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5.8 二倍角公式
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：二倍角公式 ....................................................................2
考点二：二倍角公式的变形应用 .....................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................2
题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题 .......................................2
题型二：利用二倍角公式求角 ........................................................3
题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题 .......................................4
题型四：二倍角中的拼凑角问题 .....................................................4
题型五：二倍角公式与数学文化的结合 .............................................5
题型六：辅助角公式的应用 ...........................................................7
模块三：综合巩固 .........................................................................8
5.8 二倍角公式
模块一：基础知识
考点一：二倍角公式
函数
公式
β=α
简记符号
正弦
sin2α =2sinαcosα
S(α+β)
S2α
余弦
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
C(α+β)
C2α
正切
T(α+β)
T2α
考点二：二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①
：
，
，
.
②
：
.
③
：
.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；
.
模块二：题型分类
题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题
1.已知角的终边与单位圆交于点
3 4
,
5 5
P
，则sin 2
2.已知角的顶点为原点，始边为x 轴的非负半轴，若其终边经过点
2, 5
P
，则
2
sin2
cos
1
.
3.已知函数
π
sin
sin π
2
f x
x
x
，则
5π
6
f
（ ）
A．
3
4
B．
3
4
C．
1
2
D．
3
2
4.已知角的终边过点
1, 2
，则tan2（ ）
A．
11
2
B．4
3
C．2
11
D．11
2
题型二：利用二倍角公式求角
1.已知
7 2
3
sin
,sin
10
5
，其中
π
π
0,
,
,0
2
2
．
(1)求；
(2)求
sin 2
．
2.已知,
为锐角，
2 5
tan
2,cos
5
，则
tan 2
.
3.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且，
(0,π)
，则2
（ ）
A．4
B．4
或5π
4
C．
3π
4
D．4
或5π
4 或
3π
4
4.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且
,
0,π
，则2
．
题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题
1.已知
4
sin
5
=
，
π ,π
2
，求sin 2，cos2，tan 2的值．
2.已知
π
1
tan
6
2
，
π
1
tan 12
3
，则
)
t n(
a
2
（ ）
A．
9
13
B．
2
11
C．10
11
D．2
5
3.已知，均为锐角，
2 7
cos
7
，
3 3
sin
14
，则cos2
，2
.
4.若
π
3
sin 2
4
，则cos2（ ）
A．
7
4
B．
7
4
C．1
8
D．
1
8
5.在ABC
中，若
4
tan
3
A
，则sin2A
．
题型四：二倍角中的拼凑角问题
1.已知,
为锐角，
3
5
tan
,cos
4
5
．
(1)求sin2的值；
(2)求
tan
的值．
2.已知
π
5
sin
3
5
，则
π
sin 2
6
（ ）
A．4
5
B．
4
5
C．3
5
D．
3
5
-
3.已知
π
3
π
cos
,
0
6
5
2
，
，则
2π
cos
2
3
．
4.已知
π
3
sin
6
5
，则
5π
sin 2
6
（ ）
A．8
25
B．
8
25
C．7
25
D．
7
25
5.已知是第一象限角，满足
3
cos 4
5
，则cos2
（ ）
A．7
25
B．
24
25
C．24
25
D．
7
25
6.已知
π
7
sin
5
3
，则
3π
cos 2
5
．
题型五：二倍角公式与数学文化的结合
1.黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比
值为无理数
5
1
2
该值恰好等于2sin18，则cos36（ ）
A．5
2
B．
5
1
4
C．
5
1
4
D．
5
1
2
2.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l 与太阳天顶距
0
180
的
对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距
正切值的乘积，即
tan
l
h
．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为,
，若第一
次的“晷影长”是“表高”的2 倍，第二次的“晷影长”是“表高”的4 倍，则
tan 2
2
（ ）
A．6
7
B．
6
7
C．84
13
D．
84
13
3.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分
之比等于较大部分与整体之比，其比值为
5
1
0.618
2
，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于
5
1
2
的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则cos2C
．
4.五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以
找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，
都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中PT
BP 、PT
AP 、TE
TB 等都是黄金分割比
5
1
2
，已知五角星的顶角
是36°，则利用上面信息可求得sin126（ ）
A．
5
1
4
B．
6
2
4
C．
5
1
4
D．
5
1
2
题型六：辅助角公式的应用
1.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1（𝑥∈R）．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(2)若𝑓(𝑥0) =
6
5，𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，求cos2𝑥0的值．
2.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3cos2 π
2 + 𝑥−2sin(π + 𝑥)cos𝑥−3 .
(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期及单调递减区间：
(2)若𝑓𝑥0−π
6 =
14
25,𝑥0 ∈3π
4 ,π ，求sin2𝑥0的值.
3.已知𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥.
(1)求𝑓(𝑥)的周期及单调递增区间；
(2)求函数𝑓(𝑥)在0, π
2 上的最大值和最小值.
4.已知函数𝑓(𝑥) = sin 𝑥+ π
6 + sin 𝑥−π
6 + cos𝑥+ 𝑎在𝑥∈−π
2 , π
2 时的最大值为1.
(1)求常数𝑎的值；
(2)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(3)求使𝑓(𝑥) ≥0成立的𝑥的取值集合.
模块三：综合巩固
1.化简sin235°−1
2
cos10°cos80°等于（ ）
A．－2
B．－
1
2
C．－1
D．1
2.化简
1−cos160°
2
+
1−sin160°的结果是（ ）
A．cos10°
B．sin10°
C．2sin10° + cos10°
D．2cos10°−sin10°
3.已知函数
2
( )
1
2sin
f x
x
，则
π
8
f
的值为（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
4.sin145 cos35
（ ）
A．
sin 70
B．
1 sin 70
2
C．sin 70
D．1 sin 70
2
5.函数
sin cos cos2
y
x
x
x
的最小正周期是（ ）
A．2π
B．π
C．π
2
D．π
4
6.已知
sin
68
m
，则cos11
（ ）
A．1
2
m
B．1
2
m
C．
1
2
m
D．
1
2
m
7.已知
5π
tan
2
4
，则cos2的值为（ ）．
A．4
5
B．
1
2
C．
4
5
D．
1
2
8.若
2023π
1
sin
2
4
，则cos2
（ ）
A．8
9
B．7
8
C．
7
8
D．
8
9
9.已知角的终边落在直线
2
y
x
上，则2cos2
sin 2
3
的值为（ ）
A．1
B．1
C．1
D．
3
10.
2
sin160 cos20
1
2sin 25
等于（ ）
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
4
D．2
11.已知
tan
和
tan
是关于x 的方程
2
3
0
x
mx
的两根，且
1
tan
2
，则m 的值为（ ）
A．5
B．
16
3
C．
17
3
D．6
12.（多选）下列各式中，值为
3
2
的是（ ）
A．
2
2
cos 15
sin 15
B．2sin15 cos15
C．
2
1
2sin 15
D．
2
2cos 15
1
13.（多选）下列各式中，值为
1
2 的是（ ）
A．2sin15 cos15
B．
2 π
2cos
1
12
C．
1
cos30
2
D．
2
tan22.5
1
tan 22.5
14.已知为锐角，若
π
4
cos
6
5
，则
7π
sin 2
12
的值为（ ）
A．
2
10
B．7 2
10
C．17 2
50
D．31 2
50
15.已知
1
sin
cos
5
，
π ,π
2
，则sin 2
.
16.已知
sin
cos
sin
cos
g x
x
x
x
x
，则
g x 的值域为
.
17.已知
2
sin
45
10
，且0
90
，则sin2的值为
．
18.求下列各式的值：
(1)cos20 cos25
sin20 sin25
；
(2)cos80 cos20
sin80 sin20
；
(3)
2
2
cos 22.5
sin 22.5
.
19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B 两点，且
,
A B 两点的
横坐标分别为3
5
,
5
13
.
(1)求
cos
的值；
(2)求
2
3π
cos
2
cos
2
的值.
