第12练导数的综合问题（解析版）-2023年高考一轮复习精讲精练必备_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

第 12 练 导数的综合问题 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、单选题 1．若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 , 当 时， ，当 时， ， 的递减区间是 ，递增区间是 ， 所以 取得极小值，也是最小值， ， 不等式 对任意实数x都成立， 所以 . 故选:D. 2．函数 在区间(0,1)内的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 3．已知函数 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设 当 时，所以当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减 时， 取得极大值 当 趋向于 ， 趋向于 当 时， ， 单调递增 依题意可知，直线 与 的图象有两个不同的交点 如图所示， 的取值范围为 故选：B 4．若关于x的不等式 在 上恒成立，则实数a的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 依题意， ， 则 （*）． 令 ，则（*）式即为 ．又 在 上恒成立， 故只需 在 上单调递增， 则 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，解得 ． 故选：D. 5．已知函数 在 上有零点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由函数 存在零点，则 有解， 设 ， 则 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 则 时 取得最小值，且 ， 所以m的取值范围是 ． 故选：C 6．若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 存在 ，不等式 成立， 则 ， 能成立， 即对于 ， 成立， 令 ， ，则 ，令 ， 所以当 ， 单调递增， 当 ， 单调递减， 又 ，所以f(x)>−3， 所以 . 故选：C 7．已知函数 若关于x的方程 有三个实数解， 则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 等价于 ， 函数 的图象如图，因为 的图象与 有且仅有一个交点， 即 有两个实数解，所以 ， 故选:B. 8．若函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：依题意，当 时， 恒成立，令 ， ，则 ，又 ， ∴ 在 上单调递减， ∴ ，即 故选：D． 二、多选题 9．已知函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，则实数a的取 值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】 因为函数 ，满足对任意的 ， 恒成立， 当 时， 恒成立，即 恒成立， 因为 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 . 当 时， 恒成立. 当 时， 恒成立，即 恒成立， 设 ， ， ， ， 为减函数， ， ， 为增函数， 所以 ，所以 ， 综上所述： . 故选：ABC 10．已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可 以为（ ） A．－1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【详解】，设 则在 上， 与 有相同的零点. 故函数 在区间 内没有零点,即 在区间 内没有零点 当 时， 在区间 上恒成立,则 在区间 上单调递增. 所以 ，显然 在区间 内没有零点. 当 时, 令 ，得 ，令 ，得 所以 在区间 上单调递减增.在区间 上单调递增. 所以 设 ，则 所以 在 上单调递减,且 所以存在 ，使得 要使得 在区间 内没有零点，则 所以 综上所述，满足条件的 的范围是 由选项可知：选项ABC可使得 在区间 内没有零点，即满足题意. 故选：ABC 11．若存在正实数x，y，使得等式 成立，其中e为自然对数 的底数，则a的取值可能是（ ） A． B． C． D．2 【答案】ACD 【详解】 解：由题意， 不等于 ，由 ，得 ， 令 ，则 ， 设 ，则 ，因为函数 在 上单词递增，且 ， 所以当 时， ，当 时， ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 从而 ， 即 ，解得 或 . 故 . 故选：ACD. 12．已知函数 （ ， 且 ），则（ ） A．当 时， 恒成立 B．当 时， 有且仅有一个零点 C．当 时， 有两个零点 D．存在 ，使得 存在三个极值点 【答案】ABC 【详解】 对于A选项，当 时， ，即 ，设 ， 则 ，故当 时， ，当 时， ， 所以 ，故A正确； 对于B选项，当 时， 单调递减，且当 时， ， ，因此 只有一个零点，故B正确； 对于C选项， ，即 ，当 时，由A选项可 知， ， 因此 有两个零点，即 有两个零点，故C正确； 对于D选项， ，令 ，得 ，两边同时取对数可 得， ，设 ，则 ，令 ，得 ，则 在 上单调递减，在上单调递增，因此 最多有两个零点，所以 最多有两个极值点，故D 错误. 故选：ABC. 三、填空题 13．已知 是 上的偶函数，当 时， ，且 对 恒成立，则实数 的取值范围是___________. 【答案】 【详解】 ， 故 为增函数，当 时， ，可得 为增函数. 又 为偶函数，故 ， 恒成立. 因为 ， ， 所以有 ， 故答案为： 14．已知函数 两个不同的零点，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】 令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， 在 上恒成立， 递减，不可能有两个零点， 当 时，存在 使得 ，即 ， 当 时， ，当 时， ，若 两个不同的零点，即 有两个零点， 则 ，即 ， 解得 ， 故答案为： 15．已知函数 ， ，若函数 只有唯一零点，则 实数a的取值范围是________. 【答案】 【详解】 令 ，得 ， 则 当 时，令 ，所以 ， 则 在 单调递减， 所以函数 与 的图象， 由图象可知，当 ，即 时，图象有1个交点，即 存在1个零点. 故答案为： 16．已知函数 ，若对任意正数 ，当 时，都有 成立，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】 由 得， 令 ，∴ ∴ 在 单调递增， 又∵ ∴ ，在 上恒成立，即 令 ，则 ∴ 在 单调递减，又因为 ， ∴ ． 故答案为： . 四、解答题 17．已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围． 【详解】 解：（1）由已知定义域为 ， 当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增； 当 ，即 时， （舍）或 ，所以 在 上单调递 减，在 上单调递增. 所以 时， 在 上单调递增； 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，若 对任意的恒成立，只需 ，而 恒成立，所以 成立； 当 时，若 ，即 ，则 在 上单调递增，又 ，所以 成立； 若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，所以 ， ，不满足 对任意的 恒成立. 所以综上所述： . 18．已知函数 ． （1）若 ，求函数 在区间 上的最大值； （2）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【详解】 解：（1）当 时， ，所以 ，令 ， 解得 或 ，令 ，解得 ，所以 在 和 上单调递增， 在 上单调递减，所以当 时， 取得极大值为 ，当 时 ， 所以函数 在区间 上的最大值为 ； （2）由 ，所以 ， 当 时 所以函数在定义域上单调递增，则 只有一个零点，故舍去； 所以 ，令 得 或 ， 函数 有三个零点，等价于 的图象与 轴有三个交点，函数的极值点为 ， ， 当 时，令 得 或 ，所以函数在 和 上单调递增， 令 得 ，所以函数在 上单调递减，所以函数在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，解得 ； 当 时，令 得 或 ，所以函数在 和 上单调递增，令 得 ，所以函数在 上单调递减，所以函数在 处取得极小值 ，所以 的图象与 轴不可能有三个交点； 综上可得 ，即 19．已知函数 . (1)若 在 上为单调函数，求实数a的取值范围； (2)记 的两个极值点为 ， ，求证： . 【解析】 (1) 的定义域为 ， ，又 单调， ∴ 对 恒成立，即 ( )恒成立， 而 ，当且仅当 时取等号， ∴ . (2) 由（1）知： ， 是 的两个根，则 ， ，且 ， ∴ ，故 ， ，而 ， ∴ ，得证.