6.6 平面向量的坐标表示与运算
模块一：基础知识......................................................................................... 2
考点一：平面向量的正交分解被坐标的表示.......................................................2
考点二：平面向量的坐标运算.........................................................................2
考点三：平面向量的垂直与平行......................................................................2
考点四：平面向量的模与夹角的坐标表示..........................................................3
考点五：线段的定比分点及λ ..........................................................................4
模块二：题型分类......................................................................................... 4
题型一：平面向量的坐标表示与运算................................................................4
题型二：平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................4
题型三：用坐标表示平面向量.........................................................................5
题型四：根据向量线性运算求参数...................................................................6
题型五：线段的定比分点问题.........................................................................6
题型六：由坐标法判断向量是否共线................................................................7
题型七：由向量共线(平行)求参数................................................................... 7
题型八：用坐标解决三点共线问题...................................................................7
题型九：平面向量数量积的坐标计算................................................................8
题型十：利用坐标研究向量垂直问题................................................................9
题型十一：坐标求向量模长........................................................................... 9
题型十二：坐标求向量的夹角.......................................................................10
题型十三：坐标求投影向量..........................................................................10
题型十四：利用坐标求数量积的最值范围........................................................11
题型十五：坐标解决几何问题.......................................................................12
题型十六：向量坐标运算与三角函数综合........................................................13
模块三：综合巩固....................................................................................... 15
6.6 平面向量的坐标表示与运算
模块一：基础知识
考点一：平面向量的正交分解被坐标的表示
1．平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫
做向量a 的坐标，记作a＝(x，y)，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．向量与坐标的关系
设OA
→＝xi＋yi，则向量OA
→的坐标(x，y)就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA
→的坐标(x，
y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向
量与实数对是一一对应的．
考点二：平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标
λa＝(λx1，λy1)
向量坐标
公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的
坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB
→＝(x2－x1，y2－y1)
考点三：平面向量的垂直与平行
1．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1 时，a∥b．
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0 时，a＝λb．
这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且
使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．
(3)当x2y2≠0 时，x1
x2
＝y1
y2
．
即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
【注意】
1.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2 都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式
上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，
b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2 求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b 与a⊥b 的坐标表示如下：
a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
考点四：平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：
坐标表示
模
|a|2＝x21＋y 21或|a|＝x21＋y21
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB
→|＝x2－x12＋y2－y12
夹角
cosθ＝a·b
|a||b|＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21 x22＋y22
(a，b 为非零向量)
1.向量的模的坐标运算的实质
向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系
中，一定存在点A(x，y)，使得OA
→＝a＝(x，y)，∴|OA
→|＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A 到原点的距离．同样，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB
→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB
→|＝x2－x12＋y2－y12，即平面直角坐标系中任意
两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
2.解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、
平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用
三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决。
考点五：线段的定比分点及λ
设
1P 、
2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于
1P 、
2P 的任一点，则一定存在实数，使
1
2
PP
PP
，叫做
点P 分
1
2
PP
所成的比.有三种情况：
0
(内分)
(外
分)
0
(
1
)
(外分)
0
( 1
0
)
（1）定比分点坐标公式：若点
1
1
1
(
)
P x
y
，
，
2
2
2
(
)
P x
y
，
，为实数，且
1
2
PP
PP
，
则点P 坐标为
1
2
1
2
(
)
1
1
x
x
y
y
，
，我们称为点P 分
1
2
PP
所成的比.
（2）点P 的位置与的范围的关系：
①当
0
时，
1PP
与
2
PP
同向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的内分点；
②当
0
(
1
)时，
1PP
与
2
PP
反向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的外分点.
（3）若P 分有向线段
1
2
PP
所成的比为，点M 为平面内的任一点，则
1
2
1
MP
MP
MP
；
特别地P 为
1
2
PP 的中点
1
2
2
MP
MP
MP
.
模块二：题型分类
题型一：平面向量的坐标表示与运算
1．已知向量
2,3
a
r
，
1,2
b
，则a
b
（
）
A．
7,3
B．
3,5
C．
2, 2
D．
5,5
2．已知向量
1,2
a
r
，
0,1
b
，则a
b
（
）
A．
1,3
B．
3,1
C．
1,1
D．
1, 1
3．若向量
2,3
BA
，
4,7
CA
，则BC
.
4．已知向量
(2,8),
( 4,2)
a
b
．若
2
c
a
b
，则向量c
（
）
A．(0,18)
B．(8,14)
C．(12,12)
D．( 4,20)
5．已知向量
(1,2)
a
，
(3,1)
b
，则b
a
（
）
A．
2,1
B．(2, 1)
C．(2,0)
D．
4,3
题型二：平面向量数乘运算的坐标表示
1．已知向量
3,2
a
，
1,3
b
，那么2a
b
（
）
A．
5,1
B．
5, 1
C．
4,1
D．
4
1
,
2．已知
5, 2
a
，
4, 3
b
，若
2
3
0
a
b
c
，则c
（
）
A．
13
4
,
3
3
B．13 8
,
3 3
C．13 4
,
3
3
D．
8
1, 3
3．已知向量
1, 6 ,
1,0
a
b
，则
3
a
b
（
）
A．
2, 6
B．
2,6
C．
1, 6
D．
4, 6
4．已知向量
3,2
a
，
0, 1
b
，则2
4
a
b
等于（
）
A．
6,0
B．
6,0
C．
6, 8
D．
6,8
5．设向量
2,1 ,
0, 2
a
b
，则
2
a
b
的模长为（
）
A．
2, 3
B．(3
2)
，
C．13
D．5
6.解答下列各题：
(1)设向量
1,2
a
，
4,3
b
，求
2
a
b
；
(2)已知两点
3, 2
M
和
5, 1
N
，点P 满足
1
2
MP
MN
，求点P 的坐标．
7.已知向量
2,1
a
r
，
3,4
b
，
4,7
c
.
(1)求2
3
a
b
c
；
(2)求满足c
ma
nb
的实数m ，n ；
题型三：用坐标表示平面向量
1.已知
1,3
AB
，且点
2,5
A
，则点B 的坐标为（
）
A．
1,8
B．
1,8
C．
3, 2
D．
3,2
2.已知
(8,5)
PQ
，点
(7,8)
Q
，则点P 的坐标为（
）
A．(1,3)
B．( 1,3)
C．( 1, 3)
D．(15,23)
3.设点A(1,2)，B(3,5)，将向量AB
按向量a
＝(－1,－1)的方向平移后得到A B
为（
）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,7)
4.已知平行四边形ABCD中，
1,2
AB
，
5,3
C
，则点D 的坐标为（
）
A．(
)
2, 1
-
B．
4, 1
C．
4,1
D．
6,5
5.已知向量
1, 5
PQ
，
2,1
QR
，则PR
（
）
A．
4, 6
B．
1, 4
C．
2,4
D．
2, 4
题型四：根据向量线性运算求参数
1.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC
AM
BD
，则
的值为（
）
A．4
3
B．5
3
C．15
8
D．2
2.已知向量a
，b
满足
2
0,3
a
b
，
2
3,0
a
b
，
1,1
a
b
，则
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．2
3.已知向量
2, 1
a
，
1,6
b
，
7,3
c
，则c
可用a
与b
表示为（
）
A．3a
b
B．
3
a
b
C．3
2
a
b
D．3a
b
4.如图，已知
2
OA
，
3
OB
，
1
OC ，
60
AOB
，
90
BOC
，若OB
xOA
yOC
，则x
y （
）
A．
3
B．1
2
C．
3
3
D．2
3
题型五：线段的定比分点问题
1.已知直角坐标平面上两点
1
1,1
P
、
2 2,3
P
，若P 满足
1
2
2
PP
PP
，则点P 的坐标为
.
2.已知点
0,0
O
，向量
2,3
OA
，
6, 3
OB
，点P 是线段AB 的三等分点，则点P 的坐标是（
）
A．14 , 1
3
B．10 ,1
3
C．14 , 1
3
或10 ,1
3
D．14 ,1
3
或10 ,1
3
3.已知
1 3,2
P
，
2 9,11
P
，点
5,
P
y 分
1 2
PP
所成的比为，则y 与的值分别为（
）
A．
8,
2
y
B．
13
1
,
2
2
y
C．
15
1
,
4
2
y
D．
1
5,
2
y
4.（多选）已知点M 是ABC
的重心，点
1,2
A
，
2,3
B
，
2,5
C
，点D 是BC 上靠近点B 的三等分点，
则（
）
A．
1 10
,
3
3
M
B．
2 11
,
3 3
D
C．
π
,
3
MD AC
D．3
2 6
MD
AC
题型六：由坐标法判断向量是否共线
1.与
1,4
a
共线的向量是（
）
A．
1, 4
B．
1, 4
C．
1,4
D．
4,1
2.已知向量
2, 1
a
，
1,3
b
，则下列向量与2a
b
平行的是（
）
A．
0,2
B．
2
2, 3
C．(
)
1, 2
-
D．
1,3
3.（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量的基底的是（
）
A．
2,3 ,
4,6
a
b
r
r
B．
2,3 ,
3,2
a
b
r
r
C．
1, 2 ,
7,14
a
b
r
r
D．
3,2 ,
6, 4
a
b
r
r
4.（多选）已知向量
(1, 2)
a
，
( 2,4)
b
，则下列结论正确的是（
）
A．//
a b
B．a与b
可以作为一组基底
C．2
0
a
b
D．b
a
与a方向相同
题型七：由向量共线(平行)求参数
1.已知向量
1,1
a
，
4,2
b
y
，且a
b
∥，则y （
）
A．4
B．2
C．0
D．2
2.设向量
1,
1
a
x
，
1,3
b
x
，则“a与b
同向”的充要条件是（
）
A．
2
x
B．
2
x
C．
2
x
D．
1
2
x
3.已知向量
(1,
),
(
1,6)
a
m b
m
，且2a
b
与a共线，则实数m
．
4.已知向量
1,2
a
，
2,1
b
，且
2
/ /
a
b
a
b
，则实数
．
题型八：用坐标解决三点共线问题
1.已知mR ，三点
1, 1
A
、
1,3
B
、
,2
C m
m
t
共线，则t
．
2.（多选）向量
,12
PA
k
，
4,5
PB
，
10,
PC
k
，若A，B，C 三点共线，则k 的值可能为（
）
A．2
B．－2
C．11
D．－11
3.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过
程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C 三点恰好共线，则m （
）
A．7
B．22
3
C．23
3
D．8
4.已知
1,1 ,
1,4 ,
,
A
B
C a b
．
（1）若
,
,
A B C 三点共线，求a 与b 满足的关系式；
（2）若
,
,
A B C 三点共线，
2
AC
AB
，求点C 的坐标．
题型九：平面向量数量积的坐标计算
1.已知
2,3
a
r
，
2,4
b
r
，
1, 2
c
，分别求下列各式的值：
（1）
2
3
a
b
a
b
；
（2）
a
b
c
；
（3）
2
a
b
．
2.已知
, 2
a
k
，
3,1
b
且
4
a
，则
a b
．
3.已知向量
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，则(
2 )
a
b
b
.
4.已知向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，则
2
a
b
a
b
（
）
A．10
B．18
C．
7,8
D．
4,14
5.已知向量
1, 1
a
，
,2
b
m
，若(
) / /
a
b
a
，则2
a b
（
）
A．8
B．7
C．7
D．8
6.已知向量a
，b
，c
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
a
b
c
（
）
A．11
B．7
C．3
D．1
7.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则
AC
AD
AB
AD
（
）
A．4
B．2
C．0
D．4
8.已知边长为2 的菱形ABCD中，
π
3
DAB
，点E 是BC 上一点，满足
3
BE
EC
，则AE BD
（
）
A．1
2
B．
1
2
C．
4
3
D．3
9.在ABC
中，AB
AC
，且
2
AB
AC
，M 是BC 的中点，O是线段AM 的中点，则
OA
OB
OC
的值为（
）
A．0
B．
3
2
C．
1
2
D．2
题型十：利用坐标研究向量垂直问题
1.（多选）下列向量中，与
3,2
a
不垂直的向量是（
）
A．
3, 2
B．
2,3
C．
4,6
D．
3,2
2.已知向量
1,
,
4,
a
x
b
x
，则“
2
x
”是“a
b
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.已知向
1,2
a
r
，
2,3
b
，若向量a
tb
与a
垂直，则实数t （
）
A．
5
4
B．5
4
C．
5
8
D．5
8
4.已知向量
1,1 ,
1,
a
b
m
，若
a
ma
b
，则m （
）
A．1
3
B．1
C．
1
3
D．1
题型十一：坐标求向量模长
1.已知平面向量
2,0
a
，
1
3
,
2
2
b
，则1
2 a
b
（
）
A．1
B．2
C．
3
D．3
2.已知向量
2,
a
m
r
，
1,2
b
，a
b
a
b
，则实数m 的值为（
）
A．1
B．
1
2
C．
1
2
D．1
3.已知平面向量a
，b
，c
满足
(2,1)
a
，
(1,2)
b
，且a
c
.若
3 2
b c
，则|
|
c
（
）
A．10
B．2 5
C．5 2
D．3 5
4.已知
cos23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos22
b
，
u
a
tb t
R
.
（1）求a b
；
（2）求u
的模的最小值.
题型十二：坐标求向量的夹角
1.已知点
2,3
A
，
1,1
B
，向量
2,7
a
，
5,7
b
，则AB
与a b
的夹角的余弦值为（
）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
5
5
D．2 5
5
2.向量|
| |
| 1,|
|
2
a
b
c
，且
0
a
b
c
，则cos
,
a
c b
c
．
3.已知
1,2
a
r
，
1,3
b
，则向量a b
在a
b
方向上的投影向量的坐标为
.
4.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
4
AC
，
60
BAC
，BC，AC 边上的两条中线AM，BN 相交于点P，
则
APN
的余弦值为
．
题型十三：坐标求投影向量
1.已知向量
2,1 ,
3,4
a
b
，则向量b
在a方向上的投影向量的坐标为
.
2.向量
2,2 3
a
在向量
3,1
b
上的投影向量是（
）
A．
3, 3
B．
3, 3
C．
3,
3
D．
3,
3
3.已知向量
4,3
a
，
3,
b
，且a
b
，则b
在a
b
方向上的投影向量的坐标为（
）
A．7 2
2
,
2
2
B．
7 1
,
2 2
C．7
1
,
2
2
D．
7, 1
4.已知平面向量
(1,2)
a
，
(0, 1)
b
，a
c
，且
3
b c
．
（1）求c
的坐标；
（2）求向量a c
在向量b
上的投影向量的模．
题型十四：利用坐标求数量积的最值范围
1.已知M 是边长为1 的正ABC
的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN
的取值范围是（
）
A．
3
23
,
4
64
B．
3
1
,
4
2
C．
2
1
,
5
5
D．
3
23
,
5
64
2.在矩形ABCD 中，若
1
AB ，
1
3
BE
BC
，且AB AE
AD AE
，则AE AC
的值为（
）
A．1
2
B．1
C．
3
D．2
3.等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD，
2
AB
，
1
CD ，
π
4
DAB
，P 为腰AD 所在直线上任意一点，则PC PB
的最小值是（
）
A．
3
B．1
C．3
2
D．
2
4.如图，已知直角梯形ABCD，
2
2
4
AB
AD
CD
，
/ /
AB
CD ，AD
AB
，P 是斜腰BC 边（含端点）上
的动点，AP BC
的最小值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．8
5.在扇形OAB 中，
2
OA
，
90
AOB
，M 是OA 中点，点P 在弧AB 上，则PM PB
的最小值为（
）
A．0
B．2
C．4
3 2
D．4
2 5
题型十五：坐标解决几何问题
1.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B､C､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A 的坐标.
2.已知梯形ABCD，其中
/ /
AB
CD ，且
2
DC
AB
，三个顶点(1,2)
A
，
(2,1)
B
，
(4,2)
C
，求点D 的坐标．
3.如图，已知
ABCD
Y
的三个顶点A，B，C 的坐标分别是( 2,1)
，( 1,3)
，(3,4) ，求顶点D 的坐标．
4.（多选）已知点
(
)
1,0
A
，
0,2
B
，
1, 2
C
，则以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的
坐标为（
）
A．
0, 4
B．
2,4
C．
2,0
D．
2,1
5.如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标.
6.在
AOB
中，已知点
(0, 0), (0, 5), (4, 3)
O
A
B
，
1
,
4
OC
OA
1
2
OD
OB
，AD 与BC 交于点M ，求点M 的
坐标．
7.如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
2
DE
CD
＝
．动点P 从点A 出发，沿正方
形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，AP
AB
AE
．则
的取值范围为
．
题型十六：向量坐标运算与三角函数综合
1.已知向量
cos , sin
m
x
x
，
cos ,sin
2 3cos
n
x
x
x
，xR ．设
f
x
m n
．
(1)求函数
f
x 的最小正周期；
(2)若
24
13
f x
，且π
π
6
2
x
，求sin 2x 的值．
2.已知
cos 23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos22
b
，
u
a
tb t
R
.
(1)求a b
；
(2)求u
的模的最小值.
3.设平面向量
cos ,sin
a
x
x
，
2
2
2
2
b
，
，
4 5
5
a
b
.
(1)求
π
cos
4
x
的值；
(2)若
π 5π
,
2
4
x
，求cos2x 的值.
4.已知平面向量
sin ,2sin
,
2cos , 3sin
m
x
x
n
x
x
，函数
3
f x
m n
.
(1)求不等式
1
f
x 的解集；
(2)求函数
f
x 在
π π
,
2 2
上的单调递增区间.
模块三：综合巩固
1．在梯形ABCD中，设AB a
= ，AD
b
，若
2
AB
CD
，则AC
（
）
A．1 +
2 a b
B．
1
2 a
b
C．
1
+ 2
a
b
D．
1
2
a
b
r
r
2．已知向量
1, 5
PQ
，
2,1
QR
，则PR
（
）
A．
4, 6
B．
1, 4
C．
2,4
D．
2, 4
3．已知向量
2, 1 ,
1,2
a
b
，则
a
b
（
）
A．10
B．5
C．10
D．5
4．已知平面向量
1,
1
a
m
，
,
3
b
m m
，若a b
a b
，则实数m 的值为（
）
A．3或1
B．3
C．1或3
D．3
5．已知向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，则
2
a
b
a
b
（
）
A．10
B．18
C．
7,8
D．
4,14
6．已知向量
2,1
a
，
10
b
，
5
a
b
，则a与b
的夹角为（
）
A．45
B．60
C．120
D．135
7．已知
1,3 ,
,2
a
b
x
，若(
)
a
b
a
，则x （
）
A．4
B．
2
3
C．2
3
D．-4
8．设xR ，向量
( ,1)
a
x
，
(1, 2)
b
，且a
b
，则cos
,
a
b b
（
）
A．
2
10
B．
2
2
C．
5
10
D．
2
5
9．已知向量
1,1 ,
2,3
a
b
，则2a
b
．
10．已知向量
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，则(
2 )
a
b
b
.
11．已知向量a
，b
满足
(3, 7)
a
，
8
a b
，则
(3
2 )
a
a
b
．
12．已知向量
sin ,cos
,
2,1
a
b
，若
/ /
a
b
，则
2
sin
sin2
的值为
．
13．若向量
,2
3
AB
x
x
，
1,2
CD
，且
/ /
AB
CD
，则实数x 的值为
．
14．已知
2,3
a
r
,
2,4
b
r
,
1, 2
c
,求a b
，
a
b
a
b
，
a
b
c
，
2
a
b
.
15．已知
2,3
a
r
，
2,4
b
r
，
1, 2
c
，分别求下列各式的值：
(1)
2
3
a
b
a
b
；
(2)
a
b
c
；
(3)
2
a
b
．
16．已知向量a
，b
的坐标，求a b
．
(1)
5,6
a
，
5,3
b
；
(2)
3, 2
a
，
1,2
b
．
17．如图所示，M 是ABC
内一点，且满足
2
3
AM
MB
MC
，BM 的延长线与AC 的交点为N.
(1)设AB
a
，AC
b
，请用a，b
表示AM
；
(2)设BM
BN
，求的值.
18．已知向量
(2, 3)
a
r
，
(1,5)
b
r
，
( ,4)
c
x
，且
// (2
)
c
a
b
，
(1)求x 的值；
(2)若
(
)
b
a
b
，求实数的值.
19．在ABC
中，已知
4,
3,
BC
AC
P
在线段BC 上，且
1
2
,
3
3
BP
BC AQ
AB
，设
,
CB
a CA
b
．
(1)用向量,
a b
表示AP
；
(2)若
60
ACB
，求AP CQ
．
20．已知向量b
与向量
2, 1,2
a
共线，且
18
a b
，
ka
b
ka
b
，
(1)求向量b
的坐标；
(2)求实数k 的值.
21．已知
3
2cos , 2
a
x
，
π
sin
,1
3
b
x
，设
f x
a b
．
(1)求函数
f
x 的单调递增区间；
(2)若
0
5π 2π
,
12
3
x
，且
0
4
5
f
x
，求
0
π
cos 2
12
x
的值．
