6.4 平面向量的数量积
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两向量的夹角与垂直....................................................... 2
考点二：向量的数量积................................................................ 2
考点三：投影向量......................................................................2
考点四：向量数量积的性质及运算律...............................................3
考点五：向量数量积的常用结论.................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：向量夹角的判断............................................................. 4
题型二：向量数量积的计算.......................................................... 4
题型三：平面向量模的相关计算.................................................... 8
题型四：平面向量的夹角问题......................................................10
题型五：平面向量的垂直问题......................................................14
题型六：投影向量.................................................................... 18
题型七：向量数量积的最值问题...................................................21
题型八：向量数量积几何应用......................................................25
模块三：综合巩固....................................................................... 30
6.4 平面向量的数量积
模块一：基础知识
考点一：两向量的夹角与垂直
定义：已知两个非零向量a，b(如图)，O 是平面上的任意一点，作OA
→＝a，OB
→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
叫做向量a 与b 的夹角．
1.向量a 与b 的夹角的范围是0≤θ≤π；
2.当θ＝0 时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向；
3.如果a 与b 的夹角是π
2 ，我们说a 与b 垂直，记作a⊥b．
4.两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同,向量夹角范围是[0,π],而两直线夹角的范围为0,
π
2 。
考点二：向量的数量积
1.向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移
，那么力
所做的功
W=|
|| |
，其中是
与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算
明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
2．定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a 与b 的数量积(或内
积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，可变形为cos θ＝a·b
|a||b| ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3.注意
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（2）
b
a
中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；
（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。
考点三：投影向量
如图，设a，b 是两个非零向量，AB
→＝a，CD
→＝b，我们考虑如下的变换：过AB
→的起点A 和终点B，
分别作CD
→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1
→
，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，1
1
A B
叫做向量a 在向量b 上的投影向量．
探究：如图，设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为，
那么
1
OM 与
,
,a
e
之间有怎样的关系？
【答案】对于任意的
]
,0
[
，都有
e
a
OM
cos
|
|
1
。
【注意】
(1)向量a 在b 方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e 为与b 同向的单位向量)，它是一个向量，且与b
共线，其方向由向量a 和b 夹角θ的余弦决定；
(2)注意：a 在b 方向上的投影向量与b 在a 方向上的投影向量不同，即向量b 在a 上的投影向量可表
示为|b|cos θ a
|a| .
考点四：向量数量积的性质及运算律
1．向量数量积的性质
设a，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ．
(2)a⊥b⇔a·b＝0．
(3)当a 与b 同向时，a·b＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝a·a .
此外，由|cos θ|≤1 还可以得到．
(4)|a·b|≤|a||b|.
2．向量数量积的运算律
对向量a，b，c 和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
考点五：向量数量积的常用结论
1.
=
；
2.
；
3.
；
4.
；
5.
，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
模块二：题型分类
题型一：向量夹角的判断
1.已知ABC
是等边三角形，则向量
,
AB BC
的夹角的大小是
【答案】120，两向量夹角，如果不是共起点，需要将向量平移至相同起点判断。
2.在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1
2AB，则AB
→与BC
→的夹角是(
)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案
C
解析
如图，作向量AD
→＝BC
→，则∠BAD 是AB
→与BC
→的夹角，在△ABC 中，因为∠ACB＝90°，BC＝1
2AB，
所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即AB
→与BC
→的夹角是120°.
3.已知|a|＝|b|＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a＋b 与a 的夹角是多少？a－b 与a 的夹角又是多少？
解
如图所示，作OA
→＝a，OB
→＝b，且∠AOB＝60°.
以OA
→，OB
→为邻边作平行四边形OACB，
则OC
→＝a＋b，BA
→＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB 是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以OC
→与OA
→的夹角为30°，BA
→与OA
→的夹角为60°.
即a＋b 与a 的夹角是30°，a－b 与a 的夹角是60°.
题型二：向量数量积的计算
1．已知|a|＝3，|b|＝2 3，a 与b 的夹角是120°，则a·b 等于(
)
A．3
B．－3
C．－3 3
D．3 3
答案
B
解析
由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×2 3× －1
2 ＝－3.
2.
(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC 的边长为2，AB
―→＝c，BC
―→＝a，CA
―→＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
【解析】(1)①由已知得a·b＝|a||b|·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a 与b，b 与c，c 与a 的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2× 2×cos 120°×3＝－3.
3.已知正△ABC 的边长为1，求：
(1)AB
→·AC
→；(2)AB
→·BC
→；(3)BC
→·AC
→.
解
(1)∵AB
→与AC
→的夹角为60°，
∴AB
→·AC
→＝|AB
→||AC
→|cos 60°＝1×1×1
2＝1
2.
(2)∵AB
→与BC
→的夹角为120°，
∴AB
→·BC
→＝|AB
→||BC
→|cos 120°＝1×1× －1
2 ＝－1
2.
(3)∵BC
→与AC
→的夹角为60°，
∴BC
→·AC
→＝|BC
→||AC
→|cos 60°＝1×1×1
2＝1
2.
4.在等腰Rt△ABC 中，AB＝BC＝4，则AB
→·BC
→＝________，BC
→·CA
→＝______，CA
→·AB
→＝________.
答案
0
－16
－16
解析
由题意，得|AB
→|＝4，|BC
→|＝4，|CA
→|＝4 2，
所以AB
→·BC
→＝4×4×cos 90°＝0，BC
→·CA
→＝4×4 2×cos 135°＝－16，CA
→·AB
→＝4 2×4×cos 135°＝－16.
5．已知向量
3
a
，
2
b
，a
与b
的夹角为π
3 .求
(1) a b
(2)求a
b
；
(3)求
2
3
a
b
a
b
.
【答案】(1)3
(2) 19
(3) 18
【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；
（2）根据向量模长公式结合数量积的运算律运算求解；
（3）根据数量积的运算律运算求解.
【详解】（1）由题意可得：
π
1
cos
3 2
3
3
2
a b
a
b
r
r
r
r
.
（2）由题意可得：
2
2
2
9
2
6
4
19
a
b
a
b
a
a b
b
r
r
r
r
r
r r
r
.
（3）由题意可得：
2
2
2
3
6
9
3
24
18
a
b
a
b
a
a b
b
r
r
r
r
r
r r
r
.
6.已知a
，b
，c
均为单位向量，且
2
3
a
b
c
，则a c
（
）
A．
1
3
B．1
3
C．1
D．4
3
【答案】C
【分析】将原等式转化为
3
2
a
c
b
，平方后化简即可求解.
【详解】
2
3
a
b
c
,
3
2
a
c
b
,
2
2
3
2
a
c
b
,
2
2
2
6
9
4
a
a c
c
b
，
a
，b
，c
均为单位向量，
1 6
9
4
a c
，
1
a c
.
故选：C
7．已知|
| 1,|
| 2
a
b
，向量,a b
的夹角为π
3 ，则
(
)
a
a
b
（
）
A．3 1
B．1
C．2
D．
3
1
【答案】C
【解析】因为|
| 1,|
| 2
a
b
，向量,a b
的夹角为π
3 ，
所以
2
(
)
a
a
b
a
a b
1
1 1 2
2
2
，故选：C
8．
1e
与
2e
是相互垂直的单位向量，
1
2
a
b
c
e
e
r
r
r
ur
ur
，
1
a
b
c
，则a b
b c
c a
.
【答案】
1
2
【解析】因为
2
2
2
2
2
3
2
a b
b c
c a
a b
b c
b
b
c
a
a
a
c
c
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
，
又因为
1e
与
2e
是相互垂直的单位向量，则
2
2
1
2
1
2
1,
0
e
e
e e
ur
ur
ur ur
，
可得
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
e
e
e
e e
e
ur
ur
ur
ur ur
ur
，
由于
1
2
a
b
c
e
e
r
r
r
ur
ur
，则
2
2
1
2
a
b
c
e
e
r
r
r
ur
ur
，
即
3
2
2
a b
b c
c a
r r
r r
r r
，解得
1
2
a b
b c
c a
r r
r r
r r
.
9．设P 为ABC
所在平面内一点，满足
0
AP BC
BP AC
，则CP AB
.
【答案】0
【解析】由
0
AP BC
，得
(
)
0
PA
PC
PB
，则PA PC
PA PB
，
由
0
BP AC
，得
(
)
0
PB
PC
PA
，则PB PC
PB PA
，
于是
C
PB PC
PA P
，所以
(
)
0
CP AB
PC
PB
PA
PC PB
PC PA
.
【本题技巧】两向量数量积为0，则向量垂直，可以判断P 点为垂心，则最终答案为0
10.在三角形ABC 中，
3
AC
，
4
AB
，
120
CAB
，则
AB
AC
AB
（
）
A．10
B．12
C．10
D．12
【答案】A
【分析】根据向量的数量积公式求得结果.
【详解】记
,
AC
a AB
b
，则
3,
4
a
b
，
,
120
a b
，
cos120
12cos120
6
a b
a
b
，
2
16
6
10
b
a
b
b
a b
．
故选：A.
11．已知
1
a
，
2
b
，
3π
,
4
a b
，则
a
a
b
.
【答案】0
【分析】直接根据数量积的运算律、数量积的定义进行运算即可求解.
【详解】由题意
2
2
2
3π
2
cos
1
1
2
0
4
2
a
a
b
a
a b
a
a b
.
故答案为：0.
12．如图，已知OA
，OB
，OC
的模均为4，且
60
AOB
BOC
，则AC AB
（
）
A．24
B．－24
C．8
D．－8
【答案】A
【分析】由
(
) (
)
OC
OA
OB
O
AC
B
A
A
，应用向量数量积的运算律及定义求值即可.
【详解】由AC
OC
OA
，AB
OB
OA
，
所以
2
(
) (
)
OC
OA
OB
OA
OC
AC
OB
OC OA
O
A
A OB
OA
B
8
8
8 16
24
.
故选：A
13．若正方形ABCD的边长为2 2 ，则CA BA
（
）
A．8
B．8
C．4
D．4
【答案】A
【分析】将向量AC
用
,
AB AD
表示，再根据数量积运算律即可得解.
【详解】
2
8
AD
CA BA
AC AB
AB
AB
AB
AD AB
.
故选：A.
题型三：平面向量模的相关计算
1．已知
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，则
2
a
b
（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
【答案】C
【解析】因为
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，
所以
π
cos
,
2
cos
1
3
a b
a b
a b
b
，解得
1
b
，
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4 1
4 1
2
a
b
a
b
a
a b
b
，故选：C.
2．已知向量a，b
的夹角为2π
3 ，
1
a
，
2
b
，则2
3
a
b
r
r
．
【答案】2 7
【解析】由题意，向量a，b
的夹角为2π
3 ，
1
a
，
2
b
，
2
2
2
2π
2
3
2
3
4
9
12
4 1
9
4
12 1 2 cos
2 7
3
a
b
a
b
a
b
a b
.
3．已知
1
2
a
，
1
3
b
，若a
b
a
b
，则2
3
a
b
r
r
（
）
A．
2
B．2 2
C．4 2
D．4
【答案】A
【解析】由a
b
a
b
，可得
2
2
2
2
2
2
a
a
a b
b
a b
b
，所以
0
a b
，
因为
1
1
,
2
3
a
b
，可得
2
2
2
2
3
4
12
9
1 0 1
2
a
b
a
a b
b
，
所以2
3
2
a
b
.故选：A.
4．若平面向量, ,
a b c
两两夹角相等，且|
| 1,|
| 1,|
| 3
a
b
c
r
r
r
，则|
|
a
b
c
= （
）
A．2
B．5
C．2 或5
D．
2 或5
【答案】C
【解析】平面向量, ,
a b c
两两夹角相等，则
,
,
,
0
a b
b c
c b
或
2π
,
,
,
3
a b
b c
c b
，
当
,
,
,
0
a b
b c
c b
时，即向量, ,
a b c
同向共线，则
5
|
|
a
b
c
，
当
2π
,
,
,
3
a b
b c
c b
时，
2
2
2
|
|
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a b
b c
c a
2
2
2
1
1
1
1
1
3
2 1 1
2 1 3
2 1 3
2
2
2
2
.故选：C
5．设向量a
，b
满足
1
a
b
及3
2
7
a
b
.
（1）求a
，b
夹角的大小；
（2）求3
2
a
b
r
r
的值.
【答案】（1）π
3 ；（2）3
2
19
a
b
【解析】（1）∵
1
a
b
，3
2
7
a
b
，
∴
2
2
2
2
3
2
3
2
9
12
4
7
a
b
a
b
a
a b
b
，
即
2
2
9
12
4
7
a
a b
b
，可得13 12
7
a b
，解之得
1
2
a b
设a
，b
夹角等于，则
1
cos
2
a b
a
b
，
∵
0,π
，∴
π
3
，即a
，b
夹角的大小为π
3 ；
（2）∵
1
a
b
，
1
2
a b
，
2
2
2
1
3
2
9
12
4
9 12
4
19
2
a
b
a
a b
b
，∴3
2
19
a
b
6.已知向量
1
a
，
2
b
，|
|
5
c
，且
0
a
b
c
，则cos
,
c
a c
b
（
）
A．
34
34
B．
34
17
C．3 34
34
D．5 34
34
【答案】D
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【详解】由
0
a
b
c
可得a
b
c
，所以
2
2
1
4
2
=5
=0
a
b
c
a b
a b
，
同理由a
c
b
和a
b
c
可得
=
4
= 1
b c
a c
,
，
所以
2
=
5
4 1
0
10
c
a
c
b
c
b c
a c
a b
，
2
2
2
2
=
2
5 1
2
2 2
=
2
5
4
8
17
c
a
c
a
a c
c
b
c
b
b c
,
故
10
5 34
cos
,
=
=
34
2 2
17
c
a
c
b
c
a c
b
c
a c
b
，
故选：D
7．已知向量a
，b
满足
3
a
，
8
b
，5
7
3 a
b
，则a b
（
）
A．24
B．12
C．12
D．24
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律即可求解．
【详解】由
2
2
2
5
25
10
10
25
64
49
3
9
3
3
a
b
a
a b
b
a b
，
所以
12
a b
．
故选：C．
题型四：平面向量的夹角问题
1．已知向量,
a b
满足
2
2
b
a
，a b
=1，则向量,
a b
的夹角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】由题可得
1
a
，则
1
cos
,
2
a b
a b
a
b
，
又0
,
180
a b
，则向量,
a b
的夹角为60°.故选：C
2．若
1e
，
2e
是夹角为60的两个单位向量，且
1
2
2
a
e
e
与
1
2
3
2
b
e
e
的夹角为（
）
A．60
B．120
C．30
D．150
【答案】B
【解析】因为
1e
，
2e
是夹角为60的两个单位向量，所以
1
2
1
1 1 cos60
2
e e
，
故
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
(2
) ( 3
2 )
6
2
a b
e
e
e
e
e
e e
e
1
7
6
2
2
2
，
2
1
2
1
2
2
2
1
2
|
7
|
1
(2
4
4
4
1
2
)
e
e
e
e e
e
a
，
1
2
1
2
2
2
2
1
2
|
7
1
( 3
2
9
4
9
|
)
12
12
4
2
e
e
e
e e
b
e
，
故
7
1
2
cos
,
2
|
| |
|
7
7
a b
a b
a
b
，
由于0
,
180
a b
，故
,
120
a b
，故选：B.
3．已知单位向量
1e
，
2e
的夹角为60，向量
1
2
2
3
a
e
e
，
1
2
2
2
b
me
e
，mZ ，向量a，b
的夹角的
余弦值为
21
7
，则m （
）
A．1
B．4
C．2
D．5
【答案】C
【解析】由题意，得
1
2
1
2
e e
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
3
4
12
9
7
a
e
e
e
e e
e
，
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
4
8
4
4
4
4
b
me
e
m e
me e
e
m
m
．
而
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
3
2
2
4
6
4
6
4
a b
e
e
me
e
me
me e
e e
e
m
，
所以
2
4
21
cos
,
7
|
||
|
7
4
4
4
a b
m
a b
a b
m
m
．
整理，得
2
11
20
4
0
m
m
，解得
2
m
或
2
11
m
（舍去）．故选：C．
4．已知向量
2
a
，
1
b
，
2
2 3
a
b
，则向量a
与b
的夹角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
【答案】C
【分析】将
2
2 3
a
b
平方，求得a b
，再根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意向量
2
a
，
1
b
，
2
2 3
a
b
，
则
2
2
12
a
b
，即
2
2
4
4
12
a
b
a b
，
所以4
4
4
12,
1
a b
a b
，
故
1
cos
,
2
|
| |
|
a b
a b
a
b
，而0
,
180
a b
，
故
,
120
a b
，
故选：C
5．已知向量a
，b
满足
1
a
，
1
2
b
且
3
2
a
b
，则a
与b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】C
【分析】把
3
|
|
2
a
b
两边平方化简即得解.
【详解】因为
3
|
|
2
a
b
，
所以
2
2
3
2
4
a
b
a b
，
即
1
1
3
1
2 1
cos
,
4
2
4
a b
，
所以
1
cos
,
2
a b
，
因为
,
[0,π]
a b
，所以
π
,
3
a b
.
故选：C
6．已知平面向量a
，b
满足
3
a
，
1
b
，
2
4
a
b
，则
3
a
b
，b
夹角的余弦值为（
）
A．
6
4
B．
6
12
C．
6
6
D．
6
6
【答案】A
【分析】对
2
4
a
b
进行平方可得
3
4
a b
，可算出
2
2
3 6
3
6
9
2
a
b
a
a b
b
，最后利用夹角公式
即可
【详解】依题意，
2
2
2
|
2 |
4
4
16
a
b
a
b
a b
，解得
3
4
a b
，
故
2
2
3
3 6
3
6
9
9
6
9
4
2
a
b
a
a b
b
，
故
3
3
3
3
6
4
cos
3 ,
4
3 6
3
3
2
a
b
b
a b
b b
a
b b
a
b b
a
b b
，
故选：A．
7．若非零向量,a b
满足|
| 2 |
| |
3 |
a
b
a
b
，则,a b
夹角的余弦值为
．
【答案】
3
4
/ 0.75
【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出a b
的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】由|
| 2 |
|
a
b
，|
| |
3 |
a
a
b
，得
2
2
2
2
(
3 )
6
9
a
a
b
a
a b
b
，则
2
3
2
a b
b
，
因此
2
2
3
3
2
cos
,
4
|
||
|
2 |
|
b
a b
a b
a b
b
，
所以,a b
夹角的余弦值为
3
4
.
故答案为：
3
4
8．已知向量a、b
的夹角为π
3 ，且
1
a
，
3,0
b
.
(1)求a
b
的值；
(2)求a与a
b
的夹角的余弦.
【答案】(1) 13
(2) 5 13
26
【分析】（1）先由题意求出a b
，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，求出
b
a
a
，再由向量夹角公式，即可得出结果.
【详解】（1）∵向量a、b
的夹角为π
3 ，且
1
a
，
3
b
，所以
π
3
1 3 cos 3
2
a b
，
∴
2
2
2
3
2
1
2
9
13
2
a
b
a
b
a
a b
b
；
（2）由题意，
2
3
5
1
2
2
a
a
b
a
a b
，
∴
5
5 13
2
cos
,
26
1
13
a
a
b
a a
b
a a
b
.
9．单位向量a
，b
满足
2
2
3
a
b
a
b
.
（1）求a
与b
夹角的余弦值：
（2）若ka
b
与
3
a
b
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）1
3 ；（2）
5 1
1
,
,
3 3
3
【解析】（1）因为
1
a
b
，
2
2
3
a
b
a
b
，
所以
2
2
2
2
3
a
a b
b
，即
2
1
2
3
a b
，则
1
3
a b
，
则
1
cos
,
3
a b
a b
a b
，即a
与b
夹角的余弦值1
3 .
（2）因为ka
b
与
3
a
b
的夹角为锐角，
所以
3
0
ka
b
a
b
且ka
b
与
3
a
b
不共线，
当ka
b
与
3
a
b
共线时，有
3
ka
b
a
b
，即
3
ka
b
a
b
，
由（1）知a
与b
不共线，所以1
3
k
，解得
1
3
k
，
所以当ka
b
与
3
a
b
不共线时，
1
3
k
，
由
3
0
ka
b
a
b
，得
2
2
3
1
3
0
ka
k
a b
b
，
即
1
3
1
3
0
3
k
k
，解得
5
3
k
，
所以
5
3
k
且
1
3
k
，即实数k 的取值范围为
5 1
1
,
,
3 3
3
.
题型五：平面向量的垂直问题
1．已知向量a，b
满足
2
3
b
a
，
2
a
b
a
b
，则b
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】因为
2
3
b
a
，所以
2
2
2
2
4
4
9
b
a
b
a b
a
①．
又因为
2
a
b
a
b
，所以
2
2
2
2
0
a
b
a
b
b
a b
a
②．
由①－②×4，得
2
1
b
，所以
1
b
．故选：A．
2．已知两个单位向量
1e
，
2e
的夹角为60°，且满足
1
2
1
e
e
e
，则实数的值是（
）
A．1
B．
2
C．2 3
3
D．2
【答案】D
【解析】由单位向量
1e
，
2e
的夹角为60°，则
1
2
1
1 1 cos60
2
e e
，
由
1
2
1
e
e
e
，可得
1
2
1
0
e
e
e
，即
2
1
2
1
0
e e
e
，
则1
1
0
2
，解得
2
，故选：D．
3．已知单位向量,
a b
满足
2
a
a
b
，则
,
a b
（
）
A．2π
3
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【答案】B
【分析】由向量垂直得到方程，求出
1
2
a b
，再利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】由
2
a
a
b
得
2
2
|
|
2
0
a
a
b
a
a b
，
又,
a b
为单位向量，
1
2
a b
，
1
cos ,
2
a b
a b
a b
，又,
[0,π]
a b
，
π
,
3
a b
.
故选：B.
4．设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，若
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，则
.
【答案】
2
5
/-0.4
【分析】根据向量
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直可得
1
2
1
2
(
) (3
4
)
0
e
e
e
e
，结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意知设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，
故
1
2
1
2
(
) (3
4
)
0
e
e
e
e
，即
2
2
1
1
2
2
3
(4
3 )
0
4
e
e e
e
，
故
2π
3
(4
3 ) 1 1 cos
0
3
4
，解得
2
5
，
故答案为：
2
5
5．已知非零向量a
，b
满足
2 3
b
a
，且
3
a
a
b
，则a
与b
的夹角为
【答案】5
6
【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得a与b
的夹角的值．
【详解】非零向量a，b
满足|
| 2 3 |
|
b
a
，且
(3
)
a
a
b
，
设a与b
的夹角为，
[0
，
]
，
则
2
2
(3
)
3
3|
|
|
| 2 3 |
| cos
0
a
a
b
a
a b
a
a
a
，解得
3
cos
2
，
5
6
\
=
．
故答案为：5
6
．
6．已知
2
a
，
2
b
，a与b
的夹角为45°，要使b
a
与a
垂直，则的值为（
）
A．
2
B．2 2
C．
2
2
D．1
【答案】A
【解析】若b
a
与a
垂直，则
0
b
a
a
，即
2
0
a b
a
，所以
2
2
2 cos45
.故选：A
7．设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，若
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，则
.
【答案】
2
5
【解析】由题意知设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，
故
1
2
1
2
(
) (3
4
)
0
e
e
e
e
，即
2
2
1
1
2
2
3
(4
3 )
0
4
e
e e
e
，
故
2π
3
(4
3 ) 1 1 cos
0
3
4
，解得
2
5
.
8．设向量,
a b
满足
3,|
| 3,|
| 2
a b
a
b
.
（1）求向量,
a b
的夹角；
（2）若
a
b
a
b
，求实数的值
【答案】（1）π
3 ；（2）6.
【解析】（1）因为
3,|
| 3,|
| 2
a b
a
b
，则
3
1
cos
,
3 2
2
|
||
|
a b
a b
a b
，
又
,
0,
a b
，所以向量,
a b
的夹角
π
,
3
a b
.
（2）因为
a
b
a
b
，
则
2
2
(
) (
) |
|
(
1)
|
|
6
0
a
b
a
b
a
a b
b
，解得
6
，
所以实数的值为6.
9．已知向量a是单位向量，
3,1
b
r
，且满足
2
a
a
b
，则
a
b
．
【答案】3
【分析】根据题意可得
1,
2
a
b
，根据垂直关系可得
2
a b
×
=
，再根据模长关系运算求解.
【详解】因为向量a是单位向量，
3,1
b
，可知
1,
2
a
b
，
因为
2
a
a
b
，则
2
0
a
a
b
，化简可得
2
2
2
a b
a
r
r
r
，
所以
2
2
2
1 4
4
3
a
b
a
a b
b
．
故答案为：3.
10．a，b
的夹角为120，|
| 1
a
，|
| 3
b
.
(1)求| 5
|
a
b
r
r
；
(2)若a
b
与a
b
互相垂直，求.
【答案】(1)7
(2)
8
73
3
.
【分析】（1）利用
2
2
| 5
|
(5
)
a
b
a
b
，展开后代入数量积公式求得答案；
（2）由a
b
与a
b
互相垂直，得(
) (
)
0
a
b
a
b
，展开后化为关于的方程求解.
【详解】（1）a，b
的夹角为120，|
| 1
a
，|
| 3
b
，
2
2
2
5
|
25
|
10
|
|
a
b
a
a b
b
2
2
25 1
10 1 3 cos120
3
1
25
30 (
)
9
49
2
.
故5
7
a
b
r
r
.
（2）若a
b
与a
b
互相垂直，则(
) (
)
0
a
b
a
b
，
即
2
2
2
|
(
1)
|
0
a
a b
b
.
所以
2
(
1)
cos120
9
0
a b
，整理得
2
3 (
1)
9
0
2
，
即
2
3
16
3
0
，解得
8
73
3
.
题型六：投影向量
1.已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，与b 同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a 在b 上的投影向量．
解
(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
(2)a 在b 上的投影向量为|a|cos θe＝a·b
|b| e＝－10
4 e＝－5
2e.
【注意】任意的非零向量a 在另一非零向量b 上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b 的夹角，e 为与b
同向的单位向量)．
2.已知向量a，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影向量的模是________．
答案
1
解析
已知向量a，b 的夹角θ＝60°，
故b 在a 上的投影向量的模为|b|cos θ＝2cos 60°＝2×1
2＝1.
3．已知
6
a
，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于120时，向量a在向量e上的投影向量为（
）
A．3
B．3
C．3e
D．3e
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解
【详解】|
| 6
a
，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于120时，
则a在e上的投影向量为|
| cos120
3
a
e
e
．
故选：C ．
4．已知|a|＝2，且a 与b 的夹角为60°，与b 同向的单位向量为e，则向量a 在向量b 上的投影向量为
____________．
答案
e
解析
因为a 与b 的夹角为60°，a 在b 上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×1
2e＝e.
5．已知
6
m
，
3
n
，
12
m n
，则向量m
在向量n
方向上的投影向量的长度为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得向量m
在向量n
方向上的投影向量的长度.
【详解】向量m
在向量n
方向上的投影向量的长度为
12
cos
,
4
3
m n
m n
m
m n
m
m
n
n
.
故选：B.
6．已知
1
a
，
3
b
，
3
a b
，则向量a
在向量b
上的投影向量为
．
【答案】
1
3 b
【分析】求出| |cos
a
和
| |
b
b
即得解.
【详解】∵
=| || |cos
3
a b
a b
，又|
| 3
b
，
∴| |cos
1
a
，又
= 3
| |
b
b
b
，
所以向量a
在向量b
方向上的投影向量为
1
3 b
.
故答案为：
1
3 b
7．已知
5
a
，
4
b
，若a
与b
的夹角
120
.
(1)求a b
；
(2)求a
在b
上的投影向量.
【答案】(1) 10
(2)
5
8 b
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可求得a b
的值；
（2）利用投影向量的定义可求得a
在b
上的投影向量.
【详解】（1）解：因为
5
a
，
4
b
，若a
与b
的夹角
120
，则
1
cos120
5 4
10
2
a b
a
b
.
（2）解：a
在b
上的投影向量为
5cos120
5
cos
4
8
b
a
b
b
b
.
8.在等边△���中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬ，则向量��Ԧ
ሬሬሬሬ在向量��Ԧ
ሬሬሬሬ上的投影向量为（
）
A．
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
【解题思路】根据投影向量的求法求得正确答案.
【解答过程】由题可知��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= (���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ) ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ���Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅������° + ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅�����°
=−|��Ԧ
ሬሬሬሬ|�+
�
�|��Ԧ
ሬሬሬሬ|�=
�
�|��Ԧ
ሬሬሬሬ|�，
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ|�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，所以向量��Ԧ
ሬሬሬሬ在向量��Ԧ
ሬሬሬሬ上的投影向量为
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ．
故选：B.
9．已知Rt ABC
的面积为6，斜边AB 长为6，设a为CA
在AB
上的投影向量，a CB
.
【答案】4
【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】依题意
1
6,
6,
12,
2
2
ab
c
ab
ab
c
.
依题意，
2
CA AB
AB
CA AB
a
AB
AB
AB
AB
,
所以
2
CA AB
a CB
AB CB
AB
2
cos π
cos
cos
cos
bc
A
c a
B
ab
A
B
c
2
4
b a
ab
ab c c
c
.
故答案为：4
10．已知单位向量a
，b
满足
3
a
b
a
b
，则a
在b
方向上的投影向量为（
）
A．1
2 b
B．
1
2 b
C．b
D．b
【答案】A
【分析】由
3
a
b
a
b
两边平方可得
1
2
a b
，再根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】因为
3
a
b
a
b
，所以
2
2
3
a
b
a
b
，
即
2
2
2
2
2
3
2
a
a b
b
a
a b
b
，
即
2
2
3 2
2
a b
a b
，解得
1
2
a b
.
所以a
在b
方向上的投影向量为
1
2
a b b
b
b
b
.
故选:A.
11．已知非零向量a
，b
满足
a
b
a
b
，且向量b
在向量a
方向的投影向量是
1
2 a
，则向量a
与b
的
夹角是（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
【答案】C
【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.
【详解】由题意，
0
a
b
a
b
，则
2
2
a
b
，即a
b
，
设a
与b
的夹角为，则b
在a
方向的投影
1
cos
2
a
b
a
a
，
1
cos
,
0, π
2
，则
2π
3
；
故选：C.
12．已知向量a在向量b
上的投影向量为1
2 b
r
，且
1
a
b
，则
1
2
a
b t
R
的值为（
）
A．
3
B．1
C．3
4
D．
3
2
【答案】D
【分析】借助题目条件可得
1
2
a b
，再根据向量模长与向量平方的关系计算即可得.
【详解】由题意可得
1
2
a b
b
b
b
b
，又
1
a
b
，故
1
2
a b
，
则
2
2
2
1
1
1
1
1
3
1
2
2
4
2
4
2
a
b
a
b
a
a b
b
.
故选：D.
题型七：向量数量积的最值问题
1．若
1
a
b
且a
与b
夹角为120，那么实数x
时，a
xb
的值最小．
【答案】1
2 /0.5
【分析】根据
2
a
xb
a
xb
结合数量积的运算律及二次函数的性质即可得解.
【详解】因为
1
a
b
且a
与b
夹角为120，
所以
1
1
1 1
2
2
a b
，
2
2
2
2
2
2
1
a
xb
a
xb
a
x b
xa b
x
x
，
当
1
2
x
时，a
xb
取得最小值
3
2
.
故答案为：1
2 .
2．已知菱形ABCD的边长为1，
60
ABC
，点E 是AB 边上的动点，则DE DC
的最大值为（
）．
A．1
B．
3
2
C．1
2
D．3
2
【答案】D
【解析】设AE
x
，
0,1
x
，
DE DC
DA
AE
DC
DA DC
AE DC
1
1 3
cos
cos0
,
2
2 2
DA DC
ADC
AE DC
x
∴DE DC
的最大值为3
2 ．故选:D．
3．在ABC
中，
π
2,
3
BC
BAC
，点P 满足2
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
，则PB PC
的最大值为（
）
A．
3
4
B．
1
4
C．
1
3
D．
2
3
【答案】B
【解析】设BC 中点为M ，由题可知：
1
1
(
)
2
2
2
PA
PB
PC
PM
MP
，
所以P 为AM 的中点，故：
2
2
(
) (
)
(
) (
)
PB PC
PM
MB
PM
MC
PM
MB
PM
MB
PM
MB
2
2
2
1
1
1
4
4
PM
BC
MA
，
由
π
3
BAC
，知点P 的轨迹是以BC 为弦，圆周角为π
3 的优弧（除去
,
B C 两点），
由圆的性质可知，当AM
BC
时，|
|
AM 最大；
此时ABC
是等边三角形，|
|
3
AM
，
2
1
1
1
4
4
PB PC
MA
.故选：B
4．八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1），其轮廓分别为正八边形
ABCDEFGH 和圆O（图2），其中正八边形的中心是点O，鱼眼（黑白两点）,
P Q 是圆O半径的中点，且
关于点O对称,若
8 2
OA
，圆O的半径为6，当太极图转动（即圆面O及其内部点绕点O转动）时，PA QC
的最小值为（
）
A．39
B．48
C．57
D．60
【答案】C
【解析】由题意，点,
P Q 是圆O半径的中点，且关于点O对称，设,
P Q 的位置，如图所示，
在八卦图中，知
,
OA
OC OQ
OP
,
又由
8 2,
3,
16
OA
OP
OQ
AC
，
则由
(
) (
)
PA QC
OA
OP
OC
OQ
OA OC
OP OQ
OP OC
OA OQ
0
9
(
)
9
9
3 16cos
,
OP
OA
OC
OP CA
OP CA
，
当八卦图转动（即圆面O及其内部点绕O转动）时，
,
[0,π]
OP CA
，
当
,
π
OP CA
时，PA QC
取得最小值，最小值为9
3 16cosπ
57
.故选：C.
5．已知在ABC
中，
3
AB ，
2
AC
，
60
BAC
，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC
的取值范围
是
．
【答案】
1 ,3
16
【解析】设PC
mAC
，0
1
m
，则
1
PA
AB
P
m
AC
B
AB
，
故
2
1
1
m
AC
AB
mAC
m m
P
AC
mAB
PC
AC
B
2
4
1
co
3
s
4
4
BAC
m
m m
m A
AC
m
m
B
2
2
1
1
4
4
8
16
m
m
m
，
因为0
1
m
，所以
1
1
7
8
8
8
m
，
故
2
1
1
1
4
3
16
8
16
m
，
1 ,3
16
PB PC
.
6．线段AB 是圆O的一条直径，且
8
AB
C D
, ,
是圆O上的任意两点，
4
CD
，动点P 在线段CD 上，则
PA PB
的取值范围
．
【答案】
4,0
【解析】由题意知，连接PO，O为AB 的中点，
则
,
PA
PO
OA PB
PO
OB
PO
OA
uur
uuur
uur uur
uuur
uuur
uuur
uur，
可得
2
2
2
(
) (
)
16
PA PB
PO
OA
PO
OA
PO
OA
PO
，
又因为
8,
4
AB
CD
，
则圆心O 到直线CD 的距离为
2
2
4
2
2 3
d
，
由点P 在线段CD 上可知2 3
4
PO
，则
2
12
16
PO
，
所以
2
4
16
0
PO
，即PA PB
的取值范围为[ 4,0]
.
7．设a，b
是两个不共线的非零向量，t R ．
(1)若a与b
起点相同，求t 为何值时，向量a，tb
，1
2
3
3
a
b
的终点在一条直线上；
(2)若
2
2
a
b
，且a与b
夹角为60°，求t 为何值时，a
tb
的值最小．
【答案】(1)
1
t
(2)
1
t
【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】（1）由已知可得
1
2
2
2
3
3
3
3
a
tb
a
a
b
a
b
，
R
，
∵a与b
不共线，∴
2
1
3
2
3
t
，解得
1
t ．
∴当
1
t 时，向量a，tb
，1
2
3
3
a
b
的终点在一条直线上；
（2）
2
2
2
2
2
2
2
2
cos60
4
2
1
3
a
tb
a
tb
a
t b
t a b
t
t
t
，
∴当
1
t 时，a
tb
有最小值
3 ．
8．设a
，b
是两个不共线的非零向量，
R
t
.
(1)记
1
,
,
(
)
2
OA
a OB
t b OC
a
b
，那么当实数t 为何值时，
,
,
A B C 三点共线；
(2)若|
| |
| 1
a
b
且a
与b
夹角为60，那么实数x 为何值时，|
|
xa b
的值最小?
【答案】(1)
1
t
(2)
1
2
x
【分析】(1)由
, ,
A B C 三点共线，则满足AB
AC
，建立关于的方程即可解决.
(2)由题设条件，可以把|
|
xa b
表示为关于x 的函数，根据函数求出取得最小值时的x 的值.
【详解】（1）AB
OB
OA
tb
a
，
1
1
1
(
)
2
2
2
AC
OC
OA
a
b
a
a
b
，因为
, ,
A B C 三点共线，所
以AB
AC
，所以
1
1
2
2
tb
a
a
b
，
1
2
1
1
2
t
，
则解得
1
t .
（2）因为|
| |
| 1
a
b
且a
与b
夹角为60 °，所以
2
2
2
2
2
2
2
1
1
3
|
|
2
2
1
1
(
)
2
2
4
x a
b
x a
xa b
b
x
x
x
x
x
所以当
1
2
x
时，|
|
xa b
的值最小
题型八：向量数量积几何应用
1.在三角形���中，��= 3，��= 4，∠���= 120°，则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．10
B．12
C．−10
D．−12
【解题思路】根据向量的数量积公式求得结果.
【解答过程】记��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则�Ԧሬ
= �, �Ԧሬ
= �，�Ԧሬ, �Ԧሬ
= ���∘，
∵�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ������∘= ��������∘=−�，
∴�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ
�+ �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= ��−�= ��．
故选：A.
2．如图，圆E 为ABC
的外接圆，
4
AB
，
6
AC
，D 为边BC 的中点，则AD AE
（
）
A．26
B．13
C．10
D．5
【答案】B
【分析】由中点关系可得
1 (
)
2
AD
AB
AC
，利用E 为ABC
的外接圆的圆心，可得
2
2
1
1
|
|
4
8
2
2
AE AB
AB
，同理可得
2
1 |
|
18
2
AE AC
AC
，即可得出结论．
【详解】由于D 是BC 边的中点，可得
1 (
)
2
AD
AB
AC
，
E
是ABC
的外接圆的圆心，
2
2
1
1
|
||
| cos
|
|
4
8
2
2
AE AB
AE
AB
BAE
AB
，
同理可得
2
1 |
|
18
2
AE AC
AC
，
1
1
1
1
1
(
)
8
18
13
2
2
2
2
2
AD AE
AB
AC
AE
AE AB
AE AC
．
故选：B
【解题技巧】处理这类问题的基本策略，就是将要求数量积的向量用已知夹角或模的向量
表示，然后结合运算律进行计算。
3．如图，ABC
的外接圆圆心为O，
2
AB
，
3
AC
，则AO BC
（
）
A．5
2
B．3
2
C．3
D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，分别求出AO AB
、AO AC
即可求解作答.
【详解】因ABC
的外接圆圆心为O，
2
AB
，
3
AC
，由圆的性质得
1
|
| cos
,
|
|
2
AO
AO AB
AB
，
有
2
1
|
||
| cos
,
|
|
2
2
AO AB
AO
AB
AO AB
AB
，同理
2
1
9
|
|
2
2
AO AC
AC
，
所以
5
(
)
2
AO BC
AO
AC
AB
AO AC
AO AB
.
故选：A
4.已知长方形ABCD的边
3,
2
AB
AD
，E 为BC 的中点，则AE BD
（
）
A．7
B．7
C．11
D．11
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】
1
2
AE BD
AB
AD
AD
AB
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
2
2
1
1
1
3
2
7
2
2
2
AB
AD
AB AD
.
故选：A
5.如图，在△ABC 中，
120
BAC
，
2
AB
，
1
AC ，D 是边BC 上一点，
2
DC
BD
，则AD BC
（
）
A．2
3
B．
7
4
C．5
2
D．
8
3
【答案】D
【解析】由
2
DC
BD
可得，
1
3
BD
BC
1
1
2
1
(
)
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
BC
AC
AB
2
2
2
1
2
1
1
(
) (
)
3
3
3
3
3
AD BC
AB
AC
AC
AB
AB
AC
AB AC
2
1
1
1
8
4
1
1 2
(
)
3
3
3
2
3
故选：D．
6.已知在ABC
中，
2
AB
，
3
AC
，
3
BAC
，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC
的值为
（
）
A．
11
3
B．
1
3
C．2
3
D．4
3
【答案】D
【分析】利用AB
、AC
表示向量AD
、BC
，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC
的值.
【详解】如下图所示：
1
1
2
1
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
由平面向量数量积的定义可得
1
cos
2 3
3
3
2
AB AC
AB
AC
，
因此，
2
2
1
1
2
2
3
3
AD BC
AB
AC
AC
AB
AC
AB AC
AB
2
2
1
4
3
3
2 2
3
3
.
故选：D.
7.正三角形ABC
中，
2
AB
，P 为BC 上的靠近B 的四等分点，D 为BC 的中点，则AP BD
（
）
A．
1
2
B．1
4
C．3
4
D．3
2
【答案】A
【分析】根据题意，由平面向量基本定理可得
1
3
4
4
AP
AC
AB
，
1
1
2
2
B
AC
A
D
B
，再由平面向量的数
量积运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为P 为BC 上的靠近B 的四等分点，
则
1
1
1
3
4
4
4
4
AP
AB
BP
AB
BC
AB
AC
AB
AC
AB
，
且D 为BC 的中点，
则
1
1
1
2
2
2
BD
BC
AC
AB
，
又ABC
为等边三角形，且
2
AB
，
则
1
3
1
1
4
4
2
2
AP BD
AC
AB
AC
AB
2
2
1
1
3
8
4
8
AC
AB AC
AB
2
2
1
1
3
2
cos60
2
8
4
8
AB
AC
1
1
1
1
2 2
4
2
2
.
故选：A
8.线段AB 的长度为6，C，D 为其三等分点（C 靠近A，D 靠近B），若P 为线段AB 外一点，且满足��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，
则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．36
B．－36
C．－8
D．8
【解题思路】根据向量数量积的定义和运算律即可得到答案.
【解答过程】��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
因为AB 的长度为6，C，D 为其三等分点（C 靠近A，D 靠近B），��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
−��Ԧ
ሬሬሬሬ�= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ�=−���Ԧ
ሬሬሬሬ�=−�× ��=−�，
故选：C.
模块三：综合巩固
1．已知向量a与b
的夹角为120，且|
| 4,|
| 2
a
b
，求：
（1）·
a b
（2）(
) (
2 )
a
b
a
b
．
【答案】（1）4
；（2）12
【解析】（1）由已知得
|
||
| cos
4
2 cos120
4
a b
a b
（2）
2
2
(
) (
2 )
2
16
( 4)
2 4
12
a
b
a
b
a
a b
b
r
r
r
r
r
r
r
r
．
2．已知
6
a
，
4
b
，a
与b
的夹角为60，计算下列各式：
（1）
a
b
a
b
；
（2）
2
3
a
b
a
b
．
【答案】（1）20 ；（2）84
【解析】（1）因为
6
a
，
4
b
，
所以
2
2
2
2
6
4
20
a
b
a
b
a
b
.
（2）因为
6
a
，
4
b
，a
与b
的夹角为60，
所以
1
cos60
6
4
12
2
a b
a b
，
所以
2
2
2
2
2
3
2
5
3
2 6
5 12
3 4
84
a
b
a
b
a
a b
b
.
3.已知向量a与b
的夹角为60°，其中
3
a
，
2
b
，则
a b
（
）
A．6
B．5
C．3
D．2
【答案】C
【分析】根据向量数量积公式，即可求解.
【详解】
1
cos60
3 2
3
2
a b
a
b
.
故选：C
4.已知向量a
与b
的夹角为π
3 ，
2,
1
a
b
，则向量a
在b
上的投影向量为（
）
A．b
B．1
2 b
r
C．a
D．1
2 a
【答案】A
【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解.
【详解】由题意知，向量
2
a
且向量a
与b
的夹角为π
3 ，
所以向量a
在b
上的投影为
cos
,
1
a
a b
，
又因为
1
b
，所以向量a
在b
上的投影向量为b
.
故选：A.
5.若,a b
均为非零向量，则a b
a b
是a
与b
共线的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由a b
a b
，可得
,
0
a b
，而a
与b
共线意味着
,
0
a b
或
,
π
a b
，由此即可得解.
【详解】一方面：由a b
a b
，可得
,
0
a b
，此时a
与b
共线;
另一方面：由a
与b
共线，可得
,
0
a b
或
,
π
a b
，此时有a b
a b
或a b
a
b
，
即此时a b
a
b
不一定成立.
结合以上两方面有a b
a b
是a
与b
共线的充分不必要条件.
故选：A.
6.在ABC
中，下列命题正确的个数是（
）
①AB
AC
BC
；②
0
AB
BC
CA
；③若
0
AB
AC
AB
AC
，则ABC
为等腰三角形；
④
0
AC AB
，则ABC
为锐角三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据向量的运算公式，即可判断选项.
【详解】①AB
AC
CB
，故①错误；②
0
AB
BC
CA
.故②正确；
③
2
2
0
AB
AC
AB
AC
AB
AC
，则AB
AC
，ABC
为等腰三角形，故③正确；
④若
0
AC AB
，只能说明ABC
中，角A 是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断ABC
为锐角
三角形，故④错误.
故选：B
7.已知非零向量a
、b
满足
2
b
a
，且
a
a
b
，则a
与b
的夹角为（
）
A．π
3
B．π
2
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【分析】分析可得
0
a
a
b
，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos
,a b
的值，结合平面向量夹
角的取值范围可得出a
与b
的夹角.
【详解】因为非零向量a
、b
满足
2
b
a
，且
a
a
b
，
则
2
2
2
2
cos
,
2
cos
,
0
a
a
b
a
a b
a
a
b
a b
a
a
a b
，
所以，
1
cos
,
2
a b
，又因为0
,
π
a b
，故
π
,
3
a b
.
因此，a
与b
的夹角为π
3 .
故选：A.
8.已知
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，则
2
a
b
（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
【答案】C
【分析】首先由数量积公式求得
1
b
，又
2
2
2
a
b
a
b
，代入求解即可.
【详解】因为
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，
所以
π
cos
,
2
cos
1
3
a b
a b
a b
b
，
解得
1
b
，
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4 1
4 1
2
a
b
a
b
a
a b
b
，
故选：C.
9.在平行四边形ABCD中，
3π
2,
2,
,
4
AB
AD
BAD
E
是线段CD 的中点，则AE AC
（
）
A．1
B．4
C．6
D．7
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】AE AC
1
2 AD
AC
AB
AD
1
2 AD
AB
AD
AB
AD
1 2
2
AD
AB
AB
AD
2
2
1
2
3
2 AB
AD
AB AD
2
2
1
3π
2
2
2
3 2
2 cos
2
4
1
.
故选：A
10.如果向量a
，b
的夹角为，我们就称a b
为向量a
与b
的“向量积”，a b
还是一个向量，它的长度为
sin
a
b
a
b
，如果
10
a
，
2
b
，
12
a b
，则a b
（
）
A．-16
B．16
C．-20
D．20
【答案】B
【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.
【详解】由于
sin
a b
a
b
，
10
a
，
2
b
，
12
a b
，
则
cos
10 2cos
12
a b
a b
，则
3
cos
,
5
所以
4
sin
5
，则
4
sin
10 2
16
5
a b
a b
.
故选：B
11.(多选)下列说法正确的是（
）
A．对任意向量,
a b
，都有a b
b a
B．若a b
a c
且
0
a
，则b
c
C．对任意向量, ,
a b c
，都有
a b
c
a
b c
D．对任意向量, ,
a b c
，都有
a
b
c
a c
b c
【答案】AD
【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.
【详解】
cos
,
a b
a b
a b
，
cos
,
b a
a b
a b
，
可得a b
b a
，故选项A 正确；
由a b
a c
可得
0
a
b
c
，
又
0
a
，可得b
c
或
a
c
b
，
故选项B 错误；
cos
,
R
a b
c
a b
a b c
c
,
cos
,
R
a
b c
c b
c b a
a
所以
a b
c
a
b c
不一定成立，
故选项C 错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；
故选：AD.
12.(多选) ABC
中，下列说法正确的是（
）
A．与AB
共线的单位向量为
AB
AB
B．AB
AC
BC
C．若
0
AB AC
，则ABC
为钝角三角形
D．若ABC
是等边三角形，则AB
，BC
的夹角为60°
【答案】AC
【分析】根据单位向量判断A，根据向量减法判断B，根据向量夹角、数量积的定义判断C、D；
【详解】解：对于A：与AB
共线的单位向量为
AB
AB
，故A 正确；
对于B：AB
AC
CB
，故B 错误；
对于C：
cos
0
AB AC
AB
AC
A
，所以cos
0
A
，所以A 为钝角，则ABC
为钝角三角形，故C 正确；
对于D：若ABC
是等边三角形，则AB
，BC
的夹角为120，故D 错误；
故选：AC
13.设平面向量, ,
a b c
均为非零向量，则下列命题中正确的是（
）
A．若a b
a c
，则b
c
B．,
a b
反向，且a
b
，则a
b
与b
同向
C．a
b
a
b
等价于
0
a b
D．若
a b
c
b c
a
，则//
a c
【答案】CD
【分析】由反例可知A 错误；根据向量方向和模长大小关系可知a
b
与b
反向，知B 错误；根据向量数
量积的运算律可知C 正确；根据向量数量积定义可知,a c
共线，知D 正确.
【详解】对于A，若
1,0
a
，
0,1
b
，
0,2
c
，则
0
a b
a c
，此时b
c
，A 错误；
对于B，若,a b
反向，且a
b
，则a
b
与b
反向，B 错误；
对于C，由a
b
a
b
得：
2
2
a
b
a
b
，则4
0
a b
，即
0
a b
，C 正确；
对于D，
a b
c
c
，
,
b c
a
a
R
，又
a b
c
b c
a
，
c
a
，
//
a c
，D 正确.
故选：CD.
14.已知单位向量,a b
的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（
）
A．
0
a b
B．
3
a
b
r
r
C．
4
3
a
a
b
D．a
a
b
【答案】BC
【分析】当
π
时即可判断A，将
3
a
b
r
r
两边平方，得到
1
2
a b
，从而求出即可判断B 选项，利
用向量数量积的运算展开即可判断的值或范围即可得到C 选项，由a
a
b
得
1
2
a b
，当
π
即可判
断选项D.
【详解】若
0
a b
，则可能为π ，A 选项不是为钝角的充分条件，
故A 不正确，
若
3
a
b
r
r
，两边平方得
1
1
cos
2
2
a b
a b
，
即向量,a b
的余弦值为
1
2
，所以
2π
3
，
B 选项是为钝角的一个充分条件；
故B 选项正确，
若
4
3
a
a
b
，则
1
3
a b
，
即向量,a b
的余弦值为
1
3
，所以cos
0
且cos
1,
为钝角，，
C 选项是为钝角的充分条件，
故C 选项正确，
若a
a
b
，两边平方得
1
2
a b
，当
π
时满足题意
所以不一定为钝角，D 不是为钝角的充分条件，
故D 不正确，
故选：BC.
15.已知
1
a
，
2
b
，
3π
,
4
a b
，则
a
a
b
.
【答案】0
【分析】直接根据数量积的运算律、数量积的定义进行运算即可求解.
【详解】由题意
2
2
2
3π
2
cos
1
1
2
0
4
2
a
a
b
a
a b
a
a b
.
故答案为：0.
16.已知向量a
，b
满足|
| 3
a
，|
| 2
b
，a
与b
的夹角为120，则|
2 |
a
b
．
【答案】13 /
1
2
13
【分析】将|
2 |
a
b 平方，结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意得
2
2
2
|
2 |
4
4
a
b
a
a b
b
9
4 3 2 cos120
16
13
，
故|
2 |
13
a
b
，
故答案为：13
17.已知向量a
、b
满足
5
a
a
b
，且
2
a
，
1
b
，则向量a
与b
的夹角为
.
【答案】π
3
【分析】设向量a
与b
的夹角为，则0
π
，利用平面向量数量积的运算性质以及定义可得出cos的
值，再结合的取值范围可得出的值.
【详解】设向量a
与b
的夹角为，则0
π
，
所以，
2
2
cos
4
2cos
5
a
a
b
a
a b
a
a
b
，可得
1
cos
2
，
故
π
3
.
故答案为：π
3 .
18.在矩形ABCD中，
4,
2
AB
AD
，点
,
M N 分别是
,
CD BC 的中点，则AM MN
uuur uuur
．
【答案】2
【分析】用
,
AB AD
表示
,
AM MN
，
1
1
1
(
) (
)
2
2
2
AM MN
AD
AB
AB
AD
，即可判断
【详解】因为四边形ABCD 为矩形，所以
0
AB AD
uuur uuur
，
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
(
) (
)
|
|
|
|
16
4
2
2
2
2
4
2
4
4
2
AM MN
AD
AB
AB
AD
AB
AD
AB AD
，
故答案为：2.
19.已知向量a
与b
满足
2
a
，
1
b
，a
与b
的夹角为60．
(1)求a b
；
(2)求2
3
a
b
．
【答案】(1)1；
(2) 13 .
【分析】（1）根据数量积的计算公式，结合已知条件，计算即可；
（2）根据模长计算公式，结合（1）中所求数量积，计算即可.
【详解】（1）设a
与b
的夹角为，
则
1
cos
2 1
1
2
a b
a b
；
（2）2
3
a
b
2
2
2
2
3
4
9
12
a
b
a
b
a b
16
9 12
13
.
20.已知
2
a
，
3
b
，
2
3
2
7
a
b
a
b
.
(1)求a
b
；
(2)求向量a
与a
b
的夹角的余弦值.
【答案】(1) 11
(2) 3 11
22
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出a
b
；
（2）设向量a
与a
b
的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出cos的值.
【详解】（1）已知
2
a
，
3
b
，
2
2
2
3
2
4
4
3
16
4
27
7
a
b
a
b
a
a b
b
a b
，
1
a b
，
2
2
2
4
2
2
9
11
a
b
a
b
a
a b
b
；
（2）设向量a
与a
b
的夹角的夹角为，
则
2
4 1
3 11
cos
22
2
11
2
11
a
a
b
a
a b
a
a
b
，
向量a
与a
b
的夹角的余弦值为3 11
22 .
21.已知向量a
b
，向量c
与a
，b
的夹角都是60°，且
1
a
，
2
b
，
3
c
，试求
(1)
2
2
a
b
c
；
(2)
3
2
3
a
b
b
c
.
【答案】(1)11
(2)
7
2
【分析】（1）根据数量积的运算律即可代入求解，
（2）由数量积的运算律即可代入求解.
【详解】（1）向量a
b
，向量c
与a
，b
的夹角都是60°，且
1
a
，
2
b
，
3
c
，
2
1
a
，
2
4
b
，
2
9
c
，
0
a b
，
3
cos60
2
a c
a c
，
cos60
3
b c
b
c
，
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
b
2
4
1 16
9
0
3 12
11
a c
b c
；
（2）
2
27
7
3
2
3
3
3
3
2
2
3
0
8 18
2
2
a
b
b
c
a b
a
c
b
b
c
22.在ABC
中，已知
4,
3,
BC
AC
P
在线段BC 上，且
1
2
,
3
3
BP
BC AQ
AB
，设
,
CB
a CA
b
．
(1)用向量,a b
表示AP
；
(2)若
60
ACB
，求AP CQ
．
【答案】(1)
2
3
AP
a
b
(2)13
9
【分析】（1）根据向量基本定理求出答案；
（2）先求出
2
1
3
3
CQ
a
b
，结合（1）中所求的
2
3
AP
a
b
，利用向量数量积公式求出AP CQ
的值.
【详解】（1）因为
1
3
BP
BC
，所以
2
3
CP
CB
，
由题得
2
2
3
3
AP
CP
CA
CB
CA
a
b
；
（2）由已知得
2
2
2
1
2
1
3
3
3
3
3
3
CQ
CA
AQ
CA
AB
CA
CB
CA
CB
CA
a
b
，
2
2
2
2
1
4
4
1
3
3
3
9
9
3
AP CQ
a
b
a
b
a
a b
b
2
2
4
4
1
13
4
4 3 cos60
3
9
9
3
9
23.已知向量a在向量b
上的投影向量为1
2 b
r
，且3a
b
a
b
r
r
r
r
，则
,
a b
（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】B
【解析】因为向量a在向量b
上的投影向量为1
2 b
r
，所以
2
1
1
2
2
a b
b b
b
．
因为3a
b
a
b
r
r
r
r
，所以
2
2
2
2
9
6
2
a
a b
b
a
a b
b
，即
2
a
a b
，
故
2
2
a
b
，所以
2
2
1
2
2
cos
,
2
2
2
b
a b
a b
a
b
b
．
因为0
,
π
a b
，所以
π
,
4
a b
.故选：B．
24．已知非零向量,
a b
满足：向量a
b
与向量b
垂直，且向量
4
a
b
与向量a垂直，则a与b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
6
【答案】C
【解析】因为向量a
b
与向量b
垂直，
所以
2
0
a
b
b
a b
b
，所以
2
a b
b
，
因为向量
4
a
b
与向量a垂直，
所以
2
4
4
0
a
b
a
a
a b
，所以
2
4
a
a b
，
所以
2
2
4
a
b
，即
2
a
b
，所以
2
2
1
cos ,
2
2
b
a b
a b
a
b
b
，又0
,
π
a b
，
所以
π
,
3
a b
，即a与b
的夹角为π
3 .故选：C
25．在ABC
中，已知
4
AB
，
10
AC
，
60
BAC
，BC 、AC 边上的两条中线AM 、BN 相交于点G .
（1）求BN 、AM 的长；
（2）求
MGN
的余弦值.
【答案】（1）
39
AM
，
21
BN
；（2）
4 91
cos
91
MGN
【解析】（1）因为M BC 的中点，则
1
1
1
1
2
2
2
2
AM
AB
BM
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
所以，2AM
AB
AC
，
所以，
2
2
2
2
2
2
4
2
2
cos60
AM
AB
AC
AB
AC
AB AC
AB
AC
AB
AC
2
2
1
4
10
2 4 10
156
2
，
所以，
39
AM
，
因为N 为AC 的中点，所以，
1
2
BN
AN
AB
AC
AB
，
则
2
2
2
2
2
2
1
1
1
cos60
2
4
4
BN
AC
AB
AB
AC
AB AC
AB
AC
AB
AC
2
2
1
1
4
10
4 10
21
4
2
，故
21
BN
.
（2）因为
2
2
1
1
1
2
2
2
2
4
AM BN
AB
AC
AC
AB
AC
AB AC
AB
2
2
2
2
1
1
1
cos60
2
10
4 10
2 4
12
4
4
2
AC
AB
AC
AB
，
所以，
12
4 91
cos
cos
cos
,
91
39
21
AM BN
MGN
AGB
AM BN
AM
BN
.
