5.4函数的极值与最值（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_导数知识点+题型分类_单独的原卷版+解析版

5.4 函数的极值与最值
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：导数的极值................................................................... 2
考点二：函数的最大（小）值....................................................... 3
考点三：函数的最值与极值的关系..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求函数极值与极值点....................................................... 3
题型二：已知极值（点）求参数.................................................... 4
题型三：导函数图象与极值的关系..................................................5
题型四：求函数的最值（不含参）..................................................7
题型五：求函数的最值（含参）.................................................... 9
题型六：根据函数的最值求参数...................................................10
题型七：函数的极值与最值综合应用.............................................12
模块三：综合巩固....................................................................... 15
5.4 函数的极值与最值
模块一：基础知识
考点一：导数的极值
1.极值的概念：极大值与极小值统称为极值
（1）函数的极大值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，
都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y 极大值＝f(x0)，x0是极大值点．
（2）函数的极小值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，
都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y 极小值＝f(x0)，x0是极小值点．
2.极值与导数的关系
如图（1），若x0是极大值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)>0，在x0的右侧附近f(x)
只能是减函数，即f′(x)<0.
如图（2），若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)<0；在x0的右侧附近f(x)
只能是增函数，即f′(x)>0.
综合以上情形，可以得到：
若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．
若f′(x)在x0的两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；
若f′(x)在x0的两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．
【注意】（1）可导函数的极值点．必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点．
即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．
不可导的点可能是极值点也可能不是极值点．
例如：①导数为0 的点是极值点：y＝x
2，y′|x＝0＝0，x＝0 是极值点．
②导数为0 的点不是极值点：y＝x
3，y′|x＝0＝0，x＝0 不是极值点．
③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0 不可导，但x＝0 是极值点．
（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区
间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，
点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值．
（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
（5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有
极值．
3.利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数f′(x)；
（2）求方程f′(x)＝0 的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化．
①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
②如果由负变正，则f(x0)是极小值．
③如果在f′(x)＝0 的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．
考点二：函数的最大（小）值
一般地，如果在区间[ , ]
a b 上函数

y
f x

的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数

f x 在[ , ]
a b 上连续，在( , )
a b 内可导，求

f x 在[ , ]
a b 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求

f x 在( , )
a b 内的极值；
（2）将函数

f x 的各极值与端点处的函数值
( )
f a ，
( )
f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
考点三：函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[ , ]
a b 的整体而言；
（2）在函数的定义区间[ , ]
a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数

f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
模块二：题型分类
题型一：求函数极值与极值点
1.函数
3
2
2
y
x
x



的极值情况是（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
2.设函数

2
2ln
f x
x
x


，则（
）
A．
e
x为极大值点
B．
1
x 为极大值点
C．
1
x 为极小值点
D．无极值点
3.求下列函数的极值.
（1）
3
2
( )
3
9
5
f x
x
x
x



；
（2）
ln
( )
x
f x
x

.
4.已知函数

ln
f
x
x
x

．
(1)求曲线

y
f x

在点



1,
1
f
处的切线方程；
(2)求

f
x 的单调区间和极值．
5.若函数

3
1
4
3
f x
x
bx



，
2
x 
为函数

f
x 的极值点.
(1)求b 的值；
(2)求函数的极值.
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
题型二：已知极值（点）求参数
1.已知函数

3
2
2
3
f x
x
mx
nx
m




在=
1
x 处有极值0，则实数m
n

的值为（
）
A．4
B．4 或11
C．9
D．11
2.已知函数

3
2
f x
x
ax
x
b



在
1
x 处取得极值5，则a b
（
B0-A4-60-28-3B-3D）
A．7

B．3

C．3
D．7
3.已知函数

3
3
1
f x
ax
x


的极小值为1
，则

a
（
B0-A4-60-28-3B-3D）
A．1

B．2

C．1
D．2
4.已知函数



2
f
x
x x
m


在
1
x 处有极大值，则m 的值为（
B0-A4-60-28-3B-3D）
A．1
B．2
C．3
D．1 或3
5.若函数

4
f x
x
x


与函数
e


x
g x
a
x有相等的极小值，则实数

a
（
）
A．1
2
B．
3e
C．2
D．
2
1
e
6.已知

ex
f x
x

在区间

2
,6
m
m

上有极小值，则实数m 的取值范围是（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．

, 5

B．

2, 5

C．

2, 5


D．

5,1

7.已知函数
( )
e
3
ax
f x
x


有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．
1
3
a 
B．
1
3
a 
C．
3
a 
D．
3
a 
8.设函数

2
1
e
(
)(
R)
2
x
f
x
a
x
x a




有两个极值点
1
2
,
x x ，则实数a 的取值范围是（
B0-A4-60-28-3B-3D）
A．

e,
B．

2e ,
C．

e,
D．

1,e
9.已知函数



3
2
6
1
f x
x
mx
m
x




既存在极大值，又存在极小值，则实数m 的取值范围是（
）
A．(
)
1,2
-
B．



, 3
6,



C．

3,6

D．


, 1
2,



10.若函数
( )
ex
f x
ax
b



在R 上有小于0 的极值点，则实数a 的取值范围为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289
.
11.函数

ln
1
x
f x
ax
b


在
1
x 处取得极值0，则a
b

（
）
A．0
B．1
2
C．1
D．2
12.已知函数

3
2
2
3
f x
x
ax
bx
a




在= 1
x 时有极值0，求常数a ，b 的值.
题型三：导函数图象与极值的关系
1.如图是导函数

y
f
x


的图象，则下列说法不正确的是（
）
A．函数

y
f x

在区间

1,3 上单调递减
B．函数

y
f x

在区间

0,1 上单调递减
C．函数

y
f x

在
1
x 处取得极大值
D．函数

y
f x

在
2
x 处取得极小值
2.如图是函数

y
f x

的导函数

f
x

的图象，则下面判断正确的是（
）
A．在区间

2,1

上

f x 是增函数
B．在

1,3 上

f x 是减函数
C．当
4
x 
时，

f x 取极大值
D．在

4,5 上

f x 是增函数
3.（多选）函数

f x 的导函数

y
f
x


的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．函数

f x 在区间

2
4
,
x x
上单调递减
B．
6
x
x

是函数

f x 的极小值点
C．函数

f x 在
4
x
x

处取得极小值
D．函数

f x 在
2
x
x

处取得极大值
4.（多选）已知定义域为R 的函数
( )
f x ，且函数
( )
f
x
y
x


的图象如图，则下列结论中正确的是（
）
A．
( 1)
(1)
0
f
f





B．函数
( )
f x 在区间(
, 1)

上单调递减
C．当= 1
x 时，函数
( )
f x 取得极小值
D．当
1
x 时，函数
( )
f x 取得极小值
5.（多选）如图所示是

y
f x

的导数

y
f
x


的图象，下列结论中正确的有（
）．
A．

f
x 的单调递增区间是



1,2
4,



B．= 1
x 是

f
x 的极小值点
C．

f
x 在区间

2,4 上单调递减，在区间(
)
1,2
-
上单调递增
D．
2
x 
是

f
x 的极小值点
6.已知函数

3
2
f x
ax
bx
cx



，其导函数

y
f
x


的图象经过点

1,0 ，

2,0 ，如图所示，则下列说法
中正确结论的序号为
．
①当
3
2
x 
时函数取得极小值；
②

f
x 有两个极值点；
③当
2
x 
时函数取得极小值；
④当
1
x 时函数取得极大值．
题型四：求函数的最值（不含参）
1.求下列函数的最值．
（1）
3
]
( )
2
12 ,
,3
[ 2
f x
x
x x




；
（2）
]
1
( )
sin
[
,
0,2π
2
f x
x
x x



.
2.函数

2
3
27ln
2
f x
x
x


在区间

1,2 上的最大值是（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．3
2
3.已知函数


2
( )
3
1 ex
f x
x
x



．
(1)求曲线

y
f x

在



0,
0
f
处的切线方程；
(2)求

f
x 在区间

2,0

上的最大值和最小值．
4.设函数

3
4ln
f
x
x
x
x



．
（1）求

f x 的单调区间；
（2）求

f x 在1,e
e





上的最大值与最小值．
5.已知函数


2
3 ex
f
x
x


.
（1）求函数

f x 的单调区间；
（2）求

f x 在

1,2

上的最值.
6.函数

e
1
x
f x
x


在区间

1,1

上的最大值是
.
7.函数
( )
2
sin
f x
x
x


在区间

0,π 上的（
）
A．最小值为0，最大值为π+1
B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π+1，最大值为2π
D．最小值为0，最大值为2
8.设函数( )
2
1
1 ln
2
f
x
x
x
=
+ -
.
（1）求
( )
f x 的单调区间;
（2）求函数
( )
( )
2
g x
f x
x


在区间1 ,3
2






上的最大值和最小值.
9.已知函数



3
2
3
2
1
2
2
a
f
x
x
x
ax




．
（1）当
2
a 时，求

f x 极值：
（2）当


0,2
a
时，求函数

f x 在

2 ,a a

上的最大值．
10.已知函数

2
2ln
f x
x
ax
b



在
1
x 处取得极值1.
(1)求a 、b 的值；
(2)求

f
x 在
1
e ,e




上的最大值和最小值.
题型五：求函数的最值（含参）
1.设函数
( )
e x
f x
ax


(1)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在
0
x 
处的切线方程；
(2)当
2
a 
时，求证：
( )
0
f x 
(3)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在[0,1] 上的最小值
2.已知函数

3
2
f
x
x
ax


，求函数

f
x 在区间

0,2 上的最大值．
3.已知函数
( )
ln
2
f x
x
x
x


，求：
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)求函数
( )
f x 在[1, ]
a 的最小值.
4.已知函数



3
2
2
3
1
f x
x
ax
a



R ．
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)当a<0 时，求

f
x 在区间

0,2 上的最小值．
题型六：根据函数的最值求参数
1.函数
3
( )
3
f x
x
x
a



，
[ 2,0]
x
的最小值为1，则实数a 的值为（
）
A．1
B．4

C．3
D．1

2.函数



3
3
,
0,2
f x
x
x
a x




的最大值为1，则实数a 的值为（
）
A．1
B．4

C．3
D．1

3.已知函数
( )
ln
(
R)
f x
a
x
x a



在区间(e,
)
内有最值，则实数a 的取值范围是（
）
A．(e,
)

B．e ,
2







C．(
,e]

D．(
, e)

4.已知函数
3
2
( )
6
9
f x
x
x
x



．
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若
( )
f x 在区间[1,
]
m 上的最小值为0 ，求m 的取值范围.
5.已知函数

3
f x
x
ax
b



，且满足

f
x 的导数

y
f
x


的最小值为
3
4

.
(1)求a 值；
(2)若函数

y
f x

在区间

1,2

上的最大值与最小值的和为7，求b 值.
6.已知函数

ln
a
f
x
x
x


，a R ．
(1)当
2
a 
时，求曲线

y
f x

在点



1,
1
f
处的切线方程；
(2)若函数

f
x 在

1,e 上的最小值是3
2 ，求a 的值．
7.若函数

2e x
f x
x

在区间1 ,
4 a






上的最小值为2e，则a 的取值范围是（
）
A．1
1
4
2
a


B．
1
2
a 
C．1
1
2
a
≤
≤
D．
1
a 
8.已知函数

3
1
4
4
3
f x
x
x



．
（1）求曲线

y
f x

在点(3,1)处的切线方程；
（2）若

f x 在区间

,
5
a a 
上既有最大值又有最小值，求a 的取值范围．
题型七：函数的极值与最值综合应用
1.已知函数
( )
ln (
R)
x
a
f x
x a
x




.
（1）讨论
( )
f x 的极值；
（2）求
( )
f x 在1 ,e
e






上的最大值( )
g a .
2.已知函数



2
1
2
2ln
2
f
x
ax
a x
x




，
（1）当
0
a 
，求曲线

y
f x

在



1,
1
f
处的切线方程；
（2）若a<0，证明：

6
4
f x
a


．
3.已知有数
2
ln
1
f x
ax
x


．
（1）若
1
2
a 
，判断

f x 的单调性；
（2）若

f x 在

1,e 上有零点，求实数a 的取值范围．
4.设a 为实数，函数

3
2
3
f x
x
x
a



，
ln
g x
x
x

.
（1）求

f x 的极值；
（2）对于


1
1,3
x

，
2
1,e
e
x







，都有



1
2
f x
g x

，试求实数a 的取值范围.
5.已知函数

ex
f x
kx


，xR ，k 为常数，e 是自然对数的底数．
（1）当
e

k
时，求

f x 的极值；
（2）若
0
k 
，且对于任意
0
x 
，

0
f x 
恒成立，试确定实数k 的取值范围．
6.已知函数
( )
ln
2(
0)
f x
x
ax
a




，若
( )
f x 的最大值为2.
（1）求a 的值；
（2）若
( )
f x
bx

在[1,
)
上恒成立，求b 的取值范围.
7.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x
kx



．
（1）讨论
( )
f x 的单调性；
（2）若对于任意正实数x，不等式
2
( )
(ln
1)
f x
x
x


恒成立，求实数k 的取值范围．
8.已知函数


1 ex
f x
a
ax



，其中
0
a 
．
（1）讨论

f x 的单调性；
（2）若
0
x 
，

2
1
f x
x
x


，求实数a 的取值范围．
9.已知函数

ln
2
f
x
x
mx



．
（1）求

f x 的极值；
（2）若

f x 在区间
2
1 ,e
e





有2 个零点，求m 的取值范围．
模块三：综合巩固
1．已知函数

f
x ，其导函数

f
x

的图象如图所示，则（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．

f
x 有2 个极值点
B．

f
x 在
1
x 处取得极小值
C．

f
x 有极大值，没有极小值
D．

f
x 在

,1

上单调递减
2．设函数



1
ln
0
3
f
x
x
x x



，则

y
f x

（
）
A．在区间1 ,1
e





递减
B．在区间

0,3 上递增
C．在点
3
x 
处有极大值
D．在区间

3,上递减
3．若函数

3
2
3
f x
ax
x
b



在
2
x 
处取得极值1，则a
b

（
）
A．-4
B．-3
C．-2
D．2
4．已知函数
( )
(ln
1)
(
)
f x
a
x
x a



R 在区间(e,
)
内有最值，则实数a 的取值范围是（
）
A．(e,
)

B．e ,
2







C．(
,e]

D．(
, e)

5．已知函数

2
1,
2
3,
x
x
a
f x
ax
x
x
a








，若
( )
f x 有且只有1 个极值点，则a 的取值范围是（
）
A．(
,0)

B．(0,1]
C．(0,
)

D．[1,
)

6．若函数
3
2
( )
f x
x
x
a



在[ 1,1]

上的最小值是1，则实数a 的值是（
）
A．1
B．3
C．31
27
D．1

7．已知直线y
ax
b


与曲线


ln e
y
x

相切，则a
b

的最小值为（
）
A．
1
2
B．1
C．
2
D．
3
8．当
2
x 
时，函数

3
2
12
f x
x
bx
x



取得极值，则

f
x 在区间

4,4

上的最大值为（
）
A．8
B．12
C．16
D．32
9．(多选)已知函数

3
2
1
2
2
3
3
f x
x
x
ax



，若函数

f
x 在

0,2 上有极值，则实数a 可以为（
）
A．0
B．1
C．3
2
D．2
10．(多选)若函数

e
2
3



x
f x
x
，则（
）
A．函数

f
x 只有极大值没有极小值
B．函数

f
x 只有最大值没有最小值
C．函数

f
x 只有极小值没有极大值
D．函数

f
x 只有最小值没有最大值
11．已知



3
2
3
,
f x
x
ax
bx
a b




R 的两个极值点分别为1
，2，则函数

f
x 在区间

2 2
, 上的最大
值为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 ．
12．若函数
3
2
( )
2
3
2
f x
x
ax
x



在
1
x 处取得极小值，则函数
( )
f x 的极大值为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 ．
13．已知函数

3
f x
ax
bx


在
1
x 处有极值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数

f
x 在区间

2,3

上的最值.
14．设函数
3
2
1
( 1)
( )
2
(1)
3
4
f
f x
x
x
x
f





，
(1)求
( 1)
f ¢ -
、
(1)
f
的值；
(2)求
( )
f x 在[0,2] 上的最值．
15.已知函数



2
ln
,
,
1
x
f
x
a
x
x
a
b a b
a






R
，e是自然对数的底数.
(1)当
e
a ，
4
b 
时，求整数k 的值，使得函数

f
x 在区间

,
1
k k 
上存在零点；
(2)若


1,1
x
，且
0
b 
，求



2
ln
,
,
1
x
f
x
a
x
x
a
b a b
a






R
的最小值和最大值.
16.已知函数



2
1
log
1
log e
2
a
a
f
x
x
x
x




，
1
a ．
(1)当
e
a 时，求曲线

y
f x

在
1
x 处的切线方程；
(2)若
1
x 为

f
x 的极小值点，求a 的取值范围．
17.已知

2
ln
f x
x
ax
x



，
R
a 
．
(1)若函数

f
x 在1 ,1
2





上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)令

2
g x
x
f x


，


0,e
x
（e 是自然对数的底数）.求当实数a 等于多少时，可以使函数
g x 取得
最小值为3？