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重难点突破07 不等式恒成立问题
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1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
4、法则1若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．法则2若函数 和 满足下列条件：（1） 及 ；
（2） ， 和 在 与 上可导，且 ；
（3） ，
那么 = ．
法则3若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一：直接法
例1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)已知函数 在 处的切线与圆 相切，求实数 的值.
(2)已知 时， 恒成立，求实数 的取值范围.【解析】（1）依题意，圆 的圆心为 ，半径为 ，
对函数 求导得 ，则函数 的图象在 处的切线斜率为 ，而
，
于是函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 ，
从而 ，解得 ，
所以实数 的值为2.
（2）设 ，依题意，当 时， 恒成立，
求导得 ，设 ，求导得 ，
当 时，当 时， ，即有 ，
因此函数 ，即 在 上单调递减，于是当 时， ，
则函数 在 上单调递减，从而当 时， ，因此 ，
当 时，当 时， ，则函数 ，即 在 上单调递增，
于是当 时， ，即函数 在 上单调递增，
因此当 时， ，不合题意，
当 时， ，函数 ，即 在 上单调递增，
则当 时， ，即函数 在 上单调递增，
于是当 时， ，不合题意，
所以实数 的取值范围为 .
例2．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论方程 实数解的个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由 可得， ，
令 ，令 ，可得 ，
当 ，函数 单调递减，
当 ，函数 单调递增，所以函数 在 时取得最小值 ，
所以当 时，方程 无实数解，
当 时，方程 有一个实数解，
当 时， ，故 ，
而 ， ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 有两个零点即方程 有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式 可化为， ，
即当 时， 恒成立，
所以 ，即 ，
令 ，
则 在 上单调递增，而 ，
当 即 时， 在 上单调递增，
故 ，
由题设可得 ，
设 ，则该函数在 上为减函数，
而 ，故 .
当 即 时，因为 ，
故 在 上有且只有一个零点 ，
当 时， ，而 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，而 ，故 ，故
因为 ，故 ，故 符合，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
例3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，
所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，
因为 ，所以 ， ，
故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，
则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .变式1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线与曲线 相交于不同的两点 ， ，曲线
在A，B点处的切线交于点 ，求 的值；
(2)当曲线 在 处的切线与曲线 相切时，若 ，
恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．
由已知得 ， ，不妨设 ，
又曲线 在点A处的切线方程为 ，
在点B处的切线方程为 ，
两式相减得 ，
将 ， ，
代入得 ，
化简得 ，
显然 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）当直线 与曲线 相切时，设切点为 ，
则切线方程为 ，将点 代入，解得 ，此时 ， ，
根据题意得， ， ，
即 恒成立．
令 ，则， ，令 ，则 ，
易知 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ．
若 ，则 ，即 在 上单调递增，
则 ，所以 在 上恒成立，符合题意；
若 ，则 ．
又 ，所以存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，即 ，
所以此时存在 ，使得 ，不符合题意．
综上可得，a的取值范围为 ．
题型二：端点恒成立
例4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数
．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 时， ；又 ，则 ，
切线方程为： ，即
（2） ，
则 ，又令 ，
①当 ，即 时， 恒成立，∴ 在区间 上单调递增，
∴ ，∴ ，∴ 在区间 上单调递增，
∴ （不合题意）；
②当 即 时， 在区间 上单调递减，
∴ ，∴ ，∴ 在区间 上单调递减，
∴ （符合题意）；
③当 ，即 时，由 ，
∴ ，使 ，且 时， ，
∴ 在 上单调递增，∴ （不符合题意）；
综上， 的取值范围是 ；
例5．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数 ．(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
(3)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ， ，
， ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，
设 ，则 ，
依题意得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 处取得极大值，符合题意.
综上所述： .
（3）当 时， ， ，
当 时， ,
令 ， ，
则 ，
①当 时， 在 上恒成立，故 在 上为增函数，
所以 ，故 在 上为增函数，
故 ，不合题意.
②当 时，令 ，得 ，
（i）若 ，即 时，在 时， ， 在 上为减函数，
，即 ， 在 上为减函数， ，符合题意；
(ii)若 ，即 时，
当 时， ， 在 上为增函数， ，在 上为增函数， ，不合题意.
综上所述：若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 .
例6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数 与 分别是 与
的导函数.
(1)证明:当 时,方程 在 上有且仅有一个实数根;
(2)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
【解析】（1） ,
当 时, ,
令 ,
令 ,则 ,
显然 在 上是单调递增函数,且 ,
∴ 在 上有唯一零点 ,
且 时, 单调递减,
时, 单调递增,
又 ,
,
∴ 在 上有唯一的根,
∴ 在 上有唯一零点,
即 在 上有且仅有一个实数根.
（2）∵ ,
令 ,则 ,等价于: ,
,
令 ,
则 ,
令 ,
则 ,
故 在 上单调递增, ,
故 即 在 上单调递增, ,
当 时, ,
∴ 在 上单调递增,
∴ ;
当 时, ,取 ,
则 ,
,
∴ ,
∴ ,使得 ,
时, 单调递减,
此时 ,不符合题意.
综上可知: 的取值范围为 .
变式2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 ，函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)记 ，对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.【解析】（1） ，函数定义域为R，
则 且 ，
令 ， ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 的单调递增区间为 ，
， ，所以 的单调递减区间为 .
（2） ， ，
则 ，且 ，
令 ， ，
令 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，
①若 ， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 恒成立.
②若 ， ，
所以存在 ，使 ，
故存在 ，使得 ，
此时 单调递减，即 在 上单调递减，
所以 ，故 在 上单调递减，
所以此时 ，不合题意.
综上， .
实数 的取值范围为 .
变式3．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ．
(1)讨论 在 上的单调性；(2)若对于任意 ，若函数 恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1） ，
，则 ； ，则 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
（2）令 ，有
当 时， ，不满足；
当 时， ，
令 ，
所以 在 恒成立，
则 在 单调递减，
， ，
①当 ，即 时， ，
所以 在 单调递减，
所以 ，满足题意；
②当 ，即 时，
因为 在 单调递减， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，不满足，舍去.
综上： .
变式4．（2023·四川泸州·统考三模）已知函数 ．(1)若 单调递增，求a的取值范围；
(2)若 ， ，求a的取值范围．
【解析】（1）由 ，得 ，
由于 单调递增，则 即 恒成立，
令 ，则 ，
可知 时， ，则 在 上单调递增；
时， ，则 在 上单调递减，
故 时， 取得极大值即最大值 ，
故 ．所以a的取值范围是 ．
（2）由题意 时， 恒成立，即 ；
令 ，原不等式即为 恒成立，
可得 ， ， ，
令 ，则 ，
又设 ，则 ，
则 ， ，可知 在 上单调递增，
若 ，有 ， ，则 ；
若 ，有 ，
则 ，
所以， ， ，则 即 单调递增，
（i）当 即 时， ，则 单调递增，
所以， 恒成立，则 符合题意．
（ii）当 即 时， ，
，
存在 ，使得 ，
当 时， ，则 在 单调递减，
所以 ，与题意不符，综上所述，a的取值范围是 .
题型三：端点不成立
例7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的极值；
(2)当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得： 的定义域为 ，且 ，
①当 时，则 ，可得 ，
所以 在 上单调递减，无极值；
②当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有极大值 ，无小极值；
综上所述：当 时， 无极值；
当 时， 有极大值 ，无极小值.
（2）因为 ，则 ，
构建 ，则 ，
①当 时，则 ，则 ，等号不能同时取到，
所以 在 上单调递减；
②当 时，构建 ，则 ，
因为 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
且 ， ，
故 在 内存在唯一零点 ，
当 时，则 ；当 时，则 ；
即当 时，则 ；当 时，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述： 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，且 ，的图象大致为：
对于函数 ，由（1）可知：
①当 时， 在 上单调递减，
且当 趋近于0时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
即 的值域为R，则 不恒成立，不合题意；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，且当 趋近于0时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
即 的值域 ，
若 恒成立，则 恒成立，
即 ，解得 ；
综上所述：a的取值范围 .
例8．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
综上所述：当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 上为减函数，在
上为增函数.
（2），
设 ，则原不等式恒成立等价于 在 上恒成立，
， 在 上为增函数，
则 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立
令 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，故 .
例9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的最小值．
【解析】（1）由 定义域为
又
令 ，显然 在 单调递减，且 ；
∴当 时， ；
当 时， ．
则 在 单调递增，在 单调递减
（2）法一：∵任意的 ， 恒成立，
∴ 恒成立，即 恒成立
令 ，则 ．
令 ，则 在 上单调递增，∵ ， ．
∴存在 ，使得
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减，
由 ，可得 ，
∴ ，
又
∴ ，故 的最小值是1．
法二：
∴ 恒成立，即 恒成立
令
不妨令 ，显然 在 单调递增 ．
∴ 在 恒成立．
令
∴当 时， ；
当 时， 即 在 单调递增
在 单调递减
∴
∴ ，故 的最小值是1．
变式5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的最小值及取得最小值时的 值；
(2)若函数 对 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，所以 ，令 得 ，
所以，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以，函数 在 处取得最小值， .
（2）因为函数 对 恒成立
所以 对 恒成立，
令 ，则 ，
①当 时， ， 在 上单调递增，
所以，由 可得 ，即满足 对 恒成立；
②当 时，则 ， ， 在 上单调递增，
因为当 趋近于 时， 趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；
③当 时，令 得
令 ， 恒成立，故 在 上单调递增，
因为当 趋近于正无穷时， 趋近于正无穷，当 趋近于 时， 趋近于负无穷，
所以 ，使得 ， ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以，只需 即可；
所以， ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以， ，
综上所解，实数a的取值范围为 ．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，函数 的定义域为 ，
求导得 ，显然函数 在 上单调递增，且 ，
因此当 时, 单调递减，当 时, 单调递增，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2） ，令 ，求导得 ，
当 时, ，则 在 上单调递增， ，满足题意，
当 时，设 ，则 ，因此函数 ，即 在 上单调递增，
而 ，
(i)当 时, 在 上单调递增，
于是 ，满足题意，
(ii)当 ，即 时，对 ，则 在 上单调递减，
此时 ，不合题意，
（iii）当 时，因为 在 上单调递增，
且 ，于是 ，使 ，且当 时, 单调递减，
此时 ，不合题意，
所以实数 的取值范围为 .
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
例10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 的极大值为3，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，由 ，得 ，即 的定义域为 .
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，所以当 时，
在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时， 取得极大值 ，
解得 .
（2）当 时， ，
即 ，所以 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
例11．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数 ， 且 ．
(1)求函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1） ， ，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 时， 时， ，则 在 上单调递减；
时， ，则 在 上单调递增．
（2）方法一： 在 恒成立，则
当 时， ，显然成立，符合题意；当 时，得 恒成立，即
记 ， ， ，
构造函数 ， ，则 ，故 为增函数，则 .
故 对任意 恒成立，则 在 递减，在 递增，所以
∴ ．
方法二： 在 上恒成立，即 ．
记 ， ， ，
当 时， 在 单增，在 单减，则 ，得 ，舍：
当 时， 在 单减，在 单增，在 单减， ， ，
得 ；
当 时， 在 单减，成立；
当 时， 在 单减，在 单增，在 单减， ， ，而
，显然成立．
综上所述， ．
例12．（2023·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 ， ，则 ，
当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增；
当 ，即 时，令 ，解得 ，
+ 0
↗ 极大值 ↘
综上所述，当 是， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.（2） 等价于 ，令 ，
当 时， ，所以 不恒成立，不合题意.
当 时， 等价于 ，
由（1）可知 ，
所以 ，对 有解，所以 对 有解，
因此原命题转化为存在 ，使得 .
令 ， ，则 ，
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， ，故 在 上单调递减，
当 时， ， ，故 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
变式7．（2023·福建三明·高三统考期末）已知函数 ， .
(1)求证： 在 上单调递增；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） ， ， ，
由 ，有 ， ，则 ，又 ，
则 .
当 时， ， ，所以所以当 时， ，综上， 在 上单调递增.
（2） .化简得 .
当 时， ，所以 ，
设 ，
设 ， .
， ， ，
在 上单调递增，
又由 ，所以当 时， ， ，
在 上单调递减；
当 时， ， ， 在 上单调递增，
所以 ，
故 .
变式8．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数 ， 为 的导
函数．
(1)讨论 的极值；
(2)当 时， ，求k的取值范围．
【解析】（1） ，记 ，则 ．
①当 时， ， 在R上单调递减，故 无极值．
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以 在 处取得极大值，且极大值为 ．综上所述，当 时， 无极值；当 时， 的极大值为 ，无极小值．
（2） 可化为 ，
当 时， ，此时可得 ；
当 时，不等式 可化为 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 单调递增，所以当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以函数 在 和 上都为增函数，
取 ，则 ，
设 ，
则当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，
所以当 时， ，
所以 的最小值为 ，即 ，
所以当 和 时， 没有最小值，
但当x趋近－1时， 无限趋近 ，
且 ，又 恒成立，所以 ，所以 ．
综上，k的取值范围为 ．
变式9．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知 ， .
(1)求 的极值；
(2)若 ，求实数k的取值范围.【解析】（1）已知 ，
当 时， 恒成立， 无极值，
当 时， ， 在 上单调递增，在 单调递减，
当 时， 有极大值， ，无极小值，
综上：当 时， 无极值；当 时，极大值为 ，无极小值；
（2）若 ，则 在 时恒成立，
恒成立，令 ，
令 ，则 ，
在 单调递减，又 ，
由零点存在定理知，存在唯一零点 ，使得 ，
即 ，
令 在 上单调递增，
， 即
当 时， 单调递增， 单调递减，
，
，即 的取值范围为 .
变式10．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的极值点个数；
(2)若不等式 在 上恒成立，求 可取的最大整数值.
【解析】（1）已知 ，可得
令 ，则 ，
函数 单调递减，且当 时， ，故函数 先增后减，
当 时， ，
其中 ，∴ ，∴
当 时， ，
∴函数 只有一个零点，∴函数 的极值点个数为1.
（2） 变形，得 ，
整理得 ，
令 ，则 ，∵ ，∴ ，
若 ，则 恒成立，即 在区间 上单调递增，
由 ，∴ ，∴ ，∴ ，此时 可取的最大整数为2，
若 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 在区间 上有最小值， ，
于是问题转化为 成立，求 的最大值，
令 ，则 ，∵当 时， ， 单调递减，
当 时， 单调递增，∴ 在 处取得最大值，
∵ ，∴ ，∵ ， ，
，此时 可取的最大整数为4.
综上， 可取的最大整数为4.
变式11．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）函数 定义域为 ，，
令 ，则 ，
当 ，即 时 ， ，所以 在定义域 上单调递增；
当 ，即 时 恒成立，所以 在定义域上单调递增，
令 ，则 ，即 ，
当 ，即 时解得 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ，即 ，此时 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 ，即 时 恒成立，所以 在定义域上单调递减，
令 ，则 ，即 ，解得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上可得：当 时 在 上单调递增；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增；
当 时 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时 ，即 ，
即 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 ，则 ，
令 ， ，则 ，
因为 ，所以当 时 ，当 时 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 .
题型五：洛必达法则
例13．已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的
切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1) ， ；
函数 在 处取得极值， ；
又 曲线 在点 处的切线与直线 垂直， ；
解得： ；
（2）不等式 恒成立可化为 ，即 ；
当 时，恒成立；当 时， 恒成立，
令 ，则 ；
令 ，则 ；
令 ，则 ；
得 在 是减函数，故 ，进而
（或 ， ，
得 在 是减函数，进而 ）．可得： ，故 ，所以 在 是减函数，
而 要大于等于 在 上的最大值，但当 时， 没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案， ，故答案为 ．
例14．设函数 .当 时， ，求 的取值范围.
【解析】由题设 ，此时 .
①当 时，若 ，则 ， 不成立；
②当 时，当 时， ，即 ；
若 ，则 ；
若 ，则 等价于 ，即 .
记 ，则 .
记 ，则 ， .
因此， 在 上单调递增，且 ，所以 ，
即 在 上单调递增，且 ，所以 .
因此 ，所以 在 上单调递增.
由洛必达法则有 ，
即当 时， ，即有 ，所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
例15．设函数 ．如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
【解析】 ，若 ，则 ；
若 ，则 等价于 ，即
则 .
记 ，
因此，当 时， ， 在 上单调递减，且 ，
故 ，所以 在 上单调递减，
而 .
另一方面，当 时， ，
因此 .
题型六：同构法
例16．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，判断 的零点个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
，定义域为 ，
令 ，可得 ，设 ，则 ，
令 ，得 在 上单调递增；
令 ，得 ，
在 上单调递减，
.当 时， ；
当 时， ，从而可画出 的大致图象，①当 或 时， 没有零点；
②当 或 时， 有一个零点；
③当 时， 有两个零点.
（2）当 时，不等式 恒成立，
可化为 在 上恒成立，
该问题等价于 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
，
即 ，即
①当 时， ，不等式恒成立；
②当 时，令 ，显然 单调递增，
且 ，故存在 ，使得 ，
所以 ，
即 ，而 ，此时不满足 ，
所以实数 不存在.
综上可知，使得 恒成立的实数 的取值范围为 .
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函数 ， .(1)若 在点 处的切线与 在点 处的切线互相平行，求实数a的值；
(2)若对 ， 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）依题意， ， ，
则 ， ，
因为 在点 , 处的切线与 在点 , 处的切线互相平行，
所以 ，又因为 ，所以
（2）由 ，得 ，
即 ，即 ，
设 ，则 ， ，
由 ，设 ，可得 ，
所以 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ,
所以 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，故 ，
所以实数 的取值范围为 ．
例18．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若
， 成立，则实数m的最小值是________．
【答案】 /
【解析】由 得 ，即 ，
令 ，求导得 ，则 在 上单调递增，
显然 ，当 时，恒有 ，即 恒成立，于是当 时， ，有 ，
从而 对 恒成立，即 对 恒成立，
令 ，求导得 ，则当 时， ；当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，则 ，
所以实数m的最小值是 ．
故答案为：
变式12．（2023·广西柳州·统考三模）已知 ， （ ），若 在
上恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
即 在 上恒成立.
易知当 时， .
令函数 ，则 ，函数 在 上单调递增，
故有 ，则 在 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即实数 的最小值为 .
故选：B
变式13．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 极值点的个数；(2)对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， 恒成立，
大致图象如下图所示，
则当 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递减，无极值点；
当 时， 与 有两个不同交点，
此时 有两个变号零点， 有两个极值点；
当 时， 与 有且仅有一个交点，
此时 有且仅有一个变号零点， 有且仅有一个极值点；
综上所述：当 时， 无极值点；当 时， 有两个极值点；当 时， 有且
仅有一个极值点.
（2）由题意知：当 时， 恒成立；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
即 ， ，
又 恒成立， ，即实数 的取值范围为 .变式14．（2023·海南·校考模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，所以
所以 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）由题意得 ，即 ，
因为 ，所以
设 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，即 在区间 上单调递增，又 时，
，又 时， ，所以存在 ，使 ，
令 ，因为 ，
所以当 时， ，即 在区间 上单调递减，
当 时， ，即 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即 ，得到 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，又 ，
所以a的取值范围是 .
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，求a的取值范围．
【解析】（1） ．
当 时，令 ，解得 ，当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增；
当 时， ， 在R上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，所以当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增；
综上，当 时，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，单调递减区间为R，无单调递增区间；
当 时，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）原不等式为 ，即 ．
因为 ，
所以 ．
令 ，则其在区间 上单调递增，取 ，则 ；取 ，则 ，
所以存在唯一 使得 ，
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，即 ， ．
故 ．
故 ，
所以 ．
当且仅当 即 时，等号成立，
故 ，即a的取值范围为 ．变式16．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 ，其中 ， .
(1)当 时，求函数 的零点；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
，
当 时， ，得 恒成立.
即可得 在 上单调递增.
而此时 ，
即可得 在 上仅有1个零点，且该零点为0.
（2）函数 等价于 ，
因 ，所以
得
所以
所以
构造函数 ，上式等价于
函数 在定义域内单调递增，从而可得 成立.
化简可得 等价于 恒成立.
设函数 ，易知 ，
，
当 时，因 ， ，故 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，满足题意，
当 时， 时， ，
此时 在 上单调递减，故当 时 ，不符合题意.
综上可得 的取值范围是 .
变式17．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ,则 ，
所以 ，即在点 处的切线斜率为 .
而 ，所以切点坐标为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，
所以 ，即 ，即 .
令 ，则 .
，所以 在 上单调递增，
所以 恒成立，即 ，即 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
因为 恒成立，所以 ，解得 .
所以实数a的取值范围是 .
题型七：必要性探路
例19．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：(2)当 时，若 ， ，求实数m的取值范围．
【解析】（1） ．
当 时， ，易知f(x)在R上单调递减．
当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 且 ，
∴f(x)在 和 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，令 ，可得 且 ；令 ，可得 ，
∴ 在 和 上单调增，在 上单调递减．
（2）当 时，由 ，得
即 ，
令 ，则
∵ ，且 ，∴存在 ，使得当 时， ，
∴ ，即 ．
下面证明当 时， 对 恒成立．
∵ ，且 ，
∴
设 ，∴ ，可知F(x)在 上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴
综上，实数m的取值范围为 ．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 在 上有且仅有2个零点，求a的取值范围；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．【解析】（1）由已知 ，令 ，又 ，得 ．
由题设可得 ，令 ，其中 ，
则直线 与函数 的图象在 上有两个交点，
因为 ，当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减．
所以函数 的极大值为 ，且 ，
当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
所以函数 在 上有且仅有2个零点，
故实数a的取值范围是 ；
（2）当 时，由已知函数 的定义域为 ，
又 恒成立，即 在 时恒成立，
当 时， 恒成立，即 ，又 ，则 ，
下面证明：当 时， 在 时恒成立.
由（1）得当 时， ，
要证明 ，只需证明对任意的 恒成立，
令 ，则 ，
由 ，得 ，
①当 ，即 时 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
于是 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，
令 ，则 ，则 在 上单调递增．
于是 ，所以 恒成立，
所以 时，不等式 恒成立，因此a的取值范围是 ．例21．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 ）在 处的切线斜率为 .
(1)求a的值；
(2)若 ， ，求实数m的取值范围.
【解析】（1） ，
，
， ， ， .
（2）由（1）可知 ， ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
，且 ， 存在 ，使得当 时， ，
，即 ；
下面证明当 时， ，
，且 ，
，
设 ， ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
；
当 时，令 ，则 ，
设 ，则 ，且为单调递增函数，
由于 ，故 ，仅在 是取等号，
故 在 上单调递增， ，故 ，即 ，
则 在 上单调递增，而 ，
当 时， 递增的幅度远大于 递增的幅度， ，故必存在 ，使得 ，则 时， ，
故 在 上单调递减，则 ，与题意不符；
综上，实数m的取值范围为 .
变式18．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 ，求 的值．
【解析】（1）当 时，
．
因为 ，所以 ．
所以 在区间 上的单调递增．
（2） ，
当 时， ，所以存在 ，当 时，
则 在区间 上单调递减，
所以当 时， ，不满足题意
当 时， ，所以存在 ，当 时，
则 在区间 上单调递增，
所以当 时， ，不满足题意
所以 ．
下面证明 时，
由（1）知， 在区间 上的单调递增，
所以当 时，
所以只要证明 .
令
令 ，
则①当 时， ，得
所以 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增
且 ，
所以 ，使得 .
且当 时， ；当 时，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
且 ，
所以当 时，
所以 在区间 上单调递减，
所以当 时，
②当 时，
因为 ，所以 ，所以
所以 在区间 上单调递减
且
所以 ，使得
当 时， ；当 时，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
且
所以当 时，
综上， 的值为1.
变式19．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ， ，求证： 有且仅有一个零点；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）证明：由题意得，当 时， ，
故 ．
（i）当 时， ，记 ，
则 ， 单调递增， ，
所以 ，即当 时， 无零点．
（ii）当 时， ， ，
即当 时， 无零点．
（iii）当 时， ．
因为 ，所以 ，即 单调递增．
又因为 ， ，
所以当 时， 存在唯一零点．
综上，当 时， 有且仅有一个零点．
（2）易知 ，因此 恒成立，则在0的左侧邻域内， 是减函数，有 ，则
．因为 ，
所以 ，得 是 对任意 成立的必要条件．
下面证明充分性．
当 时， ，等价于 ．
令 ， ，即证 ．
（i）当 时， ， ，
即 成立．
（ii）当 时，记 ，则 ．
由 ，得 ，所以 ，即 单调递增，
，即 ，
，则 ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
因此 是 的最小值，即 ，所以 恒成立，
所以 ．
综上， ．
题型八：max，min函数问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 .
(1)证明：当 时， ；当 时， ；
(2)用 表示 中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 ，若不存在，请说明理由.
【解析】（1） ， .
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 在 上是增函数，
又 ，
所以当 时， ；当 时， .
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）知，当 时， ，
又 ，
所以当 时， 恒成立，
由于当 时， 恒成立，
所以 等价于：当 时， .
.
①若 ，当 时， ，
故 ， 递增，此时 ，不合题意；
②若 ，当 时，由 知，
存在 ，使得 ，根据余弦函数的单调性可知，
在 上递增，故当 ， ， 递增，此时 ，不合题意；
③若 ，当 时，由 知，对任意 ， ， 递减，
此时 ，符合题意.
综上可知：存在实数 满足题意， 的取值范围是 .
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明： ， .
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 在 上是增函数，
又 ，
所以当 时， ；
当 时， .
（2）函数 的定义域为 ，由（1）知，当 时， ，
又 ，
所以当 时， 恒成立，
由于当 时， 恒成立，
所以 等价于：当 时， .
.
①若 ，当 时， ，
故 ， 递增，此时 ，不合题意；
②若 ，当 时，由 知，存在 ，当 ，
， 递增，此时 ，不合题意；
③若 ，当 时，由 知，对任意 ， ， 递减，
此时 ，符合题意.
综上可知：存在实数 满足题意， 的取值范围是 .
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） ， ,
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
当 时， ．
所以当 时， ， 在 上是增函数，
又 ，
所以当 时， ；
当 时， ．
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）得，当 时， ，又 ，
所以当 时， 恒成立．由于当 时， 恒成立，
故 等价于：当 时， 恒成立．
， ．
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ．
从而当 时， ， 单调递增．
①若 ，即 ，则当 时， ， 单调递减，
故当 时， ，不符合题意；
②若 ，即 ，取 ，
则 ，且 ，
故存在唯一 ，满足 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
若 ，则当 时， 单调递增， ，不符合题意；
若 ，则 ，符合题意，此时由 得 ；
若 ，则当 时， 单调递减， ，不符合题意．
综上可知：存在唯一实数 满足题意．
【关键点晴】本题第一小问的关键点在于提公因式讨论，避免二次求导；第二小问首先将将 恒成
立转化为 在 时恒成立，在对 研究时，关键点是 ，再结合 的单调性及零
点存在性定理讨论得到a，有一定难度，特别是书写的规范性.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）证明 恒成立；
（2）用 表示m，n中的最大值.已知函数 ，记函数 ，
若函数 在 上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题得 的定义域为 ，
则 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，记 ，
则 ，.当 时， ； 时， ，
故 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 ，即 恒成立.
（2）由题得 ，
①当 时， ，此时无零点.
②当 时， ，
a.当 ，即 时， 是 的一个零点；
b.当 ，即 时， 不是 的一个零点；.
③当 时， 恒成立，因此只需考虑 在 上的零点情况.
由 ，
a.当 时， ， 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，则 在 上无零点，故 在 上无零点；
当 时， ，则 在 上无零点，故 在 上有1个零点；
当 时，由 ， ，得 在 上仅有一个零点，
故 在 上有2个零点；
所以 ，.
b.当 时，由 得 ，
由 时， ；当 时 ， ，
故 在 上单调递减， 在 上单调递增；
由 ， ，得 在 上仅有一个零点，故 在 上有
2个零点；
所以 ，.
综上所述， 时， 在 上恰有两个零点.
变式21．（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知 是自然对数的底数，函数 ，直线 为曲线 的切线， .
(1)求 的值；
(2)①判断 的零点个数；
②定义 函数 在 上单调递增.求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题意得：
设切线的且点位 ，则可得： ，又
可得 ： ①
又因为直线 为曲线 的切线
故可知 ②
由①②解得：
（2）① 由小问（1）可知：
，
故 必然存在零点 ，且
又因为 ，当 时，
当 时，令
故
故 在 上是减函数
综上分析， 只有一个零点 ，且
② 由 的导数为当 时， 递增，当 时， 递减；
对 的导数 在 时 ， 递增；
设 的交点为 ，由（2）中①可知
当 时，
，
由题意得： 在 时恒成立，即有 ；
在 上最值为
故
当 时，
，
由题意得： 在 时恒成立，即有
令 ，则 可得函数在 递增，在 上递减，即可知在 处取得极小值，且
为最小值 ；
综上所述： ，即 .
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
（1）若 ，证明： 在 上存在唯一零点；
（2）设函数 ，（ 表示 中的较小值），若 ，求 的取值范围.
【解析】(1)函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，而
，所以 在 存在零点.因为 ，
当 时， ，所以 ，则 在 上单调递减，所
以 在 上存在唯一零点.（2）由（1）得， 在 上存在唯一零点 ， 时， 时，
.当 时，由于 ； 时，
，于是 在 单调递增，则 ，所以当 时， .当
时，因为 ， 时， ，则 在 单调递增；
时， ，则 在 单调递减，于是当 时， ，所以函数 的最大值
为 ，所以 的取值范围为 .
题型九：构造函数技巧
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且关于 的不等式 在 上恒成立，其中 是自然对数的底数，求
实数 的取值范围．
【解析】（1）根据题意可知 的定义域为 ，
，令 ，得 ．
当 时， 时， ， 时 ；
当 时， 时， ， 时 ．
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）依题意， ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ．
对于 ， ，故其必有两个零点，且两个零点的积为 ，
则两个零点一正一负，设其正零点为 ，
则 ，即 ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，即 ．
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，故 ，
显然函数 在 上是关于 的单调递增函数，
则 ，
所以实数 的取值范围为 ．
例26．（2023·江苏·统考高考真题）已知关于x的函数 与 在区间D
上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证：
．
【解析】（1）[方法一]:判别式法
由 可得 在R上恒成立，
即 和 ，
从而有 即 ，
所以 ，
因此， ．所以 ．
[方法二]【最优解】：特值+判别式法
由题设有 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，所以 .
因此 即 对任意的 恒成立，所以 ，因此 .
故 .
（2）[方法一]
令 ， .
又 .
若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意.
当 时， ，符合题意.
当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，
即 ，符合题意.
综上所述， .
由
当 ，即 时， 在 为增函数，
因为 ，
故存在 ，使 ，不符合题意.
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：特值辅助法
由已知得 在 内恒成立；
由已知得 ，
令 ，得 ，∴ (*)，
令 ， ，当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递增，∴ ，∴当 时 在 内恒成立；
由 在 内恒成立，由(*)知 ，∴
，∴ ，解得 .∴ 的取值范围是 .
（3）[方法一]：判别式+导数法
因为 对任意 恒成立，
① 对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立.
故 对任意 恒成立.
令 ，
当 ， ，
此时 ，
当 ， ，
但 对任意的 恒成立.
等价于 对任意的 恒成立.
的两根为 ，
则 ，
所以 .
令 ，构造函数 ， ，
所以 时， ， 递减， .
所以 ，即 .
[方法二]：判别式法
由 ，从而对任意的 有 恒成立，等价于对任意的
①，恒成立．
（事实上，直线 为函数 的图像在 处的切线）
同理 对任意的 恒成立，即等价于对任意的
恒成立． ②
当 时，将①式看作一元二次方程，进而有 ，①式的解为 或 （不妨设
）；当 时， ，从而 或 ，又 ，从而 成立；
当 时，由①式得 或 ，又 ，所以
．
当 时，将②式看作一元二次方程，进而有 ．
由 ，得 ，此时②式的解为 不妨设 ，从而
．
综上所述， ．
[方法三]【最优解】：反证法
假设存在 ，使得满足条件的m，n有 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 对恒成立，所以有
．则有
， ③
， ④
解得 ．
由③+④并化简得， ．
因为 在区间 上递增，且 ，
所以， ．
由 对 恒成立，即有 ⑤
对 恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有
．
设 ，则 ，
所以 在区间 上递减，所以 ，即 ．
设不等式⑤的解集为 ，则 ，这与假设矛盾．从而 ．
由 均为偶函数．同样可证 时， 也成立．综上所述， ．
【整体点评】（1）的方法一利用不等式恒成立的意义，结合二次函数的性质，使用判别式得到不等式组，
求解得到；方法二先利用特值求得 的值，然后使用判别式进一步求解，简化了运算，是最优解；（2）中
的方法一利用导数和二次函数的性质，使用分类讨论思想分别求得 的取值范围，然后取交集；方法二先
利用特殊值进行判定得到 ，然后在此基础上，利用导数验证不等式的一侧恒成立，利用二次函数的性
质求得不等式的另一侧也成立的条件，进而得到结论，是最优解；（3）的方法一、方法二中的分解因式
难度较大，方法三使用反证法，推出矛盾，思路清晰，运算简洁，是最优解.
例27．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ， ，
，
的图像在 处的切线方程为 ，即 .
（2）解法一：由题意得，因为函数 ，
故有 ，等价转化为 ，
即 在 时恒成立，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以函数 在 时单调递增，
， ，
，使得 ，
当 时， ，即 单调递减，当 时， ，即 单调递
增，
故 ，
由 ，得
在 中， ，当 时， ，函数 在 上单调递增， ，即 与 ，
，
，即实数 的取值范围为 .
解法二：因为函数 ，
故有 ，等价转化为： ，
构造 ，
，所以可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 成立，令 ，
令 ， 在 单调递增，
又 ，所以存在 ，使得 ，即 ，
可知 ，
当 时，可知 恒成立，即此时不等式成立；
当 时，又因为 ，
所以 ，与不等式矛盾；
综上所述，实数 的取值范围为 .
变式23．（2023·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，
设
又 ，∴ 在 上单调递增，
又 ，∴当 时 ，当 时 ，
∴ 的单调递增区间为 .
（2）对函数 求导得， ，令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
又 ，当 时 ，
故存在唯一正实数 使得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，
由 恒成立，得 ，
由 得 ，∴
∴ ，∴ ，
∴ ，
设 ，则 恒成立，
故 在 上单调递增，而 ，
∴ ，
又 且函数 在 上是增函数，
故 的取值范围为
法2：同法一得 ，
由 得 ，
∴
，当且仅当 时等号成立，
∴ ，
故 的取值范围为
变式24．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)判断 的导函数 的零点个数；
(2)若 ，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得： 的定义域为 ，且 ，
因为 ，则有：当 时， 恒成立， 在 内无零点；
当 时，构建 ，则 恒成立，
则 在 上单调递增，
由于 ，取 ，
则 ，
，
故 在 内有且仅有一个零点，即 在 内有且仅有一个零点；
综上所述：当 时， 在 内无零点；
当 时， 在 内有且仅有一个零点.
（2）由题意可知： ，
由（1）可知： 在 内有且仅有一个零点，设为 ，
可得：当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
因为 ，
则 ，且
可得 ，
整理得 ，
构建 ，
则 ，
对于 ，由 ，可得 ，所以 ，
则 在 上单调递增，且 ，
所以 的解集为 ，
又因为 在定义域内单调递减，
可得 ，所以 ，
故a的取值范围 .
变式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数 ，
（e为自然对数的底数）．
(1)若函数 的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x， 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，所以函数 为增函数，没有最大值；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
所以当 时， ，
解得： .
（2）由 ，得 ，
化简得： ，
所以对于任意正数x，都有 恒成立，
设 ，则 ，
令 ，则 ，可得 为增函数，因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
由 可得， ，两边同时取对数，
得 ，
令 ，显然 为增函数，由 ，
得 ，所以 ，
所以 .
所以 ，即 .
故实数a的取值范围为： .
变式26．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，
若 ，则 ，则 在 上单调递减，无极值；
若 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以
，无极大值；
若 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以，无极小值；
综上所述，若 ， 无极值；
若 ， ，无极大值；
若 ， ，无极小值；
（2） 时， ，所以有 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，转化为 在 上恒成立，
，
当 时 ，所以 在 上单调递增， ，
满足题意；
当 时，令 ， ，
则 ，设 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 在 上恒成立，
所以 即 在 上单调递增，
又因为 ，
当 即 时， ，在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以
在 上恒成立，
当 时， ，
如果 在 上恒成立，则 在 上单调递减，则 无最小值，不符合题意；
如果 有解时，设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，则在时， ，不符合题意；
综上所述， ，即实数 的取值范围是 ．
变式27．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数 的导函数为 .
(1)当 时，求函数 的极值点的个数；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ， ，
令 ，则 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 ， ，
所以 ， ，
所以存在唯一的 ， ，使得 ，
且当 和 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增，
故 在 处取得极小值，在 处取得极大值，即函数 的极值点的个数为2.
（2） ， ，即 恒成立，
即 在 上恒成立.
记 ，
当 时， ，不合题意；
当 时， .
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以 使得 ，即 ，①
故当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，所以 在上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，②
由①式可得 ，所以 ，
代入②式得 ，
因为 ，即 ，
故 ，即 ，
所以当 时， 恒成立，故实数 的取值范围为 .
变式28．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知函数 与 的图象有公切线
.
(1)求实数 和 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的最大值.
【解析】（1）将 代入 ，得 ，
由 ，得 ，所以切线方程为 ，
因为 ，设曲线 与切线相切于点 ，
则 ，所以 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
又因为 ，即 ，即 ，所以 ，
所以 ， .
（2）因为 ，所以，
因为 ，所以 ，
所以 ，仅当 时，等号成立，
令 ，则 ，
因为 ，
所以当 时， 恒成立，
令 ， ，
则 在 上单调递增，
所以 .所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
题型十：双变量最值问题
例28．（2023·江苏·统考模拟预测）已知 ， ，对于 ， 恒
成立，则 的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【答案】C
【解析】因为对于 ， 恒成立，
所以对于 ， 恒成立，
设 ，所以 .
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 没有最大值，所以这种情况不满足已知；
当 时，
当 时， ，函数 单调递增.当 时， ，函数 单调递减.
所以 .
所以 .
所以 .
设 ，
所以 ，
当 时， ，函数 单调递减.
当 时， ，函数 单调递增.
所以 .
所以 的最小值为 .
故选：C
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 ．
（1）当 时，直线 与函数 的图象相切，求 的值；
（2）当 时，若对任意 ，都有 恒成立，求 的最小值．
【解析】（1）当 时，直线 与函数 的图象相切于 ，
因为 ，所以 ，
则 且 ，即 ，解得： .
（2）若对任意 ，都有 恒成立，得 .
假设 ，则当 时， ，
而当 时， .
取 ，则当 时， ，
而 ，矛盾；故 .
当 时，由 ，得 ，即 .
下证： 能取到 .当 时， .
记 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，
所以 ，即 .
所以 .
即对任意 恒成立，
故 的最小值为 .
例30．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数 ， ，其中
(1)若 ，且 的图象与 的图象相切，求 的值；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的最大值.
【解析】(1)因为 的图象与 的图象相切，设切点为 ，
又 ，所以 ，解得 ， .
(2)因为 等价于 ，令 ，
当 时， 对于任意正实数 恒成立， 单调递增，
故由 得 ，此时
当 时，由 ，得 ，
又当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增.
所以当 时， 有最小值 ，
所以 ，即 ，所以 ，令 ，则 ， ，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 ，故 ，所以 的最大值为1，此时 ，
综上所述， 的最大值为1.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中
.( 为自然对数的底数)
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若 时， 在 上恒成立.当 取得最大值时，求 的最小值.
【解析】（1）由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ，
（2） ，
令 ，则 ，所以
， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以
在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，此时 ，
综上， 的最小值为
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的单调区间，
（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意 和正数b恒成立，求 的最小值.
【解析】（1）f′(x)=aex﹣1，
当a≤0时， <0，f(x)在R上单调递减，
若a>0时，令 =aex﹣1=0，x=﹣lna，
在x>﹣lna时， >0，f(x)为增函数，
在x<﹣lna时， <0，f(x)为减函数，
所以，当 时， 的单调减区间为 ，无增区间；
当 时， 的单调减区间为 ，增区间为 .
（2）f(x)=aex﹣x，由题意f(x)min≥b，
由（1）可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，无最小值，不符合题意，
当a>0时，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，
∴ ，
设h(a) ，则 ，
a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)， ≥0，
∴h(a)min=h（1）=1.
所以 的最小值为 .
变式31．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）给定实数 ，函数 ，
（其中 ， ．
(1)求经过点 的曲线 的切线的条数；
(2)若对 ，有 恒成立，求 的最小值．
【解析】（1）因为
，
设切点为 ， ，所以切线方程为： ，
又因为切线过 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 只有一个解为 ，即 只有一个解为 ，
所以切点为 ，
所以 ，
故只有一条切线；
（2）因为 ，
所以 ，
即当 时， 恒成立．
设 ，则 ．
令 ，则 ，△ ，
所以方程有 两异号的根 ， ，
设 ， ，
当 时， ，当 ， 时， ，
所以 在 单调递增，在 ， 单调递增减，且 ；
又因为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ，即 ， 单调增函数；
令 ，即 ， 单调减函数；
所以 的最小值为 ，
于是有： ，
，
所以 的最小值为1．
变式32．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设函数 ， .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 （其中 ）恒成立，求 的最小值 ，并求出 的最大值.
【解析】（1）由于 ，则定义域为 ，
可得： ，
当 时，∵ ，∴ ，故 在区间 上单调递减；
当 时，∵ ，∴由 得 ，由 可得 ，
故 在区间 单调递减，在区间 上单调递增.
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）令 ，则对 ，都有 成立.
因为 ，
所以当 时，函数在 在 上单调递增，
注意到 ，∴这与 恒成立矛盾，不成立；
当 时， 得 ， 得
则 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
∴ .若对 ，都有 成立，则只需 成立，
，
当 时，则 的最小值 ，
∵ ， 得 ， 得 ，
∴函数 在 上递增，在 上递减，∴ ，
即 的最大值为 .
变式33．（2023·高二单元测试）若对于任意正实数 ，都有 ( 为自然对数的底数)成立，
则 的最小值是________.
【答案】0
【解析】因为对于任意正实数 x都有 成立，
不妨将 代入不等式中，得 .
下面证明 时满足题意，
令 ， ，则 .
由 ，得 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 对任意正数x都成立，
即 ， 时满足题意，所以 的最小值为0.
故答案为:0
变式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）设 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的最小值是___________.
【答案】 /
【解析】由题意知，不等式 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
令 ，所以 ，
若 ，则 在 递增，当 时， ，不等式不恒成立，
故 ，当 时， ，当 时， ，所以当 时， 取得最大值 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，当 时 ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值 的最小值是 .
又 ，所求最小值是 .
故答案为：
