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2023届高考数学三轮冲刺卷：同角三角函数的基本关系
一、选择题（共20小题；）
1. 已知 cos31∘=a，则 sin239∘tan149∘ 的值为 ()
1−a2 a2−1
A. B. √1−a2 C. D. −√1−a2
a a
4
2. 已知 tanx= ，且角 x 的终边落在第三象限，则 cosx= ()
3
4 4 3 3
A. B. − C. D. −
5 5 5 5
3. 若 sinθ，cosθ 是关于 x 的方程 4x2+2mx+m=0 的两个根，则 m 的值为 ()
A. 1+√5 B. 1−√5 C. 1±√5 D. −1−√5
4. 计算 sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋯+sin289∘ 等于 ()
89
A. 89 B. 90 C. D. 45
2
5. 若 sinθ，cosθ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根，则 m 的值为 ()．
A. 1+√5 B. 1−√5 C. 1±√5 D. −1−√5
5
6. 已知 cos(α−π)=− ，且 α 是第四象限角，则 sin(−2π+α)= ()
13
12 12 12 5
A. − B. C. ± D.
13 13 13 12
1 1+2sinαcosα
7. 已知 tanα=− ，则 的值是 ()
2 sin2α−cos2α
1 1
A. B. 3 C. − D. −3
3 3
8. 若 sinα+cosα=1，则 tanα+cotα 的值是 ()
A. 1 B. −1 C. 0 D. 不存在
9. 设 α 是第三象限角，则 sinα⋅secα⋅√csc2α−1 的值为 ()
A. 1 B. tan2α C. cot2α D. −1
10. 若 1+cos2θ=3sinθ⋅cosθ，则 tanθ 的值等于 ()
3+√5 3−√5 3±√5
A. B. C. D. 1 或 2
2 2 2
11. 满足下列关系式的 α 的是 ()
1 2 √5 1
A. sinα= 且 cosα= B. sinα= 且 tanα=
3 3 5 2
1 1 1 2
C. tanα= 且 cotα= D. secα= 且 tanα=
3 2 3 31+sinx 1 cosx
12. 【作业2（补充作业[选做]）】已知 =− ，那么 的值是 ()
cosx 2 sinx−1
1 1
A. B. − C. 2 D. −2
2 2
13. 下列关系中，角 α 存在的是 ()
3 4
A. sinα+cosα= B. sinα+cosα=
2 3
1 2
C. sinα= 且 cosα= D. cosα−sinα=−√3
3 3
14. 已知 α 是第三象限角，4sin2α−3sinαcosα−5cos2α=1，则 tanα= ()
1
A. −1 或 2 B. C. 1 D. 2
2
5
15. 若 θ 是第三象限角，且 sin4θ+cos4θ= ，则 sinθcosθ 的值为 ()
9
√2 √2 1 1
A. B. − C. D. −
3 3 3 3
√5 1
16. 已知 sinα−cosα=− ，则 tanα+ 的值为 ()
2 tanα
A. −4 B. 4 C. −8 D. 8
17. 已 知 △ABC 的 三 个 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c，
b
asin AsinB+bcos2A=√2a，则 等于 ()
a
A. 2√3 B. 2√2 C. √3 D. √2
5
18. 已知 θ 是第三象限角，且 sin4θ+cos4θ= ，则 sinθcosθ 的值为 ()
9
√2 √2 1 1
A. B. − C. D. −
3 3 3 3
1+cosα
19. 若 =2，则 cosα−3sinα= ()
sinα
9 9
A. −3 B. 3 C. − D.
5 5
√3
20. 已知 α 是第二象限角，sinα+cosα= ，则 cos2α 等于 ()
3
√5 √5 √5 √5
A. − B. − C. D.
3 9 9 3
二、填空题（共5小题；）2sinα+cosα
21. 如果 cotα=2，那么 = ．
sinα−3cosα
3
22. 若 cosα=− ，α 是第二象限角，则 sinα 的值为 ．
5
( π)
23. 定义在区间 0, 上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P，过点 P
2
作 PP ⊥x 轴于点 P ，直线 PP 与 y=sinx 的图象交于点 P ，则线段 P P 的长为
1 1 1 2 1 2
．
8
24. 如果在 △ABC 中，cosA= ，那么 tan A 的值为 ．
17
√3tan12∘−3
25. 计算 = ．
(4cos212∘−2)sin12∘
三、解答题（共5小题；）
1
26. 已知 sinα+cosα=− ，0<α<π．
3
（1）求 sinαcosα 的值；
（2）求 sinα−cosα 的值．
27. 已知 tanα=3，求下列各式的值：
4sinα−cosα
（1） ；
3sinα+5cosα
sin2α−2sinαcosα−cos2α
（2） ．
4cos2α−3sin2α
28. 已知 tanα=2，求：
sinα−cosα
（1） ．
sinα−3cosα
sinα⋅cosα+cos2α
（2） ．
1+sin2α
π π π π
29. （1）分别计算
sin4 −cos4
和
sin2 −cos2
的值，你有什么发现?
3 3 3 3
（2）任取一个 α 的值，分别计算 sin4α−cos4α，sin2α−cos2α，你又有什么发现?
（3）证明：∀x∈R，sin2x−cos2x=sin4x−cos4x．
30. 已知关于 x 的方程 2x2−(√3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ，θ∈(0,2π)，求：
sinθ cosθ
（1） + 的值；
1−cotθ 1−tanθ
（2）m 的值；
（3）方程的两根及 θ 的值．答案
1. B 【解析】
sin239∘tan149∘
sin(270∘−31∘)tan(180∘−31∘)¿=¿−cos31∘(−tan31∘)¿=¿sin31∘¿=¿√1−a2.¿
¿
2. D 【解析】因为角 x 的终边落在第三象限，
所以 cosx<0，
4
因为 tanx= ，
3
{sin2x+cos2x=1,
sinx 4
则 = ,
cosx 3
cosx<0,
3
解得 cosx=− ．
5
m m
3. B 【解析】由题意知，sinθ+cosθ=− ，sinθcosθ= ．
2 4
m2 m
又 (sinθ+cosθ) 2=1+2sinθcosθ，所以 =1+ ，解得 m=1±√5．
4 2
又 Δ=4m2−16m≥0，所以 m≤0 或 m≥4，所以 m=1−√5．
4. C
5. B
m m
【解析】由题意知：sinθ+cosθ=− ，sinθcosθ= ，又 (sinθ+cosθ) 2=1+2sinθcosθ，所以
2 4
m2 m
=1+ ，解得：m=1±√5，又 Δ=4m2−16m≥0，所以 m≤0 或 m≥4，所以 m=1−√5．
4 2
5
6. A 【解析】由诱导公式可得 cos(α−π)=−cosα=− ，
13
5
所以 cosα= ，又 α 是第四象限角，
13
12
所以 sin(−2π+α)=sinα=− ．
13
7. C 【解析】
1
− +1
1+2sinαcosα (sinα+cosα)(sinα+cosα) sinα+cosα tanα+1 2 1
= = = = =− ．
sin2α−cos2α (sinα+cosα)(sinα−cosα) sinα−cosα tanα−1 1 3
− −1
2
8. D
9. A
10. D
11. B1+sinx sinx−1 sin2x−1
12. A 【解析】因为 ⋅ = =−1，
cosx cosx cos2x
cosx 1
所以 = ．
sinx−1 2
13. B
14. D 【解析】因为 4sin2α−3sinαcosα−5cos2α=1，
所以 4sin2α−3sinαcosα−5cos2α=sin2α+cos2α，
所以 3sin2α−3sinαcosα−6cos2α=0．
所以 tan2α−tanα−2=0，
解得 tanα=−1 或 2．
因为 α 是第三象限角，
所以 tanα>0，
所以 tanα=2．
故选D．
15. A
5
【解析】因为
sin4θ+cos4θ=
，
9
所以 (sin2θ+cos2θ) 2 = 5 +2sin2θcos2θ．
9
5
所以 1= +2sin2θcos2θ，
9
2
所以
sin2θcos2θ=
．
9
又因为 θ 是第三象限角，
√2 √2
所以 sinθcosθ= = ．
9 3
1 sinα cosα 1
16. C 【解析】tanα+ = + = ．
tanα cosα sinα sinαcosα
1−(sinα−cosα) 2 1
因为 sinαcosα= =− ，
2 8
1
所以 tanα+ =−8．
tanα
17. D 【解析】由正弦定理，得 sin2AsinB+sinBcos2A=√2sinA，即
b sinB
sinB(sin2A+cos2A)=√2sin A，所以 sinB=√2sin A，故 = =√2．
a sin A
18. A
1+cosα
19. C 【解析】因为 =2，
sinα
所以 cosα=2sinα−1，
又 sin2α+cos2α=1，所以 sin2α+(2sinα−1) 2=1，
即 5sin2α−4sinα=0，
4
解得 sinα= 或 sinα=0（舍去），
5
9
所以 cosα−3sinα=−sinα−1=− ．
5
故选C．
20. A
√3
【解析】由 sinα+cosα= ，
3
1
平方得 1+2sinαcosα= ，
3
2
所以 2sinαcosα=− ．
3
5
所以 (cosα−sinα) 2=1−2sinαcosα= ，
3
因为 α 是第二象限角，
所以 sinα>0，cosα<0．
√15
所以 cosα−sinα=− ，
3
√5
所以
cos2α=cos2α−sin2α=(cosα+sinα)⋅(cosα−sinα)=−
．
3
4
21. −
5
4
22.
5
2
23.
3
15
24.
8
25. −4√3
【解析】
(sin12∘ sin60∘)
√3tan12∘−3 =√3 −
cos12∘ cos60∘
−2√3sin48∘
¿ = .
cos12∘√3tan12∘−3 −2√3sin48∘
=
(4cos212∘−2)sin12∘ 2cos24∘sin12∘cos12∘
−4√3sin48∘
¿ =
sin48∘
¿ ¿
1 1
26. （1） sinα+cosα=− ⇒(sinα+cosα) 2= ，
3 9
1
即
sin2α+2sinαcosα+cos2α=
，
9
4
所以 sinαcosα=− ．
9
4
（2） 因为 00，cosα<0⇒sinα−cosα>0．
所以
sinα−cosα =√(sinα−cosα) 2
√17
¿ = .
3
27. （1） 因为 tanα=3，所以 cosα≠0．
原式的分子、分母同除以 cosα，得
4tanα−1 4×3−1 11
原式= = = ．
3tanα+5 3×3+5 14
（2） 原式的分子、分母同除以 cos2α，得
tan2α−2tanα−1 9−2×3−1 2
原式= = =− ．
4−3tan2α 4−3×32 23
sinα−cosα tanα−1 2−1
28. （1） = = =−1．
sinα−3cosα tanα−3 2−3
sinα⋅cosα+cos2α
sinα⋅cosα+cos2α tanα+1 2+1 1
（2） 1+sin2α ¿=¿ ¿=¿ ¿=¿ .¿
cos2α+2sin2α 1+2tan2α 1+8 3
¿
π π 1
29. （1） sin4 −cos4 = ；
3 3 2
π π 1
sin2 −cos3 = ，
3 3 2
π π π π
所以
sin4 −cos4 =sin2 −cos2
．
3 3 3 3
（2） 不妨取 α=1，则有 sin4α−cos4α≈0.4162，
sin2α−cos2α≈0.4162，所以当取 α=1 时，sin4α−cos4α=sin2α−cos2α．
（3） 对于任意实数 x，都有
sin2x−cos2x=(sin2x−cos2x)(sin2x+cos2x)=sin4x−cos4x．
√3+1
30. （1） ．
2
√3
（2） m= ．
2
{ sinθ= √3 , { sinθ= 1 ,
2 2 π π
（3） 或 θ= 或 θ= ．
1 √3 6 3
cosθ= cosθ= ,
2 2
