出BCCD6 2 ，即得解. 【详解】连接AC，BD． 第 8 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BD AC 由A120，B45及正弦定理，得  4 3， sinBAD sinABC 解得BD6，AC 2 6 ． 在△ABD中，BAD120，AB AD，BD6， 所以AB AD2 3． 因为四边形ABCD内接于半径为2 3的圆， 它的对角互补，所以ACBD ABDC ADBC， 所以12 6 2 3BCCD,所以BCCD6 2 ， 所以四边形ABCD的周长为4 36 2． 故选：A． 三、解答题（共 44分）  2π 15. 已知函数 f x2sin  2x .  3  （1）求 f x 的单调增区间；  2π （2）求函数 f x 在  0, 的值域.  3   7π π  【答案】（1）   kπ, kπ  ,kZ  12 12  （2）2, 3   【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； 第 9 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2π （2）先求出2x 的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 3 【小问1详解】 π 2π π 7π π 由 2kπ2x  2kπ,kZ可得 2kπ2x 2kπ,kZ， 2 3 2 6 6 7π π 所以 kπ x kπ,kZ， 12 12  7π π  所以函数 f(x)单调递增区间为：   kπ, kπ  ,kZ；  12 12  【小问2详解】 2π  2π 2π  令t 2x ，由x  0, 可得t  ,2π ， 3  3   3  2π 3π 3π  又因为函数y sint在  ,  单调递减，在 ,2π单调递增，  3 2   2  3π 2π 3 所以y sint在t  时有最小值-1，又sin  ，sin2π0， 2 3 2 3  2π 所以sint[1, ]，所以函数 f(x)在  0, 上的值域为  2, 3  ． 2  3     16. 已知函数 f(x)2cos  x  ,(0)，若 f(x) f  对任意的实数x都成立．  6  4 （1）求的最小值；   （2）在（1）中值的条件下，若函数g(x) f(kx)1(k 0)的最小正周期为，当x  0,  时，方  3 程g(x)m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 2 【答案】（1） ；（2）m[1 3,3)． 3 【解析】  【分析】（1）根据条件得到 f  为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．  4 （2）根据条件求出g(x)的解析式，在同一坐标系中，作出函数y  g(x)和 y m 的图象，利用数形结合 求解．   【详解】（1）若 f(x) f  对任意的实数x都成立，则 f  为函数的最大值，  4  4 第 10 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )     2 则  2k,kZ，得  2k,kZ，即 8k,kZ， 4 6 4 6 3 2 ∵0，∴当k 0时，取得最小值，最小值为 ； 3 2 2  （2）在（1）中值的条件下 ，则 f(x)2cos  x ， 3 3 6 2  g(x) f(kx)12cos  kx  1,(k 0)， 3 6 2    ∵g(x)的最小正周期为，∴ 2 ，即k 3，则g(x)2cos  2x  1， k  6 3   作出函数y  g(x)  0 x 和 y m 的图象如图：  3        0 x ，则 2x  ，所以0cos  2x  1，则1gx3， 3 6 6 2  6    且g02cos    1 31，  6  由图象知：要使g(x)m恰有两个不同的解，则m[1 3,3)． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象，利用数形结合的方法求解.  17. 如图是函数 f(x) Asin(x),(A0,0,0 )图像的一部分，M、N是它与x轴的两个 2 交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MC的中点， (1)若点M的坐标为（-1，0），求点C、点N和点D的坐标 第 11 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   32 (2)若点M的坐标为（-m,0）（m>0），MCMD 4，试确定函数 f(x)的解析式 4 π 【答案】(1)C(1，2),N(3，0),D(5，2) (2) f(x)2sin(x+ ) 4 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N，D点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可 得C,D坐标，再代入向量数量积坐标公式可得m值，根据点坐标确定周期、振幅以及初始角，即得三角函 数解析式 【详解】(1)设点C(a,b)，由中点坐标公式得 由中点坐标公式可得解得a=1，b=2， ∴点C(1,2)， ∴点N(3,0),点D(5,−2)； (2)同样由E(0,1)是线段MC的中点，得A=2， 由M(−m,0),得C(m,2),D(5m,−2)；   ∴MCMD12m2 4， 32 又MCMD 4， 4  解得m= ； 4 2 由T  8m2，解得ω=1，   ∴φ= ； 4  ∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+ ). 4 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知 识解答问题的能力，属于综合题. 第 12 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 18. 已知常数a0，定义在R上的函数 f xcos2xasinx. （1）当a 4时，求函数y  f x 的最大值，并求出取得最大值时所有x的值； （2）已知常数nN，n1，且函数y  f x 在 0,nπ 内恰有2021个零点，求常数a及n的值. π 【答案】（1）最大值为3，x2kπ ,kZ； 2 （2）a1，n 1347. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简 f x ，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的x值； （2）利用换元法将零点问题转化为y sinx与 y t的交点问题，先分析在一个周期内零点的个数，然后 再分析多周期内零点的临界值即可求解. 【小问1详解】 当a 4时 f xcos2x4sinx 12sin2 x4sinx 32(sinx1)2， π 则当sinx1时， f x 3，此时x2kπ ,kZ， max 2 【小问2详解】 f(x)cos2xasinx12sin2 xasinx， 令t sinx，t[1,1]，则 f(t)2t2 at1， f t0得2t2 at10，a2 80，则方程 f t0有两个不相等的实数根， 1 由韦达定理得tt  ，即两根异号， 1 2 2 ①当两根的绝对值在 0,1 之间，t sinx，t sinx，在区间 0,nπ 上均为偶数根，则不符合题意； 1 2 1 a 1 ②当t 1，t  ，即t t   ，a 1， 1 2 2 1 2 2 2 π 1 7 11 当x[0,2π]，sinx1，即x ，sinx ，即x π， π， 2 2 6 6 所以方程 f(x)0在[0,2π]上有三个根， 因为202136732，所以方程在[0,1346π]上有2019个根， 又因为方程在[1346π,1347π]上有1个根，在[1347π,1348π]上有2个根， 第 13 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以 f x0在 0,nπ （nN）内恰有2021个根是不可能的， 1 a 1 ③当t 1，t  ，即t t   ，a1， 1 2 2 1 2 2 2 3π 1 π 5 当x[0,2π]，sinx1，即x ，sinx ，即x ， π， 2 2 6 6 所以方程 f(x)0在[0,2π]上有三个根， 因为202136732，所以方程在[0,1346π]上有2019个根， 又因为方程在[1346π,1347π]上有2个根，在[1347π,1348π]上有1个根， 所以 f x0在 0,1347π 内恰有2021个根， 故满足题意，此时a1，n 1347. 第 14 页 共 14 页