文档文本内容
5.3 同角三角函数的基本关系
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：同角三角函数的基本关系 ..................................................2
考点二：关系式的常用等价变形 .....................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................2
题型一：同角三角函数的基本关系 ..................................................2
题型二：平方关系 .......................................................................3
题型三：已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量 ...........................3
题型四：利用平方关系求参数 ........................................................4
题型五：应用同角三角函数的基本关系式化简 ....................................4
题型六：已知tanα,求关于sinα和cosα的齐次式的值 ........................5
题型七：利用sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα之间的关系求值 .......6
题型八：三角恒等式的证明 ...........................................................8
模块三：综合巩固 .........................................................................9
5.3 同角三角函数的基本关系
模块一：基础知识
考点一：同角三角函数的基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系
同一个角α 的正弦、余弦的商等于角α 的正
切.
考点二：关系式的常用等价变形
1、
2
2
sin
cos
1
2
2
2
2
2
2
sin
1 cos
sin
1 cos
cos
1 sin
cos
1 sin
2、sin
tan
cos
sin
tan
cos
sin
cos
tan
模块二：题型分类
题型一：同角三角函数的基本关系
1.已知
5
sin
13
，并且是第四象限角，求cos，tan．
2.若
4
tan
3
，
0,π
，则cos的值为（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
3.已知是第四象限角，且
4
cos
5
，那么tanθ 的值为
4.已知是第二象限角，且
1
cos
3
，则tan的值是（ ）
A．1
3
B．
2
3
C．
2
4
D．2 2
5.若是第四象限的角，且tan
3
，则cos
.
题型二：平方关系
1.已知
2
5
sin
1
m
m
，cos
1
m
m
，且为第二象限角，则tan
.
2.若𝜃是△𝐴𝐵𝐶的一个内角，且sin𝜃cos𝜃= −
1
8，则cos𝜃−sin𝜃的值为（ ）
A．−3
2
B．3
2
C．−5
2
D．5
2
3.已知sin，cos是关于x 的方程
2
5
5
0
x
x
m
的两根，则实数m
．
4.（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A．若sin
m
，则
2
cos
1 m
B．若sin
m
，则
2
cos
1
m
C．若tan
m
，则
2
1
cos
1
m
D．若tan
m
，则
2
sin
1
m
m
5.（多选）已知
4
2
cosθ
5
m
m
，
3
tan
4
2
m
m
，且
π ,π
2
，下面选项正确的是（ ）
A．
8
m
B．
0
m
或
8
m
C．sin
cos
D．
2
95
sin
2sin
cos
169
题型三：已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量
1.计算：
(1)已知
3π
(π,
)
2
，tan
2
，求cos的值.
(2)已知
8
cos
17
，求sin，tan的值
2.若
3
sin
5
，且为第三象限角，则tan（ ）
A．
4
3
B．
3
4
C．4
3
D．3
4
3.若
1
sin
2
，且为第二象限角，则cos
．
4.已知
3
sin
5
，
π
0 2
,
，则cos（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
5.设为第二象限角，若
1
tan
2
，则sin
cos
.
6.已知
3
cos
3
，且
3π
π
2
，则tan
；
题型四：利用平方关系求参数
1.若sin及cos是关于x 的方程
2
2
4
3
0
x
kx
k
的两个实根，则实数k 的值为
2.已知
3
sinθ
5
m
m
，
4
2
cosθ
5
m
m
，且2
，求实数m 的值．
3.已知
1
3
1
sin
,cos
1
1
a
a
a
a
，且是第二象限角，求实数a 的值.
题型五：应用同角三角函数的基本关系式化简
1.已知
tan𝛼
tan𝛼−1 = 2，求下列各式的值.
(1)
2sin𝛼−3cos𝛼
4sin𝛼−9cos𝛼；
(2)4sin2𝛼−3sin𝛼cos𝛼−5cos2𝛼..
2.已知sin
cos
2
sin
cos
，且是第三象限的角，则1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
．
3.化简：
(1)
2
2
cos
sin
tan
2sin
cos
tan
；
(2)
1 cos
1 cos
180
270
1 cos
1 cos
．
4.设cos
1
sin
1
3
x
x
，则1 sin
cos
x
x
．
5.化简：
2
1
2sin10 cos10
cos10
1 cos 10
.
题型六：已知tanα,求关于sinα 和cosα 的齐次式的值
1.（1）已知tan
2
，求cos
5sin
3cos
sin
.
（2）已知3cos
sin
1
cos
2sin
5
，求sin
cos
的值．
2.已知
1
tan
3
，则sin
2cos
5cos
sin
的值为（ ）
A．1
B．1
C．5
16
D．5
4
3.已知sin
cos
3cos
tan
，则
2
cos
tan
1
（ ）
A．
3
5
-
B．
4
5
C．
2
3
D．
1
3
4.若2sin
3cos
1
4sin
9cos
，则tan
.
5.已知tan
2
，则cos
2sin
cos
sin
（ ）
A．0
B．
5
3
C．-1
D．1
3
6.已知tan
2
，则2sin
cos
2cos
3sin
（ ）
A．1
3
B．1
4
C．3
8
D．
1
2
7.若
4
tan
3
，则sin
cos
sin
cos
.
8. 已知角终边上
,2
3 ,
0
P x
x
x
, 且tan
x
，求sin
cos
sin
cos
的值．
题型七：利用sinα+cosα,sinα-cosα 与sinαcosα 之间的关系求值
1.已知
1
sin
cos
2
，
0,π
，求下列各式的值：
(1)sin
cos
；
(2)
1
tan
tan
．
2.已知
π
0, 4
，且
17
sin
cos
13
则tan的值为（ ）
A．12
5
B．
12
5
C．5
12
D．
5
12
3.若
1
cos
sin
3
x
x
，则
3
3
cos
sin x
x
.
4.已知为第四象限角，且
1
sin
cos
3
，则sin
cos
.
5.已知
1
sin
cos
3
，且
0,π
，则sin
cos
的值为（ ）
A．
1
3
B．
17
3
C．
17
3
D．
17
3
或
17
3
6.已知
5
sin
cos
5
，则tan
.
7.已知
1
sin
cos
5
，求sin
cos
的值．
8.已知
7
sin
cos
13
，
0,π
.
(1)求sin
cos
的值
(2)求tan
题型八：三角恒等式的证明
1.求证：
(1)
1 + 2sin𝑥cos𝑥
cos2𝑥−sin2𝑥=
1 + tan𝑥
1−tan𝑥；
(2)tan2𝜃−sin2𝜃= tan2𝜃sin2𝜃；
(3)(cos𝛼−1)2 + sin2𝛼= 2−2cos𝛼；
(4)sin4𝑥+ cos4𝑥= 1−2sin2𝑥cos2𝑥．
2.证明：
(1)2cos2𝜃+ sin4𝜃= cos4𝜃+ 1.
(2)已知
π
2 +2𝑘π < 𝑥<
3
2π +2𝑘π，𝑘∈𝑍，求证：
1−sin𝑥
1 + sin𝑥=
sin𝑥−1
cos𝑥
3.求证：
(1)sin2𝛼+ 2cos2𝛼+ 1
cos2𝛼−sin2𝛼
= 3 + 2tan2𝛼
1−tan2𝛼；
(2)已知tan𝛼=
1
3，求证：sin2𝛼+ sin𝛼cos𝛼=
2
5.
模块三：综合巩固
1.若𝜃∈(0,
π
2)，sin𝜃−cos𝜃=
5
5 ，则tan𝜃= （ ）
A．
1
2
B．2
C．
1
3
D．3
2.函数
2
2
4
25
sin
cos
f x
x
x
的最小值为
，此时
2
tan x
．
3.已知
5
sin
5
，
π
0
2
，则cos （ ）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
2 5
5
D．2 5
5
4.已知
1
cos
2
，其中
,0
2
，sin的值为（ ）
A．－
3
2
B．－
1
2
C．
3
2
D．
1
2
5.当x 为第二象限角时，
| co
sin
|
os
si
s
c
n
x
x
x
x
（ ）
A．1
B．0
C．2
D．－2
6.已知
3
tan
2
，则sin
cos
sin
cos
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．（多选）已知
0,π
，且
1
sin
cos
5
，则（ ）
A．2
B．
12
sin
cos
25
C．
7
cos
sin
5
D．
7
cos
sin
5
8.若
0,π
，
2
2sin
cos
5
，则tan（ ）
A．
3
5
-
B．
4
5
C．
3
4
D．
1
4
9.已知
(0,π)
，且
2
3 1
2sin
8cos
5
，则sin（ ）
A．
5
3
B．2
3
C．1
3
D．
5
9
10.若
1 cos
1 cos
2
1 cos
1 cos
sin
，则α 不可能是（ ）
A．
5π
11
B．10π
11
C．5π
11
D．20π
11
11.已知
3 5
sin
cos
5
，则
1
tan
tan
（ ）
A．
2
5
B．5
2
C．
4
5
D．5
4
12.若角A 是三角形ABC 的一个内角，且
1
sin
cos
3
A
A
，则sin
cos
A
A
.
13.已知
1 π
sin
cos
π
5 2
，求tan.
14.求证：
(1)sin4𝛼−cos4𝛼= sin2𝛼−cos2𝛼；
(2)sin4𝑥+ sin2𝑥cos2𝑥+ cos2𝑥= 1；
(3)
cos𝛼
1 + sin𝛼−
sin𝛼
1 + cos𝛼=
2(cos𝛼−sin𝛼)
1 + sin𝛼+ cos𝛼．
15.（1）已知角θ 的终边上有一点
(
)
,3
0
P x
x
，且
10
cos
10 x
，求sin
tan
的值．
（2）已知角θ 是三角形的内角，
1
sin
cos
5
，求sin
cos
的值．
16.如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径
为1）交于点P .过点P 作圆O 的切线，分别交x 轴、y 轴于点
1
0,0
P x
与
2
0
0,
P
y
.
(1)若
6
，求P 的坐标
(2)若
1
2
OPP
的面积为2，求tan的值；
(3)求
2
2
0
0
9
x
y
的最小值.
