6.4 平面向量的数量积
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两向量的夹角与垂直....................................................... 2
考点二：向量的数量积................................................................ 2
考点三：投影向量......................................................................2
考点四：向量数量积的性质及运算律...............................................3
考点五：向量数量积的常用结论.................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：向量夹角的判断............................................................. 4
题型二：向量数量积的计算.......................................................... 4
题型三：平面向量模的相关计算.................................................... 6
题型四：平面向量的夹角问题....................................................... 6
题型五：平面向量的垂直问题....................................................... 8
题型六：投影向量......................................................................9
题型七：向量数量积的最值问题...................................................10
题型八：向量数量积几何应用......................................................11
模块三：综合巩固....................................................................... 12
6.4 平面向量的数量积
模块一：基础知识
考点一：两向量的夹角与垂直
定义：已知两个非零向量a，b(如图)，O 是平面上的任意一点，作OA
→＝a，OB
→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
叫做向量a 与b 的夹角．
1.向量a 与b 的夹角的范围是0≤θ≤π；
2.当θ＝0 时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向；
3.如果a 与b 的夹角是π
2 ，我们说a 与b 垂直，记作a⊥b．
4.两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同,向量夹角范围是[0,π],而两直线夹角的范围为0,
π
2 。
考点二：向量的数量积
1.向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移
，那么力
所做的功
W=|
|| |
，其中是
与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算
明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
2．定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a 与b 的数量积(或内
积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，可变形为cos θ＝a·b
|a||b| ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3.注意
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（2）
b
a
中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；
（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。
考点三：投影向量
如图，设a，b 是两个非零向量，AB
→＝a，CD
→＝b，我们考虑如下的变换：过AB
→的起点A 和终点B，
分别作CD
→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1
→
，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，1
1
A B
叫做向量a 在向量b 上的投影向量．
探究：如图，设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为，
那么
1
OM 与
,
,a
e
之间有怎样的关系？
【答案】对于任意的
]
,0
[
，都有
e
a
OM
cos
|
|
1
。
【注意】
(1)向量a 在b 方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e 为与b 同向的单位向量)，它是一个向量，且与b
共线，其方向由向量a 和b 夹角θ的余弦决定；
(2)注意：a 在b 方向上的投影向量与b 在a 方向上的投影向量不同，即向量b 在a 上的投影向量可表
示为|b|cos θ a
|a| .
考点四：向量数量积的性质及运算律
1．向量数量积的性质
设a，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ．
(2)a⊥b⇔a·b＝0．
(3)当a 与b 同向时，a·b＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝a·a .
此外，由|cos θ|≤1 还可以得到．
(4)|a·b|≤|a||b|.
2．向量数量积的运算律
对向量a，b，c 和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
考点五：向量数量积的常用结论
1.
=
；
2.
；
3.
；
4.
；
5.
，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
模块二：题型分类
题型一：向量夹角的判断
1.已知ABC
是等边三角形，则向量
,
AB BC
的夹角的大小是
2.在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1
2AB，则AB
→与BC
→的夹角是(
)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3.已知|a|＝|b|＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a＋b 与a 的夹角是多少？a－b 与a 的夹角又是多少？
题型二：向量数量积的计算
1．已知|a|＝3，|b|＝2 3，a 与b 的夹角是120°，则a·b 等于(
)
A．3
B．－3
C．－3 3
D．3 3
2.
(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC 的边长为2，AB
―→＝c，BC
―→＝a，CA
―→＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
3.已知正△ABC 的边长为1，求：
(1)AB
→·AC
→；(2)AB
→·BC
→；(3)BC
→·AC
→.
4.在等腰Rt△ABC 中，AB＝BC＝4，则AB
→·BC
→＝________，BC
→·CA
→＝______，CA
→·AB
→＝________.
5．已知向量
3
a
，
2
b
，a
与b
的夹角为π
3 .求
(1) a b
(2)求a
b
；
(3)求
2
3
a
b
a
b
.
6.已知a
，b
，c
均为单位向量，且
2
3
a
b
c
，则a c
（
）
A．
1
3
B．1
3
C．1
D．4
3
7．已知|
| 1,|
| 2
a
b
，向量,a b
的夹角为π
3 ，则
(
)
a
a
b
（
）
A．3 1
B．1
C．2
D．
3
1
8．
1e
与
2e
是相互垂直的单位向量，
1
2
a
b
c
e
e
r
r
r
ur
ur
，
1
a
b
c
，则a b
b c
c a
.
9．设P 为ABC
所在平面内一点，满足
0
AP BC
BP AC
，则CP AB
.
【本题技巧】两向量数量积为0，则向量垂直，可以判断P 点为垂心，则最终答案为0
10.在三角形ABC 中，
3
AC
，
4
AB
，
120
CAB
，则
AB
AC
AB
（
）
A．10
B．12
C．10
D．12
11．已知
1
a
，
2
b
，
3π
,
4
a b
，则
a
a
b
.
12．如图，已知OA
，OB
，OC
的模均为4，且
60
AOB
BOC
，则AC AB
（
）
A．24
B．－24
C．8
D．－8
13．若正方形ABCD的边长为2 2 ，则CA BA
（
）
A．8
B．8
C．4
D．4
题型三：平面向量模的相关计算
1．已知
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，则
2
a
b
（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
2．已知向量a，b
的夹角为2π
3 ，
1
a
，
2
b
，则2
3
a
b
r
r
．
3．已知
1
2
a
，
1
3
b
，若a
b
a
b
，则2
3
a
b
r
r
（
）
A．
2
B．2 2
C．4 2
D．4
4．若平面向量, ,
a b c
两两夹角相等，且|
| 1,|
| 1,|
| 3
a
b
c
r
r
r
，则|
|
a
b
c
= （
）
A．2
B．5
C．2 或5
D．
2 或5
5．设向量a
，b
满足
1
a
b
及3
2
7
a
b
.
（1）求a
，b
夹角的大小；
（2）求3
2
a
b
r
r
的值.
6.已知向量
1
a
，
2
b
，|
|
5
c
，且
0
a
b
c
，则cos
,
c
a c
b
（
）
A．
34
34
B．
34
17
C．3 34
34
D．5 34
34
7．已知向量a
，b
满足
3
a
，
8
b
，5
7
3 a
b
，则a b
（
）
A．24
B．12
C．12
D．24
题型四：平面向量的夹角问题
1．已知向量,
a b
满足
2
2
b
a
，a b
=1，则向量,
a b
的夹角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．若
1e
，
2e
是夹角为60的两个单位向量，且
1
2
2
a
e
e
与
1
2
3
2
b
e
e
的夹角为（
）
A．60
B．120
C．30
D．150
3．已知单位向量
1e
，
2e
的夹角为60，向量
1
2
2
3
a
e
e
，
1
2
2
2
b
me
e
，mZ ，向量a，b
的夹角的
余弦值为
21
7
，则m （
）
A．1
B．4
C．2
D．5
4．已知向量
2
a
，
1
b
，
2
2 3
a
b
，则向量a
与b
的夹角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
5．已知向量a
，b
满足
1
a
，
1
2
b
且
3
2
a
b
，则a
与b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
6．已知平面向量a
，b
满足
3
a
，
1
b
，
2
4
a
b
，则
3
a
b
，b
夹角的余弦值为（
）
A．
6
4
B．
6
12
C．
6
6
D．
6
6
7．若非零向量,a b
满足|
| 2 |
| |
3 |
a
b
a
b
，则,a b
夹角的余弦值为
．
8．已知向量a、b
的夹角为π
3 ，且
1
a
，
3,0
b
.
(1)求a
b
的值；
(2)求a与a
b
的夹角的余弦.
9．单位向量a
，b
满足
2
2
3
a
b
a
b
.
（1）求a
与b
夹角的余弦值：
（2）若ka
b
与
3
a
b
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.
题型五：平面向量的垂直问题
1．已知向量a，b
满足
2
3
b
a
，
2
a
b
a
b
，则b
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知两个单位向量
1e
，
2e
的夹角为60°，且满足
1
2
1
e
e
e
，则实数的值是（
）
A．1
B．
2
C．2 3
3
D．2
3．已知单位向量,
a b
满足
2
a
a
b
，则
,
a b
（
）
A．2π
3
B．π
3
C．π
4
D．π
6
4．设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，若
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，则
.
5．已知非零向量a
，b
满足
2 3
b
a
，且
3
a
a
b
，则a
与b
的夹角为
6．已知
2
a
，
2
b
，a与b
的夹角为45°，要使b
a
与a
垂直，则的值为（
）
A．
2
B．2 2
C．
2
2
D．1
7．设
1e
，
2e
为两个单位向量，且
2
1
2π
,
3
e e
，若
1
2
e
e
与
1
2
3
4
e
e
垂直，则
.
8．设向量,
a b
满足
3,|
| 3,|
| 2
a b
a
b
.
（1）求向量,
a b
的夹角；
（2）若
a
b
a
b
，求实数的值
9．已知向量a是单位向量，
3,1
b
r
，且满足
2
a
a
b
，则
a
b
．
10．a，b
的夹角为120，|
| 1
a
，|
| 3
b
.
(1)求| 5
|
a
b
r
r
；
(2)若a
b
与a
b
互相垂直，求.
题型六：投影向量
1.已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，与b 同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a 在b 上的投影向量．
【注意】任意的非零向量a 在另一非零向量b 上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b 的夹角，e 为与b
同向的单位向量)．
2.已知向量a，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影向量的模是________．
3．已知
6
a
，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于120时，向量a在向量e上的投影向量为（
）
A．3
B．3
C．3e
D．3e
4．已知|a|＝2，且a 与b 的夹角为60°，与b 同向的单位向量为e，则向量a 在向量b 上的投影向量为
____________．
5．已知
6
m
，
3
n
，
12
m n
，则向量m
在向量n
方向上的投影向量的长度为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．已知
1
a
，
3
b
，
3
a b
，则向量a
在向量b
上的投影向量为
．
7．已知
5
a
，
4
b
，若a
与b
的夹角
120
.
(1)求a b
；
(2)求a
在b
上的投影向量.
8.在等边△���中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬ，则向量��Ԧ
ሬሬሬሬ在向量��Ԧ
ሬሬሬሬ上的投影向量为（
）
A．
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
9．已知Rt ABC
的面积为6，斜边AB 长为6，设a为CA
在AB
上的投影向量，a CB
.
10．已知单位向量a
，b
满足
3
a
b
a
b
，则a
在b
方向上的投影向量为（
）
A．1
2 b
B．
1
2 b
C．b
D．b
11．已知非零向量a
，b
满足
a
b
a
b
，且向量b
在向量a
方向的投影向量是
1
2 a
，则向量a
与b
的
夹角是（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
12．已知向量a在向量b
上的投影向量为1
2 b
r
，且
1
a
b
，则
1
2
a
b t
R
的值为（
）
A．
3
B．1
C．3
4
D．
3
2
题型七：向量数量积的最值问题
1．若
1
a
b
且a
与b
夹角为120，那么实数x
时，a
xb
的值最小．
2．已知菱形ABCD的边长为1，
60
ABC
，点E 是AB 边上的动点，则DE DC
的最大值为（
）．
A．1
B．
3
2
C．1
2
D．3
2
3．在ABC
中，
π
2,
3
BC
BAC
，点P 满足2
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
，则PB PC
的最大值为（
）
A．
3
4
B．
1
4
C．
1
3
D．
2
3
4．八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1），其轮廓分别为正八边形
ABCDEFGH 和圆O（图2），其中正八边形的中心是点O，鱼眼（黑白两点）,
P Q 是圆O半径的中点，且
关于点O对称,若
8 2
OA
，圆O的半径为6，当太极图转动（即圆面O及其内部点绕点O转动）时，PA QC
的最小值为（
）
A．39
B．48
C．57
D．60
5．已知在ABC
中，
3
AB ，
2
AC
，
60
BAC
，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC
的取值范围
是
．
6．线段AB 是圆O的一条直径，且
8
AB
C D
, ,
是圆O上的任意两点，
4
CD
，动点P 在线段CD 上，则
PA PB
的取值范围
．
7．设a，b
是两个不共线的非零向量，t R ．
(1)若a与b
起点相同，求t 为何值时，向量a，tb
，1
2
3
3
a
b
的终点在一条直线上；
(2)若
2
2
a
b
，且a与b
夹角为60°，求t 为何值时，a
tb
的值最小．
8．设a
，b
是两个不共线的非零向量，
R
t
.
(1)记
1
,
,
(
)
2
OA
a OB
t b OC
a
b
，那么当实数t 为何值时，
,
,
A B C 三点共线；
(2)若|
| |
| 1
a
b
且a
与b
夹角为60，那么实数x 为何值时，|
|
xa b
的值最小?
题型八：向量数量积几何应用
1.在三角形���中，��= 3，��= 4，∠���= 120°，则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．10
B．12
C．−10
D．−12
2．如图，圆E 为ABC
的外接圆，
4
AB
，
6
AC
，D 为边BC 的中点，则AD AE
（
）
A．26
B．13
C．10
D．5
【解题技巧】处理这类问题的基本策略，就是将要求数量积的向量用已知夹角或模的向量
表示，然后结合运算律进行计算。
3．如图，ABC
的外接圆圆心为O，
2
AB
，
3
AC
，则AO BC
（
）
A．5
2
B．3
2
C．3
D．2
4.已知长方形ABCD的边
3,
2
AB
AD
，E 为BC 的中点，则AE BD
（
）
A．7
B．7
C．11
D．11
5.如图，在△ABC 中，
120
BAC
，
2
AB
，
1
AC ，D 是边BC 上一点，
2
DC
BD
，则AD BC
（
）
A．2
3
B．
7
4
C．5
2
D．
8
3
6.已知在ABC
中，
2
AB
，
3
AC
，
3
BAC
，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC
的值为
（
）
A．
11
3
B．
1
3
C．2
3
D．4
3
7.正三角形ABC
中，
2
AB
，P 为BC 上的靠近B 的四等分点，D 为BC 的中点，则AP BD
（
）
A．
1
2
B．1
4
C．3
4
D．3
2
8.线段AB 的长度为6，C，D 为其三等分点（C 靠近A，D 靠近B），若P 为线段AB 外一点，且满足��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，
则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．36
B．－36
C．－8
D．8
模块三：综合巩固
1．已知向量a与b
的夹角为120，且|
| 4,|
| 2
a
b
，求：
（1）·
a b
（2）(
) (
2 )
a
b
a
b
．
2．已知
6
a
，
4
b
，a
与b
的夹角为60，计算下列各式：
（1）
a
b
a
b
；
（2）
2
3
a
b
a
b
．
3.已知向量a与b
的夹角为60°，其中
3
a
，
2
b
，则
a b
（
）
A．6
B．5
C．3
D．2
4.已知向量a
与b
的夹角为π
3 ，
2,
1
a
b
，则向量a
在b
上的投影向量为（
）
A．b
B．1
2 b
r
C．a
D．1
2 a
5.若,a b
均为非零向量，则a b
a b
是a
与b
共线的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
6.在ABC
中，下列命题正确的个数是（
）
①AB
AC
BC
；②
0
AB
BC
CA
；③若
0
AB
AC
AB
AC
，则ABC
为等腰三角形；
④
0
AC AB
，则ABC
为锐角三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
7.已知非零向量a
、b
满足
2
b
a
，且
a
a
b
，则a
与b
的夹角为（
）
A．π
3
B．π
2
C．2π
3
D．5π
6
8.已知
1
a b
，
2
a
，a
，b
的夹角为3
，则
2
a
b
（
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
9.在平行四边形ABCD中，
3π
2,
2,
,
4
AB
AD
BAD
E
是线段CD 的中点，则AE AC
（
）
A．1
B．4
C．6
D．7
10.如果向量a
，b
的夹角为，我们就称a b
为向量a
与b
的“向量积”，a b
还是一个向量，它的长度为
sin
a
b
a
b
，如果
10
a
，
2
b
，
12
a b
，则a b
（
）
A．-16
B．16
C．-20
D．20
11.(多选)下列说法正确的是（
）
A．对任意向量,
a b
，都有a b
b a
B．若a b
a c
且
0
a
，则b
c
C．对任意向量, ,
a b c
，都有
a b
c
a
b c
D．对任意向量, ,
a b c
，都有
a
b
c
a c
b c
12.(多选) ABC
中，下列说法正确的是（
）
A．与AB
共线的单位向量为
AB
AB
B．AB
AC
BC
C．若
0
AB AC
，则ABC
为钝角三角形
D．若ABC
是等边三角形，则AB
，BC
的夹角为60°
13.(多选)设平面向量, ,
a b c
均为非零向量，则下列命题中正确的是（
）
A．若a b
a c
，则b
c
B．,
a b
反向，且a
b
，则a
b
与b
同向
C．a
b
a
b
等价于
0
a b
D．若
a b
c
b c
a
，则//
a c
14.(多选)已知单位向量,a b
的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（
）
A．
0
a b
B．
3
a
b
r
r
C．
4
3
a
a
b
D．a
a
b
15.已知
1
a
，
2
b
，
3π
,
4
a b
，则
a
a
b
.
16.已知向量a
，b
满足|
| 3
a
，|
| 2
b
，a
与b
的夹角为120，则|
2 |
a
b
．
17.已知向量a
、b
满足
5
a
a
b
，且
2
a
，
1
b
，则向量a
与b
的夹角为
.
18.在矩形ABCD中，
4,
2
AB
AD
，点
,
M N 分别是
,
CD BC 的中点，则AM MN
uuur uuur
．
19.已知向量a
与b
满足
2
a
，
1
b
，a
与b
的夹角为60．
(1)求a b
；
(2)求2
3
a
b
．
20.已知
2
a
，
3
b
，
2
3
2
7
a
b
a
b
.
(1)求a
b
；
(2)求向量a
与a
b
的夹角的余弦值.
21.已知向量a
b
，向量c
与a
，b
的夹角都是60°，且
1
a
，
2
b
，
3
c
，试求
(1)
2
2
a
b
c
；
(2)
3
2
3
a
b
b
c
.
22.在ABC
中，已知
4,
3,
BC
AC
P
在线段BC 上，且
1
2
,
3
3
BP
BC AQ
AB
，设
,
CB
a CA
b
．
(1)用向量,a b
表示AP
；
(2)若
60
ACB
，求AP CQ
．
23.已知向量a在向量b
上的投影向量为1
2 b
r
，且3a
b
a
b
r
r
r
r
，则
,
a b
（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
24．已知非零向量,
a b
满足：向量a
b
与向量b
垂直，且向量
4
a
b
与向量a垂直，则a与b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
6
25．在ABC
中，已知
4
AB
，
10
AC
，
60
BAC
，BC 、AC 边上的两条中线AM 、BN 相交于点G .
（1）求BN 、AM 的长；
（2）求
MGN
的余弦值.
