5.10导数中比大小问题（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_导数知识点+题型分类_单独的原卷版+解析版

5.10 导数中比大小问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：同构法比较大小常用八个函数............................................2
考点二：常见不等式放缩............................................................. 3
考点三：泰勒展开......................................................................4
题型四：帕德逼近......................................................................4
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：同构法比较大小............................................................. 5
题型二：放缩比大小................................................................... 6
题型三：取对数后比大小............................................................. 7
题型四：构造其它函数比大小....................................................... 8
题型五：反比例构造lnx＜
2(x−1)
x+1 型..................................................8
题型六：零点构造法................................................................... 9
题型七：切、弦、指、对混合构造..................................................9
题型八：泰勒展开公式比大小......................................................10
题型九：帕德逼近.................................................................... 10
题型十：一题多解.................................................................... 11
模块三：综合巩固....................................................................... 11
5.10 导数中比大小问题
模块一：基础知识
考点一：同构法比较大小常用八个函数
我们由,
,ln
x
x e
x 三个基本初等函数进行加减乘除组合，可以得到常用八个函数。对任一函数先求导，求
出函数单调区间与极值点，再描点画图，注意图形的渐近线.
函数
x
y
xe

x
x
y
e

图像
函数
ex
y
x

1
x
y
e
x



图像
函数
ln
y
x
x

ln x
y
x

图像
函数
ln
x
y
x

ln
1
y
x
x



图像
在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．)，则
可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式
恒成立问题、证明不等式等．
①指对各一边，参数是关键；
②常用八个“母函数”：

x
f x
x e


，

x
f x
e
x


……；
③凑同构，凑常数、x 、参数；
④复合函数比大小，利用单调性求参数范围．
八大函数中一些函数的证明或记忆方法：
1．
1
x
y
e
x


，对应不等式


1
xe
x
x
R



证明：设
( )
1
x
f x
e
x


，则
( )
1
x
f
x
e



，当
0
x 
时，
( )
0
f
x


，当
0
x 
时，
( )
0
f
x


，
∴
( )
1
(0)
0
x
f x
e
x
f




，即
1
xe
x

，当且仅当
0
x 
时取等号，得证.
图形表示：如下1 图，
x
y
e

在(0,1)处的切线方程为
1
y
x

.
2．
ln
1
y
x
x


，对应不等式


ln
1
0
x
x
x



证明：设
( )
ln
1
f x
x
x


，则
1
1
( )
1
x
f
x
x
x




，当0
1
x

时，
( )
0
f
x


，当
1
x 时，
( )
0
f
x


，
∴
( )
(1)
0
f x
f


，即ln
1


x
x
，当且仅当
1
x 时取等号，得证．
图形表示：如上2 图，
ln
y
x

在(1,0) 处的切线方程为
1
y
x

．
考点二：常见不等式放缩
1.常见的指数放缩：
1(
0)
xe
x
x



；


1 ,
1
1
xe
x
x



，；
(
1)
xe
ex x


证明1：设
1



x
e
x
f
x
，所以

1



xe
x
f
，所以当


0,



x
时，

0

x
f
，所以
x
f
为减函
数，当当




,0
x
时，
0

x
f
，所以
x
f
为增函数，所以当
0

x
时，
x
f
取得最小值为
0
0 
f
，
所以
0

x
f
，即
1

x
ex
证明2：对于
1
xe
x

，该不等式在R 上恒成立，若令x
x
，则有
1
1
1
x
x
e
x
x
e


，当
1
x 
时，不等式两边同乘
1
xe
x

，则有
1
1
x
e
x 

，
最后得出


1
1
,
1
1
x
x
e
x
x




，
2.常见的对数放缩：
)
(
ln
);
1
(1
ln
1
1
e
x
e
x
x
x
x
x
x







证明3：
1
ln
x
x
x


对于
1
ln
x
x

，令
1
x
x

，则有1
1
1
1
ln
ln
x
x
x
x
x




，可得
1
ln
x
x
x


.
3.常见三角函数的放缩：
x
x
x
x
tan
sin
,
2
,0










考点三：泰勒展开

2
(0)
(0)
( )
(0)
(0)
2!
!
n
f
f
f x
f
f
x
x
n








附：常用公式
（1）
2
3
1
1
1
x
x
x
x 




（2）
2
3
1
1
1
x
x
x
x 



（3）
2
3
1
1
2
1
6
xe
x
x
x




（4）
2
3
1
1
ln(1
)
2
3
x
x
x
x




（5）
3
tan
3
 
x
x
x

（6）
2
4
cos
1
2
24
x
x
x 

（7）
3
sin
6
 
x
x
x


题型四：帕德逼近
2
2
6
12 ,( 2
2)
6
12
x
x
x
e
x
x
x







2
2
3
6
ln(1
)
,( 1
1)
6
6
x
x
x
x
x
x







2
2
3
3
ln( )
,(0
2)
4
1
x
x
x
x
x






2
1
1
1
1
1
1
,(
)
2
8
2
2
x
x
x
x






模块二：题型分类
题型一：同构法比较大小
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
1.已知
ln 2
2
a 
，
1
e
b 
，
ln5
5
c 
，则以下不等式正确的是（
）
A．c
b
a


B．a
b
c


C．b
a
c


D．b
c
a


B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
2.设
2
2(2 ln2)
a
e


，
ln2
2
b 
，
1
c
e

，则（
）
A．a
b
c


B．b
a
c


C．a
c
b


D．b
c
a


B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
3.
2
3(2
ln3)
1
ln3
,
,
3
a
b
c
e
e




，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b


B．c
a
b


C．a
b
c


D．b
a
c


4.设
1
2
a
e

，
ln 2
b 
，
2
4
ln 4
c
e


，则(
)
A. a
b
c


B. a
c
b


C. a
c
b


D.b
c
a


5.设
ln 2
8
a 
，
2
1
e
b 
，
ln 6
12
c 
，则（
）
A．a
c
b


B．a
b
c


C．b
a
c


D．c
a
b


6.设
ln1.01
a 
，
1.01
b 
，
0.01
e
c 
，其中e 为自然对数的底数，则（
）
A．a
c
b


B．b
c
a


C．b
a
c


D． c
b
a


7．已知
1
2
2
a 
，
1
3
3
b 
，
1
ee
c 
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c


B．b
a
c


C．c<a<b
D．a
c
b


8．已知, ,
(1,
)
a b c 
，且e
9 ln11,e
10 ln10,e
11 ln 9
a
b
c
a
b
c



，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．a
b
c


B．c
a
b


C．b
c
a


D．c
b
a


9．已知
2e
ln 3
a 
，
e 1
e
b


，
3e
2ln 2
c 
，则有（
）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．b
a
c


D．< <
b c a
10．已知
5
ln 6
x 
，
24
4
ln
25
5
y 
，
1
6
z 
，则（
）
A．y
x
z


B．y
z
x


C．z
x
y


D．x
y
z


11.设
15ln13
a 
，
14ln14
b 
，
13ln15
c 
，则（
）
A．a
c
b


B．c
b
a


C．b
a
c


D．a
b
c


12.已知
1
, ,
,
e
a b c







，且ln5
5lna
a 
，ln3
3lnb
b 
，ln2
2lnc
c 
，则（
）
A．b
c
a


B．c
b
a


C．a
c
b


D．a
b
c


题型二：放缩比大小
1. 已知
0.2
1,
ln1.2,
tan 0.2
e
a
b
c




，其中e
2.71828

为自然对数的底数，则（
）
A. c
a
b


B. a
c
b


C. b
a
c


D. a
b
c


2.已知
6 ln1.2
5
a 
，
0.2
0.2 e
b 
，
1
3
c 
，则（
）
A. a
b
c


B. c
b
a


C. c
a
b


D. a
c
b


3.已知
0.05
a
e

，
ln1.1
1
2
b 
，
1.1
c 
则(
)
 
. 
> >
A a
b
c
>
. 
>
B c b a
 
. 
C b
a
c


>
. 
>
 
 
D a
c
b
4.设
1
5
a 
，
1
1
2ln sin
cos
10
10
b








，
6
6
ln
5
5
c 
则a，b，c 的大小关系是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289_.
5.设
ln 1.1
a 
，
0.1 1
b
e

，
tan 0.1
c 
，
0.4
d


，则(
)
A．a＜b＜c＜d
B．a＜c＜b＜d
C．a＜b＜d＜c
D．a＜c＜d＜b
6.已知
1
1
1
1013
1013
2ln sin
cos
,
,
ln
2024
2024
1012
1012
1012
a
b
c










，则下列正确的是（
）
A．a
b
c


B．c
a
b


C．c
b
a


D．b
a
c


7.已知
0.05
a
e

，
ln1.1
1
2
b 
，
1.1
c 
则(
)
 
. 
> >
A a
b
c
>
. 
>
B c b a
 
. 
C b
a
c


>
. 
>
 
 
D a
c
b
8.设
ln 1.1
a 
，
0.1 1
b
e

，
tan 0.1
c 
，
0.4
d


，则(
)
A．a＜b＜c＜d
B．a＜c＜b＜d
C．a＜b＜d＜c
D．a＜c＜d＜b
9.已知
sin1 1
e
,
sin1,
cos1
a
b
c




，则（
）
A．a
c
b


B．a
b
c


C．c
b
a


D．c<a<b
题型三：取对数后比大小
1.若
1
1
3
5
3
,
5
,
2
a
b
c



，则（
）
A．c
b
a


B．c
a
b


C．b
c
a


D．a
b
c


2.已知
8
7
6
6 ,
7 ,
8
a
b
c



，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A. b
c
a


B. c
b
a


C. a
c
b


D. a
b
c


3.已知实数


, ,
0,
a b c
e

，且
3
3a
a

，
4
4b
b

，
5
5c
c

，则（
）
A．c
b
a


B．b
c
a


C．a
c
b


D．a
b
c


4.已知
ln7
2
a 
，
ln6
3
b 
，
ln5
4
c 
，则（
）
A．b
c
a


B．a
b
c


C．b
a
c


D．a
c
b


5.已知
10
11
9
10
9
11
a
b
c



，
，
，则, ,
a b c的大小关系为（
）
A．c
a
b


B．b
a
c


C．a
b
c


D．c
b
a


6.已知
10
8
a 
，
99
b 
，
8
10
c 
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a


B．b
a
c


C．a
c
b


D．a
b
c


题型四：构造其它函数比大小
1.设正实数a，b，c，满足
2
ln
2
a
c
e
b
b
ce



，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．c
a
b


D．b
a
c


2.若
2
4
2
log
4
2log
a
b
a
b



，则（
）
A．
2
a
b

B．
2
a
b

C．
2
a
b

D．
2
a
b

3.已知9
10,
10
11,
8
9
m
m
m
a
b




，则（
）
A．
0
a
b


B．
0
a
b


C．
0
b
a


D．
0
b
a


4.设
2ln1.01
a 
，
ln1.02
b 
，
1.04
1
c 
．则（
）
A．a
b
c


B．b<c<a
C．b
a
c


D．c<a<b
题型五：反比例构造���＜
�(�−�)
�+�型
1.设
1.1
e
2 7
a 

，
1.4 1
b 
，
2ln1.1
c 
，则（
）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．b
a
c


D．c
a
b


2.若
0.2
e
a 
，
1.2
b 
，
ln 3.2
c 
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．b
a
c


D．c
b
a


3.设
2
4(2
ln 4)
e
a


，
1
e
b 
，
ln 4
4
c 
，则a ，b ，c的大小顺序为（
）
A．a
c
b


B．c
a
b


C．a
b
c


D．b
a
c


题型六：零点构造法
1.设
ln1.1
a 
，
0.1
e
1
b 
，
tan0.1
c 
，
0.4
d


，则（
）
A．a
b
c
d



B．a
c
b
d


C．a
b
d
c



D．a
c
d
b


2.已知
1x ＝
1
ln 2
，
2x ＝
1
2
e
，
3x 满足
3
3
ln
x
e
x


，则下列各选项正确的是
A．
1
3
2
x
x
x


B．
1
2
3
x
x
x


C．
2
1
3
x
x
x


D．
3
1
2
x
x
x


题型七：切、弦、指、对混合构造
1.已知
0.2
1,
ln1.2,
tan0.2
e
a
b
c




，其中e
2.71828

为自然对数的底数，则（
）
A．c
a
b


B．a
c
b


C．b
a
c


D．a
b
c


2.设
0.02
e
1
a 
，


0.01
2 e
1
b 

，
sin0.01 tan0.01
c 

，则（
）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．c
a
b


D．b
c
a


3.已知0
π
x
y



，且e sin
e sin
y
x
x
y

，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（
）
A．
co
co
s
0
s x
y


B．cos
cos
0
x
y


C．cos
sin
x
y

D．sin
sin
x
y

4.设
1
50
a 
，
1
1
2ln sin
cos
100
100
b







，
6
51
ln
5
50
c 
，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（
）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．b
c
a


D．b
a
c


题型八：泰勒展开公式比大小
1.设
0.1
1
0.1e ,
ln0.9
9
a
b
c



，
，则（
）
A．a
b
c


B．c
b
a


C．c
a
b


D．a
c
b


2.设
2ln1.01
a 
，
ln1.02
b 
，
1.04
1
c 
．则（
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233）
A．a
b
c


B．b
c
a


C．b
a
c


D．c
a
b


题型九：帕德逼近
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
1.设
0.1
1
0.1e ,
ln0.9
9
a
b
c



，
，则（
）
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
A．a
b
c


B．c
b
a


C．c
a
b


D．a
c
b


2.已知
1.3
2 7,
4 1.1
4,
2ln1.1,
a
e
b
c





则
A．a
b
c


B．c
b
a


C．c
a
b


D．a
c
b


B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
3.设a＝
1
1.01 ，b＝ln1.01，c＝
0.01
e
1
，则（
）
A．abc B．bca
C．bac
D．cab
4.设
2ln1.01
a 
，
ln1.02
b 
，
1.04
1
c 
．则（
）
A．a
b
c


B．b
c
a


C．b
a
c


D．c
a
b


题型十：一题多解
1.已知
7
5
8
log 5
a 
，
3
7
8ln 5
b 
，
6
5
7
log 5
c 
，则
,
,
a b c 的大小关系为（
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233）
A. b
c
a


B. b
a
c


C. a
c
b


D. a
b
c


2.已知
31
1
1
,
cos ,
4sin
32
4
4
a
b
c



，则（
）
A．c
b
a


B．b
a
c


C．a
b
c


D．a
c
b


B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
3.设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c



，
，则（
）
A．a
b
c


B．c
b
a


C．c<a<b
D．a
c
b


B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
模块三：综合巩固
1．设


2
e
2
2
e
,
,
ln e
2
ln 2
4
ln 4
a
b
c






，其中e是自然对数的底数，则（
）
A．c
b
a


B．b<c<a
C．a
c
b


D．c
a
b


B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
2．设
10
1
11
e
,
,
ln
11
10
a
b
c




，则（
）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．b
c
a


D．c
b
a


3．已知


0.2
0.2
1.2
ln 1.2e ,
e
,
e
a
b
c



，则有（
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233）
A．a
b
c


B．a
c
b


C．c
a
b


D．c
b
a


4．若


2
2
1
ln lnπ ,
ln
,
3
3
e
a
b
c



，则（
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233）
A．c
a
b


B．b
c
a


C．c
b
a


D．b
a
c


5．设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c



，
，则（
）
A．a
b
c


B．c
b
a


C．c<a<b
D．a
c
b


6.已知
ln 3
2
a 
，
1
e 1
b
，
ln 4
3
c 
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．b
a
c


B．b
c
a


C．c
a
b


D．c
b
a


7.
2
3(2 ln3)
1
ln3
,
,
3
a
b
c
e
e




，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b


B．c<a<b
C．a
b
c


D．b
a
c


8.已知
1
, ,
,
e
a b c







，且ln5
5lna
a 
，ln3
3lnb
b 
，ln2
2lnc
c 
，则（
）
A．b
c
a


B．c
b
a


C．a
c
b


D．a
b
c


9.已知


eπ
π
e
e ,
π ,
2
a
b
c



，则这三个数的大小关系为（
）
A．c
b
a


B．b
c
a


C．b
a
c


D．c
a
b


10.已知
8ln 6
a 
，
7ln 7
b 
，
6ln8
c 
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a


B．c
b
a


C．a
c
b


D．a
b
c


11.已知
10
8
a 
，
99
b 
，
8
10
c 
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a


B．b
a
c


C．a
c
b


D．a
b
c


12.已知
ln2
2
a 
，
ln 3
e
b 
，
2
2
e
c 
，则（参考数据：ln 2
0.7

）（
）
A．a
b
c


B．b
a
c


C．b
c
a


D．c
a
b


13. (多选)已知0
x
y




，且e sin
e sin
y
x
x
y

，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（
）
A．sin
sin
x
y

B．sin
sin
x
y

C．cos
cos
0
x
y


D．
co
co
s
0
s x
y


14. (多选)已知
1
2
0
1
x
x
<
<
< ，下列不等式恒成立的是（
）
A．
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x

B．
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x

C．
1
1
2
2
ln
ln
x
x
x
x

D．
1
2
2
1
ln
e
l
e
n
x
x
x
x


