6.2 排列与排列数
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：排列概念......................................................................2
考点二：排列数....................................................................... 2
考点三：排列数公式................................................................... 2
考点四：阶乘............................................................................2
考点五：排列的常见类型与处理方法...............................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：排列的概念与定义.......................................................... 3
题型二：排列的列举问题............................................................. 4
题型三：排列数基础运算............................................................. 6
题型四：排列数方程和不等式问题..................................................8
题型五：排列的证明问题........................................................... 10
题型六：全排列问题................................................................. 11
题型七：元素有限制的排列问题...................................................13
题型八：相邻问题的排列问题......................................................16
题型九：不相邻的排列问题........................................................ 19
题型十：其他的排列模型........................................................... 22
题型十一：相邻与不相邻排列综合................................................23
题型十二：数字排列问题........................................................... 26
题型十三：排列的综合问题........................................................ 27
模块三：综合巩固....................................................................... 31
6.2 排列与排列数
模块一：基础知识
考点一：排列概念
1.排列的定义：
从�个不同元素中，任取�(�≤�)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从�
不同元素中取出�个元素的一个排列.
2.要点诠释:
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n 个不同元素中取出m 个元素后，再安排这m 个
元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
考点二：排列数
1.排列数的定义：
从�个不同元素中，任取�(�≤�)个元素的所有排列的个数叫做从�个元素中取出�元素的排列数，用符
号��
�表示.
2.要点诠释:
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，
按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
考点三：排列数公式
1.��
�= ��−1
�−2 ⋯�−�+ 1
(�, �∈�∗, �≤�).
2.要点诠释:第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是�−�+ 1，共有�个因
数.
考点四：阶乘
1．阶乘的概念：�!表示正整数1 到�的连乘积，叫做�的阶乘．规定0 ! = 1．
2.排列数公式的阶乘式：��
�= ��−1
�−2 ⋯�−�+ 1 =
�!
�−�! .
考点五：排列的常见类型与处理方法
1.相邻元素捆绑法
2.相离问题插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
模块二：题型分类
题型一：排列的概念与定义
1.下面问题中，是排列问题的是（
）
A．由1，2，3 三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40 人中选5 人组成篮球队
C．从100 人中选2 人抽样调查
D．从1，2，3，4，5 中选2 个数组成集合
【答案】A
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A 中，由1，2，3 三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B 中，从40 人中选5 人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C 中，从100 人中选2 人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D 中，从1，2，3，4，5 中选2 个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
2.下列问题是排列问题的是（
）
A．从10 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5 个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4 四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
【答案】B
【分析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决.
【详解】选项A：从10 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，选出的2 人并未排序，
因而不是排列问题，不合题意；
选项B：10 个人互相通信一次，选出2 人要分出寄信人和收信人，
是排列问题，适合题意；
选项C：平面上有5 个点，任意三点不共线，从中任选2 个点
即可确定1 条直线，这2 个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意；
选项D：从1，2，3，4 四个数字中，任选两个数字相加即得1 个结果，
这2 个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.
故选：B．
3.下列问题是排列问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022 个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A 中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B 中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C 中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D 中，选出的2 名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2 种
不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
4.下列问题属于排列问题的是（
）
①从10 个人中选2 人分别去种树和扫地；
②从10 个人中选2 人去扫地；
③从班上30 名男生中选出5 人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8 中任取两个不同的数作幂运算.
A．①④
B．①②
C．④
D．①③④
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合排列的定义，即可求解．
【详解】解：①选出的2 人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列，
②选出的2 人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列，
③5 人一组无顺序，故不属于排列，
④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列，
综上所述，属于排列的为①④．
故选：A．
题型二：排列的列举问题
1.写出从a、b、c、d 四个元素中任取两个不同元素的所有排列．
【答案】所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．
【详解】先画出下面的树形图：
于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．
2.请列出下列排列：
(1)从4 个不同元素a b c d
, ,
,
中任取3 个元素的所有排列；
(2)从7 个不同元素, , , , ,
,
a b c d e f g 中任取2 个元素的所有排列．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）根据题意，从4 个不同元素a b c d
, ,
,
中任取3 个元素的所有排列共有如下24 种：
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb.
（2）从7 个不同元素, , , , ,
,
a b c d e f g 中任取2 个元素的所有排列共有如下42 种：
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
ab ac ad ae af ag ba bc bd be bf bg ca cb cd ce cf cg
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
da db dc de df dg ea eb ec ed ef eg fa fb fc fd fe fg
,
,
,
,
,
ga gb gc gd ge gf .
3.北京、广州、南京、天津4 个城市相互通航，应该有
种机票．
【答案】12
【详解】列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，
南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12 种,
故答案为：12
4.从0，1，2，3 这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？
并写出这些三位数．
【答案】18 个，答案见解析.
【详解】画出树形图，如图：
由树形图知，符合条件的三位数共有18 个，
它们是102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，
321.
5.写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
【答案】(1)12；
(2)24 个，答案见解析.
【详解】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12 个不同的两
位数.
（2）画出树状图，如图：
由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，
2431，
3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24 个没有重复数字
的四位数.
题型三：排列数基础运算
1.
3
9
A 等于（
）
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
【答案】C
【分析】根据排列数的计算公式即可求出结果.
【详解】根据排列数的计算公式可得
3
9
9 8 7
A ，
故选：C.
2.89 90 91
100
可以表示为(
)．
A．
10
100
A
B．
11
100
A
C．
12
100
A
D．
13
100
A
【答案】C
【分析】根据排列数的计算公式
1
2 · ·
1
m
n
A
n
n
n
n
m
＝
＋即可判断﹒
【详解】89 90 91
100
＝
12
100
A
，
故选：C﹒
3.若
3
2
6
5
A
!A
m
，则m （
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可
【详解】由
3
2
6
5
A
!A
m
，则
!
6
m
，故
3
m
．
故选：D
4.
6
5
7
6
4
5
A
A
A
＝
．
【答案】36
【分析】根据排列数的计算算出答案即可.
【详解】
4
4
5
6
5
7
6
4
4
5
5
5
7 6
6
=
=36
A
A
A
A
A
A
故答案为：36
5.
10
8
7
10
8
7
A
89A
8A
．
【答案】0
【分析】根据排列数的定义计算．
【详解】
10
8
7
10
8
7
A
89A
8A
10! 89 8! 8!
8! 8!
0
.
故答案为：0.
6.计算：
2
5
A
3!
（
）
A．30
B．60
C．90
D．120
【答案】D
【分析】根据排列数公式计算可得结果.
【详解】
2
5
A
3!
5!
3!
5!
5 4 3 2 1
120
5
2 !
.
故选：D
7.
6
5
4
6
5
4
A
6A
5A
.
【答案】120
【详解】由
6
5
4
6
6
5
5
6
5
4
6
6
5
5
A
6A
5A
A
A
A
A
5 4 3 2 1 120
.
故答案为：120
8.
(
2)(
3)(
4)
(
15)
N ,
15
x
x
x
x
x
x
可表示为（
）
A．
13
2
Ax
B．
14
2
Ax
C．
13
15
Ax
D．
14
15
A x
【答案】B
【详解】
2
3
4
15
16
2 1
2
3
4
15
16
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14
2
2 !
2 !
A
16
2
14 !
x
x
x
x
x
！
，
故选：B.
9.（多选）下列等式正确的是（
）
A．
!
A
!
m
n
n
n
m
B．
14
16
30
30
A
A
C．
1
1
A
A
m
m
n
n
n
D．
7
6
20
20
A
20A
【答案】AC
【详解】
1
2 1
!
A
1
2
1
2 1
!
m
n
n
n
n
n n
n
n
m
n
m
n
m
，故A 正确；
由上述可知
14
16
30
30
30!
30!
A
,A
16!
14!
，因此
14
16
30
30
A
A
，故B 错误；
1
1
1 !
!
A
A
!
1
1 !
m
m
n
n
n
n
n
n
n
m
n
m
，故C 正确；
由上述可知
7
6
20
19
A
20A
，故D 错误.
故选:AC.
10.
1998
1999
2023
2024
N,
2024
n
n
n
n
n
n
可表示为（
）
A．
27
1998
An
B．
26
1998
An
C．
27
2024
An
D．
26
2024
An
【答案】A
【详解】
1998
1999
2023
2024
n
n
n
n
中
总共有
1998
2024
1
27
n
n
个数连乘，
故
27
1998
1998
1999
2023
2024
An
n
n
n
n
.
故选：A
题型四：排列数方程和不等式问题
【例题】已知
2
2
1
A
A
10
n
n
，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据排列数的计算公式，进行计算即可.
【详解】
2
2
1
A
A
(
1)
(
1)
10
n
n
n n
n n
，
化简得2
10
n
，所以
5
n
.
故选：B
1.若
3
3
2
A
10A
n
n
，则n （
）
A．1
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.
【详解】由已知，
3
n
.
因为
3
2
A
2
2
1 2
2
4
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
，
3
A
1
2
n
n n
n
.
则由
3
3
2
A
10A
n
n
可得，
4
2
1
1
10
1
2
n
n
n
n n
n
，
整理可得4
2
5
10
n
n
，解得
8
n .
故选：D.
2.求不等式
2
9
9
A
6A
x
x
的解集．
【答案】{3,4,5,6,7}
【详解】由题设
9!
9!
6
(9
)!
(11
)!
x
x
，则
6
1
(11
)(10
)
x
x
，
所以
2
21
104
(
8)(
13)
0
x
x
x
x
，
又
0
9
0
2
9
x
x
且
*
N
x
，则2
9
x
且
*
N
x
，
所以2
8
x
且
*
N
x
，则解集为{3,4,5,6,7}.
3.解不等式：
2
8
8
A
6A
x
x
【答案】6
【详解】由原不等式得
8!
8!
6
[8
(
2)]!
(8
)!
2
8
x
x
x
且
*
N
x
，
所以
(8
)(7
)
6
6
x
x
x
，即
2
15
50
0
6
x
x
x
，解得5
6
x
且
*
N
x
，
所以
6
x
.
4.不等式
3
2
A
3A
x
x
x
的解集是（
）
A．
3
x x
B．
4,
N
x x
x
C．
3
4
x
x
D．
3,
N
x x
x
【答案】D
【分析】根据排列数公式计算即可.
【详解】由
3
2
A
3A
x
x
x
，
得
1
2
3
1
3
N
x x x
x
x x
x
x
，解得
3,
N
x
x
，
所以不等式
3
2
A
3A
x
x
x
的解集是
3,
N
x x
x
.
故选：D.
5.不等式
2
8
8
A
6
A
x
x
的解集为（
）
A．
2 8,
B．
7,12
C．{ 7
12,
}
x
x
x
N
∣
D．
8
【答案】D
【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.
【详解】因为
2
8
8
A
6
A
x
x
，
所以
8
8!
6
(8
)!
(10
)!
x
x
！
，
所以(10
)(9
)
6
x
x
，
所以(
7)(
12)
0
x
x
，又2
8
x
，xN，
所以
8
x
，
所以不等式
2
8
8
A
6
A
x
x
的解集为
8 ，
故选：D.
题型五：排列的证明问题
1.求证：
1
1
A
A
2
m
m
n
n
n
n
m
．
【答案】证明见解析
【分析】根据排列数公式可得
【详解】
1
1
1 !
1 !
!
A
A
2
!
!
1
1 !
m
m
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m
n
m
n
m
n
m
，
．
2.求证：
(1)
2
2
3
3
A
A
A
n
n
n
n
n
n ；
(2)
1
1
A
A
A
m
m
m
n
n
n
m
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】分别利用排列数定义和性质直接证明（1）、（2）.
【详解】（1）左边
2
!
3
!
3
!
3
!
2
!
3
!
2
!
3
2
!
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
右边．
（2）左边
1 !
1 !
!
1
!
!
1
!
!
1
!
1
!
n
n
n
n
m
n
m
n
n
m
n
m
n
m
n
m
右边．
3.（1）求证：
1 !
!
!
n
n
n n
；
（2）求证：
1
1
1 !
!
1 !
n
n
n
n
；
（3）求和：
1
2
3
2!
3!
4!
1 !
n
n
L
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
1
1
1 !
n
.
【分析】按照阶乘的定义即可求解.
【详解】（1）证明：
1 !
!
1
!
!
!
n
n
n
n
n
n n
．
（2）证明：
1 !
!
!
1
1
1 !
1 !
!
1 !
!
!
1 !
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
．
（3）由（2）知
1
1
1 !
!
1 !
n
n
n
n
，
所以
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2!
3!
4!
1 !
1
2!
2!
3!
3!
4!
!
1 !
1
n
n
n
n
n
L
L
；
综上，
1
2
3
1
1
2!
3!
4!
1 !
1 !
n
n
n
L
.
题型六：全排列问题
1.A，B，C 三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（
）
A．3 种
B．4 种
C．6 种
D．12 种
【答案】C
【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.
【详解】由题意所有排列的方法种数为
3
3
A
3 2 1
6
，
故答案为：C
2.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（
）
A．24 种
B．23 种
C．12 种
D．11 种
【答案】B
【分析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案.
【详解】“word”一共有4 个不同的字母，
这4 个字母全排列有
4
4
A
24
种方法，
其中正确的有1种，所以错误的有24
1
23
种.
故选：B
3.5 月12 日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲
座，还要到3 个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（
）
A．3
B．
33
C．9
D．6
【答案】D
【详解】要到3 个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为
3
3
A
3 2 1
6
，
故选：D.
4.8 个完全相同的球放入编号1，2，3 的三个空盒中，要求放入后3 个盒子不空且数量均不同，则有
种
放法.
【答案】12
【详解】共两类分组方法：将8 个完全相同的小球分为1，2，5 三堆或1，3，4 三堆.
每类都将三堆不同个数的球放入编号1，2，3 的三个空盒中，有
3
3
A 种方法，
故共有
3
3
2A
12
种方法.
故答案为：12.
5.将4 名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4 个项目进行培训（每个
项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1 个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方
案共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．18 种
D．48 种
【答案】C
【分析】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配
方案数.
【详解】由题意，4 名志愿者任意分配共有
4
4
A
24
种分法，
若志愿者小王去文艺文化项目，其它3 名任意分配有
3
3
A
6
种分法，
所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有24
6
18
种.
故选：C
6.今年中秋和国庆共有连续8 天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任
选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2 天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方
法数为
．
【答案】18
【详解】三人值班的天数分别为3、3 、2 ，先确定值班2 天的人，有3种选择，
再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为
3
3
3P
18
种.
故答案为：18.
题型七：元素有限制的排列问题
1.4 个人排成一排，则甲不站两边的站法有（
）
A．8
B．10
C．12
D．24
【答案】C
【详解】甲不站两边的有
1
3
2
3
A
A
2 3 2 1 12
种方法，
故选：C
2.某班派遣
,
,
,
,
A B C D E 五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多
有两位同学去，且
,
A B 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有
种.
【答案】18
【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，
由于
,
A B 两位同学去同一个街道，故先从3 个街道中选择1 个安排
,
A B ，有
1
3
C 种，
再将剩余3 人分别两组，和两个街道进行全排列，有
2
2
3
2
C A
6
故不同的派遣方法有
18
6
3
种.
故答案为：18
3.某生产过程有4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6 名工人中安排4 人分别照看
一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人，则
不同的安排方案有
种．
【答案】36
【详解】由于甲、乙、丙比较特殊，因此可以将他们先安排，以他们照看第一、四道工序分类讨论．
①当甲照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4 个人选择2 个照看中间两道工序，于是有
2
4
A
12
（种）；
②当乙照看第一道工序、甲照看第四道工序时，剩下4 个人选择2 个照看中间两道工序，于是有
2
4
A
12
（种）；
③当乙照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4 个人选择2 个照看中间两道工序，于是有
2
4
A
12
（种）．
综上所述，不同的安排方案一共有12 12 12
36
（种）．
故答案为：36.
4.从
, ,
A B C 等7 人中选5 人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）
(1)若A 必须在内，有多少种排法？
(2)若
, ,
A B C 都在内，且
,
A B 必须相邻，C 与
,
A B 都不相邻，有多少种排法？
【答案】(1)1800
(2)144
【详解】（1）解：根据题意，若A 必须在内，在其余6 人中选出4 人，再与A 全排列，
共有
4
5
6
5
C A
1800
种排法.
（2）解：根据题意，先在其他4 人中选出2 人，有
2
4
C
6
种选法，
将
,
A B 看成一个整体，与选出2 人全排列，有
3
2
3
2
A A
12
种选法，
排好后，有2 个空位可用，在其中选出1 个，安排C ，有2 种情况，
所以，共有6 12
2
144
种不同的排法.
5.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必
须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（
）
A．360
B．480
C．600
D．720
【答案】B
【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有
6
6
A
720
种不同的排法，
其中甲、乙、丙三人的全排列有
3
3
A
6
种不同的排法，
其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4 种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为
4
720
480
6
种.
故选：B.
6.电视台连续播放6 个广告，其中包含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首位必须播放公
益广告，则共有
种不同的播放方式（结果用数值表示）.
【答案】240
【详解】因为首位必须播放公益广告，所以共有
1
5
2
5
A A
2 120
240
种，
故答案为：240 .
7.老师和学生共10 人一起照相，其中1 名老师、4 名女生、5 名男生，排成一行，要求男生、女生必须分
性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有
种．
【答案】5760
【详解】要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法，
把男生和女生分别看成一个大元素进行处理．男生站在一起看成一个大元素，
女生站在一起看成一个大元素，老师不站在两端，共有
2
2
A 种排列．
但4 名女生、5 名男生本身还有排列顺序要求．所以共有
2
4
5
2
4
5
A A A
5760
种站队方式．
故答案为：5760
8.从7 名运动员中选4 名组成接力队参加4×100 米接力赛．问：甲、乙两人都不跑中间两棒的排法有多少
种？
【答案】400
【详解】第一步中间位置除了甲乙还有5 人，5 个选2 个全排列跑中间两棒，有
2
5
A
20
种；
第二步确定首尾的人选，还剩下5 个人，选2 个全排列，有
2
5
A
20
种．
两步相乘，共有20 20
400
种．
9.甲、乙、丙等6 人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2 人，则不同排法共有（
）
A．108 种
B．96 种
C．84 种
D．72 种
【答案】B
【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，
然后根据分类加法计数原理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有2 人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位，
当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2 位，甲不在两端，
第一步先排末位有
1
3
A 种，第二步将甲和中间人排入有
3
3
A 种，第三步排乙丙有
2
2
A 种，
由分步乘法计数原理可得有
1
3
2
3
3
2
A A A
36
种；
当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2 位，甲不在两端，
第一步先排两端有
2
3
A 种，第二步将甲和中间人排入有
2
2
A 种，第三步排乙丙有
2
2
A 种，
由分步乘法计数原理可得有
2
2
2
3
2
2
A A A
24
种；
乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2 位，甲不在两端，
第一步先排首位有
1
3
A 种，第二步将甲和中间人排入有
3
3
A 种，第三步排乙丙有
2
2
A 种，
由分步乘法计数原理可得有
1
3
2
3
3
2
A A A
36
种；
由分类加法计数原理可知，一共有36
24
36
96
种排法.
故选：B.
10.某单位党员到社区做志愿服务，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D 四个社区做志愿者．每
人安排1 个社区，每个社区安排1 人，则甲没被安排到D 社区的概率为（
）
A．1
24
B．1
6
C．3
4
D．1
4
【答案】C
【分析】根据排列数分别求甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D 四个社区以及甲没被安排到D 社区
的排列方法，结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D 四个社区，共有
4
4
A
24
种不同安排方
法，
若甲没被安排到D 社区，共有
1
3
3
3
A A
18
种不同安排方法，
所以甲没被安排到D 社区的概率为18
3
24
4
.
故选：C.
11.某5 位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3 位同学要加入，若保持原来5 位同学的相对顺序不
变，且甲､乙2 位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（
）
A．360 种
B．144 种
C．180 种
D．192 种
【答案】D
【分析】按丙是否在甲､乙中间分两种情况；当丙不在甲乙中间时，利用插空法和分步乘法计数原理可计
算；当丙在甲乙中间时，利用捆绑法、插空法及分步乘法计数原理可计算；最后利用分类加法计数原理即
可求解.
【详解】分两种情况：
当丙不在甲､乙中间时，先加入甲，有
1
6
A 种方法，再加入乙，有
1
5
A 种方法，最后加入丙，有
1
6
A 种方法，
此时不同的加入方法共有
1
1
1
6
5
6
A A A
180
种；
当丙在甲､乙中间时，共有
2
1
2
6
A A
12
种方法.
故不同的加入方法共有180
12
192
种.
故选：D
题型八：相邻问题的排列问题
1. A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻，那么排法种数共有（
）
A．24
B．120
C．48
D．60
【答案】C
【分析】利用捆绑法以及分步计数原理求解.
【详解】将A ，B 看成一体，A ，B 的排列方法有
2
2
A 种方法，然后将A 和B 当成一个整体与其他三个人一
共4 个元素进行全排列，即不同的排列方式有
4
4
A ，根据分步计数原理可知排法种数为
2
4
2
4
A A
48
，
故选：C .
2.第19 届亚运会于2023 年9 月28 日至10 月8 日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”
的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6
个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2 个，现将这6 个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉
祥物相邻，则排法种数共为（
）
A．48
B．24
C．12
D．6
【答案】A
【分析】根据相邻元素采用捆绑法可得结果.
【详解】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有
3
3
A 种排法，
相邻元素内部再排共有
2
2
2
2
2
2
A
A
A
种排法，
故共有
3
3
2
3
2
A
A
48
种排法，
故选：A．
3.2023 年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成
一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不
同的站法共有（
）种．
A．144
B．72
C．36
D．24
【答案】A
【分析】利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可.
【详解】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有
3
3
A
种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有
2
4
A 种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的
具体排法有
2
2
A 种方法，故不同的站法有
3
2
2
3
4
2
A A A
144
种.
故选：A.
4.2023 年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3 名运动员与4 名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排
在两端，则不同的排法种数有（
）
A．720
B．960
C．1120
D．1440
【答案】B
【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7 个元素变为6 个元素，
先排除去丙的5 个元素，共有
5
5
A
120
种排法，
再在中间的4 个空隙中，插入丙，共有
1
4
C
4
种插法，
所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有
2
2
120
4
A
960
种.
故选：B.
5.8 名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A 不站在前排，D 不站在后排，E 和F 左右相邻，
则不同的排列方式共有（
）
A．1152 种
B．1728 种
C．2304 种
D．2880 种
【答案】C
【详解】由题意可知：D 站在前排，A 站在后排，
若E 和F 站在前排，则不同的排列方式共有
1
2
3
4
4
2
3
4
C
A
A
A
1152
；
若E 和F 站在后排，则不同的排列方式共有
1
2
3
4
4
2
3
4
C
A
A
A
1152
；
所以不同的排列方式共有1152
2
2304
种.
故选：C.
6.现有A ，B ，C ，D ，E 五人排成一列，其中A 与B 相邻，C 不排在两边，则共有
种不同的排法
（用具体数字作答）.
【答案】24
【详解】法一：将AB 捆绑，则除C 以外其他四人的排序有
3
2
3
2
A
A
12
种，又C 不排在两边，
所以C 可选的位置有
1
2
A
2
两种，所以共12
2
24
种排法；
法二：将AB 捆绑，若C 的位置任意，则五人的排序有
4
2
4
2
A
A
48
种，
其中C 排在两边的情况有
1
3
2
2
3
2
A
A
A
24
种，
所以C 不排在两边的情况有48
24
24
种；
故答案为：24 .
7.一排有6 个插座，只有三个通电，那么恰有两个不通电的相邻的情况有（
）
A．10 种
B．12 种
C．72 种
D．144 种
【答案】B
【详解】三个通电的放好，有四个空，两个相邻的不通电的捆绑在一起算一个元素，
另一个不通电算一个元素，插入两个空，有顺序，所以
2
4
A
12
种.
故选：B
8.某人将斐波那契数列的前6 项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可
以设置的不同数字密码有（
）
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
【答案】A
【详解】将两个1 捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有
5
5
A
120
种.
故选：A
9.每年5 月初，高三的同学们都要拍毕业照，留下高中生活的美好见证.某班同学集体合影后有4 位同学邀
请两位老师合影留念.若6 人站成一排，两位老师站在中间位置，甲乙两位同学站在一起，则不同的站位方
法有
种.（用数字作答）
【答案】16
【详解】两位老师站在中间位置，有
2
2
A 种方法，
甲乙两位同学站在两位老师的左侧或右侧，另两位同学在另一侧，有
2
2
2
2
2A A 种方法，
则不同的站位方法有
2
2
2
2
2
2
2A A A
16
种.
故答案为：16.
题型九：不相邻的排列问题
1. A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（
）
A．72
B．36
C．18
D．64
【答案】A
【详解】解：先将其余三人全排列，共有
3
3
A 种情况，
再将A 和B 插空，共有
2
4
A 种情况，
所以共有
2
3
4
3
A A
12 6
72
种情况，
故选：A.
2.（多选）5 人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（
）
A．
3
2
3
4
A A
B．
5
4
5
4
A
2A
C．84
D．
5
5
1 A
2
【答案】AB
【详解】先除去甲、乙两人，将剩下的3 人全排，共
3
3
A
3 2 1
6
种不同的排法，
再将甲、乙两人从产生的4 个空中选2 个插入共
2
4
A
12
种不同的排法，
所以5 人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，不同的排法种数是
2
3
3
4
A
6
2
A
12
7
；
5 人并排站成一行有
5
5
A
5 4 3 2 1
120
种不同的排法，
若甲、乙两个人相邻，利用捆绑法，有
4
4
2A
2
4 3 2 1
48
种不同的排法，
所以5 人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是
5
4
5
4
2
A
2
7
A
.
故选：AB．
3.老师排练节目需要4 个男生和2 个女生，将这六名学生随机排成一排，2 个女生不相邻的排法
为
.
【答案】480
【详解】若2 个女生不相邻，先排4 个男生有
4
4
A 种排法，4 个男生产生5 个空，
将2 个女生插人5 个空中有
2
5
A 种排法，故有
4
2
4
5
480
A A
种排法，
故答案为：480
4.某班联欢会原定3 个节目已排成节目单，开演前又增加了2 个节目，现将这2 个新节目插人节目单中，
要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（）
A．6
B．12
C．20
D．72
【答案】B
【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解.
【详解】这2 个新节目插入节目单中且不相邻，则在原定3 个节目已排成节目单产生的4 个空位中，
选2 个位置安排2 个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有
2
4
A
12
种插法.
故选：B
5.“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花
房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6 色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝
牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（
）
A．24 种
B．20 种
C．12 种
D．22 种
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理，排列应用问题列式计算即得.
【详解】求不同的种植方法需要两步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共
2
2
A
2
（种）方法；
第二步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，与红牡丹、黄牡丹一起排在黑牡丹与紫牡丹中间，
共
2
3
2
3
A A
12
（种）方法，其中，白牡丹与黑牡丹不相邻的排法有12
2
10
（种），
所以不同的种植方法共有2 10
20
（种）．
另解：求不同的种植方法需要3 步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共
2
2
A
2
（种）方法；
第二步：在黑牡丹和紫牡丹中间种植红牡丹和黄牡丹，共
2
2
A
2
（种）方法；
第三步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，在红牡丹和黄牡丹的前、中、后三个空位种植，且白牡
丹与黑牡丹不相邻，共
2
1
2
3
A C
1
5
（种）方法，
所以不同的种植方法共有2 2 5
20
（种）．
故选：B
6.杭州第19 届亚运会火炬9 月14 日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8
公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6
人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（
）
A．288 种
B．360 种
C．480 种
D．504 种
【答案】C
【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.
【详解】先安排甲乙以外的4 个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有
4
2
4
5
A A
480
种.
故选：C
7.2023 年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成
一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不
同的站法共有（
）种．
A．144
B．72
C．36
D．24
【答案】A
【详解】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有
3
3
A
种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有
2
4
A 种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的
具体排法有
2
2
A 种方法，故不同的站法有
3
2
2
3
4
2
A A A
144
种.
故选：A.
8.已知来自甲、乙、丙三个学校的5 名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要
求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（
）
A．40
B．36
C．56
D．48
【答案】D
【详解】设这5 个人分别为：ABCDE，则要求B 与C 和D 与E 的演讲顺序都不能相邻.
第一类：A 在BC 中间，此时再把D 与E 插空到这3 人中间，
此时的不同的演讲顺序有
2
2
2
4
A A
24
第二类：A 不在BC 中间，此时先考虑B 与C 和D 与E，分别将他们看成两个人的整体，再将他们的顺序
应相间排列，最后考虑A，此时的不同的演讲顺序有
2
2
2
1
2
2
2
3
A A A A
24
综上可得：总共有48 种不同的演讲顺序，
故选：D.
9.（多选）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学
不与老师相邻，则不同的站法种数为（
）
A．
5
4
5
4
A
A
B．
4
1
3
4
2
3
A
C A
C．
1
1
3
1
2
3
C C A
D．
4
4
1 A
2
【答案】BCD
【详解】（方法1：间接法）：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为
4
1
3
4
2
3
A
C A
．
（方法2：直接法）：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有
1
1
1
1
2
C
C
2
N
种站法，其余三名学生任意排列有
3
2
3
A
6
N
种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝
12（种）．
或者，四名同学全排时，甲同学与老师相邻与甲同学与老师不相邻各占
1
2 ，故有
4
4
1 A
2
．
故选:BCD．
10.琼中中学一条校道路边有7 盏路灯，为了节约用电，学校决定每天晩上点亮其中的3 盏路灯，但要求点
亮的3 盏路灯都不相邻，不同的点亮方式有（
）种
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【详解】因为不点亮的4 盏灯形成5 个空，将点亮的3 盏灯插到这5 个空中即可，
所以不同的点亮方式有
3
5
C
10
种.
故选：B.
题型十：其他的排列模型
1.把2 个相同的红球､1 个黄球､1 个蓝球放到
, ,
A B C 三个盒子里，每个盒子中至少放1 个球，则不同的放法
种数为（
）
A．18
B．20
C．21
D．24
【答案】C
【分析】先把4 个球分成3 堆，得到其分法，再把球放入3 个盒子里，即可得到总放法.
【详解】先把4 个球分成3 堆，分法有4 种：(红红，黄，蓝)､(红黄，红，蓝)､(红蓝，红，黄)､(红，红，
蓝黄).
前3 种分法，把3 堆球放入3 个盒子中，各有
3
3
A 种放法，
最后一种分法，把3 堆球放入3 个盒子中，有3 种放法，
所以共有
3
3
3A +3
18
3
21
种放法.
故选：C
2.现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有（
）．
A．128 种
B．36 种
C．72 种
D．84 种
【答案】B
【分析】根据捆绑法及间接法可求出甲与乙不相邻的排法，再由甲在乙的左边、右边机会均等可求解.
【详解】五人站成一排共有
5
5
A
120
种，甲乙相邻共有
2
4
2
4
A A
48
种，
所以甲与乙不相邻共有
5
2
4
5
2
4
A
A A
120
48
72
种，
其中甲在乙的左边、右边机会相同，各有1
72
36
2
种，
故选：B
3.某次数学竞赛获奖的6 名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序
种数为（
）．
A．20
B．120
C．360
D．720
【答案】B
【分析】甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，利用倍缩法求解即可.
【详解】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，
所以不同的上台顺序种数为
6
6
3
3
A
120
A
.
故选：B.
题型十一：相邻与不相邻排列综合
1.电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战
役胜利做出重要贡献的故事，现有4 名男生和3 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连
在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)720 种
(2)1440 种
(3)960 种．
【详解】（1）根据题意，先将3 个女生排在一起，有
3
3
A
6
种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4 个男生进行排列，共有
5
5
A
120
种排法，
由分步乘法计数原理，共有6 120
720
种排法；
（2）根据题意，先将4 个男生排好，有
4
4
A
24
种排法，
再在这4 个男生之间及两头的5 个空位中插入3 个女生有
3
5
A
60
种方法，
故符合条件的排法共有24
60
1440
种；
（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4 人，有
4
4
A
24
种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有
2
2
A
2
种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4 人的5 个空挡中有
2
5
A
20
种排法，故符合条件
的排法共有24 2 20
960
种．
2.有甲、乙、丙、丁、戊5 位同学，求：
(1)5 位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？
(2)5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
【答案】(1)36；
(2)24；
【详解】（1）首先排两端，从甲、戊以外的3 人中选出2 人站两端，有
2
3
A 种排法；
中间3 个位置全排列，有
3
3
A 种排法，
所以共有
2
3
3
3
A
A
36
种排法．
（2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有
2
2
2
2
A
A
种排法，
此时，共有3 个空，丙丁两人插空排列，共有
2
3
A 种排法，
所以共有
2
2
2
2
2
3
A
A
A
24
种排法．
3.有六位同学A，B，C，D，E，F 站成一排照相，如果：
(1)A，B 两人不排在一起，有几种排法？
(2)C，D 两人必须排在一起，有几种排法？
(3)E 不在排头，F 不在排尾，有几种排法？
【答案】(1) 480 种
(2) 240 种
(3)504种
【详解】（1）先排除A，B 外的四个人，再将A，B 插入到其余4 人所形成的5 个空中，
因此，排法种数为
4
2
4
5
A A
24
20
480
；
（2）将C，D 两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4 人去安排，
因此，排法种数为
2
5
2
5
A A
2 120
240
；
（3）E 不在排头，F 不在排尾，分以下两种情况讨论：
①若E 在排尾，则剩下的5 人全排列，故有
5
5
A
120
种排法；
②若E 不在排尾，则E 有4 个位置可选，B 有4 个位置可选，
将剩下的4 人全排列，安排在其它4 个位置即可，此时，共有
1
1
4
4
4
4
C C A
384
种排法．
综上所述，共有120
384
504
种不同的排法种数．
4.4 名男生、3 名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
【答案】(1)288
(2)576
(3)1440
(4)144
(5)3600
【详解】（1）因为男生和女生均相邻，将男生和女生分别看成一个整体，再进行全排，所以共有站法种
数为
4
3
2
4
3
2
A A A
288
种；
（2）因为男生均相邻，将男生看成一个整体，再和其余女生进行全排，所以共有站法种数为
4
4
4
4
A A
576
种；
（3）因为女生均不相邻，先将男生任意排列，再将女生插空，所以共有站法种数为
4
3
4
5
A A
1440
种；
（4）因为男生与男生、女生与女生均不相邻，将男女生相间排列，所以共有站法种数为
4
3
4
3
A A
144
种；
（5）当3 个女生全相邻，共有站法种数为
5
3
5
3
A A
720
种，
恰有2 个女生相邻，共有站法种数为
2
4
2
2
3
4
5
2
C A A A
2880
种，
所以至少有两个女生相邻，共有站法种数为720
2880
3600
种.
5.4 名男生和4 名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．
(1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
【答案】(1)2880
(2)10080
(3)30960
【详解】（1）要使这4 名女生不相邻，可以先排4 名男生，
再将4 名女生插入4 名男生产生的5个空中，
所以这4 名女生不相邻的排法有
4
4
4
5
A
A
24 120
2880
种．
（2）利用捆绑法，把甲和乙捆在一起，看作一个人，
则不同的排法有
2
7
2
7
A A
10080
种；
（3）①甲站在右端，其余6人全排列，有
7
7
A
5040
种排法．
②甲不站在右端有6种排法，乙有6种排法，其余6人全排，有
6
6
6 6
A
25920
种排法．
故一共有5040
25920
30960
种排法．
6.有4 名男生，3 名女生，共7 个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男生､女生各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？
【答案】(1)288
(2)576
(3)144
(4)1320
【详解】（1）男生必须站在一起，即把4 名男生全排列，有
4
4
A 种排法，
女生必须站在一起，即把3 名女生全排列，有种
3
3
A 排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有
2
2
A 种排法，
由分步乘法计数原理知共有
4
3
2
4
3
2
A
A
A
24 6 2
288
（种）排法.
（2）把所有男生看作一个元素，与3 名女生组成4 个元素全排列，
故有
4
4
4
4
A
A
576
（种）不同的排法.
（3）先排男生有
4
4
A 种排法，
然后让女生插空，有
3
3
A 种排法，
所以共有
4
3
4
3
A A
144
（种）不同的排法.
（4）若最左端站某生甲，余下6 名同学全排列共有
6
6
A
720
种排法；
若最左端站某生乙，
则应先排某生甲，有
1
5
A 种排法，
剩余5 名同学全排列共有
5
5
A 种排法，
由分步计数原理知共有
1
5
5
5
A
A
600
种排法.
根据分类加法计数原理可得，共有720
600
1320
种.
题型十二：数字排列问题
1.用数字1、2 、3、4 、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2 整除的数共有
个．（用
数字作答）
【答案】48
【详解】由题意可知，个位数只能排2 或4 ，其他数位没有限制，
因此，能被2 整除的五位数的个数为
4
4
2A
48
个.
故答案为：48 .
2.用0,1,2,3,4,5,6 可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5 整除的五位数有多少个？
【答案】可以组成2160 个无重复数字的五位数；能被5 整除的五位数有660 个.
【详解】用0,1,2,3,4,5,6 可以组成
4
6
6
A
6 360
2160
个无重复数字的五位数.
若五位数的个位为0 ，这样的五位数有
4
6
A
360
个.
若五位数的个位为5，这样的五位数有
3
5
5A
300
个.
所以其中能被5 整除的五位数有360
300
660
个.
3.用数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数．
(1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
(2)要求3 和4 相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
【答案】(1)72
(2)48
【详解】（1）从1，3，5 中选一个填入个位，有
1
3
A 种，
剩余四个位置全排列，有
4
4
A 种，
故共有
4
1
3
4
A =72
A
个．
（2）3 和4 相邻，可以在第1，2 位或第2，3 位或第3，4 位或第4，5 位这4 个位置中选1 个，然后3
和4 内部全排列，有
1
2
4
2
A A 种，
其他位置进行全排列，有
3
3
A 种，
故共有
1
2
3
4
2
3
A A A
48
个．
4.用1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？
【答案】360
【详解】偶数的个位数只能是2、4、6，有
1
3
A 种排法，其他位上有
3
6
A 种排法，
由分步乘法计数原理，知共有四位偶数
1
3
3
6
A
A
360
(个).
5.由数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50000 的偶数共有多少个？
【答案】36
【详解】要组成一个没有重复数字的五位数，可以分成以下步骤来完成：
第一步，排个位数，因为要求是偶数，所以只能排2 或4，排法有
1
2
A 种；
第二步，排万位数，小于50000 的五位数，
万位数只能是1，3 或排个位数时余下的2，4 中的一个，排法有
1
3
A 种；
在首末两位数排定后，第三步排中间3 个数字时，排法有
3
3
A 种．
根据分步乘法计数原理，所求偶数共有
1
1
3
2
3
3
A A A
2 3 3 2 1
36
（个）．
6.将0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123 大的数？
【答案】(1)60；
(2)82.
【详解】（1）当个位数字为0 时，可以组成
4
4
A
24
个偶数；
当个位数字不为0 时，可以组成
1
1
3
2
3
3
A A A
36
个偶数；
所以可以组成24
36
60
个偶数.
（2）所组成的比13123 大的五位数，可以分为以下2 类：
第一类：形如2
,3
,4
，共有
4
4
3A
72
个，
第二类：形如13
,14
，共有
2
3
2
3
2A
A
10
个，
所以可以组成72 10
82
个比13123 大的数.
题型十三：排列的综合问题
1.五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲
与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．96 种
【答案】B
【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有
2
2
A
2
种，
再与丙和丁外的1 人排列有
2
2
A
2
种，
再排丙和丁有
2
3
A
6
种，
故共有
2
2
2
2
2
3
A
A
A
2 2 6
24
种排法.
故选：B.
2.根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023 年11 月24 日上映，某数学组有3 名男教师
和2 名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
(1)2 名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)2 名女教师互不相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)48
(2)72
【分析】（1）捆绑法结合分步计数原理即可；
（2）插空法结合分步计数原理即可；
【详解】（1）根据题意，先将2 名女教师排在一起，有
2
2
A
2
种坐法，
将排好的女教师视为一个整体，与3 名男教师进行排列，共有
4
4
A
24
种坐法，
由分步乘法计数原理，共有2
24
48
种坐法．
（2）根据题意，先将3 名男教师排好，有
3
3
A
6
种坐法，
再在这3 名男教师之间及两头的4 个空位中插入2 名女教师，有
2
4
A
12
种坐法，
由分步乘法计数原理，共有6 12
72
种坐法．
3.某中学进行数学竞赛选拔考试，A ，B ，C ，D ，E 共5 名同学参加比赛，决出第1 名到第5 名的名次. A
和B 去向教练询问比赛结果，教练对A 说：“你和B 都没有得到冠军．”对B 说：“你不是最后一名.”从这两
个回答分析，5 人的名次排列方式共有（
）
A．54 种
B．72 种
C．96 种
D．120 种
【答案】A
【详解】根据题意可知A 和B 都没有得到冠军，且B 不是最后一名，分两种情况：
①A 是最后一名，则B 可以为第二、三、四名，即B 有3 种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有
3
3
A
6
种情况，此时有
18
6
3
种名次排列情况；
②A 不是最后一名，A ，B 需要排在第二、三、四名，有
2
3
A
6
种情况，剩下的三人安排在其他三个名
次，有
3
3
A
6
种情况，此时有6 6
36
种名次排列情况，则5 人的名次排列方式共有18
36
54
种.
故选A．
4.有4 名男生，4 名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数．
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间．
【答案】(1)1440
(2)1152
【分析】（1）先排甲、乙，再排其余6 人，根据分步乘法计数原理，即可求得答案；
（2）先排男生，再将女生插空，即可求得答案.
【详解】（1）先排甲、乙，有
2
2
A 种排法，再排其余6 人，所以共有
2
6
2
6
A
A
1440
（种）排法.
（2）先排4 名男生有
4
4
A 种方法，男生之间包括两端共有5 个空，
由于要男女相间，故再将4 名女生插空，空出男生最左侧或最右侧的位置，
有
4
4
2A 种方法，故共有
4
4
4
4
A
2A
1152
（种）排法.
5.分别求下列情形的方法数：（用数字作答）
(1)从4 名男生4 名女生中选出2 男2 女组成一个队伍；
(2)8 个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起；
(3)8 个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻．
【答案】(1)36
(2)10080
(3)14400
【详解】（1）先从先从4 名男生中选出2 名，有
2
4
C
6
种方法，
再从4 名女生中选出2 名，有
2
4
C
6
种方法，
所以共有6 6
36
种方法.
（2）先把甲乙捆绑看成一个整体有
2
2
A
2
种方法，再和其他人一起排列有
7
7
A
5040
种方法，
所以8 个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起的方法为
2
7
2
7
A A
10080
.
（3）先把其他5人排列共有
5
5
A
120
种方法，再把甲乙丙三人插空有
3
6
A
120
，
所以8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻的方法为
5
3
5
6
A A
120 120
14400
.
6.3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲､乙两人中间必须有3 人.
【答案】(1)3720
(2)720
(3)144
(4)720
【详解】（1）依题意，先排最左边，除去甲外，有
l
6
A 种，余下的6 个位置全排有
6
6
A 种，
但应剔除其中乙在最右边的排法数
1
5
5
5
A A 种，
则符合条件的排法共有
1
6
1
5
6
6
5
5
A A
A A
3720
种.
（2）将男生看成一个整体，进行全排列，有
3
3
A 种排法，
再与其他元素进行全排列，有
5
5
A 种排法，
故共有
3
5
3
5
A A
720
种.
（3）先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有
3
4
3
4
A A
144
种.
（4）从除甲、乙以外的5 人中选3 人排在甲、乙中间的排法有
3
5
A 种，
将甲、乙看作一个整体，和其余2 人排成一排的排法有
2
3
2
3
A A 种，
最后再把选出的3 人的排列插入到甲、乙之间即可，
共有
3
2
3
5
2
3
A A A
720
种.
7.电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和
英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3 名男
生和4 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4 名女生排在一起，有
4
4
A 种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3 名男生进行排列，共有
4
4
A 种排法，
由分步乘法计数原理，共有
4
4
4
4
24 24
576
A
A
种排法；
（2）先将3 名男生排好，共有
3
3
A 种排法，
在这3 名男生中间以及两边的4 个空位中插入4 名女生，共有
4
4
A 种排法，
再由分步乘法计数原理，共有
3
4
3
4
A
A
6 24
144
种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4 人排好，共有
4
4
A 种排法，
由于甲乙相邻，则有
2
2
A 种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4 人的5 个空隙中，
共有
2
5
A 种排法，
由分步计数原理，共有
4
2
2
4
5
2
0
A
2
A
A
24
0 2
96
种排法.
8.（1）配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2 种无机染料和2 种添加剂，其中有机染料的添加顺序
不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？
（2）某展览馆计划展出10幅不同的画，其中水彩画1幅、油画4 幅、国画5幅．现排成一排陈列，要求同
一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？
【答案】（1）1440；（2）5760.
【详解】解：（1）先将2 种无机染料和2 种添加剂进行排序，
然后将3 种有机染料插入2 种无机染料和2 种添加剂所形成的5个空位中的3个，
由分步乘法计数原理可知，试验次数为
4
3
4
5
A A
24 60
1440
；
（2）将4 幅油画捆绑，将5幅国画捆绑，形成两个大元素，将水彩画放在“中间”，
将油画、国画放在两端，
故不同的陈列方式种数为
4
5
2
4
5
2
A A A
24 120 2
5760
种.
模块三：综合巩固
1.下列问题是排列问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2023 个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A 中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B 中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C 中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D 中，选出的2 名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2 种
不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
2.下列问题是排列问题的是（
）
A．从8 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5 个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4 四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
【答案】B
【分析】排列问题是与顺序问题有关的问题，只有B 选项涉及顺序，由此可得结果.
【详解】对于A，8 名同学中选取2 名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A 错误；
对于B，10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B 正确；
对于C，5个点中任取3 点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C 错误；
对于D，4 个数字中任取2 个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D 错误.
故选：B.
3.甲､乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（
）
A．6
B．4
C．8
D．10
【答案】B
【分析】先排甲，有2 种方法，然后乙和丙全排列即可.
【详解】先排甲，有2 种方法，然后乙和丙全排列即可，所以共有
2
2
2A
4
种排法.
故选：B.
4.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（
）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．60 种
【答案】C
【分析】根据题意，分2 步进行分析:由于老师站在正中间，易得老师的站法，将甲、乙、丙、丁全排列，
安排在两边4 个位置，由分步乘法计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，若老师站在正中间，则站法只有1 种，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4 个位
置，有
4
4
24
A
种情况，
由分步乘法计数原理知共有1 24=24
种，故选：C.
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础题.
5.将4 张相同的博物馆的参观票分给5 名同学，每名同学至多1 张，并且票必须分完，那么不同的分法的
种数为（
）
A．54
B．45
C．5×4×3×2
D．5
【答案】D
【分析】由于参观票只有4 张，而人数为5 人，且每名同学至多1 张，故一定有1 名同学没有票，即可求
得结果．
【详解】由于参观票只有4 张，而人数为5 人，且每名同学至多1 张，故一定有1 名同学没有票，
因此从5 名同学中选出1 名没有票的同学，有5 种选法．
又因为4 张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5 种．
故选：D
6.某学习小组共5 人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（
）
A．20
B．15
C．10
D．5
【答案】C
【详解】由题意，微信聊天次数没有先后顺序之分，所以共需发起的聊天次数为1
2 5×4＝10.
7.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（
）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
【答案】C
【解析】根据题意依次列出即可.
【详解】解：若选出的是甲、乙，
则站法有甲乙、乙甲；
若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；
若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.
故选：C.
8.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这
六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（
）
A．15
B．30
C．12
D．36
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求不同的火车票的种数.
【详解】对于两个大站A 和B，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应一个起
点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6 个不同元素(大站)中取出2 个不同元素(起点站和终点站)
的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)
故选：B.
9.从5 本不同的书中选两本送给2 名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（
）
A．5
B．10
C．20
D．60
【答案】C
【分析】计算从5 个不同元素中取出2 个元素的排列数即可.
【详解】此问题相当于从5 个不同元素中取出2 个元素的排列数，
即共有
2
5
A =20(种)不同的送书方法.
故选：C.
10.由1，2，3，4 这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(
)
A．9
B．12
C．15
D．18
【答案】B
【分析】利用数形图将满足条件的四位数逐一列出即可.
【详解】本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12 个符合题意的四位数．
故选：B
11.下列各式中，不等于!
n 的是（
）
A．An
n
B．
1
1
1
A
1
n
n
n
C．
1
An
n
D．
1
1
An
n
n
【答案】C
【分析】利用排列数的计算公式即可得出结果.
【详解】A，
A
1
2
2 1
!
n
n
n
n
n
n
，
B，
1
1
1
1
A
1
1
2 1
1
2 1
!
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
C，
1
A
1
1
3 2
1 !
n
n
n
n
n
n
，
D，
1
1
A
1
2
2 1
!
n
n
n
n
n
n
n
，
故选：C
12.有4 名司机，4 名售票员要分配到4 辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配
方法有（
）
A．
8
8A 种
B．
4
8A 种
C．
4
4
4
4
A A 种
D．
4
4
2A 种
【答案】C
【分析】由排列及分步乘法计数原理求解.
【详解】司机、售票员各有
4
4
A 种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有
4
4
4
4
A
A
种不同的分配方法.
故选：C
13.现有10 名学生排成一排，其中4 名男生，6 名女生，若有且只有3 名男生相邻排在一起，则不同的排
法共有（
）种.
A．
2
2
6
7
A A
B．
3
2
4
7
A A
C．
3
2
2
3
6
7
A A A
D．
3
6
2
4
6
7
A A A
【答案】D
【分析】根据题意，分3 步进行分析：①，将4 名男生分成1、3 的两组，②，将6 名女生全排列，排好
后有7 个空位，③，将分好的2 组安排到7 个空位中，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分3 步进行分析：
①，将4 名男生分成1、3 的两组，有
3
4
4
C
种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有
3
3A 种，
②，将6 名女生全排列，有
6
6
A 种情况，排好后有7 个空位，
③，将分好的2 组安排到7 个空位中，有
2
7
A 种情况，
则不同的排法有
3
3
6
2
3
6
2
4
3
6
7
4
6
7
C A A A
A A A
种，
故选：D．
14.要从a，b，c，d，e 5 个人中选出1 名组长和1 名副组长，但a 不能当副组长，则不同的选法种数是（
）
A．20
B．16
C．10
D．6
【答案】B
【分析】利用间接法，先求总的选2 人担任正副组长的选法，再减去a 当副组长的情况，即为所求．
【详解】不考虑限制条件5 人中选2 人担任正副组长有
2
5
A 种选法，若a 当副组长，有
1
4
A 种选法，
故a 不当副组长，有
2
1
5
4
16
A
A
(种)选法.
故选：B
15.“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1 到9 这九个自然数填到
如图所示的小九宫格的9 个空格里，每个空格填一个数，且9 个空格的数字各不相同，若中间空格已填数
字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，
则不同的填法种数为（
）
4
A．70
B．120
C．140
D．144
【答案】B
【分析】根据排列的知识求得正确答案.
【详解】比4 小的有1,2,3，共3个，从中选出2 个排在4 的左边和上方，方法数有
2
3
A 种，
比4 大的有5,6,7,8,9 ，共5个，从中选出2 个排在4 的右边和下方，方法数有
2
5
A 种，
所以不同的填法种数为
2
2
3
5
A A
120
种.
故选：B
16.甲、乙，丙、丁，戊5 名同学进行劳动技术比赛，决出第1 名到第5 名的名次．甲和乙去询问成绩，裁
判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5 人的名次排列的不同情况可能
有（
）
A．27 种
B．72 种
C．36 种
D．54 种
【答案】C
【分析】根据题意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列数的计算，即可得到结果.
【详解】根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名，
先排甲乙，再排剩下三人，则5 人的名次排列种数为
2
3
3
3
A
A
36
种.
故选：C
17.现要从6 名学生中选4 名代表班级参加学校的4 100m
接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1 棒或第4
棒，乙不能跑第1 棒，则合适的选择方法种数为（
）
A．84
B．108
C．132
D．144
【答案】B
【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.
【详解】当甲跑第1 棒时，则有
3
5
A
60
种选择方法；
当甲跑第4 棒时，乙参加比赛则有
1
2
2
4
A A
24
种选择方法，乙不参加比赛则有
3
4
A
24
种选择方法．
故合适的选择方法种数为60
24
24
108
种．
故选：B
18.甲､乙､丙､丁等7 人站成一排，其中甲､乙相邻，丁与甲､乙､丙都不相邻的站法共有（
）
A．576 种
B．448 种
C．288 种
D．224 种
【答案】A
【分析】分两种情况讨论，第一种情况为丙和甲､乙中的1 人相邻，优先排列甲､乙､丙位置，再将三人捆
绑，将除丁外三人先排列，再将捆绑的整体和丁用插空法排列即可；第二种情况为若丙和甲､乙不相邻，
先优先排列甲､乙位置后捆绑，再将除甲､乙､丙、丁外的三人先排列，最后用插空法将捆绑整体和丙、丁
插空排列即可.
【详解】若丙和甲､乙中的1 人相邻，则满足条件的站法共有
2
1
3
2
2
2
3
4
A A A A
288
种，
若丙和甲､乙不相邻，则满足条件的站法共有
2
3
3
2
3
4
A A A
288
种，故总的站法共有576 种.
故选：A
19．(多选)用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（
）
A．
4
6
A
B．
4
5
A
C．
1
5
A
3
5
A
D．
4
6
A －
3
5
A
【答案】CD
【分析】可用直接法先排第一位数字，再排后三位；也可用间接法先进行全排列，再排除首位是0 的情况.
【详解】(直接法)先排第一位，有
1
5
A 种方法，再排后三位有
3
5
A 种方法，所以共有
1
5
A
3
5
A 种排法；
(间接法)先进行全排列共有
4
6
A 种排法，首位是0 的排法为
3
5
A ,所以共有
4
6
A －
3
5
A 排法，
故选：CD.
20．（多选）A、B、C、D、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（
）
A．若A、B 两人站在一起有48 种方法
B．若A、B 不相邻共有12 种方法
C．若A 在B 左边有60 种排法
D．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有72 种方法
【答案】AC
【分析】对于A：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B：利用间接法，在总体中排除A、B 两人站
在一起的情况；对于C：根据对称性分析求解；对于D：利用间接法，结合组合数运算求解.
【详解】对于选项A：若A、B 两人站在一起，则有
2
4
2
4
A A
48
种方法，故A 正确；
对于选项B：A、B、C、D、E 五个人并排站在一起，则有
5
5
A
120
种方法，
所以A、B 不相邻共有120
48
72
种方法，故B 错误；
对于选项C：根据对称可知A 在B 左边有120
60
2
种排法，故C 正确；
对于选项D：A 站在最左边，则有
4
4
A
24
种方法，
B 站最右边，则有
4
4
A
24
种方法，
A 站在最左边，B 站最右边，则有
3
3
A
6
种方法，
所以A 不站在最左边，B 不站最右边，有120
24
24
6
78
种方法，故D 错误.
故选：AC
21.从甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1 人
入选的不同参赛方案共有
种.
【答案】54
【分析】根据排列数利用间接法，在总体中排除没有甲、乙的参赛方案.
【详解】若甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同项目的比赛，共有
3
5
A
60
种不同参赛方案，
若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有
3
3
A
6
种，
所以甲､乙中至少有1 人入选的不同参赛方案共有60
6
54
种.
故答案为：54.
22.某中学为庆祝建校130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5 名老师参加“130 周年办学成果展”活动，
活动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有
种(用数字作答)．
【答案】24
【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.
【详解】将丙、丁捆绑排列有
2
2
A
2
种，再把他们作为整体与戊排成一排有
2
2
A
2
种，
排完后其中有3 个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有
2
3
A
6
种，
综上，共有2 2 6
24
种排法.
故答案为：24
23.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意
正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
2
2
2
2
2
2
2
2
12
3
1
1
1
2
2
2
0
．设
2
2
2
2
25
a
b
c
d
，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是
．
【答案】28
【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可．
【详解】显然a，b，c，d 均为不超过5 的自然数，下面进行讨论．
最大数为5 的情况：
①
2
2
2
2
25
5
0
0
0
，此时共有
1
4
A
4
种情况；
最大数为4 的情况：
②
2
2
2
2
25
4
3
0
0
，此时共有
2
4
A
12
种情况；
③
2
2
2
2
25
4
2
2
1
，此时共有
2
4
A
12
种情况．
当最大数为3 时，
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
25
3
3
2
1
，故没有满足题意的情况．
综上，满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是4 12 12
28
．
故答案为：28．
24.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意
正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
2
2
2
2
2
2
2
2
12
3
1
1
1
2
2
2
0
.设
2
2
2
2
36
a
b
c
d
，其中a b c d
, ,
,
均为自然数，则满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是
.
【答案】29
【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解
【详解】显然a，b，c，d 均为不超过6 的自然数，下面进行讨论．
最大数为6 的情况：
①
2
2
2
2
36
6
0
0
0
，此时共有
1
4
4
A
种情况；
最大数为5 的情况：
②
2
2
2
2
36
5
3
1
1
，此时共有
2
4
12
A
种情况；
当最大数为4 时，
③
2
2
2
2
36
4
4
2
0
，此时共有
2
4
12
A
种情况；
当最大数为3 时，
③
2
2
2
2
36
3
3
3
3
，此时共有1种情况；
综上，满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是4
12
12
1
29
．
故答案为：29.
25.解不等式：
3
2
2
1
2
1
3A
2A
6A
x
x
x
；
【答案】
2,3,4
【分析】根据排列数公式得到不等式，解得即可.
【详解】因为
3
1
A
1
1
x
x
x x
，
2
2
A
2
1
x
x
x
，
2
1
A
1
x
x
x
，
所以不等式
3
2
2
1
2
1
3A
2A
6A
x
x
x
可化为
3
1
2
2
6
x x
x
x
，
解得
1
4
3
x
，又
2
x
，x
N
，
所以不等式的解集为
2,3,4 ．
26. 4 名男生和5名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】(1) 241920 种
(2)10080种
(3)5760种
(4) 2880 种
(5)60480 种
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆绑法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均匀的排列方法求解即可.
【详解】（1）先排甲有6种，其余有
8
8A 种，
共有
8
8
6
241920
A
种排法.
（2）先排甲、乙，再排其余7 人，
共有
2
7
2
7
10080
A
A
种排法.
（3）把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共
2
4
5
2
4
5
5760
A
A
A
种.
（4）先排4 名男生有
4
4
A 种方法，
再将5名女生插在男生形成的5个空上有
5
5
A 种方法，
故共有
4
5
4
5
2880
A
A
种排法.
（5）9人共有
9
9A 种排法，
其中甲、乙、丙三人有
3
3A 种排法，
因而在
9
9A 种排法中每
3
3A 种对应一种符合条件的排法，
故共有
9
9
3
3
60480
A
A
种排法．
27.如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC
A B C
的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
【答案】(1)576
(2)264
【详解】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，第一步，A 、B 、C 三点所涂颜色各不
相同的方法有
3
4
A
24
（种），第二步，A、B、C三点所涂颜色各不相同的方法有
3
4
A
24
（种），
所以由分步计数原理，不同的涂色方法共有
3
3
4
4
A
A
24
24
576
（种）.
（2）若
, ,
,
B A A C
用四种颜色，即B，A，A ，C 各涂一种颜色，C与A 同色，B 与A同色，所以有
4
4
A
24
（种）；
若
, ,
,
B A A C
用三种颜色，即第一类：B与A 同色、A、C 各涂一种颜色，则C只能涂剩余那种颜色，B
可以与A或C同色，所以有
3
4
A
1 2
48
（种），
第二类：A与C 同色、A 、B各涂一种颜色，则B 只能涂剩余那种颜色，C可以与A 或B 同色，所以有
3
4
A
1 2
48
（种），
第三类：B与C 同色、A、A 各涂一种颜色，则C可以涂剩余那种颜色或与A 同色，B 可以与A同色或
涂剩余那种颜色，所以有
3
4
A
2
2
96
（种），
所以
, ,
,
B A A C
用三种颜色，有
3
3
4
4
A
1 2
2
A
2
2
192
（种）；
若
, ,
,
B A A C
用两种颜色，即B与A 同色、A与C 同色各涂一种颜色，B 可以涂剩余剩余两种颜色，C 也
可以涂剩余剩余两种颜色，所以有
2
4
A
2
2
48
（种）．
所以由分类加法计数原理，共有24 192
48
264
（种）．
28.求证：（1）
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
A
A
n A
；
（2）(
1)!
!
(
1)
! (
)
!
(
1)!
!
n
n
n
k
n
k
n
k
k
k
.
【答案】见详解.
【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；
（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.
【详解】（1）左边
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
A
A
n n
A
nA
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n A
n A
右边，
∴结论成立，即
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
A
A
n A
；
（2）当k
n
时，
左边
(
1)!
!
(
1) !
!
!
(
1)!
!
(
1)!
n
n
n
n
kn
k
k
k
k k
(
1) !
!
(
1) !
!
!
n
n
kn
n
k
n
k
k
右边，
∴结论成立，即(
1)!
!
(
1)
! (
)
!
(
1)!
!
n
n
n
k
n
k
n
k
k
k
.
