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5.9 简单的三角恒等变换
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：半角公式 .......................................................................2
考点二：辅助角公式 ....................................................................2
考点三：万能公式 .......................................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：二倍角的降幂扩角公式 .....................................................3
题型二：利用半角公式、万能公式求值 .............................................3
题型三：辅助角公式的应用 ...........................................................4
题型四：简单的三角恒等变换 ........................................................5
题型五：三角函数的实际应用 ........................................................7
模块三：综合巩固 .........................................................................8
5.9 简单的三角恒等变换
模块一：基础知识
考点一：半角公式
（1）半角公式
①
1 cos
sin 2
2
②
1 cos
cos 2
2
③
1 cos
1 cos
sin
tan 2
1 cos
sin
1 cos
（2）二倍角公式的降幂扩角公式：
①
2
1
si nα = （1 - cos2α）
2
②cos
+
2
1
α = （1 cos2α）
2
考点二：辅助角公式
2
2
sin
cos
sin(
)
a
x
b
x
a
b
x
(其中tan
b
a
)
通过应用公式
[或
将形如
(a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
考点三：万能公式
①
2
2tan 2
sin
1
tan 2
②
2
2
1
tan 2
cos
1
tan 2
③
2
2tan 2
tan
1
tan 2
模块二：题型分类
题型一：二倍角的降幂扩角公式
1.已知
0,
，
3
cos
5
，则
2
cos
2
4
．
2.函数
2
1 cos2
sin
f x
x
x
的最小正周期是
．
3.已知
2
π
4
cos
4
5
，则sin 2（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．1
5
D．
1
5
4.已知
2
8
2sin
sin
2
5
，则sin 2的值是
.
题型二：利用半角公式、万能公式求值
1.已知
1
cos
3
，α 为第四象限角，求sin 2
，cos 2
，tan 2
.
2.已知为锐角，
1
5
cos
4
，则sin 2
（ ）．
A．3
5
8
B．1
5
8
C．3
5
4
D．1
5
4
3.已知
4
sin
5
，则tan 2
．
4.已知
8
tan
cot
2
3
,
(1)求tan的值；
(2)求sin 2
2
的值．
5.已知
5
sin
cos
2
2
5
，450
540
，则tan 2
的值为
.
题型三：辅助角公式的应用
1.已知𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥.
(1)求𝑓(𝑥)的周期及单调递增区间；
(2)求函数𝑓(𝑥)在0, π
2 上的最大值和最小值.
2.函数
3
sin
cos
cos2
2
f x
x
x
x
的最小正周期是（ ）
A．π
B．π
2
C．2π
D．3π
2
3.已知函数
2
π
cos 2
2cos
3
f x
x
x
．
(1)求
π
4
f
的值；
(2)求函数
f x 的单调递增区间．
4.已知函数
1
( )
cos (sin
cos )
2
f x
x
x
x
．
(1)若
π
0
2
，且
2
sin
2
，求
( )
f 的值；
(2)求函数
( )
f x 的单调递增区间．
5.函数
2
cos
sin cos
f x
x
x
x
的单调减区间为
．
6.函数
2
2cos
3sin 2
f x
x
x
的最大值为
．
7.函数
1
3
sin
cos
0
2
2
f x
x
x
在
0,π
x
上恰有2 个零点，则的取值范围是
．
题型四：简单的三角恒等变换
1.已知函数
2
cos
3sin cos
1
x
x
x
f x
，xR .
(1)求函数
y
f x
的最小正周期和对称轴方程；
(2)求
π
0, 2
x
时，函数
y
f x
的值域.
2.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1（𝑥∈R）．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(2)若𝑓(𝑥0) =
6
5，𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，求cos2𝑥0的值．
3.已知函数
2
sin 2
2 3 cos
f x
x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期；
(2)求函数
f x 在区间
π
0, 4
上的最大值和最小值；
(3)若函数
f x 在[
π
,
]
3
m
上是减函数，求m 的取值范围.
4.化简
2
2
2
π
π
sin
sin
sin
6
6
．
5.已知函数
2sin
3 cos
sin
1
f x
x
x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期及
f x 的单调递增区间；
(2)若
8
( )
5
f
，
π
0 3
，
，求cos2的值；
题型五：三角函数的实际应用
1.如图，在凸四边形ABCD 中，
1
DA
DC
，
2
AB
BC
，若
2
B
，则四边形ABCD 面积的最大值
为
.
2.如图，在半径为R 、圆心角为π
3 的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA上，
点M 、N 在OB 上，则这个矩形面积的最大值为（ ）
A．
2
(2
3
R
）
B．
2
3
6 R
C．
2
3
4 R
D．
2
3
3 R
3.如图所示，已知OPQ 是半径为2，圆心角为π
4 的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，
记
COP
，求当角取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．
4.已知OPQ 是半径为1，圆心角为π
3 的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，记
COB
，矩形ABCD 的面积为S .
(1)当
π
6
时，求矩形ABCD 的面积S 的值.
(2)求S 关于角的解析式，并求S 的最大值.
模块三：综合巩固
1.(多选)cos
3sin
化简的结果可以是（ ）
A．1
π
cos
2
6
B．
π
2cos 3
C．1
π
sin
2
3
D．
π
2sin 6
2.求值：
5
5
cos
3sin
12
12
（ ）
A．0
B．
2
C．2
D．
2
3.下列函数中，最小正周期为2 的偶函数是（ ）
A．
sin 2
cos2
y
x
x
B．
sin
cos
y
x
x
C．
sin
2
y
x
D．
cos2
y
x
4.函数
sin cos
cos2
f x
x
x
x
的最小正周期为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
5.已知
π
3
cos
cos
3
3
，则
π
cos
6
（ ）
A．1
3
B．7
9
C．
7
9
D．
1
3
6.已知
1
cos
5
，
3π ,2π
2
，则sin 2
等于（ ）
A．10
5
B．－10
5
C．2 6
5
D．2 5
5
7.已知
3
tan
5
，
π
1
tan
3
4
，那么
π
tan
3
为（ ）
A．13
18
B．13
23
C．7
23
D．3
18
8.若
1
cos
3
，且270
360
，则cos 2
（ ）
A．
3
3
B．
6
3
C．
6
3
D．
6
3
9.若
12
sin
sin
13
，
6
cos
cos
13
，则tan
2
的值为（ ）
A．2
B．
1
2
C．－2
D．
1
2
10.(多选)若
4
cos
5
，则
1
tan 2
1
tan 2
的值可能为（ ）
A．
1
2
B．2
C．
1
2
D．－2
11.函数
3sin
cos
y
x
x
在
π π
,
6 6
上的值域是
.
12.在ABC
中，
1
cos
3
B
，则
2
2
cos
tan
2
2
B
A
C
.
13.已知函数
2
2sin
cos
2 3cos
3
f x
x
x
x
（其中
0
），直线
1
x
x
、
2
x
x
是
y
f x
图象的
任意两条对称轴，且
1
2
x
x
的最小值为π
2 ．
(1)求的值；
(2)若
2
3
f
，求
π
cos 2
6
的值．
14.设常数
R
a
，函数
2
sin2
2cos
f
x
a
x
x
.
(1)若
f x 为偶函数，求a 的值；
(2)若
π
2
4
f
，求方程
1
2
f x
在区间
π
0 2
，上的解.
15.已知sin𝛼= 2 5
5 ，𝛼∈0, π
2 .
(1)求sin2𝛼和cos2𝛼的值；
(2)求sin 𝛼+ π
6 的值.
16.已知sin𝛼= 2−4sin2𝛼
2．
(1)求sin2𝛼−cos2𝛼的值；
(2)已知𝛼∈(0,π),𝛽∈
π
2 ,π ,3tan2𝛽−5tan𝛽−2 = 0，求𝛼+ 𝛽的值．
17.已知𝛼为第二象限角，且cos2𝛼=
7
9.
(1)求sin𝛼的值；
(2)若函数𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ 2cos𝛽cos2𝑥0 < 𝛽< π
2 的图象关于直线𝑥=
π
12对称，求cos(2𝛼+ 𝛽)的值.
