6.6 平面向量的坐标表示与运算
模块一：基础知识......................................................................................... 2
考点一：平面向量的正交分解被坐标的表示.......................................................2
考点二：平面向量的坐标运算.........................................................................2
考点三：平面向量的垂直与平行......................................................................2
考点四：平面向量的模与夹角的坐标表示..........................................................3
考点五：线段的定比分点及λ ..........................................................................4
模块二：题型分类......................................................................................... 4
题型一：平面向量的坐标表示与运算................................................................4
题型二：平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................5
题型三：用坐标表示平面向量.........................................................................8
题型四：根据向量线性运算求参数...................................................................8
题型五：线段的定比分点问题.......................................................................10
题型六：由坐标法判断向量是否共线..............................................................11
题型七：由向量共线(平行)求参数................................................................. 13
题型八：用坐标解决三点共线问题.................................................................13
题型九：平面向量数量积的坐标计算..............................................................14
题型十：利用坐标研究向量垂直问题..............................................................18
题型十一：坐标求向量模长..........................................................................19
题型十二：坐标求向量的夹角.......................................................................19
题型十三：坐标求投影向量..........................................................................21
题型十四：利用坐标求数量积的最值范围........................................................22
题型十五：坐标解决几何问题.......................................................................25
题型十六：向量坐标运算与三角函数综合........................................................28
模块三：综合巩固....................................................................................... 31
6.6 平面向量的坐标表示与运算
模块一：基础知识
考点一：平面向量的正交分解被坐标的表示
1．平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫
做向量a 的坐标，记作a＝(x，y)，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．向量与坐标的关系
设OA
→＝xi＋yi，则向量OA
→的坐标(x，y)就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA
→的坐标(x，
y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向
量与实数对是一一对应的．
考点二：平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标
λa＝(λx1，λy1)
向量坐标
公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的
坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB
→＝(x2－x1，y2－y1)
考点三：平面向量的垂直与平行
1．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1 时，a∥b．
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0 时，a＝λb．
这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且
使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．
(3)当x2y2≠0 时，x1
x2
＝y1
y2
．
即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
【注意】
1.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2 都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式
上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，
b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2 求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b 与a⊥b 的坐标表示如下：
a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
考点四：平面向量的模与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：
坐标表示
模
|a|2＝x21＋y 21或|a|＝x21＋y21
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB
→|＝x2－x12＋y2－y12
夹角
cosθ＝a·b
|a||b|＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21 x22＋y22
(a，b 为非零向量)
1.向量的模的坐标运算的实质
向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系
中，一定存在点A(x，y)，使得OA
→＝a＝(x，y)，∴|OA
→|＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A 到原点的距离．同样，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB
→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB
→|＝x2－x12＋y2－y12，即平面直角坐标系中任意
两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
2.解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、
平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用
三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决。
考点五：线段的定比分点及λ
设
1P 、
2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于
1P 、
2P 的任一点，则一定存在实数，使
1
2
PP
PP
，叫做
点P 分
1
2
PP
所成的比.有三种情况：
0
(内分)
(外
分)
0
(
1
)
(外分)
0
( 1
0
)
（1）定比分点坐标公式：若点
1
1
1
(
)
P x
y
，
，
2
2
2
(
)
P x
y
，
，为实数，且
1
2
PP
PP
，
则点P 坐标为
1
2
1
2
(
)
1
1
x
x
y
y
，
，我们称为点P 分
1
2
PP
所成的比.
（2）点P 的位置与的范围的关系：
①当
0
时，
1PP
与
2
PP
同向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的内分点；
②当
0
(
1
)时，
1PP
与
2
PP
反向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的外分点.
（3）若P 分有向线段
1
2
PP
所成的比为，点M 为平面内的任一点，则
1
2
1
MP
MP
MP
；
特别地P 为
1
2
PP 的中点
1
2
2
MP
MP
MP
.
模块二：题型分类
题型一：平面向量的坐标表示与运算
1．已知向量
2,3
a
r
，
1,2
b
，则a
b
（
）
A．
7,3
B．
3,5
C．
2, 2
D．
5,5
【答案】B
【分析】利用向量加法公式进行计算.
【详解】因为
2,3
a
r
，
1,2
b
，故
2 1,2
3
3,5
a
b
.
故选：B
2．已知向量
1,2
a
r
，
0,1
b
，则a
b
（
）
A．
1,3
B．
3,1
C．
1,1
D．
1, 1
【答案】C
【分析】由向量减法的坐标运算求解．
【详解】由题设，
(1,2)
(0,1)
(1,1)
a
b
．
故选：C．
3．若向量
2,3
BA
，
4,7
CA
，则BC
.
【答案】
2, 4
【分析】由向量加减法坐标运算求解．
【详解】
(2,3)
(4,7)
( 2, 4)
BC
BA
AC
BA
CA
．
故答案为：( 2, 4)
．
4．已知向量
(2,8),
( 4,2)
a
b
．若
2
c
a
b
，则向量c
（
）
A．(0,18)
B．(8,14)
C．(12,12)
D．( 4,20)
【答案】B
【分析】直接根据平面向量的坐标的线性运算即可得解.
【详解】因为向量
(2,8),
( 4,2)
a
b
，
所以
2
2 2,8
4,2
8,14
c
a
b
.
故选：B.
5．已知向量
(1,2)
a
，
(3,1)
b
，则b
a
（
）
A．
2,1
B．(2, 1)
C．(2,0)
D．
4,3
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为
(1,2)
a
，
(3,1)
b
，
所以
3,1
1,2
(
)
(
)
(
)
4,3
b
a
.
故选：D.
题型二：平面向量数乘运算的坐标表示
1．已知向量
3,2
a
，
1,3
b
，那么2a
b
（
）
A．
5,1
B．
5, 1
C．
4,1
D．
4
1
,
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为
3,2
a
，
1,3
b
，所以
2
2 3,2
1,3
5,1
a
b
.
故选：A.
2．已知
5, 2
a
，
4, 3
b
，若
2
3
0
a
b
c
，则c
（
）
A．
13
4
,
3
3
B．13 8
,
3 3
C．13 4
,
3
3
D．
8
1, 3
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由
2
3
0
a
b
c
可得
1
2
1
2
13
4
5, 2
( 4, 3)
(
,
)
3
3
3
3
3
3
c
a
b
，
故选：A
3．已知向量
1, 6 ,
1,0
a
b
，则
3
a
b
（
）
A．
2, 6
B．
2,6
C．
1, 6
D．
4, 6
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为
1, 6 ,
1,0
a
b
，所以
3
2, 6
a
b
.
故选：A.
4．已知向量
3,2
a
，
0, 1
b
，则2
4
a
b
等于（
）
A．
6,0
B．
6,0
C．
6, 8
D．
6,8
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案.
【详解】向量
3,2
a
，
0, 1
b
，则2
4
( 6, 4)
(0, 4)
( 6, 8)
a
b
.
故选:C
5．设向量
2,1 ,
0, 2
a
b
，则
2
a
b
的模长为（
）
A．
2, 3
B．(3
2)
，
C．13
D．5
【答案】C
【分析】利用向量加法的坐标公式，得到
2
a
b
的坐标，再利用向量模长的坐标公式即得解.
【详解】因为向量
2
2
2
(2,1)
2 (0,
2)
(2, 3)
|
2 |= 2 +(
3)
13
a
b
a
b
故选：C
【点睛】本题考查了向量加法、模长的坐标公式，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.
6.解答下列各题：
(1)设向量
1,2
a
，
4,3
b
，求
2
a
b
；
(2)已知两点
3, 2
M
和
5, 1
N
，点P 满足
1
2
MP
MN
，求点P 的坐标．
【答案】(1)
2
9, 4
a
b
r
r
(2)
3
1,
2
．
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求解；
（2）由向量的坐标表示求解.
【详解】（1）
2
1,2
2
4,3
1,2
8,6
1 8,2
6
9, 4
a
b
r
r
．
（2）由已知两点
3, 2
M
和
5, 1
N
，可得
1
1
1
5
3, 1
2
4,
2
2
2
MN
uuuur
，
设点P 的坐标是
,x y ，则
3,
2
MP
x
y
．
由已知
1
2
MP
MN
，可得
1
3,
2
4, 2
x
y
，
∴
3
4,
1
2
,
2
x
y
解得
1,
3 .
2
x
y
∴点P 的坐标是
3
1,
2
．
7.已知向量
2,1
a
r
，
3,4
b
，
4,7
c
.
(1)求2
3
a
b
c
；
(2)求满足c
ma
nb
的实数m ，n ；
【答案】(1) (17, 3)
(2)
37
11
m
、
10
11
n
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算法则求解即可．
（2）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解．
【详解】（1）解：
(2,1)
a
，
( 3,4)
b
，
(4,7)
c
，
2
3
2 2,1
3
3,4
4,7
(4,2)
( 9,12)
(4,7)
(17, 3)
a
b
c
．
（2）解：因为c
ma
nb
，
所以
4,7
2,1
3,4
2
3 ,
4
m
n
m
n m
n
，
所以
2
3
4
4
7
m
n
m
n
，解得
37
11
10
11
m
n
．
即
37
11
m
、
10
11
n
.
题型三：用坐标表示平面向量
1.已知
1,3
AB
，且点
2,5
A
，则点B 的坐标为（
）
A．
1,8
B．
1,8
C．
3, 2
D．
3,2
【答案】B
【解析】设点B 的坐标为
,x y ，则
,
2,5
1,3
AB
x y
，
所以
,
1,3
2,5
1,8
x y
，即点B 的坐标为
1,8
．故选：B
2.已知
(8,5)
PQ
，点
(7,8)
Q
，则点P 的坐标为（
）
A．(1,3)
B．( 1,3)
C．( 1, 3)
D．(15,23)
【答案】B
【解析】设点P 的坐标为
,x y ，则
7
,8
8,5
PQ
x
y
,
故
7
8,
8
5
x
y
，解得
1,
3
x
y
,故点P 的坐标为( 1,3)
.故选:B.
3.设点A(1,2)，B(3,5)，将向量AB
按向量a
＝(－1,－1)的方向平移后得到A B
为（
）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,7)
【答案】B
【解析】因为A(1,2)，B(3,5)，所以AB
＝(2,3)，向量是可以平移的，
因为向量AB
平移后仍是AB
，
故向量AB
按向量a
＝(－1,－1)的方向平移后得到A B
为(2,3)，故选：B
4.已知平行四边形ABCD中，
1,2
AB
，
5,3
C
，则点D 的坐标为（
）
A．(
)
2, 1
-
B．
4, 1
C．
4,1
D．
6,5
【答案】C
【解析】设点D 的坐标为
,x y ，则AB
DC
，
即
1,2
5
,3
x
y
，解得
4
1
x
y
，即
4,1
D
，故选：C.
5.已知向量
1, 5
PQ
，
2,1
QR
，则PR
（
）
A．
4, 6
B．
1, 4
C．
2,4
D．
2, 4
【答案】B
【解析】
1, 4
PR
PQ
QR
，故选：B.
题型四：根据向量线性运算求参数
1.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC
AM
BD
，则
的值为（
）
A．4
3
B．5
3
C．15
8
D．2
【答案】B
【解析】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB，AD 分别为x，y 轴建立平面直角坐标系，
如图，
令|
| 2
AB
，则
(2,0),
(2,2),
(0,2),
(2,1)
B
C
D
M
，
(2,2),
(2,1),
( 2,2)
AC
AM
BD
，
(2
2 ,
2 )
AM
BD
，因AC
AM
BD
，
于是得
2
2
2
2
2
，解得
4
1
,
3
3
，
5
3
所以
的值为5
3 .故选：B
2.已知向量a
，b
满足
2
0,3
a
b
，
2
3,0
a
b
，
1,1
a
b
，则
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】设
(
)
1
1
,
a
x y
=
r
，
(
)
2
2
,
b
x
y
=
r
，
所以
1
2
1
2
2
0
2
3
x
x
y
y
，且
1
2
1
2
2
3
2
0
x
x
y
y
，解得
1
1
1
2
x
y
，
2
2
2
1
x
y
，即
1,2
a
r
，
2,1
b
r
.
所以
1,2
2,1
2 ,2
1,1
a
b
，
则
2
1
2
1
，解得
1
1
，故
0
，故选：B
3.已知向量
2, 1
a
，
1,6
b
，
7,3
c
，则c
可用a
与b
表示为（
）
A．3a
b
B．
3
a
b
C．3
2
a
b
D．3a
b
【答案】A
【解析】设c
xa
yb
，x，
R
y
，则
7,3
2
,
6
x
y
x
y
，
即
2
7
6
3
x
y
x
y
，解得
3
1
x
y
，∴
3
c
a
b
.故选：A.
4.如图，已知
2
OA
，
3
OB
，
1
OC ，
60
AOB
，
90
BOC
，若OB
xOA
yOC
，则x
y （
）
A．
3
B．1
2
C．
3
3
D．2
3
【答案】C
【解析】如图所示：以OC 为x 负半轴，OB 为y 正半轴建立直角坐标系，
则
3,1
A
，
0,2
B
，
1,0
C
，
OB
xOA
yOC
，即
0,2
3,1
1,0
3
,
x
y
x
y x
，
解得
2,
2 3
x
y
，故
3
3
x
y
.故选：C.
题型五：线段的定比分点问题
1.已知直角坐标平面上两点
1
1,1
P
、
2 2,3
P
，若P 满足
1
2
2
PP
PP
，则点P 的坐标为
.
【答案】
7
1, 3
【解析】设点P 的坐标为
,x y ，
因为点
1
1,1
P
，
2 2,3
P
，所以
1
1,
1
PP
x
y
，
2
2
,3
PP
x
y
，
因为
1
2
2
PP
PP
，所以
1
2 2
1
2 3
x
x
y
y
，解得
1
7
3
x
y
，
所以点P 的坐标为
7
1, 3
2.已知点
0,0
O
，向量
2,3
OA
，
6, 3
OB
，点P 是线段AB 的三等分点，则点P 的坐标是（
）
A．14 , 1
3
B．10 ,1
3
C．14 , 1
3
或10 ,1
3
D．14 ,1
3
或10 ,1
3
【答案】C
【解析】因为
2,3
OA
，
6, 3
OB
，可得
4, 6
AB
OB
OA
，
又因为点P 是线段AB 的三等分点，
则
2
8 , 4
3
3
AP
AB
或
1
4 , 2
3
3
AP
AB
，
所以
14 , 1
3
OP
OA
AP
或
10 ,1
3
OP
OA
AP
，
即P 点的坐标为14 , 1
3
或10 ,1
3
.故选：C.
3.已知
1 3,2
P
，
2 9,11
P
，点
5,
P
y 分
1 2
PP
所成的比为，则y 与的值分别为（
）
A．
8,
2
y
B．
13
1
,
2
2
y
C．
15
1
,
4
2
y
D．
1
5,
2
y
【答案】D
【解析】∵
1 3,2
P
，
2 9,11
P
，
5,
P
y ，∴
1
2,
2
PP
y
，
2
4,11
PP
y
，
∵P 分
1 2
PP
所成的比为，
∴
1
2
PP
PP
，即
2,
2
4,11
4 ,11
y
y
y
，
∴有
2
4
2
11
y
y
，解得
1
2
5
y
.故选：D.
4.（多选）已知点M 是ABC
的重心，点
1,2
A
，
2,3
B
，
2,5
C
，点D 是BC 上靠近点B 的三等分点，
则（
）
A．
1 10
,
3
3
M
B．
2 11
,
3 3
D
C．
π
,
3
MD AC
D．3
2 6
MD
AC
【答案】AB
【解析】点M 是ABC
的重心，点
1,2
A
，
2,3
B
，
2,5
C
，
设点
,
M x y ，
1
2
2
1
3
3
2
3
5
10
3
3
x
y
，A 选项正确；
点D 是BC 上靠近点B 的三等分点，则3
,
BD
BC
设
,
,
D a b
则
3
2,
3
4,2 ,
a
b
即
3
2
4
3
3
2
a
b
,解得
2
11
,
3
3
a
b
，B 选项正确;
因为
1
1,
,
3,3
3
MD
AC
uuur
uuur
，则
3 1
1
1
cos
,
2
10
5
3 2
3
MD AC
MD AC
MD AC
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
即
π
,
3
MD AC
uuur uuur
，C 选项错误;
2
2
1
3
3 1,
3,3
6, 2 , 3
6
2
2
3
10
MD
AC
MD
AC
，D 选项错误;故选:AB.
题型六：由坐标法判断向量是否共线
1.与
1,4
a
共线的向量是（
）
A．
1, 4
B．
1, 4
C．
1,4
D．
4,1
【答案】B
【解析】对A，
1
4
1
4
8
0
，故A 错误；
对B，
1
4
1 4
0
，故B 正确；
对C，1 4
4 1
0
，故C 错误；
对B，1 1
4
4
0
，故D 错误，故选：B.
2.已知向量
2, 1
a
，
1,3
b
，则下列向量与2a
b
平行的是（
）
A．
0,2
B．
2
2, 3
C．(
)
1, 2
-
D．
1,3
【答案】B
【解析】由已知
2
2 2, 1
1,3
3,1
a
b
，
2 3
0 1
，
2
3
2 1
3
，
2
3
2
1
，3 3
1 1
，
B 选项中的向量满足条件，故选：B.
3.（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量的基底的是（
）
A．
2,3 ,
4,6
a
b
r
r
B．
2,3 ,
3,2
a
b
r
r
C．
1, 2 ,
7,14
a
b
r
r
D．
3,2 ,
6, 4
a
b
r
r
【答案】ABC
【解析】能作为平面内的基底，则两向量,a b
不共线，
A 选项，2 6 3 4
24
0
，∴
2,3 ,
4,6
a
b
r
r
不共线，可作为基底，A 正确；
B 选项，2
2
3 3
5
0
，∴
2,3 ,
3,2
a
b
r
r
不共线，可作为基底，B 正确；
C 选项，
1 14
2
7
28
0
，∴
1, 2 ,
7,14
a
b
r
r
不共线，可作为基底，C 正确；
D 选项，
3
4
2 6
0
，∴
3,2 ,
6, 4
a
b
r
r
共线，不能作为基底，D 错误．
故选：ABC
4.（多选）已知向量
(1, 2)
a
，
( 2,4)
b
，则下列结论正确的是（
）
A．//
a b
B．a与b
可以作为一组基底
C．2
0
a
b
D．b
a
与a方向相同
【答案】AC
【解析】A. 因为向量
(1, 2)
a
，
( 2,4)
b
，所以
1
2
a
b
，则//
a b
，故正确；
B. 由A 知：//
a b
，所以a与b
不可以作为一组基底，故错误；
C. 因为向量
(1, 2)
a
，
( 2,4)
b
，所以2
0
a
b
，故正确；
D. 因为向量
(1, 2)
a
，
( 2,4)
b
，所以
3,6
b
a
，则
1
3
a
b
a
，
所以b
a
与a方向相反，故错误；故选：AC
题型七：由向量共线(平行)求参数
1.已知向量
1,1
a
，
4,2
b
y
，且a
b
∥，则y （
）
A．4
B．2
C．0
D．2
【答案】B
【解析】因为
1,1
a
，
4,2
b
y
，且a
b
∥，
所以2
4
y
，解得
=
2
y
.故选：B
2.设向量
1,
1
a
x
，
1,3
b
x
，则“a与b
同向”的充要条件是（
）
A．
2
x
B．
2
x
C．
2
x
D．
1
2
x
【答案】A
【解析】
1
1
3
2
a
b
x
x
x
∥
，
当
2
x
时，
1,1 ,
3,3
a
b
，a b
，同向；
当
2
x 时，
1, 3 ,
1,3
a
b
，a b
，反向，故选：A．
3.已知向量
(1,
),
(
1,6)
a
m b
m
，且2a
b
与a共线，则实数m
．
【答案】3 或2
【解析】
6
2
(2,2 )
(
1,6)
3
,2
m
a
b
m
m
m
，
故
2
6
3
0
m
m
m
，解得
2
m 或3.
4.已知向量
1,2
a
，
2,1
b
，且
2
/ /
a
b
a
b
，则实数
．
【答案】1
2
【解析】因为向量
1,2
a
，
2,1
b
，
所以
2
4,5
a
b
，
1 2 ,2
a
b
，
因为
2
/ /
a
b
a
b
，所以4(2
)
5(1 2 )
0
，所以
1
2
.
题型八：用坐标解决三点共线问题
1.已知mR ，三点
1, 1
A
、
1,3
B
、
,2
C m
m
t
共线，则t
．
【答案】1
【解析】因为mR ，三点
1, 1
A
、
1,3
B
、
,2
C m
m
t
共线，则
//
AB
AC
uuur uuur ，
且
2,4
AB
uuur
，
1,2
1
AC
m
m
t
，
所以，
2 2
1
4
1
m
t
m
，解得
1
t .
2.（多选）向量
,12
PA
k
，
4,5
PB
，
10,
PC
k
，若A，B，C 三点共线，则k 的值可能为（
）
A．2
B．－2
C．11
D．－11
【答案】BC
【解析】由已知可得
,12
4,5
4,7
BA
PA
PB
k
k
，
,12
10,
10,12
CA
PA
PC
k
k
k
k
．
因为A，B，C 三点共线，所以
/ /
BA
CA
，
所以
4
12
7
10
0
k
k
k
，
整理得
2
9
22
0
k
k
，解得k＝－2 或11．故选：BC．
3.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过
程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C 三点恰好共线，则m （
）
A．7
B．22
3
C．23
3
D．8
【答案】C
【解析】由图可知，
(3,3),
(5,6),
( ,10)
A
B
C m
所以
5
3,6
3
2,3
AB
，
5,10
6
5,4
BC
m
m
，
因为AB
BC
∥
，所以
3
5
2 4
m
，解得
23
3
m
.故选：C
4.已知
1,1 ,
1,4 ,
,
A
B
C a b
．
（1）若
,
,
A B C 三点共线，求a 与b 满足的关系式；
（2）若
,
,
A B C 三点共线，
2
AC
AB
，求点C 的坐标．
【答案】（1）3
2
5
0
a
b
；（2）点C 的坐标为
3,7
或
5, 5
．
【解析】（1）因为
1,1 ,
1,4 ,
,
A
B
C a b
，所以
2,3
AB
，
1,
1
AC
a
b
，
因为
,
,
A B C 三点共线，则
//
AB
AC
uuur uuur ，
所以
2
1
3
1
b
a
，即3
2
5
0
a
b
，
故a 与b 满足的关系式为3
2
5
0
a
b
；
（2）因为
,
,
A B C 三点共线，
2
AC
AB
，
则
2
AC
AB
或
2
AC
AB
= -
，
当
2
AC
AB
时，有
1,
1
2
2,3
a
b
，解得
3,
7
a
b
；
当
2
AC
AB
= -
时，有
1,
1
4, 6
a
b
，解得
5,
5
a
b
．
所以点C 的坐标为
3,7
或
5, 5
．
题型九：平面向量数量积的坐标计算
1.已知
2,3
a
r
，
2,4
b
r
，
1, 2
c
，分别求下列各式的值：
（1）
2
3
a
b
a
b
；
（2）
a
b
c
；
（3）
2
a
b
．
【答案】（1）
12,11 ；（2）0 ；（3）49
【解析】（1）原式
2 0,7 +3 4, 1
0,14 + 12, 3
12,11
（2）原式
2,3
3,2
6
6
0
（3）
0,7
a
b
，∴
2
49
a
b
.
2.已知
, 2
a
k
，
3,1
b
且
4
a
，则
a b
．
【答案】4 或8
【分析】利用模长及坐标运算可求得k ，由此可计算得到向量数量积.
【详解】因为
, 2
a
k
，
4
a
，
所以
2
2
2
4
k
，
2
12
k
，得
2 3
k
，
当
2 3
k
时，
2 3, 2
a
，
3
2 3
2
4
a b
；
当
2 3
k
时，
2 3, 2
a
，
3
2 3
2
8
a b
；
故答案为：4 或8
.
3.已知向量
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，则(
2 )
a
b
b
.
【答案】2
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，所以
2
(5,1)
a
b
，
故(
2 )
5
( 1)
1 3
2
a
b
b
.
故答案为：2
4.已知向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，则
2
a
b
a
b
（
）
A．10
B．18
C．
7,8
D．
4,14
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可.
【详解】因为向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，
所以
2
1,2
4,7
1 4
2 7
10
a
b
a
b
，
故选:A.
5.已知向量
1, 1
a
，
,2
b
m
，若(
) / /
a
b
a
，则2
a b
（
）
A．8
B．7
C．7
D．8
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出m ，再利用数量积的坐标表示计算即得.
【详解】由向量
1, 1
a
，
,2
b
m
，得
(
1,1)
a
b
m
，由(
) / /
a
b
a
，得(
1)
1
0
m
，
解得
2
m ，于是
( 2,2)
b
，所以2
2 ( 2
2)
8
a b
.
故选：A
6.已知向量a
，b
，c
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
a
b
c
（
）
A．11
B．7
C．3
D．1
【答案】C
【解析】以向量a
的起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则
(
)
0,2
=
r
a
，
3 1,1 0
2,1
b
r
，
5
2,2
3
3, 1
c
所以
2,3
3, 1
6
3
3
a
b
c
，故选：C.
7.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则
AC
AD
AB
AD
（
）
A．4
B．2
C．0
D．4
【答案】D
【解析】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1，
故
1,0
AC
，
0,2 ,
2,1
AD
AB
，
则
1, 2
2, 1
2
2
4
AC
AD
AB
AD
.故选:D.
8.已知边长为2 的菱形ABCD中，
π
3
DAB
，点E 是BC 上一点，满足
3
BE
EC
，则AE BD
（
）
A．1
2
B．
1
2
C．
4
3
D．3
【答案】B
【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，
垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，
则
1, 3 ,
2,0 ,
3, 3 ,
0,0
D
B
C
A
，设
,
E m n ，
则
2,
,
3
, 3
BE
m
n
EC
m
n
，
因为
3
BE
EC
，所以
2
3 3
3
3
m
m
n
n
，解得
11
4
3 3
4
m
n
，故
11 3 3
,
4
4
E
，
则
11 3 3
11
9
1
,
1, 3
4
4
4
4
2
AE BD
.故选：B
9.在ABC
中，AB
AC
，且
2
AB
AC
，M 是BC 的中点，O是线段AM 的中点，则
OA
OB
OC
的值为（
）
A．0
B．
3
2
C．
1
2
D．2
【答案】C
【解析】如图，以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，
则
0,0
A
，
2,0
B
，
0,
2
C
，
∵M 是BC 的中点，∴
2
2
,
2
2
M
，
∵O是线段AM 的中点，∴
2
2
,
4
4
O
，
∴
3 2
2
,
4
4
OB
，
2 3 2
,
4
4
OC
，
2
2
,
4
4
OA
，∴
2
2
,
2
2
OB
OC
，
∴
2
2
2
2
1
4
2
4
2
2
OA
OB
OC
.故选：C.
题型十：利用坐标研究向量垂直问题
1.（多选）下列向量中，与
3,2
a
不垂直的向量是（
）
A．
3, 2
B．
2,3
C．
4,6
D．
3,2
【答案】ABD
【解析】
3,2
3, 2
3 3
2
2
5
0
，
3,2
2,3
3 2
2 3
12
0
，
3
3
2
,2
4,6
4
6
0
，
,
3
3
,2
3,2
3
2
2
5
0
故选：ABD
2.已知向量
1,
,
4,
a
x
b
x
，则“
2
x
”是“a
b
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量
1,
,
4,
a
x
b
x
，
若a
b
，可得
2
1,
4,
1 4
0
a b
x
x
x
，解得
2
x ，
所以“
2
x
”是“ a
b
”的充分不必要条件，故选：A.
3.已知向
1,2
a
r
，
2,3
b
，若向量a
tb
与a
垂直，则实数t （
）
A．
5
4
B．5
4
C．
5
8
D．5
8
【答案】C
【解析】因为
1,2
a
r
，
2,3
b
，则
2
1
4
5
a
，
1 2
2 3
8
a b
，
因为向量a
tb
与a
垂直，则
2
5
8
0
a
tb
a
a
ta b
t
，解得
5
8
t
，故选：C.
4.已知向量
1,1 ,
1,
a
b
m
，若
a
ma
b
，则m （
）
A．1
3
B．1
C．
1
3
D．1
【答案】A
【解析】因为
1,1 ,
1,
a
b
m
，所以
,
1,
1
,2
ma
b
m m
m
m
m
，
又因为
a
ma
b
，所以
1
1
2
0
m
m
，解得
1
3
m
，故选：A
题型十一：坐标求向量模长
1.已知平面向量
2,0
a
，
1
3
,
2
2
b
，则1
2 a
b
（
）
A．1
B．2
C．
3
D．3
【答案】C
【解析】由题意可得：1
3
3
,
2
2
2
a
b
r
r
，所以
2
2
1
3
3
3
2
2
2
a
b
r
r
,故选：C.
2.已知向量
2,
a
m
r
，
1,2
b
，a
b
a
b
，则实数m 的值为（
）
A．1
B．
1
2
C．
1
2
D．1
【答案】D
【解析】
a
b
a
b
，
2
2
a
b
a
b
，
即
2
2
2
2
2
2
a
a
a b
b
a b
b
，解得
0
a b
，
2
2
0
a b
m
，解得
1
m ．故选：D
3.已知平面向量a
，b
，c
满足
(2,1)
a
，
(1,2)
b
，且a
c
.若
3 2
b c
，则|
|
c
（
）
A．10
B．2 5
C．5 2
D．3 5
【答案】A
【解析】令
( , )
c
x y
，则
2
0
2
3 2
a c
x
y
b c
x
y
，可得
2
2 2
x
y
，所以| |
2
8
10
c
，故选：A
4.已知
cos23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos 22
b
，
u
a
tb t
R
.
（1）求a b
；
（2）求u
的模的最小值.
【答案】（1）
2
2
；（2）
2
2
【解析】（1）
2
cos23 cos68
cos67 cos22
cos23 cos68
sin 23 sin 68
cos45
2
a b
（2）∵
cos23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos22
b
，∴
1
a
b
∴
2
2
2
2
2
2
2
1
u
a
tb
a
tb
a
t b
tb a
t
t
∴当
2
2
t
时，
min
2
2
u
.
题型十二：坐标求向量的夹角
1.已知点
2,3
A
，
1,1
B
，向量
2,7
a
，
5,7
b
，则AB
与a b
的夹角的余弦值为（
）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
5
5
D．2 5
5
【答案】A
【解析】因为点
2,3
A
，
1,1
B
，向量
2,7
a
，
5,7
b
，
所以
1, 2
AB
，
3,0
a
b
，
所以AB
与a b
的夹角的余弦值
3
5
cos
,
5
5
3
a
b
a
b
a
b
AB
AB
AB
.故选：A
2.向量|
| |
| 1,|
|
2
a
b
c
，且
0
a
b
c
，则cos
,
a
c b
c
．
【答案】4
5
【解析】由
0
a
b
c
，得a
b
c
，即
2
2
2
2
a
b
a b
c
，
而|
| |
| 1,|
|
2
a
b
c
，则
0
a b
，即a
b
，
以,a b
的方向分别为,x y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，
则
(1,0),
(0,1)
a
b
，于是
( 1, 1)
c
a
b
，有
(2,1),
(1,2)
a
c
b
c
，
所以
2
2
2
2
(
) (
)
2 1 1 2
4
cos
,
5
|
||
|
2
1
1
2
a
c
b
c
a
c b
c
a
c b
c
.
3.已知
1,2
a
r
，
1,3
b
，则向量a b
在a
b
方向上的投影向量的坐标为
.
【答案】
0, 1
【解析】
1,2
1,3
2, 1
a
b
，
1,2
1,3
0,5
a
b
，
向量a b
在a
b
方向上的投影向量为
2 0 1 5
1
5
25
25
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
所以投影向量的坐标为
1 0,5
0, 1
5
.
4.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
4
AC
，
60
BAC
，BC，AC 边上的两条中线AM，BN 相交于点P，
则
APN
的余弦值为
．
【答案】
7
14
【解析】依题意，以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，过A 作AC 的垂线为y 轴，如图所示，
因为
2
AB
，
4
AC
，
60
BAC
，
所以
(0,0),
(1, 3),
(4,0),
(2,0)
A
B
C
N
，则
5
3
,
2
2
M
，
5
3
,
,
(1,
3)
2
2
MA
BN
，
APN
即为向量MA
与BN
的夹角，
5
3
1
(
3)
1
2
2
MA BN
，
2
2
5
3
|
|
7
2
2
MA
，
2
|
|
1 (
3)
2
BN
，
1
7
cos
14
|
||
|
2
7
MA BN
APN
MA BN
.
题型十三：坐标求投影向量
1.已知向量
2,1 ,
3,4
a
b
，则向量b
在a方向上的投影向量的坐标为
.
【答案】
4
2
(
,
)
5
5
【解析】向量
2,1 ,
3,4
a
b
，则
2
2
2 ( 3) 1 4
2,|
|
2
1
5
a b
a
，
所以向量b
在a方向上的投影向量为
2
4
2
(
,
)
5
5
5
|
| |
|
a b
a
a
a
a
2.向量
2,2 3
a
在向量
3,1
b
上的投影向量是（
）
A．
3, 3
B．
3, 3
C．
3,
3
D．
3,
3
【答案】B
【解析】因为
2,2 3
a
，
3,1
b
，
所以
2
3
2 3 1
4 3
b
a
，
2
2
3
1
2
b
，
所以向量
2,2 3
a
在向量
3,1
b
上的投影向量为
4 3
3,1
3, 3
4
b
b
b
b
a
.
故选：B
3.已知向量
4,3
a
，
3,
b
，且a
b
，则b
在a
b
方向上的投影向量的坐标为（
）
A．7 2
2
,
2
2
B．
7 1
,
2 2
C．7
1
,
2
2
D．
7, 1
【答案】C
【解析】因为向量
4,3
a
，
3,
b
，所以
12
3
0
a b
，解得
4
，
则
7, 1
a
b
，则
21
4
25
a
b
b
，
所以b
在a
b
方向上的投影向量为
2
25
7
1
,
49
1
2
2
a
b
b
a
b
a
b
a
b
，故选：C
4.已知平面向量
(1,2)
a
，
(0, 1)
b
，a
c
，且
3
b c
．
（1）求c
的坐标；
（2）求向量a c
在向量b
上的投影向量的模．
【答案】（1）(6, 3)
；（2）5
【解析】（1）设
( , )
c
x y
，因为a
c
，所以
2
0
a c
x
y
．
又
3
b c
y
，解得
6
x
，=
3
y
，所以
(6, 3)
c
．
（2）
( 5,5)
a
c
，所以
5
a
c
b
，
则向量a
c
在向量b
上的投影向量的模为
(
)
5
a
c
b
b
.
题型十四：利用坐标求数量积的最值范围
1.已知M 是边长为1 的正ABC
的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN
的取值范围是（
）
A．
3
23
,
4
64
B．
3
1
,
4
2
C．
2
1
,
5
5
D．
3
23
,
5
64
【答案】A
【解析】取AC 的中点O，以O 为原点，直线AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
1
3
1
3
,0 ,
0,
,
,
2
2
4
4
A
B
N
，设
1
1
( ,0),
2
2
M x
x
，
3
1
3
,
,
,
2
4
4
BM
x
MN
x
，
2
2
1
3
1
23
4
8
8
64
BM MN
x
x
x
，且
1
1
2
2
x
，
1
2
x
时，BM MN
取最小值
3
4
；
1
8
x
时，BM MN
取最大值
23
64
，
∴BM MN
的取值范围是
3
23
,
4
64
，故选：A.
2.在矩形ABCD 中，若
1
AB ，
1
3
BE
BC
，且AB AE
AD AE
，则AE AC
的值为（
）
A．1
2
B．1
C．
3
D．2
【答案】D
【解析】建立如图所示坐标系，设AD
t
，
0
t
，
0,0
A
，
1 0
B
,
，
1,
C
t ，
0,
D
t ，
由
1
3
BE
BC
可得：
1, 3
t
E
，
1,0 ,
1,
,
0,
3
t
AB
AE
AD
t
由AB AE
AD AE
，可得
2
1
3
t
，解得
3
t
，或t
3
舍去，
则
3
1,
1, 3
1 1
2
3
AE AC
．故选：D．
3.等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD，
2
AB
，
1
CD ，
π
4
DAB
，P 为腰AD 所在直线上任意一点，则PC PB
的最小值是（
）
A．
3
B．1
C．3
2
D．
2
【答案】C
【解析】等腰梯形ABCD 中，作DD垂直于AB 于点D¢ ，作CC垂直于AB 于点C，
又
2
AB
，
1
CD ，
π
4
DAB
，
则
1
2
AD
，
1
2
DD
，
3
2
AC
，
1
2
CC
，
则建立如图所示平面直角坐标系，
则
0,0
A
，
2,0
B
，
3 1
,
2 2
C
，
1 1
,
2 2
D
，
又P 为腰AD 所在直线上任意一点，
则设
1
1
,
2
2
AP
AD
，
0,1
，
则点P 的坐标为1
1
,
2
2
，
所以
2
3
1
1
1
1
1
1
,
2
,
2
3
2
2
2
2
2
2
2
PC PB
，
0,1
，
又关于的二次函数
2
1
2
3
2
y
的对称轴为
2
，
则
2
1
2
3
2
y
在
0,1
上单调递减，
所以当
1
，即点P 和点D 重合时，取得最小值3
2 ．
故PC PB
的最小值是3
2 ．故选：C．
4.如图，已知直角梯形ABCD，
2
2
4
AB
AD
CD
，
/ /
AB
CD ，AD
AB
，P 是斜腰BC 边（含端点）上
的动点，AP BC
的最小值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．8
【答案】D
【解析】因为四边形ABCD为直角梯形，则以A 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
因为
2
2
4
AB
AD
CD
，所以
2
AD
CD
，
则
4,0 ,
2,2
B
C
，设直线BC 的方程为y
kx
b
，
则代入
,
B C 坐标有
0
4
2
2
k
b
k
b
，解得
1,
4
k
b
，
则直线BC 的方程为
4
y
x
，
则可设
,
4
P x
x
，2
4
x
，
则
,
4 ,
2,2
AP
x
x
BC
，则
2
2
4
4
8
AP BC
x
x
x
，
因为2
4
x
，则其最小值为4 4
8
8
，故选：D.
5.在扇形OAB 中，
2
OA
，
90
AOB
，M 是OA 中点，点P 在弧AB 上，则PM PB
的最小值为（
）
A．0
B．2
C．4
3 2
D．4
2 5
【答案】D
【解析】如图，以O 为坐标原点，OA
的方向为x 轴的正方向，
OB
的方向为y 轴的正方向建立平面直角坐标系，
则
(
), (
)
1,0
0,2
M
B
，设
(2cos ,2sin )
P
，
[0
]
2
, π
，
于是
(
),
(
)
1
2cos , 2sin
2cos ,2
2sin
PM
PB
，
所以
1 2cos )
2cos )
( 2
4
(
(
sin
(2
2sin
2cos
4
)
sin
)
PM PB
4
2 5 sin(
)
，
其中锐角满足
5
2 5
sin
c
5
, os
5
，
因此当
π
2
，即
2 5
sin
5
时，
min
5
(
2
)
4
PM PB
.
所以PM PB
的最小值为4
2 5
，故选：D
题型十五：坐标解决几何问题
1.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B､C､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A 的坐标.
【答案】(1)
4,1
BC
(2)
2,1
【分析】（1）由点B､C 的坐标即可求解BC
的坐标；
（2）设顶点A 的坐标为
,x y ，由四边形ABCD 为平行四边形，有BC
AD
，从而即可求解.
【详解】（1）解：因为点B､C 的坐标分别是（-1，3）､（3，4），
所以
3,4
1,3
4,1
BC
uuur
；
（2）解：设顶点A 的坐标为
,x y ，
因为四边形ABCD 为平行四边形，D 的坐标是（2，2），
所以BC
AD
，即
4,1
2
,2
x
y
，
所以
2
4
2
1
x
y
，解得
2
1
x
y
，
所以顶点A 的坐标为
2,1
.
2.已知梯形ABCD，其中
/ /
AB
CD ，且
2
DC
AB
，三个顶点(1,2)
A
，
(2,1)
B
，
(4,2)
C
，求点D 的坐标．
【答案】(2,4)
【解析】在梯形ABCD中，
2
DC
AB
，
/ /
AB
CD ．得到
2
DC
AB
，设点D 的坐标为( , )
x y ，根据向量相
等得到方程组，解得.
【详解】解：∵在梯形ABCD中，
2
DC
AB
，
/ /
AB
CD ，(1,2)
A
，
(2,1)
B
，
(4,2)
C
．
∴
2
DC
AB
．设点D 的坐标为( , )
x y ．
则
(4
,2
)
DC
x
y
，
(1, 1)
AB
．
∴(4
,2
)
2(1, 1)
x
y
，即(4
,2
)
(2, 2)
x
y
，
∴
4
2,
2
2,
x
y
解得
2,
4.
x
y
故点D 的坐标为(2,4) ．
【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量相等，属于基础题.
3.如图，已知
ABCD
Y
的三个顶点A，B，C 的坐标分别是( 2,1)
，( 1,3)
，(3,4) ，求顶点D 的坐标．
【答案】(2,2)
【解析】设顶点D 的坐标为( , )
x y ，表示出
,
AB DC
的坐标，根据AB
DC
得到方程组，解得.
【详解】解：设顶点D 的坐标为( , )
x y ．
( 2,1)
A
，
( 1,3)
B
，
(3,4)
C
，
( 1
( 2),3 1)
(1,2)
AB
，
(3
,4
)
DC
x
y
，
又AB
DC
，
所以(1,2)
(3
,4
)
x
y
．
即
1
3
,
2
4
,
x
y
解得
2,
2.
x
y
所以顶点D 的坐标为(2,2) ．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等，属于基础题.
4.（多选）已知点
(
)
1,0
A
，
0,2
B
，
1, 2
C
，则以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的
坐标为（
）
A．
0, 4
B．
2,4
C．
2,0
D．
2,1
【答案】ABC
【解析】设点D 的坐标为
,x y ，
由于平行四边形的四个顶点为
, ,
,
A B C D ，所以可能有以下三种情形：
当AB
DC
时，即
1,2
1
, 2
x
y
，解得
0
4
x
y
，即D 的坐标为
0, 4
；
当AB
CD
时，即
1,2
1,
2
x
y
，解得
2
0
x
y
，即D 的坐标为
2,0
；
当AC
DB
，即
2, 2
,2
x
y
，解得
2
4
x
y
，即D 的坐标为
2,4 ；故选：ABC.
5.如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标.
【答案】(3，3)
【解析】设P(x，y)，则OP
=(x，y)，因为OB
=(4，4)，
且OP
OB
与
共线，所以4
4
x
y
，即x=y.
又AP
=(x-4，y)，AC
=(-2，6)，且AP
AC
与
共线，
则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，所以点P 的坐标为(3，3).
6.在
AOB
中，已知点
(0, 0), (0, 5), (4, 3)
O
A
B
，
1
,
4
OC
OA
1
2
OD
OB
，AD 与BC 交于点M ，求点M 的
坐标．
【答案】12 ,2
7
【解析】
1
1
5
5
(0,5)
0,
,
0,
4
4
4
4
OC
OA
C
1
1
3
3
(4,3)
2,
,
2,
2
2
2
2
OD
OB
D
5
( , ),
( ,
5),
,
4
M x y
AM
x y
CM
x y
7
3
7
4,
,
2,
(0,5)
(2,
)
4
2
2
CB
AD
7
/ /
,
2(
5)
0,7
4
20
2
AM
AD
x
y
x
y
7
5
/ /
,
4
0,7
16
20
4
4
CM
CB
x
y
x
y
，
12 ,
2
7
x
y
7.如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
2
DE
CD
＝
．动点P 从点A 出发，沿正方
形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，AP
AB
AE
．则
的取值范围为
．
【答案】
0 2
，
【解析】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则
1,0 ,
2,1
B
E
，
2
AE
AD
DE
AD
AB
∵
(
2 )
(
2 ) 1,0
0,1
2 ,
AP
AB
AE
AB
AD
．
当P
AB
时，有0
2
1
且
0
，∴0
1
≤
≤，∴0
1
，
当P
BC
时，有
2
1
且0
1
，∴1
2
，
当P
CD
时，有0
2
1
且
1
，∴1
2
，
当P
AD
时，有
2
0
且0
1
，∴0
1
，
综上，0
2
题型十六：向量坐标运算与三角函数综合
1.已知向量
cos , sin
m
x
x
，
cos ,sin
2 3cos
n
x
x
x
，xR ．设
f
x
m n
．
(1)求函数
f
x 的最小正周期；
(2)若
24
13
f x
，且π
π
6
2
x
，求sin 2x 的值．
【答案】(1) π
(2) 5 12 3
26
【分析】（1）利用向量的坐标运算求出
f
x
m n
，然后利用三角公式整理为
sin
y
A
ωx
φ
的形式，
就可以求出周期了；
（2）先通过
π
sin 2
6
x
求出
π
cos 2
6
x
，再通过
π
π
sin 2
sin
2
6
6
x
x
展开计算即可.
【详解】（1）
2
cos
sin
sin
2 3cos
f x
x
x
x
x
2
2
cos
sin
2 3sin cos
x
x
x
x
3sin2
cos2
x
x
2sin 2
6
x
，
所以
f
x 的最小正周期为π ；
（2）由（1）得
π
12
sin 2
6
13
x
，由π
π
6
2
x
得π
π
7
2
π
2
6
6
x
，
所以
2
π
π
5
cos 2
1 sin
2
6
6
13
x
x
，
则
π
π
π
π
π
π
sin 2
sin
2
sin 2
cos
cos 2
sin
6
6
6
6
6
6
x
x
x
x
12
3
5
1
13
2
13
5 1
26
2
2 3
．
2.已知
cos23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos22
b
，
u
a
tb t
R
.
(1)求a b
；
(2)求u
的模的最小值.
【答案】(1)
2
2
(2)
2
2
【分析】（1）直接用平面向量数量积的坐标运算，结合两角差的余弦公式求解；
（2）结合公式
2
a
a
求解.
【详解】（1）
2
cos23 cos68
cos67 cos22
cos23 cos68
sin 23 sin 68
cos45
2
a b
（2）∵
cos23 ,cos67
a
，
cos68 ,cos22
b
，∴
1
a
b
∴
2
2
2
2
2
2
2
1
u
a
tb
a
tb
a
t b
tb a
t
t
∴当
2
2
t
时，
min
2
2
u
.
3.设平面向量
cos ,sin
a
x
x
，
2
2
2
2
b
，
，
4 5
5
a
b
.
(1)求
π
cos
4
x
的值；
(2)若
π 5π
,
2
4
x
，求cos2x 的值.
【答案】(1)
3
5
-
(2) 24
25
【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合模长公式即可求解，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据二倍角公式即可求解.
【详解】（1）
2
2
cos
,sin
2
2
a
b
x
x
.
∴
2
2
2
2
2
π
|
|
cos
sin
2
2(sin +cos )
2
2cos
2
2
4
a
b
x
x
x
x
x
∵
4 5
5
a
b
∴所以
π
3
cos
4
5
x
.
（2）
π 5π
,
2
4
x
，得：
π
π ,π
4
4
x
，∴
π
4
sin
4
5
x
，
∴
π
π
π
π
π
4
3
24
cos2
cos 2
sin2
2sin
cos
2
4
2
4
4
4
5
5
25
x
x
x
x
x
4.已知平面向量
sin ,2sin
,
2cos , 3sin
m
x
x
n
x
x
，函数
3
f x
m n
.
(1)求不等式
1
f
x 的解集；
(2)求函数
f
x 在
π π
,
2 2
上的单调递增区间.
【答案】(1)
π
7π
π
, π
,
4
12
k
k
k
Z
(2)单调递增区间为
π
5π
,
12 12
【分析】（1）先利用三角恒等变化将函数表达式化简成
π
2sin 2
3
f
x
x
，从而
1
f
x 等价于
π
1
sin 2
3
2
x
，
即
π
π
5π
2 π
2
2 π
,
6
3
6
k
x
k
k
Z ，解不等式即可.
（2）由题意令
π
π
π
2 π
2
2 π
,
2
3
2
k
x
k
k
Z ，解不等式即可进一步求解.
【详解】（1）由题意，得
2
1 cos2
2sin cos
2 3sin
3
sin2
2 3
3
2
x
f x
x
x
x
x
π
sin2
3cos2
2sin 2
3
x
x
x
，
由
1
f
x ，得
π
2sin 2
1
3
x
，即，
所以
π
π
5π
2 π
2
2 π
,
6
3
6
k
x
k
k
Z ，
解得
π
7π
π
π
,
4
12
k
x
k
k
Z ，
所以不等式
1
f
x 的解集为
π
7π
π
, π
,
4
12
k
k
k
Z .
（2）由（1）知
π
2sin 2
3
f
x
x
，令
π
π
π
2 π
2
2 π
,
2
3
2
k
x
k
k
Z ，
解得
π
5π
π
π
,
12
12
k
x
k
k
Z ，
所以
f
x 的单调递增区间为
π
5π
π
, π
,
12
12
k
k
k
Z ，
当
0
k
时，
f
x 的单调递增区间为
π
5π
,
12 12
，
所以函数
f
x 在
π π
,
2 2
上的单调递增区间为
π
5π
,
12 12
.
模块三：综合巩固
1．在梯形ABCD中，设AB a
= ，AD
b
，若
2
AB
CD
，则AC
（
）
A．1 +
2 a b
B．
1
2 a
b
C．
1
+ 2
a
b
D．
1
2
a
b
r
r
【答案】A
【分析】由向量基本定理进行求解.
【详解】
1
1
2
2
AC
AD
DC
b
AB
b
a
.
故选：A
2．已知向量
1, 5
PQ
，
2,1
QR
，则PR
（
）
A．
4, 6
B．
1, 4
C．
2,4
D．
2, 4
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出PR
的坐标
【详解】
1, 4
PR
PQ
QR
.
故选：B.
3．已知向量
2, 1 ,
1,2
a
b
，则
a
b
（
）
A．10
B．5
C．10
D．5
【答案】C
【分析】先根据向量加法的坐标运算得
3,1
a
b
，再代入模的坐标公式求解即可.
【详解】因为
2, 1 ,
1,2
a
b
，所以
3,1
a
b
，所以
2
2
3
1
10
a
b
.
故选：C
4．已知平面向量
1,
1
a
m
，
,
3
b
m m
，若a b
a b
，则实数m 的值为（
）
A．3或1
B．3
C．1或3
D．3
【答案】B
【分析】根据向量数量积的公式可得a与b
同向共线，进而可得解.
【详解】由a b
a b
可知a与b
同向共线,
令
1
3
1
m
m
m
，解得
3
m
或
1
m ，
当
3
m
时，
1,2
a
，
3,6
b
r
，符合题意；
当
1
m 时，
1, 2
a
，
1,2
b
，不符合题意．
所以
3
m
，
故选：B.
5．已知向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，则
2
a
b
a
b
（
）
A．10
B．18
C．
7,8
D．
4,14
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可.
【详解】因为向量
1,3 ,
2, 1
a
b
，
所以
2
1,2
4,7
1 4
2 7
10
a
b
a
b
，
故选:A.
6．已知向量
2,1
a
，
10
b
，
5
a
b
，则a与b
的夹角为（
）
A．45
B．60
C．120
D．135
【答案】D
【分析】对
5
a
b
两边平方化简可得答案.
【详解】
2,1
a
，
4 1
5
a
，
2
2
2
2
2
2
2
cos
,
a
b
a
a b
b
a
a
b
a b
b
15 10 2 cos
,
25
a b
，
解得
2
cos
,
2
a b
，
又0
,
180
a b
，
135
,a b
，即a
与b
的夹角为135.
故选：D.
7．已知
1,3 ,
,2
a
b
x
，若(
)
a
b
a
，则x （
）
A．4
B．
2
3
C．2
3
D．-4
【答案】D
【分析】根据向量垂直结合数量积的运算律，利用模的坐标表示以及数量积的坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意得
2
,
0,
0
a
b
a
a
b
a
a
a b
，
即
10
6
0
x
，
4
x
，
故选：D.
8．设xR ，向量
( ,1)
a
x
，
(1, 2)
b
，且a
b
，则cos
,
a
b b
（
）
A．
2
10
B．
2
2
C．
5
10
D．
2
5
【答案】B
【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出
2
x
，从而可得出
(3, 1)
a
b
，再利用向量数量积公
式即可求出结果.
【详解】因为
( ,1)
a
x
，
(1, 2)
b
，又a
b
，所以
2
0
x
，得到
2
x
，
所以
(2,1)
a
，得到
(3, 1)
a
b
，
所以
(
)
3
2
5
2
cos
,
2
9 1
1
4
5 2
a
b
b
a
b b
a
b b
，
故选：B.
9．已知向量
1,1 ,
2,3
a
b
，则2a
b
．
【答案】
4,5
【分析】根据向量的坐标运算求得结果.
【详解】
1,1
a
，
2,3
b
，
2
2,2
2,3
4,5
a
b
r
r
.
故答案为：
4,5 .
10．已知向量
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，则(
2 )
a
b
b
.
【答案】2
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为
(3,7)
a
，
( 1,3)
b
，所以
2
(5,1)
a
b
，
故(
2 )
5
( 1)
1 3
2
a
b
b
.
故答案为：2
11．已知向量a
，b
满足
(3, 7)
a
，
8
a b
，则
(3
2 )
a
a
b
．
【答案】32
【分析】利用向量的坐标进行运算，求数量积.
【详解】因为
(3, 7)
a
，所以
2
9
7
16
a
，又因为
8
a b
，
则
2
(3
2 )
3
2
3 16
2 ( 8)
32
a
a
b
a
a b
.
故答案为：32.
12．已知向量
sin ,cos
,
2,1
a
b
，若
/ /
a
b
，则
2
sin
sin2
的值为
．
【答案】8
5
【分析】根据题目条件可得sin
2cos
，代入
2
2
2
2
sin
2sin
cos
sin
sin 2
sin
cos
化简即可.
【详解】已知向量
sin ,cos
a
，
2,1
b
r
，若
/ /
a
b
，则有sin
2cos
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
2sin
cos
4cos
4cos
8
sin
sin 2
sin
cos
4cos
cos
5
.
故答案为：8
5 .
13．若向量
,2
3
AB
x
x
，
1,2
CD
，且
/ /
AB
CD
，则实数x 的值为
．
【答案】3
4 /0.75
【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为向量
,2
3
AB
x
x
，
1,2
CD
，且
/ /
AB
CD
，
所以
2
2
3
1
0
x
x
，解得：
3
4
x
.
故答案为：3
4 .
14．已知
2,3
a
r
,
2,4
b
r
,
1, 2
c
,求a b
，
a
b
a
b
，
a
b
c
，
2
a
b
.
【答案】
8
a b
；
7
a
b
a
b
；
0
a
b
c
；
2
49
a
b
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为
2,3
a
r
,
2,4
b
r
，
所以
2
2
3 4
8
a b
，且
2
2
2
2
2
2
2
3
13,
2
4
20
a
b
，
所以
2
2
13
20
7
a
b
a
b
a
b
，
2
2
2
2
13
2 8
20
49
a
b
a
a b
b
，
因为
1, 2
c
，所以
3,2
b
c
，
则
2
3
3 2
0
a
b
c
.
15．已知
2,3
a
r
，
2,4
b
r
，
1, 2
c
，分别求下列各式的值：
(1)
2
3
a
b
a
b
；
(2)
a
b
c
；
(3)
2
a
b
．
【答案】(1)
12,11
(2) 0
(3) 49
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】（1）原式
2 0,7 +3 4, 1
0,14 + 12, 3
12,11
（2）原式
2,3
3,2
6
6
0
（3）
0,7
a
b
，∴
2
49
a
b
.
16．已知向量a
，b
的坐标，求a b
．
(1)
5,6
a
，
5,3
b
；
(2)
3, 2
a
，
1,2
b
．
【答案】(1) 7
；
(2) 1
．
【分析】（1）由数量积的坐标表示计算；
（2）由数量积的坐标表示计算．
【详解】（1）由已知
5 ( 5)
6 3
7
a b
；
（2）由已知
3 ( 1)
( 2)
2
1
a b
．
17．如图所示，M 是ABC
内一点，且满足
2
3
AM
MB
MC
，BM 的延长线与AC 的交点为N.
(1)设AB
a
，AC
b
，请用a，b
表示AM
；
(2)设BM
BN
，求的值.
【答案】(1)
1
1
3
2
AM
a
b
(2)
2
3
【分析】（1）利用基底表示向量即可；
（2）利用向量的的分解和共线向量的线性关系表示即可.
【详解】（1）∵
2
3
AM
MB
MC
，则
2
3
AM
AB
AM
AC
AM
，
解得
1
1
3
2
AM
AB
AC
，即
1
1
3
2
AM
a
b
.
（2）过M 作
//
MP AC 交AB 于P，过M 作
//
MQ AB 交AC 于Q，则AM
AP
AQ
，
因为
1
1
3
2
AM
AB
AC
，则
1
3
AP
AB
，
又因为
BPM
△
相似于BAN
，所以
2
3
BM
BP
BN
BA
,
所以
2
3
BM
BN
，即
2
3
.
18．已知向量
(2, 3)
a
r
，
(1,5)
b
r
，
( ,4)
c
x
，且
// (2
)
c
a
b
，
(1)求x 的值；
(2)若
(
)
b
a
b
，求实数的值.
【答案】(1)
20
x
(2)
2
【分析】（1）根据题意可得
2
5, 1
a
b
r
r
，结合向量平行的坐标表示运算求解；
（2）根据题意可得
2
1, 3
5
a
b
r
r
，结合向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】（1）由题意可得：
2
5, 1
a
b
r
r
，
因为
// (2
)
c
a
b
，则
20
x
，解得
20
x
.
（2）由题意可得：
2
1, 3
5
a
b
r
r
，
因为
(
)
b
a
b
，则
1
2
1
5
3
5
0
，解得
2
.
19．在ABC
中，已知
4,
3,
BC
AC
P
在线段BC 上，且
1
2
,
3
3
BP
BC AQ
AB
，设
,
CB
a CA
b
．
(1)用向量,
a b
表示AP
；
(2)若
60
ACB
，求AP CQ
．
【答案】(1)
2
3
AP
a
b
(2)13
9
【分析】（1）根据向量基本定理求出答案；
（2）先求出
2
1
3
3
CQ
a
b
，结合（1）中所求的
2
3
AP
a
b
，利用向量数量积公式求出AP CQ
的值.
【详解】（1）因为
1
3
BP
BC
，所以
2
3
CP
CB
，
由题得
2
2
3
3
AP
CP
CA
CB
CA
a
b
；
（2）由已知得
2
2
2
1
2
1
3
3
3
3
3
3
CQ
CA
AQ
CA
AB
CA
CB
CA
CB
CA
a
b
，
2
2
2
2
1
4
4
1
3
3
3
9
9
3
AP CQ
a
b
a
b
a
a b
b
2
2
4
4
1
13
4
4 3 cos60
3
9
9
3
9
．
20．已知向量b
与向量
2, 1,2
a
共线，且
18
a b
，
ka
b
ka
b
，
(1)求向量b
的坐标；
(2)求实数k 的值.
【答案】(1)
4, 2,4
b
(2)
2
k
【分析】（1）设
2 ,
,2
b
a
，由数量积的坐标表示求得后得结论；
（2）由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】（1）
,
a b
共线，可设
2 ,
,2
b
a
，
4
4
9
18
a b
，解得：
2
，
4, 2,4
b
，
（2）∵
ka
b
ka
b
，∴
2
2
2
0
ka
b
ka
b
k a
b
，
即
2
4
1
4
16
4
16
0
k
，解得：
2
k
21．已知
3
2cos , 2
a
x
，
π
sin
,1
3
b
x
，设
f x
a b
．
(1)求函数
f
x 的单调递增区间；
(2)若
0
5π 2π
,
12
3
x
，且
0
4
5
f
x
，求
0
π
cos 2
12
x
的值．
【答案】(1)
π
5π
π
, π
12
12
k
k
，（k Z ）
(2)
7 2
10
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示将
f
x 表达出来，结合降幂公式、辅助角公式化简，再结合整
体思想即可求出
f
x 的单调递增区间，
（2）由
0
4
5
f
x
、
0
5π 2π
,
12
3
x
，求出
0
π
2
3
x
的正余弦值，再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）
2
π
3
3
2cos sin
cos sin
3 cos
3
2
2
f x
a b
x
x
x
x
x
1
3
π
sin 2
cos2
sin 2
2
2
3
x
x
x
，
由
π
π
π
2
2
2
2
3
2
k
x
k
，（k Z ），得
12
12
k
x
k
，（k Z ）
所以函数
f
x 的单调递增区间为
π
5π
π
, π
12
12
k
k
，（k Z ）
（2）由题设得
0
4
sin 2
5
π
3
x
，又
0
5π 2π
,
12
3
x
，
则
0
π
π
2
, π
3
2
x
，
∴
2
0
0
5
π
π
cos 2
sin
2
3
3
1
3
x
x
，
所以
0
0
0
0
π
π
π
π
π
π
π
7 2
cos 2
cos 2
cos 2
cos
sin 2
sin
12
3
4
3
4
3
4
10
x
x
x
x
.
