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2023届高考数学三轮冲刺卷：平面向量数量积的坐标运算
一、选择题（共20小题；）
1. 已知 ⃗a=(2,−1)，⃗b=(1,−1)，则 (⃗a+2⃗b)⋅(⃗a−3⃗b) 等于 ()
A. 10 B. −10 C. 3 D. −3
2. 已知 ⃗AB=(2,3)，⃗AC=(3,t)，∣⃗BC∣=1，则 ⃗AB⋅⃗BC= ()
A. −3 B. −2 C. 2 D. 3
3. 已知 ⃗AB=(2,3)，⃗AC=(3,t)，∣⃗BC∣=1，则 ⃗AB⋅⃗BC= ()
A. −3 B. −2 C. 2 D. 3
4. 已知 ⃗a=(1,3)，⃗b=(n,1)，若 ∣⃗a+⃗b∣=⃗a⋅⃗b，则 n 的值为 ()
1
A. −3 B. −2 C. D. 2
6
5. 已知向量 ⃗a=(2,3)，⃗b=(3,2)，则 ∣⃗a−⃗b∣= ()
A. √2 B. 2 C. 5√2 D. 50
6. 在四边形 ABCD 中，⃗AC=(1,2)，⃗BD=(−4,2)，则该四边形的面积为 ()
A. √5 B. 2√5 C. 5 D. 10
7. 向量 ⃗a=(1,−1)，⃗b=(−1,2)，则 (2⃗a+⃗b)⋅⃗a 等于 ()
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 已知四边形 ABCD 是菱形，若 ⃗AC=(1,2)，⃗BD=(−2,λ)，则 λ 的值是 ()
A. −4 B. 4 C. −1 D. 1
(1 √3) (√3 1)
9. 已知向量 ⃗BA= , ，⃗BC= , ，则 ∠ABC= ()
2 2 2 2
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 120∘
10. 在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE⊥BD，垂
足为 E，则 ⃗AE⋅⃗EC= ()
72 12 12 144
A. B. C. D.
5 25 5 25
π
11. 已知 ⃗a，⃗b，⃗e 是平面向量，⃗e 是单位向量．若非零向量 ⃗a 与 ⃗e 的夹角为 ，向量 ⃗b 满足
3
⃗b2−4⃗e⋅⃗b+3=0，则 ∣⃗a−⃗b∣ 的最小值是 ()A. √3−1 B. √3+1 C. 2 D. 2−√3
12. 已知平面向量 ⃗a=(1,−3)，⃗b=(4,−2)，⃗a+λ⃗b 与 ⃗a 垂直，则 λ 等于 ()
A. −2 B. 1 C. −1 D. 0
13. 在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=2，⃗AB⋅⃗AD=4，点 P 在边 CD 上，则 ⃗PA⋅⃗PB
的取值范围是 ()
A. [−1,8] B. [−1,+∞) C. [0,8] D. [−1,0]
14. 已知 ⃗OA=(−2,1)，⃗OB=(0,2) 且 ⃗AC∥⃗OB，⃗BC⊥⃗AB，则点 C 的坐标是 ()
A. (2,6) B. (−2,−6) C. (2,−6) D. (−2,6)
15. 已知 A，B 是半径为 √2 的 ⊙O 上的两个点，⃗OA⋅⃗OB=1，⊙O 所在平面上有一点 C
满足 ∣⃗OA+⃗CB∣=1，则 ∣⃗AC∣ 的最大值为 ()
√6
A. √2+1 B. +1 C. 2√2+1 D. √6+1
2
π
16. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD= ，AB=2，AD=1，若 M，N 分别是边 AD，
3
MD NC
CD 上的点，且满足 = =λ，其中 λ∈[0,1]，则 ⃗AN⋅⃗BM 的取值范围是 ()
AD DC
A. [−3,1] B. [−3,−1] C. [−1,1] D. [1,3]
17. 若动点 A，B 分别在直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0 上移动，则 AB 的中点 M 到
1 2
原点的距离的最小值为 ()
A. 3√2 B. 2√2 C. 3√3 D. 4√2
( π) 1 ( π)
18. 已知 sin α+ = ，则 cos 2α+ = ()
6 3 3
1 7 7 1
A. B. ± C. D.
3 9 9 9
19. 抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，N 为准线上一点，M 为 y 轴上一点，∠MNF 为直角，
若线段 MF 的中点 E 在抛物线 C 上，则 △MNF 的面积为 ()
√2 3√2
A. B. √2 C. D. 3√2
2 2
20. 已知向量 ⃗a=(sinx,cosx)，向量 ⃗b=(1,√3)，则 ∣⃗a+⃗b∣ 的最大值为 ()
A. 1 B. √3 C. 9 D. 3
二、填空题（共5小题；）21. 已知向量 ⃗a=(1,1)，⃗c=(x,−2)，2⃗a+⃗b=(4,3)，若 ⃗b⊥⃗c，则 x 的值为 ．
22. 已知向量 ⃗a=(1,2)，⃗b=(0,3)，则 ⃗b 在 ⃗a 的方向上的投影为 ．
23. 设平面向量 ⃗a=(1,2)，⃗b=(−2,y)，若 ⃗a⊥⃗b，则 |2⃗a−⃗b|= ．
24. 已知在矩形 ABCD 中， AB=2， AD=1， E， F 分别为 BC，CD 的中点，则
(⃗AE+⃗AF)⋅⃗BD= ．
25. 如图，已知 △ABC 是边长为 √3 的等边三角形，且 AB∥x 轴．若点 P 为圆 C：
x2+ y2=1 上的动点，则 ∣⃗PA∣ 的最大值为 ，⃗PA⋅⃗PB 的取值范围是
．
三、解答题（共5小题；）
26. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 1，E 是 AB 的中点．若 F 为正方形
内（含边界）的任意一点．求 ⃗OE⋅⃗OF 的最大值．
27. 已知向量 ⃗a=(x,x−2)，向量 ⃗b=(−x,2)．
（1）试用 x 表示 ⃗a⋅⃗b；
（2）问当 ⃗a，⃗b 夹角为多少时，⃗a⋅⃗b 取得最大值?并求出这个最大值．
28. 如图，已知菱形 ABCD 中，点 P 为线段 CD 上一点，且 ⃗CP=λ⃗CD(0≤λ≤1)．1
（1）若 λ= ，⃗AP=x⃗BC+ y⃗BD，求 x，y 的值；
3
（2）若 BD=BC，且 ⃗BP⋅⃗CD≥⃗PC⋅⃗PD，求实数 λ 的取值范围．
29. 已知四边形 ABCD 为平行四边形，点 A 的坐标为 (−1,2)，点 C 在第二象限，⃗AB=(2,2)，
π
且 ⃗AB 与 ⃗AC 的夹角为 ，⃗AB⋅⃗AC=2．
4
（1）求点 D 的坐标；
（2）当 m 为何值时，⃗AC+m⃗AB 与 ⃗BC 垂直．
x2
30. 设双曲线 C: −y2=1 的左顶点为 D，且以点 D 为圆心的圆 D:(x+2) 2+ y2=r2(r>0) 与
a2
双曲线 C 分别相交于点 A，B，如图所示．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）求 ⃗DA⋅⃗DB 的最小值，并求出此时圆 D 的方程；
（3）设点 P 为双曲线 C 上异于点 A，B 的任意一点，且直线 PA，PB 分别与 x 轴相交
于点 M，N．求证：∣OM∣⋅∣ON∣ 为定值（其中 O 为坐标原点）．答案
1. B 【解析】⃗a+2⃗b=(4,−3)，⃗a−3⃗b=(−1,2)，
所以 (⃗a+2⃗b)⋅(⃗a−3⃗b)=4×(−1)+(−3)×2=−10．
2. C
3. C
4. D 【解析】因为 ⃗a=(1,3)，⃗b=(n,1)，
所以 ⃗a+⃗b=(1+n,4)，∣⃗a+⃗b∣=√(n+1) 2+16，
又 ⃗a⋅⃗b=3+n，∣⃗a+⃗b∣=⃗a⋅⃗b，
所以 n2+2n+17=n2+6n+9，则 n=2．
5. A
6. C 【解析】因为在四边形 ABCD 中，⃗AC=(1,2)，⃗BD=(−4,2)，⃗AC⋅⃗BD=0，
所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，
又 ∣⃗AC∣=√12+22=√5，∣⃗BD∣=√(−4) 2+22=2√5，
1 1
该四边形的面积： ∣⃗AC∣⋅∣⃗BD∣= ×√5×2√5=5．
2 2
7. C 【解析】因为 ⃗a=(1,−1)，⃗b=(−1,2)，
所以 2⃗a+⃗b=2(1,−1)+(−1,2)=(1,0)，
则 (2⃗a+⃗b)⋅⃗a=(1,0)⋅(1,−1)=1．
8. D
1 √3 √3 1
× + ×
9. A 【解析】由题意，得 ⃗BA⋅⃗BC 2 2 2 2 √3，
cos∠ABC= = =
∣⃗BA∣∣⃗BC∣ 1×1 2
所以 ∠ABC=30∘，故选A．
10. D
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，则 A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,3)；
3
直线 BD 的方程为 y= x；
44 4
由 AE⊥BD，则直线 AE 的方程为 y−3=− x，即 y=− x+3；
3 3
3 36
{ y= x, {x= ,
4 25 (36 27)
由 解得 E , ，
4 27 25 25
y=− x+3 y= ,
3 25
所以 ⃗AE=
(36
,−
48)
，⃗EC=
(64
,−
27)
，
25 25 25 25
所以 ⃗AE⋅⃗EC= 36 × 64 + ( − 48) × ( − 27) = 144 ．
25 25 25 25 25
11. A 【解析】设 O 为坐标原点，⃗a=⃗OA，⃗b=⃗OB=(x,y)，⃗e=(1,0)，
由 ⃗b2−4⃗e⋅⃗b+3=0 得 x2+ y2−4x+3=0，即 (x−2) 2+ y2=1，
所以点 B 的轨迹是以 C(2,0) 为圆心，1 为半径的圆．
π
因为 ⃗a 与 ⃗e 的夹角为 ，
3
所以不妨令点 A 在射线 y=√3x(x>0) 上，如图，
数形结合可知 ∣⃗a−⃗b∣ =∣⃗CA∣−∣⃗CB∣=√3−1．
min
12. C 【解析】⃗a+λ⃗b=(1+4λ,−3−2λ)，
因为 ⃗a+λ⃗b 与 ⃗a 垂直，
所以 (⃗a+λ⃗b)⋅⃗a=0，
即 1+4λ−3(−3−2λ)=0，
解得 λ=−1．
13. A 【解析】因为 AB=4，AD=2，⃗AB⋅⃗AD=4，
所以 ∣⃗AB∣⋅∣⃗AD∣cosA=4，
1
所以 cosA= ，
2
所以 A=60∘，
以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的垂线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，所以 A(0,0)，B(4,0)，D(1,√3)，
设 P(x,√3)，则 1≤x≤5，
所以 ⃗PA=(−x,−√3)，⃗PB=(4−x,−√3)，
所以 ⃗PA⋅⃗PB=x(x−4)+3=x2−4x+3=(x−2) 2−1，
设 f (x)=(x−2) 2−1，
所以 f (x) 在 [1,2) 上单调递减，在 [2,5] 上单调递增，
所以 f (x) =f (2)=−1，f (x) =f (5)=8，
min max
所以 ⃗PA⋅⃗PB 的取值范围是 [−1,8]．
14. D 【解析】设 C(x,y)，则 ⃗AC=(x+2,y−1)，⃗BC=(x,y−2)，⃗AB=(2,1)，
因为 ⃗AC∥⃗OB，
所以 2(x+2)=0,⋯⋯①
因为 ⃗BC⊥⃗AB，
所以 2x+ y−2=0,⋯⋯②
{x=−2,
由 ①② 可得
y=6,
所以 C(−2,6)．
15. A
【解析】根据题意，∣⃗OA∣=∣⃗OB∣=√2，
因为 ⃗OA⋅⃗OB=1，
1
所以 cos∠AOB= ，∠AOB=60∘，
2
即 △ABO 是等边三角形，建立图示直角坐标系，( √2 3√2) (√2 3√2)
则 O(0,0)，A − , ，B , ，C(x,y)，
2 2 2 2
( √2 3√2) (√2 3√2 )
⃗OA= − , ，⃗CB= −x, −y ，
2 2 2 2
⃗OA+⃗CB=(−x,3√2−y)，
点 C 满足 ∣⃗OA+⃗CB∣=1，
所以 x2+(y−3√2) 2=1，
即点 C 在以 (0,3√2) 为圆心，以 1 为半径的圆上，
( √2 3√2)
点 A − , 到圆心 (0,3√2) 的距离为 √2，
2 2
点 A 到圆上一点的最大距离为 √2+1，即 ∣⃗AC∣ 的最大值为 √2+1．
16. B 【解析】建立如图所示的以 A 为原点，AB，AD 所在直线为 x，y 轴的直角坐标系．
(1 √3)
则 B(2,0)，A(0,0)，D , ．
2 2
MD NC
因为满足 = =λ，λ∈[0,1]，
AD DC
⃗AN =⃗AD+⃗DN=⃗AD+(1−λ)⃗DC
(1 √3)
¿ = , +(1−λ)(2,0)
2 2
¿ ¿
⃗BM =⃗BA+⃗AM
(1 √3)
¿ =(−2,0)+(1−λ) ,
2 2
¿ ¿
则
(5 √3) ( 3 1 √3 )
⃗AN⋅⃗BM = −2λ, ⋅ − − λ, (1−λ)
2 2 2 2 2
¿
=λ2+λ−3
¿ ¿
1
因为 λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为 λ=− ，则 [0,1] 为增区间，
2
故当 λ∈[0,1] 时，λ2+λ−3∈[−3,−1]．
17. A 【解析】依题意知动线段 AB 的中点 M 的轨迹为与直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0
1 2
等距的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 M 的轨迹方程为 x+ y+m=0，根据平行线间的距离公式得
∣m+7∣ ∣m+5∣
= ⇒∣m+7∣=∣m+5∣⇒m=−6，
√2 √2
即点 M 的轨迹方程为 x+ y−6=0，
∣−6∣
根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 =3√2．
√2
18. C 【解析】cos
(
2α+
π) =1−2sin2(
α+
π)
=1−2×
(1) 2
=
7
．
3 6 3 9
故选C．
19. C 【解析】如图所示，不妨设点 N 在第二象限，连接 EN，易知 F(1,0)，
因为 ∠MNF 为直角，点 E 为线段 MF 的中点，
所以 ∣EM∣=∣EF∣=∣EN∣，又 E 在抛物线 C 上，
(1 )
所以 EN⊥准线x=−1，E ,√2 ，
2
所以 N(−1,√2)，M(0,2√2)，
所以 ∣NF∣=√6，∣NM∣=√3，
3√2
所以 △MNF 的面积为 ．
2
20. D
21. 1
【解析】因为向量 ⃗a=(1,1)，⃗c=(x,−2)，2⃗a+⃗b=(4,3)，
所以 ⃗b=(2⃗a+⃗b)−2⃗a=(4,3)−(2,2)=(2,1)，
若 ⃗b⊥⃗c，则 ⃗b⋅⃗c=(2,1)⋅(x,−2)=2x−2=0，
则 x=1．
6√5
22.
5
⃗a⋅⃗b 6 6√5
【解析】∣⃗b∣cosθ= = = ．
∣⃗a∣ √5 5
23. 5【解析】因为 ⃗a⊥⃗b，⃗a=(1,2)，⃗b=(−2,y)，
所以 ⃗a⋅⃗b=(1,2)⋅(−2,y)=−2+2y=0，
所以 y=1，
所以 ⃗b=(−2,1)，
所以 |2⃗a−⃗b|=|(4,3)|=5．
9
24. −
2
【解析】如图，以 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平
面直角坐标系，
则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，
所以 C(2,1)．
因为 E，F 分别为 BC，CD 的中点，
( 1)
所以 E 2, ，F(1,1)，
2
因为 ⃗AE+⃗AF= ( 3, 3) ，⃗BD=(−2,1)，
2
3 9
所以 (⃗AE+⃗AF)⋅⃗BD=3×(−2)+ ×1=− ．
2 2
[ 1 11]
25. √3+1， − ,
2 2
26. 设 O 为原点．
A(1,0)，C(0,1)，⃗OE= ( 1, 1) ．
2
设 ⃗OF=(x,y)（其中 0≤x≤1，0≤ y≤1），
1 1 3
所以 ⃗OE⋅⃗OF=x+ y≤1+ ×1= ．
2 2 2
27. （1） ⃗a⋅⃗b=−x2+2x−4．
（2） ⃗a⋅⃗b=−x2+2x−4=−(x−1) 2−3，知 ⃗a⋅⃗b 的最大值为 −3，
此时 ⃗a=(1,−1)，⃗b=(−1,2)，
设夹角为 θ，
3√10 3√10
则 cosθ=− ⇒θ=π−arccos ．
10 10
⃗AP =⃗AB+⃗BC+⃗CP
28. （1） 2
¿ = ⃗AB+⃗AD.
3
⃗BD=⃗AD−⃗AB．
所以
⃗AP =x⃗BC+ y⃗BD
¿ =−y⃗AB+(x+ y)⃗AD.
{ 2
−y= ,
所以 3
x+ y=1,
5
{ x= ,
3
解得
2
y=− .
3
（2） 以 B 为坐标原点，以 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，
因为 BD=BC=CD，
所以 △BCD 是等边三角形，
(1 √3) ( 1 √3) (1 √3)
设 AB=1，则 B(0,0)，C , ，D − , ，P −λ, ．
2 2 2 2 2 2
(1 √3)
所以 ⃗BP= −λ, ，⃗CD=(−1,0)，⃗PC=(λ,0)，⃗PD=(λ−1,0)．
2 2
1
所以 ⃗BP⋅⃗CD=λ− ，⃗PC⋅⃗PD=λ2−λ，
2
因为 ⃗BP⋅⃗CD≥⃗PC⋅⃗PD，
1
所以 λ− ≥λ2−λ．
2
√2 √2
解得 1− ≤λ≤1+ ，
2 2
又 0≤λ≤1，√2
所以 1− ≤λ≤1．
2
29. （1） 设 C(x,y)，D(a,b)，则 ⃗AC=(x+1,y−2)．
π
因为 ⃗AB 与 ⃗AC 的夹角为 ，⃗AB⋅⃗AC=2，
4
⃗AB⋅⃗AC 2 √2
= =
所以 ，
∣⃗AB∣∣⃗AC∣ √22+22√(x+1) 2+(y−2) 2 2
即 (x+1) 2+(y−2) 2=1.⋯⋯①
又 ⃗AB⋅⃗AC=2(x+1)+2(y−2)=2，即 x+ y=2.⋯⋯②
{x=−1, {x=0,
联立①②解得 或
y=3 y=2.
又点 C 在第二象限，所以 C(−1,3)．
又 ⃗CD=⃗BA，所以 (a+1,b−3)=(−2,−2)，
解得 a=−3，b=1．所以 D(−3,1)．
（2） 由（1）可知 ⃗AC=(0,1)，
所以 ⃗AC+m⃗AB=(2m,2m+1)，⃗BC=⃗AC−⃗AB=(−2,−1)．
因为 ⃗AC+m⃗AB 与 ⃗BC 垂直，
所以 (⃗AC+m⃗AB)⋅⃗BC=−4m−(2m+1)=0，
1
解得 m=− ．
6
30. （1） 由条件知：双曲线 C 的左焦点为 D(−2,0)，于是 a=2．
x2
故双曲线 C 的方程为 −y2=1．
4
（2） 易知点 A，B 关于 x 轴对称，设 A(x ,y )，B(x ,−y )(x <−2,y >0)，
1 1 1 1 1 1
x2
则由点 A 在双曲线 C 上，得 y2= 1−1，
1 4
由于 ⃗DA=(x +2,y )，⃗DB=(x +2,−y )，所以
1 1 1 1
⃗DA⋅⃗DB =(x +2,y )⋅(x +2,−y )
1 1 1 1
3
¿ = x2+4x +5
4 1 1
¿ ¿
8 1
因 x <−2，故当 x =− 时，(⃗DA⋅⃗DB) =− ，
1 1 3 min 3
√7 ( 8 √7)
此时 y = ，即 A − , ，
1 3 3 3
从而 r2=∣⃗DA∣ 2= ( − 8 +2 ) 2 + (√7) 2 = 11 ．
3 3 911
所以当 ⃗DA⋅⃗DB 取最小值时，圆 D 的方程为 (x+2) 2+ y2= ．
9
（3） 设 P(x ,y )(y ≠± y )，则 ⃗AP=(x −x ,y −y )，
0 0 0 1 0 1 0 1
直线 AP 的方程为 (y −y )(x−x )−(x −x )(y−y )=0，
0 1 0 0 1 0
y (x −x ) x y −x y
令 y=0，得 x =x − 0 0 1 = 1 0 0 1，
M 0 y −y y −y
0 1 0 1
x y +x y
同理，可得 x = 1 0 0 1 ．
N y + y
0 1
因点 A，M 在双曲线 C 上，故 x2=4(y2+4)，x2=4(y2+4)，
1 1 0 0
于是
(x y ) 2−(x y ) 2
x x = 1 0 0 1
M N y2−y2
0 1
4(y2−y2)
¿ = 0 1
y2−y2
0 1
¿ ¿
因此 ∣OM∣⋅∣ON∣=∣x ∣⋅∣x ∣=x x =4 为定值．
M N M N
