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热点 1-2 常用逻辑用语与一元二次不等式恒（能）成立
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见考查真假命题的判断；全称量词、特称量词命题以及命题的否
定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考考查，
常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等交汇，热点是“充要条件”，考生复习时需多注意这方
面。
不等式是高考数学的重要内容。其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何
等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
【题型1 含有一个量词命题的否定】
满分技巧
对全称(存在)量词命题进行否定的方法
全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时：
(1)改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题
的否定．
【例1】（2023·四川成都·统考二模）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】根据全称命题的否定为特称命题知：
命题“ ， ”的否定是“ ， ，”故选：A.
【变式1-1】（2023·山东青岛·高三青岛二中校考期中）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】A
【解析】命题“ ， ”的否定是“ ， ”.故选：A
【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】命题“ ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“ ”的否定为： ．故选：A．
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据全称量词命题： 的否定是特称量词命题： ，
可知命题“ ”的否定为“ ”，故选：B.
【变式1-4】（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知命题 ，则命题 的否定为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为命题 是特称命题，
所以其否定为全称命题，即“ ”，故选：D.
【题型2 根据量词命题的真假求参数】
满分技巧
利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意；
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关
于参数的不等式（组）求参数的取值范围。
【例2】（2023·陕西·校联考模拟预测）命题“ ”是假命题，则 的取值范围是（
）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：命题“ ”为真命题，
则 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .故选：D.
【变式2-1】（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）“若 ， 恒成
立”是真命题，则实数 可能取值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】 ， ，即 恒成立，
，当且仅当 ，即 时等号成立，故 .
对比选项知A满足.故选：A
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“ ， ”是真命题，则实数a的取
值范围为 ．
【答案】
【解析】因为命题“ ， ”是真命题，
当 ，即 时，不等式为 ，显然不满足题意，；
当 ，即 时，所以 ，解得 ．
【变式2-3】（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）设命题 ， ，
若 是假命题，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 是假命题， 是真命题，
， ， ， ，
当 时， ，当且仅当 时，即 时，等号成立，，可取到 ，
， .
【变式2-4】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）若命题 ：“ ，
”是假命题，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为命题 ：“ ， ”是假命题，
所以命题“ ”是真命题，
若 ，即 或 ，
当 时，不等式为 ，恒成立，满足题意；
当 时，不等式为 ，不恒成立，不满足题意；
当 时，则需要满足 ，
即 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 .
【题型3 充分与必要条件的判断】
满分技巧
充分、必要条件的三种判断方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断．
（2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
⇒ ⇒
（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．
这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x
＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
【例3】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知实数a，b满足 ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 得 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，充分性成立；
显然由 ，可得 ，必要性成立，
综上可知，“ ”是“ ”的充要条件.故选：C.【变式3-1】（2023·广东·高三执信中学校联考期中）已知 ， ，则p是q的（
）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，则 ，
可得 ，即 ，
可知由p可以推出q，则p是q的充分条件；
例如 ，可知 ，满足 ，
但不满足 ，可知p不是q的必要条件；
综上所述：p是q的充分不必要条件.故选：B.
【变式3-2】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设 ，则“ ”是“ ”成立的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，得 ；
由 ，可得 ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．故选：A．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设 是两个实数，命题“ 中至少有一个数大于1”的充分条
件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当 时，满足 ，但命题不成立；
对于C，D，当 时，满足 ， ，但命题不成立.故选：B.【变式3-4】（2023·陕西西安·高三校考期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江
海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积
跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选：B.
【题型4 根据充分与必要条件求参数】
满分技巧
根据充分、必要条件求参数的思路方法
根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将
恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式
(组)求出参数的值或取值范围．
【例4】（2023·全国·高三专题练习）若 是 的必要不充分条件，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 是 的必要不充分条件，∴ 是 的真子集，
因此 ，解得 .故选：D.
【变式4-1】（2023·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知不等式 成立的一
个必要不充分条件是 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 等价于 ，即 ，
当 ，不等式为 ，显然不成立；
当 时，不等式解得 ，
当 时，不等式解得 ，
所以 等价于 或 ；因为不等式 成立的一个必要不充分条件是 ，
所以 或 是 的真子集，
则 或 ，解得 或 ，
即实数m的取值范围是 .故选：C．
【变式4-2】（2023·上海松江·高三校考期中）已知 ，且 是 的充分不
必要条件，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，解得 ，设 ， ，
若 是 的充分不必要条件，则 ，
则有 ，且等号不会同时取到，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
【变式4-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）已知 ：“ ”， ：“ ”，若 是 的必
要不充分条件，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对于 ，由 可解得 ，
对于 ，由 可解得 ，
因为 是 的必要不充分条件，所以 解得 ．
故 的取值范围为： .
【变式4-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知集合 ，
函数 的值域为集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求正数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）【解析】（1）因为 ，
所以集合 .
当 时，得 ，解之得 ，所以 ，
所以得 .
（2）由条件知集合 是集合 的真子集，
又因为 ，解之得 ，所以 ，
所以得 或 ，解之得 ，
又因为 ，所以正数 的取值范围为 .
【题型5 一元二次不等式恒成立问题】
满分技巧
1、一元二次不等式在实数集上的恒成立
（1）不等式 对任意实数 恒成立⇔ 或
（2）不等式 对任意实数 恒成立⇔ 或
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若 在集合 中恒成立，即集合 是不等式 的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数 的值域为 ，
则 恒成立⇒ ，即 ； 恒成立⇒ ，即 .
【例5】（2023·全国·高三课时练习）若不等式 对一切实数 都成立，则 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 对一切实数 都成立，
① 时， 恒成立，② 时，则 ，解得 ，
综上可得， .故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知对一切实数x，不等式 恒成立，求实数a
的取值范围．
【答案】
【解析】当 ，即 时，原不等式为 ，显然对一切实数x不恒成立，不满足题意；
当 ，即 时，则 ，解得 ．
所以实数a的取值范围为 ．
【变式5-2】（2023·上海黄浦·高三向明中学校考期中）若对任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，整理得 ，
所以原题意等价于对任意的 ，不等式 恒成立，
又因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 .故选：A.
【变式5-3】（2023·河南信阳·高三信阳实验中学校考阶段练习）设函数 ，若对于
， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
故 在 时恒成立，
设 ， 其对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 的最大值为 ，故 ，故选：B
【变式5-4】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知关于x的不等式 在
上恒成立，则a的最小值为 .
【答案】
【解析】由不等式 在 上恒成立，
得 在 上恒成立，所以 ，
所以 在 上恒成立，
又 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 ，故a的最小值为 .
【题型6 一元二次不等式能成立问题】
满分技巧
不等式能成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
（1）若存在 ， 有解⇒ ；
若对任意 ， 无解⇒ .
（2）若存在 ， 有解⇒ ；
若对任意 ， 无解⇒ .
【例6】（2023·山东泰安·高三校考阶段练习）若不等式 有解，则实数 的取值范围为（
）
A． 或 B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 有解，即不等式 有解，
因此 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或 .故选：A
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 在区间 上有解，则实数m
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】易知 恒成立，即 有两个不等实数根 ，
又 ，即二次函数 有两个异号零点，
所以要满足不等式 在区间 上有解，
所以只需 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 ．故选A．
【变式6-2】（2023·四川成都·玉林中学校考模拟预测）若不等式 在 上有解，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于 的不等式 在区间 上有解，
所以 在区间 上有解，
设 ， ，其中 在区间 上单调递减，
所以 有最小值为 ，
所以实数 的取值范围是 ．故选：C．
【变式6-3】（2023·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考期中）（多选）若关于 的不等式
在区间 内有解，则实数 的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【解析】不等式 在区间 内有解，仅需 即可，
令 ，因为 的对称轴为 ， ， ，
所以 ，所以 .故选：AB
【变式6-4】（2023·湖北随州·高三曾都区第一中学校考开学考试）设 ，则关于
的不等式 有解的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】D【解析】由关于 的不等式 有解，得 ，解得 或 .
则 或 ，故只有D选项符合必要不充分条件.故选：D.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·河南南阳·高三统考期中）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】命题“ ， ”的否定为“ ， ”.故选：A
2．（2023·四川成都·统考二模）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】命题“ ， ”的否定是“ ， ”.故选：A.
3．（2023·黑龙江·高三哈尔滨第六中学校校考期中）若 ，则“ ”是复数“ ”
为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，则 为纯虚数；
若 为纯虚数， ，则有 ，解得 .
所以，当 时，“ ”是复数“ ”为纯虚数的充要条件.故选：C
4．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 可得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选：C
5．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知向量 ， 是非零向量，设甲：向量 ， 共线；乙：关于x的方
程 有实数根；则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】关于x的方程 有实数根，则 ，
故 ，即 ，又 ，所以 ，即向量 ， 共线，反之也成立，
因此两者应为充要条件．故选：C．
6．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国
四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，
东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备
军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东
风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】易知：“东风”是“打败曹操”的必要不充分条件.故选：B
7．（2023·江苏盐城·高三统考期中）数列 满足 ， ，则“ ”是“ 为单调递增数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A
8．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知 ，那么“ 是正整数”是“ 为正整数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】当 是正整数时，设 ，
而 ，因为 ，所以 不一定是正整数，因此由 是正整数不一定能推出 为正整数；
当 是正整数时，设 ，
而 ，因为 ，所以 一定是正整数，因此由 是正整数一定能推出 为正整数，
因此“ 是正整数”是“ 为正整数”的必要不充分条件，故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述，不等式 恒成立时， ，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是 .故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【解析】构造如下图形：图①， ，而 ，则A错；
图②， ，当 时， ，C错；
由图③，在正方体中，两侧面 与 相交于 ，都与底面 垂直， 内的直线 ，
但 与 不垂直，故D错.
对于B选项，由于 ， ，所以 ，
由于 ，所以 ，所以B选项正确.故选：B
11．（2023·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）“ ”是“函数 在区间
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题设易知 ，且 ，设 ，
则函数 开口向上且对称轴为 ，
所以 在 上单调递增， 为增函数，所以 ．
要使 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 ，要使 对 恒成立，
分离参数 可得， ，因为 ，当且仅当 时取等号，
但 ，所以 所以 ．
综上， ．
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件，故选：A．
12．（2023·辽宁大连·高三育明高中校考期中）下列命题错误的是（ ）A．已知非零向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．已知 ， 是实数，则“ ”的一个必要不充分条件是“ ”
C．命题“ ， ”的否定为“ ， ”
D．若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是
【答案】B
【解析】对于A，若 ，则 ，所以 ，不能推出 ，
反之 时，推出 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，正确；
对于B， 等价于 ，即 ， 等价于 ，
所以 成立，则 一定成立，
反之 成立， 不一定成立，
从而“ ”的一个充分不必要条件是“ ”，正确；
对于C，全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“ ， ”的否定为“ ， ”，正确；
对于D，命题“ ， ”是真命题，则 恒成立，
即 ，即实数 的取值范围为 ，正确，故选：B
13．（2023·北京·高三景山学校校考开学考试）使得命题“ ”为真命题的k的取值
范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知关于 的不等式 的解集为 ，
当 时， 恒成立；
当 时，则满足 ，解得 ，
综上 ，故选：B
14．（2023·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知不等式 的解集为 ，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由不等式 的解集为 ，
则 ，解得： .故选：D
15．（2023·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）若命题“， ”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由命题“ ”为假命题，可得命题“ ”为真命题，
即对任意的 ，不等式 恒成立，
则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .故选：A.
16．（2023·山东潍坊·高三统考期中）若“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，只需 的最小值小于 即可，
由于 的最小值为 ，故 .故选：D
17．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当 时，不等式： 恒成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，由 得 ，
因 ，故 ，当且仅当 即 时等号成立，
因当 时， 恒成立，得 ，故选：C
18．（2023·江西·高三南昌二中校考开学考试）若不等式 对任意实数x均成立，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，不等式 对任意实数x均成立，
即不等式 恒成立，
当 时，不等式可化为 恒成立，
当 时， ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 .故选：B
19．（2023·四川乐山·高二校考期中）若 ， 为假命题，则 的取值范围为
.
【答案】
【解析】因为 ， 为假命题，故 ， 为真命题，
故 ，解得 ，
即 的取值范围为
20．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取
值范围是 .
【答案】
【解析】 “ ”为假命题即为 “ ”为真命题,
则 在区间 上有解,
设 ，
函数 的对称轴为 ，且 ,
当 时函数 取得最大值为 . ．
