5.6 利用导数研究函数的零点
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：函数的零点................................................................... 2
考点二：函数零点的判定............................................................. 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：判断、证明、讨论函数零点个数.........................................2
题型二：利用极值最值研究函数零点问题.........................................5
题型三：数形结合法研究函数零点问题..........................................10
题型四：构造函数求函数零点......................................................15
模块三：综合巩固....................................................................... 19
5.6 利用导数研究函数的零点
模块一：基础知识
考点一：函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数
( )
y
f x
，把使
( )
0
f x
的实数x 叫做函数
( )
y
f x
的零点．
（2）三个等价关系
方程
0
)
(
x
f
有实数根函数
)
(x
f
y
的图象与x 轴有交点的横坐标函数
)
(x
f
y
有零点．
考点二：函数零点的判定
如果函数
( )
y
f x
在区间[ , ]
a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
( )
( )
0
f a
f b
，那么函数
( )
y
f x
在区间( , )
a b 内有零点，即存在
( , )
c
a b
，使得
( )
0
f c
，这个c 也就是
( )
0
f x
的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
模块二：题型分类
题型一：判断、证明、讨论函数零点个数
1.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
f
x
x
x
ax
a
R ，在
0
x
处切线的斜率为-2.
（1）求a 的值及
f
x 的极小值；
（2）讨论方程
f
x
m m
R 的实数解的个数.
【答案】（1）
2
a
，极小值为
1
6
；（2）答案见解析．
【详解】解：（1）
2
f
x
x
x
a
，
因为在
0
x
处切线的斜率为-2，所以
0
2
f
，则
2
a
.
2
2
2
1
f
x
x
x
x
x
，令
0
f
x
，解得
2
x 或
1
x ，
当x 变化时，
f
x
，
f
x 变化情况如下：
x
, 2
-2
2,1
1
1,
f
x
0
0
+
f
x
单调递增
13
3
单调递减
1
6
单调递增
故
f
x 的极小值为
1
1
6
f
.
（2）由（1）知，
f
x 在
, 2
上单调递增，
2,1
上单调递减，
1,上单调递增.当
+
x
时，
f x ；当x 时，
f x .
当
13
3
m
或
1
6
m
时，方程
f x
m
有1 个实数解；
当
13
3
m
或
1
6
m
时，方程
f x
m
有2 个实数解
当
1
13
6
3
m
时，方程
f
x 有3 个实数解.
2.已知函数
2
cos
f
x
x
x
.
(1)设
g x
f
x
，求
g x 在区间π ,π
4
上的最值；
(2)讨论
f
x 的零点个数.
【答案】(1)最大值为
π
2
2
2
，最小值为2π
(2)
f
x 在R 上有两个零点
【详解】（1）因为
2
sin ,
2
cos
0
g x
f
x
x
x g
x
x
，
所以
g x 在区间π ,π
4
上单调递减，
所以当
π
4
x
时，
g x 取最大值
π
π
2
4
2
2
g
；
当
π
x
时，
g x 取最小值
π
2π
g
.
（2）先讨论
f
x 在
0,
上的零点个数，
由（1）可知，
f
x
在
0,
上递减，
0
0
f
x
f
，
所以
f
x 在
0,
上递减，因为
2
π
π
0
1
0,
0
2
2
f
f
，
所以
f
x 在
0,
上有唯一零点，
又因为
2
2
co
s
(
s
co
)
f
x
f x
x
x
x
x
，
所以
f
x 是偶函数，所以
f
x 在R 上有两个零点.
3.已知函数
1
1
e
0,
R
x
f x
x
m
m
，讨论函数
f x 的零点的个数.
【详解】由
1
1
e
0
x
f x
x
m
得
1
1
e
x
x
m
，设
1
1
e
x
x
g x
，
则
1
1
1 2
1
e
(
1)e
2
(e
)
e
x
x
x
x
x
x
g x
，
令
0
g x
，得
2
x
，此时
g x 单调递增，
令
0
g x
，得
2
x
，此时
g x 单调递减，
即当
2
x
时，g(x)取得极大值即
3
1
2
0
e
g
，
由
2
x
，
g x 单调递增，
1
1 1
1
0
e
x
g
可得
g x 与x 轴只有一个交点，
由
2
x
，
g x 单调递减，
1
1
0
ex
x
g x
可得
g x 与x 轴没有交点，
画出
g x 的大致图象如图，可得m≤0 或m=
3
1
e 时，
f x 有1 个零点；
当0<m<
3
1
e 时，
f
x 有2 个零点；当m>
3
1
e 时，
f
x 没有零点.
综上所述，当m≤0 或m=
3
1
e 时，
f x 有1 个零点；
当0<m<
3
1
e 时，
f
x 有2 个零点；
当m>
3
1
e 时，
f x 没有零点.
4.已知
e
ln
x
g x
x
a
x
x
．
(1)当
1
a 时，求
g x 在
1,上的单调性；
(2)若
ex
h x
x
，令
f x
h x
，讨论方程
f
x
m m
R 的解的个数．
【答案】(1)
g x 在
1,上递增
(2)答案见解析
【详解】（1）因为
e
ln
x
g x
x
a
x
x
所以当
1
a 时，
e
ln
x
g x
x
x
x ，
所以
1
1
1 e
1
1
e
x
x
g
x
x
x
x
x
，
则当
1
x 时，
1
2
x ，e
e
x ，
1
0
1
x
可得
0
g
x
，
所以
g x 在
1,上递增．
（2）因为
ex
h x
x
，
1 ex
h x
x
，
所以
1 ex
f
x
h
x
x
，
2 ex
f
x
x
，
令
0
f
x
，解得
2
x ，
所以
f
x 在区间
, 2
上单调递减，在区间
2,
上单调递增．
当
2
x 时，
f
x 有极小值
2
1
2
e
f
．
令
0
f
x
，解得= 1
x ．令
0
x
，可得
0
0
1 e
1
f
，
当
1
x 时，
0
f x
；当
1
x 时，
0
f x
．
所以，
f
x 的图像经过特殊点
2
1
2,
e
A
，
1,0
B
，
0,1
C
．
当x 时，e
0
x
，从而
0
f x
；
当x 时，
1
x ，ex ，从而
f x ．
根据以上信息，我们画出
f
x 的大致图像如图所示．
方程
f
x
m m
R 的解的个数为函数
y
f x
的图像与直线y
m
的交点个数．
所以，关于方程
f
x
m m
R 的解的个数有如下结论：
当
2
1
e
m
时，解为0 个；
当
2
1
e
m
或
0
m
时，解为1 个；
当
2
1
0
e
m
时，解为2 个．
题型二：利用极值最值研究函数零点问题
1.已知函数
3
2
9
6
2
f x
x
x
x
a
（
R
a
）.
(1)求
f
x 在
2,3
上的最大值；
(2)若函数
f
x 恰有三个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1) 9
2
a
(2)
5
2, 2
（2）根据函数的单调性，求得其极大值和极小值，结合零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）
( )
(
)(
)
2
3
9
6
3
1
2
f
x
x
x
x
x
¢
=
-
+
=
-
-
，
可知
2,1
x
时，
f
x 单调递增，
1,2
x
时，
f
x 单调递减，
2,3
x
时，
f
x 单调递增，
由
2
38
f
a
，
5
1
2
f
a
，
2
2
f
a
，
9
(3)
2
f
a
，
则
max
9
3
2
f x
f
a
.
（2）由（1）知
f
x 在
,1
和
2,上单调递增，在
1,2 上单调递减，
所以
5
=
1
2
f x
f
a
极大
，
=
2
2
f x
f
a
极小
，
因为
f
x 有三个零点，所以
0
0
f x
f x
极大
极小
，即
5
0
2
2
0
a
a
，
解得
5
2
2
a
，故a 的取值范围为
5
2, 2
.
2.已知函数
ln
R
f x
a x
x a
.
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若
f
x 在
2
1 ,e
e
上存2 个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
2e
e, 2
【详解】（1）函数
f
x 的定义域为
0,
，且
1
(
0)
a
a
x
f
x
x
x
x
.
当
0
a
时，
0
f
x
在
0,
上恒成立，故
f
x 在
0,
上单调递减；
当
0
a
时，令
0(
0)
f
x
x
，得0
x
a
，令
0
f
x
，得x
a
，
所以
f
x 在
0,a 上单调递增，在
,a 上单调递减.
综上所述，当
0
a
时，
f
x 在
0,
上单调递减；当
0
a
时，
f
x 在
0,a 上单调递增，在
,a 上
单调递减.
（2）若
0,
a
f x
x
，在
2
1 ,e
e
上无零点，不合题意；
若
0
a
，由
0
f
x
，得1
lnx
a
x
，
令
lnx
g x
x
，则直线
1
y
a
与函数
g x 在
2
1 ,e
e
上的图象有两个交点，
2
1
lnx
g
x
x
，当1
e
e
x
时，
0
g
x
，当
2
e
e
x
时，
0
g x
，
所以
g x 在1,e
e
上单调递增，在
2
,e e
上单调递减.
所以
max
1
( )
e
e
g x
g
，
又
2
2
1
2
e,
e
e
e
g
g
，
所以要使直线
1
y
a
与
2
1 ,e
e
g x
x
的图象有两个交点，则
2
2
1
1
e
e
a
，
所以
2
e
e
2
a
，即实数a 的取值范围为
2e
e, 2
.
3.已知函数
2
2ln
1
x
f
x
a x
x
.
(1)当
0
a
时，求
f
x 的极值；
(2)当
1
a 时，求
f
x 在
1,上的最小值；
(3)若
f
x 在
1,e 上存在零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)极大值为2
e ，没有极小值.
(2)0
(3)
3
2
1, e
e
【详解】（1）当
0
a
时，
2ln x
f
x
x
，定义域：
0,
，
2
2
2ln x
f
x
x
，
令
0
f
x
，则
e
x，x 变化时，
f
x
，
f
x 的变化情况如下表：
x
0,e
e
e,
f
x
0
f
x
单调递增
极大值2
e
单调递减
则
f
x 的极大值为：
2
e
e
f
，
f
x 没有极小值；
（2）当
1
a 时，
2
2ln
1
x
f
x
x
x
，定义域：
1,，
3
2
2
2 1 ln
2
2ln
2
x
x
x
f
x
x
x
x
，
令
3
1
ln
g x
x
x
，定义域：
1,，
3
2
1
3
1
3
0
x
g
x
x
x
x
，
则
g x 在
1,上是增函数，则
min
1
2
g x
g
，所以
( )
0
f
x
¢
>
，
即
f
x 在
1,上是增函数，则
min
1
0
f
x
f
.
（3）
2
2ln
1
x
f
x
a x
x
，定义域：
1,e ，
3
2
2
2 1 ln
2
2ln
2
x
ax
x
f
x
ax
x
x
，
令
3
ln
1
g x
ax
x
，定义域：
1,e ，
3
2
1
3
1
3
ax
g x
ax
x
x
，
（1）当a<0 时，
0
g
x
，则
g x 在
1,e 上是减函数，则
1
1
g x
g
a
，
当
1
a 时，
0
f
x
，则
f
x 在
1,e 上是减函数，
max
1
0
f
x
f
，不合题意；
当1
0
a
时，
1
1
0
g
a
，
3
e
e
0
g
a
，则存在
0
1,e
x
，使
0
0
g x
，即
0
0
f
x
，
x 变化时，
f
x
，
f
x 的变化情况如下表：
x
0
1, x
0x
0,e
x
f
x
0
f
x
单调递增
极大值
0
f
x
单调递减
则
0
1
0
f x
f
，只需
2
2
e
e
1
0
e
f
a
，即
3
2
e
e
a
；
（2）当
0
a
时，由（1）知
f
x 在
1,e 上是增函数，
1
0
f x
f
，不合题意；
（3）当
0
a
时，
2ln x
y
x
在
1,e 上是增函数，
2
1
y
a x
在
1,e 上是增函数，
则
f
x 在
1,e 上是增函数，
1
0
f x
f
，不合题意，
综上所述，a 的取值范围是
3
2
1, e
e
.
4.已知函数
3
2
1
( )
, ( )
(
)
3
f x
x
ax g x
x
a a
R
.
(1)若函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，求a 的最小值；
(2)若函数
( )
( )
( )
G x
f x
g x
的图象与y
ax
有且只有一个交点，求a 的取值范围．
【答案】(1) 3
(2)
4
(
,
)
(0,
)
3
【详解】（1）
3
2
1
( )
( )
( )
3
F x
f x
g x
x
ax
x
a
，
2
( )
2
F x
x
x
a
，
因函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，
所以
2
( )
2
0
F x
x
x
a
在
[1,
)
x
恒成立，即
2
max
2
a
x
x
，
3
a ，
a
的最小值为3
．
（2）
3
2
1
( )
( )
( )
3
G x
f x
g x
x
x
ax
a
与y
ax
有且只有一个交点，
即
3
2
1
3 x
x
ax
a
ax
只有一个根，
3
2
1
0
3 x
x
a
只有一个根，
令
3
2
1
3
h x
x
x
，所以
h x 的图象与y
a
的图象只有一个交点，
2
2
h x
x
x
，令
0
h x
，解得
0
x
或
2
x
，
令
0
h x
，解得0
2
x
，所以
h x 在
,0
，
2,上单调递增，
0,2 上单调递减，
h x 的图象如
下所示：
4
0
0,
2
3
h x
h
h x
h
极大值
极小值
，
又
h x
的图象与y
a
的图象只有一个交点，
4
(
,
)
(0,
)
3
a
.
5.已知函数
x
f x
a
，
loga
g x
x
，其中
1
a ，若
0
ax
h x
x
f
x
.
(1)当
2
a
时，求
h x 的单调区间；
(2)曲线
y
h x
与直线
1
y 有且仅有两个交点，求a 的取值范围.
【答案】(1) ( )
h x 的增区间为
2
(0,
)
ln2 ，减区间为
2
(ln2 ,
)
(2)(1,e)
(e,+
)
【详解】（1）( )
(
0)
a
x
x
h x
x
a
，
当
2
a
时，
2
( )
2x
x
h x
，
2
2
2
2
2 ln2
(2
ln2)
( )
(2 )
2
x
x
x
x
x
x
x
x
h x
，
令
( )
0
h x
，得2
ln2
0
x
，即
2
0
ln2
x
，
令
( )
0
h x
，得2
ln2
0
x
，即
2
ln2
x
，
所以( )
h x 的增区间为
2
(0,
)
ln2 ，减区间为
2
(ln2 ,
)
．
（2）( )
1(
0)
a
x
x
h x
x
a
，
所以
(
0)
x
a
a
x
x
，
两边取对数可得ln
ln
x a
a x
，
所以ln
ln
x
a
x
a
，
设
ln
( )
x
k x
x
，
所以
2
2
1
ln
1 ln
( )
x
x
x
x
k x
x
x
，
令
( )
0
k x
得
e
x，
所以在(0,e)上，
( )
0
k x
，( )
k x 单调递增，
在(e,
)
上，
( )
0
k x
，( )
k x 单调递减，
所以
max
1
( )
(e)
e
k x
k
，
又因为(1)
k
0
，且
1
x 时，( )
0
k x
，
所以曲线
( )
y
h x
与直线
1
y 有且仅有两个交点，
即曲线
( )
y
k x
与直线
ln a
y
a
有两个交点的充分必要条件为
ln
1
0
e
a
a
，
所以0
( )
k a
(e)
k
，
所以a 的取值范围为(1,e)
(e,+
)
．
题型三：数形结合法研究函数零点问题
1.已知函数
3
2
1
( )
, ( )
(
)
3
f x
x
ax g x
x
a a
R
.
(1)若函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，求a 的最小值；
(2)若函数
( )
( )
( )
G x
f x
g x
的图象与y
ax
有且只有一个交点，求a 的取值范围．
【答案】(1) 3
(2)
4
(
,
)
(0,
)
3
【详解】（1）
3
2
1
( )
( )
( )
3
F x
f x
g x
x
ax
x
a
，
2
( )
2
F x
x
x
a
，
因函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，
所以
2
( )
2
0
F x
x
x
a
在
[1,
)
x
恒成立，即
2
max
2
a
x
x
，
3
a ，
a
的最小值为3
．
（2）
3
2
1
( )
( )
( )
3
G x
f x
g x
x
x
ax
a
与y
ax
有且只有一个交点，
即
3
2
1
3 x
x
ax
a
ax
只有一个根，
3
2
1
0
3 x
x
a
只有一个根，
令
3
2
1
3
h x
x
x
，所以
h x 的图象与y
a
的图象只有一个交点，
2
2
h x
x
x
，令
0
h x
，解得
0
x
或
2
x
，
令
0
h x
，解得0
2
x
，所以
h x 在
,0
，
2,上单调递增，
0,2 上单调递减，
h x 的图象如
下所示：
4
0
0,
2
3
h x
h
h x
h
极大值
极小值
，
又
h x
的图象与y
a
的图象只有一个交点，
4
(
,
)
(0,
)
3
a
.
2.已知
e
ln
x
g x
x
a
x
x
．
(1)当
1
a 时，求
g x 在
1,上的单调性；
(2)若
ex
h x
x
，令
f x
h x
，讨论方程
f
x
m m
R 的解的个数．
【答案】(1)
g x 在
1,上递增
(2)答案见解析
【详解】（1）因为
e
ln
x
g x
x
a
x
x
所以当
1
a 时，
e
ln
x
g x
x
x
x ，
所以
1
1
1 e
1
1
e
x
x
g
x
x
x
x
x
，
则当
1
x 时，
1
2
x ，e
e
x ，
1
0
1
x
可得
0
g
x
，
所以
g x 在
1,上递增．
（2）因为
ex
h x
x
，
1 ex
h x
x
，
所以
1 ex
f x
h x
x
，
2 ex
f
x
x
，
令
0
f
x
，解得
2
x ，
所以
f
x 在区间
, 2
上单调递减，在区间
2,
上单调递增．
当
2
x 时，
f
x 有极小值
2
1
2
e
f
．
令
0
f
x
，解得= 1
x ．令
0
x
，可得
0
0
1 e
1
f
，
当
1
x 时，
0
f x
；当
1
x 时，
0
f x
．
所以，
f
x 的图像经过特殊点
2
1
2,
e
A
，
1,0
B
，
0,1
C
．
当x 时，e
0
x
，从而
0
f x
；
当x 时，
1
x ，ex ，从而
f x ．
根据以上信息，我们画出
f
x 的大致图像如图所示．
方程
f
x
m m
R 的解的个数为函数
y
f x
的图像与直线y
m
的交点个数．
所以，关于方程
f
x
m m
R 的解的个数有如下结论：
当
2
1
e
m
时，解为0 个；
当
2
1
e
m
或
0
m
时，解为1 个；
当
2
1
0
e
m
时，解为2 个．
3.已知函数
3
2
2
1
2
3
f x
x
k
x
kx
，
2
1(
g x
kx
其中
)
k
R
．
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若方程
f x
g x
有三个根，求k 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
3 3
1
，
．
【详解】（1）解：由题意得函数
f
x 的定义域为R ，
2
2
2
1
2
2
1
f
x
x
k
x
k
x
x
k
，
①当
1
k 时，
'
0
f
x
，即
f
x 在R 上单调递增；
②当
1
k 时，由
'
0
f
x
，得
1
x 或x
k
，由
'
0
f
x
，得1
x
k
，
( )
f
x
\
在
1
k
，
上单调递减，在
1
，和
k
，
上单调递增；
③当
1
k 时，由
'
0
f
x
得x
k
或
1
x ，由
0
f
x
得
1
k
x
，
( )
f
x
\
在
1
k，上单调递减，在
k
，
和
1
，
上单调递增，
综上所述，当
1
k 时，
f
x 在R 上单调递增；
当
1
k 时，
f
x 在
1
k
，
上单调递减，在
1
，和
k
，
上单调递增；
当
1
k 时，
f
x 在
1
k，上单调递减，在
k
，
和
1
，
上单调递增；
（2）方程
f x
g x
有三个根，即
3
2
2
1
2
2
1
3 x
k
x
kx
kx
有三个根，
3
2
2
1
1
0
3 x
k
x
有三个根，显然
0
x
不是方程的根，
则
2
2
1
1
3
k
x
x
有三个根，即y
k
与函数
2
2
1
1
3
h x
x
x
的图象有三个交点，
3
2
2
3
h x
x
，令
0
h x
，可得
3 3
x
，
由
0
h x
，可得
3 3
x
或
0
x
，由
0
h x
，可得
3 3
0
x
，
则
h x 在
3 3
，
和
0
，
上单调递增，在
3 3 0
，上单调递减，
h x
在
3 3
x
处取得极大值为
3
3
3
3
1
h
，
当x 时，
h x ，当
0
x
时，
h x ，
当
0
x
时，
h x ，当x 时，
h x ，
如图所示：
要使y
k
与函数
2
2
1
1
3
h x
x
x
的图象有三个交点，
只需
3 3
1
k
，
k
的取值范围是
3 3
1
，
．
4.已知函数
1 e
R
x
f x
x
a a
.
(1)求
f
x 的极值：
(2)若
f
x 有两个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)极小值为
2
1
e
a
，无极大值
(2)
2
1 ,0
e
【详解】（1）函数的定义域为R ，
2 ex
f
x
x
令
0
f
x
，解得
2
x ，
当
0
f
x
时，则<
2
x
，
当
( )
0
f
x
¢
>
时，则
2
x ，
所以
f
x 在区间
, 2
上单调递减，在区间
2,
上单调递增.
所以当
2
x 时，
f
x 有极小值
2
1
2
e
f
a
，无极大值.
（2）因为函数
1 ex
f x
x
a
有两个零点，
所以直线y
a
与函数
1 ex
g x
x
有两个交点，
2 ex
g
x
x
，令
0
g
x
，解得
2
x ，
当
0
g x
时，则<
2
x
，
当
0
g
x
时，则
2
x ，
所以
g x 在区间
, 2
上单调递减，在区间
2,
上单调递增.
因为
1
0
g
，
2
1
2
e
g
，
当
1
x 时，
0
g x
，当
1
x 时，
0
g x
当x 时，
0
g x
，当x 时，
g x
，
g
x
，
所以函数的大致图象如图所示，
结合图象可知，当
2
1
0
e
a
时，
f
x 有两个零点，
故a 的取值范围为
2
1 ,0
e
.
5.已知函数
3
1
6
3
f
x
x
x
，函数
2
1
2
g x
x
a
，
(1)已知直线l 是曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线，且l 与曲线
y
g x
相切，求a 的值；
(2)若方程
f x
g x
有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)18
(2)
27 22
,
2
3
【详解】（1）
3
1
6
3
f
x
x
x
，则
2
6
f
x
x
，则
0
6
f
，
0
0
f
，
故切线l 方程为：
6
y
x
，
l 与曲线
y
g x
相切，联立得到
2
1
6
2 x
a
x
，即
2
0
6
1
2 x
a
x
，
36
2
0
a
，解得
18
a
.
（2）
f x
g x
，即
3
2
1
1
6
3
2
x
x
x
a
，则
3
2
1
1
6
3
2
a
x
x
x
，
设
3
2
1
1
6
3
2
F x
x
x
x
，则
2
6
3
2
F
x
x
x
x
x
，
当
3
x
时，
0
F
x
，函数单调递增；
当2
3
x
时，
0
F
x
，函数单调递减；
当<
2
x
时，
0
F
x
，函数单调递增；
27
3
2
F
，
22
2
3
F
，画出函数图象：
根据图象知：
27
22
2
3
a
.
题型四：构造函数求函数零点
1.已知函数
2
1
e
,
R
2
x
f
x
ax
x
x x
．
(1)讨论函数
( )
f x 的单调性．
(2)若关于x 的方程
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
有两个实数根，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
1
0, e
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
【详解】（1）由题意函数
( )
f x 的定义域为
R,
e
e
1
1
e
1
x
x
x
f
x
a
x
x
x
a
．
当
0
a
时，若
, 1 ,
0
x
f
x
，则
( )
f x 单调递增；
若
1,
,
0
x
f
x
，则
( )
f x 单调递减．
当
0
a
时，令
( )
0
f
x
，得= 1
x 或
ln
x
a
．
①当1
lna
时，
e
a
，则
( )
0,
( )
f
x
f x
在R 上单调递增．
②当
ln
1
a
时，
e
a ，则当
(
, ln )
x
a
时，
( )
0,
( )
f
x
f x 单调递增；
当
ln , 1
x
a
时，
( )
0,
( )
f
x
f x
单调递减；
当
( 1,
)
x
时，
( )
0,
( )
f
x
f x 单调递增．
③当
ln
1
a
时，0
e
a
，则当
(
, 1)
x
时，
( )
0,
( )
f
x
f x 单调递增；
当
1, ln
x
a
时，
( )
0,
( )
f
x
f x 单调递减；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
当
( ln ,
)
x
a
时，
( )
0,
( )
f
x
f x 单调递增．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
综上，当
0
a
时，
( )
f x 在(
, 1)
上单调递增，在( 1,
)
上单调递减；
当0
e
a
时，
( )
f x 在
, 1 ,
ln ,a
上单调递增，在
1, lna
上单调递减；
当
e
a 时，
( )
f x 在R 上单调递增；
当
e
a 时，
( )
f x 在
, ln
,
1,
a
上单调递增，在
ln , 1
a
上单调递减．
（2）由
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
，得
e
ln
x
ax
x
x
，
即
ln
e
ln
x x
a
x
x
．
设
ln
,
0
g x
x
x x
，则
1
( )
1
0
g x
x
，
所以
( )
ln
g x
x
x
为增函数，且
( )
ln
g x
x
x
的值域为R ．
令
ln
,
R
t
x
x t
，
所以
ln
e
ln
x x
a
x
x
可化为et
a
t
，则
t
t
a
e
．
令
,
et
t
y
a h t
．
因为关于x 的方程
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
有两个实数根，
所以直线y
a
与函数
et
t
h t
的图像有两个不同的交点．
因为
1
et
t
h t
，
所以当
(
,1)
t
时，
( )
0
h t
，则( )
h t 单调递增；
当
(1,
)
t
时，
( )
0
h t
，则( )
h t 单调递减．
所以
1
1
e
h t
h
，且当t 时，( )
0
h t
，
当t 时，( )
h t ，
所以
1
0
e
a
，
即实数a 的取值范围为
1
0, e
．
2.已知函数
2ln
1
f
x
x
ax
a
R .
(1)讨论函数
f
x 的零点个数；
(2)已知函数
2
e
e
ax
g x
x
a
R ，当
2 e
0
e
a
时，关于x 的方程
f x
g x
有两个实根
1
2
1
2
,
x x
x
x
，
求证：
1
2
1
1
e
e
x
x
.（注：e
2.71828
是自然对数的底数）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知函数
f
x 的定义域为
0,
，
由
2ln
1
0
f
x
x
ax
，得
2ln
1
x
a
x
，
令函数
2
1
2ln
1
2ln
,
x
x
u x
u
x
x
x
，
当0
e
x
时，
0
u
x
，函数
u x 在
0,
e 上单调递增，
当
e
x
时，
0
u
x
，函数
u x 在
e,单调递减，
所以
max
2
2 e
( )
e
e
e
u x
u
，
因为
0
1
1
2ln
1
2ln
0,lim
, lim
0
e
x
x
x
x
u
x
x
，
可知函数
u x 的图象如下所示：
所以当
2 e
e
a
时，函数
f
x 的零点个数为0 个，当
0
a
或
2 e
a
e
时，函数
f
x 的零点个数为1 个，
当
2 e
0
e
a
时，函数
f
x 的零点个数为2 个.
（2）由题设方程
f x
g x
，即
2
2ln
1
e
e
ax
x
ax
x
，
所以
2
2
2
lne
e
2ln
e
1
lne
e
ax
x
ax
x
x
x
，
令
ex
x
x
，得
2
lne
ax
x
，
又
1
e
0
x
x
在R 上恒成立，所以
x
在R 上单调递增，所以
2
lne
ax
x
，即
1
2ln
ax
x
，
由已知，方程
1
2ln
ax
x
有两个实根
1
2
1
2
,
x x
x
x
，
即
1
2lnx
a
x
有两个实根
1
2
1
2
,
x x
x
x
，由（1）得
1
2
1
e
e
x
x
.
令
1
2
2
1
1
2
1
1
1
,
0
e
e
t
t
t
t
x
x
，
所以
1
1
1
2
2
2
2 ln ,
2 ln ,
a
t
t
t
a
t
t
t
令
2 ln (
0)
h t
t
t t t
，所以
h t
a
有两个实根1
2
,
t t ，
先证1
2
2
e
t
t
.
因为
1
2ln
h t
t
，令
0
h t
，解得
1
0
e
t
，令
0
h t
，解得
1
e
t
，
所以
h t 在
1
0,
e
上单调递增，在
1 ,
e
上单调递减，要证1
2
2
e
t
t
，即证1
2
2
e
t
t
，
因为
1
2
1
2
1
,
,
e
e
e
t
t
h t
在
1 ,
e
上单调递减，只需证
1
2
2
e
h t
h
t
，
即证
2
2
2
e
h t
h
t
.
令
2
1
0
e
e
F t
h t
h
t
t
，
2
2
2
1
2ln
1
2ln
2
2ln
e
e
e
F
t
h t
h
t
t
t
t
t
，
因为
2
2
2
1
0
e
e
e
t
t
t
t
t
，
令
2
2
1
0
e
e
t
k t
t
t
，
可知函数
k t 在
1
0,
e
上单调递增，所以
2
1
0
e
e
t
t
，所以
2
ln
1
e
t
t
，
所以
2
2
2ln
0
e
t
t
，即
0
F t
在
1
0,
e
上恒成立，
所以
F t 在
1
0,
e
上单调递增，所以
1
0
e
F t
F
，所以
2
2
2
e
h t
h
t
成立，
即
1
2
2
e
h t
h
t
成立，又1
2
1
2
1
,
e
e
e
t
t
，且
h t 在
1 ,
e
上单调递减，
所以1
2
2
e
t
t
，所以1
2
2
e
t
t
，即
1
2
1
1
2
e
x
x
，所以
2
1
1
2
1
e
x
x
，
所以
1
1
2
1
1
1
2
1
e
e
e
x
x
x
x
，即
1
2
1
1
e
e
x
x
.
模块三：综合巩固
1.函数
2
2
2
f x
x
m
x
m
．
(1)若
f
x 为奇函数，求实数m 的值；
(2)已知
f
x 仅有两个零点，证明：函数
3
y
f x
仅有一个零点．
【答案】(1) 2
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为
2
3
2
( )
(2
)(
2)=2
2(
2)
(
2)
f x
x
m x
m
x
m
x
mx
m m
为奇函数，
所以可知
( )
f x 的定义域为R ，且
( )
(
)
0
f x
f
x
，
即
3
2
3
2
2
2(
2)
(
2)
2(
)
2(
2)(
)
(
)
(
2)
0
x
m
x
mx
m m
x
m
x
m
x
m m
，
即
2
2(
2)
(
2)
0
m
x
m m
，
所以
2(
2)
0
(
2)
0
m
m m
，解得
2
m
.
（2）证明：①当
0
m
时，
2
2
0
x
m
，
所以函数
2
( )
(2
)(
2)
f x
x
m x
m
不可能有两个零点，此时不合题意；
②当
0
m
时，令
( )
0
f x
，解得：
2
m
x
或
2
m
，
又因
0,
0,
2
0
2
2
m
m
m
，
则要使得f（x）仅有两个零点，则
2
2
m
m
，
即
2
2
7
8
0
m
m
，此方程无解，此时不合题意；
③当
0
m
时，即
3
2
( )
2
4
f x
x
x
，
令
( )
0
f x
，解得
0
x
或
2
x ，符合题意，所以
0
m
.
令
3
2
( )
( )
3
2
4
3
h x
f x
x
x
，则
2
( )
6
8
2 (3
4)
h x
x
x
x
x
，
令
( )
0
h x
，解得：
0
x
或
4
3
x
，令
( )
0
h x
解得：
4
0
3
x
，
故( )
h x 在
4
(
)
3
，
，(0
)
，
上递增，在
4
(
0)
3，
上递减，
又
4
17
(
)
0
3
27
h
，
,
( )
x
f x
故函数
( )
3
y
f x
仅有一个零点．
2.已知函数
3
2
1
( )
2
1
3
f x
x
ax
x
．
(1)求函数
( )
f x 在
0
x
处的切线方程；
(2)若
1
x 是
( )
f x 的极值点，且方程
( )
0
f x
m
有3 个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) 2
1
0
x
y
(2)
13
7
6
3
m
【详解】（1）因为
3
2
1
( )
2
1
3
f x
x
ax
x
，故
2
( )
2
2
f
x
x
ax
，
故
(0)
2,
(0)
1
f
f
，
故函数
( )
f x 在
0
x
处的切线方程为
1
2(
0)
y
x
，即2
1
0
x
y
（2）由于
1
x 是
( )
f x 的极值点，故
1
(1)
1
2
2
0,
2
f
a
a
，
此时
2
( )
2
f
x
x
x
，当<
2
x
或
1
x 时，
( )
0
f
x
，即
( )
f x 在(
, 2),(1,
)
上单调递增，
当2< <1
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 在( 2,1)
上单调递减
即
2
x 为函数的极大值点，
1
x 是函数的极小值点，故
1
2
a
，
故
3
2
1
1
( )
2
1
3
2
f x
x
x
x
，
故方程
( )
0
f x
m
有3 个不同的实数解，即
( ),
y
f x
y
m
的图象由3 个不同交点，
而
max
7
2
3
f
x
f
，
min
13
( )
(1)
6
f x
f
，
结合
3
2
1
1
( )
2
1
3
2
f x
x
x
x
的图象，当x 时，
( )
f x 可取负无穷小，
当x 时，
( )
f x 可取正无穷大，
可得到
13
7
6
3
m
.
3.已知函数
2
2ln
f x
x
x
.
(1)求
f
x 的单调区间；
(2)令
2
g x
f
x
x
ax
（a 为常数），若
g x 有两个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
f
x 的单调递减区间是
0,1 ，单调递增区间是
1,
(2)
2
0, e
【详解】（1）由题意可知：
f
x 的定义域为
0,
，
2
1
1
2
2
x
x
f
x
x
x
x
，
令
0
f
x
，解得0
1
x
；令
( )
0
f
x
¢
>
，解得
1
x ；
所以
f
x 的单调递减区间是
0,1 ，单调递增区间是
1,.
（2）由题意可知：
2
2ln
g x
f
x
x
ax
ax
x
，其定义域为
0,
，
则
g x 有两个零点
1
2
,
x x ，即
0
g x
有两解，即
ln
2
a
x
x
有两解，
令
ln
0
x
x
x
x
，则
2
1 ln
0
x
x
x
x
.
令
0
x
，解得0
e
x
；令
0
x
，解得
e
x；
则
x
的单调递减区间是
e,，单调递增区间是
0,e ，
可知
lne
1
e
e
e
x
，
又因为1
0
，且当x 趋近于，
x
趋近于0，
要使得
ln
2
a
x
x
有两解，只需
1
0
2
e
a
，所以
2
0
e
a
，
故实数a 的取值范围为
2
0, e
.
4.已知
1
e
e
b
x
ax
f
x
ax
b
.
(1)当
0,
0
a
b
时，求函数
f
x 的极值；
(2)当
0
a
时，设
ln
g x
f x
x
x
.若函数
g x 在
2
1,e 上有两个不同的零点，求b 的取值范围.
【答案】(1)极小值为
1
e
，无极大值
(2)
2
2
1
1,
1
e
e
【详解】（1）当
0,
0
a
b
时，
eax
f x
ax
，
由题意得：
2
2
e
e
e
ax
a
ax
f
x
a
a x
a x
a
，
当
1
x
a
时，
0
f
x
，则
f
x 单调递减，
当
1
x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
，则
f
x 单调递增，
1
1
( )
e
f x
f
a
极小值
，无极大值.
（2）当
0
a
时，
1
e
ln
b
x
g x
b
x
x
，令
0
g x
，
则
1
e
ln
b
x
b
x
x
在
2
1,e 上有两个不同的根，
而
ln
e
e
ln
e
e
ln
e
e
ln
bx
x
bx
x
bx
x
x
b
x
x
bx
x
x
x
bx
x
x
，
2
1,e
,
ln
0
x
x
x
，则
0
b
，
令
ex
h x
x
，则
ln
h bx
h x
x
，
而
1
0
x
h
x
x
e
在
2
1,e 上恒成立，故
h x 在
2
1,e 上单调递增，
ln
ln
ln
1
1
x
x
bx
x
x
b
b
x
x
，
令
2
ln
1 ln
,
x
x
u x
u
x
x
x
.
当
1,e
x
时，
0
u
x
，
u x 单调递增；当
2
e,e
x
时，
0
u
x
，
u x 单调递减.
又
2
2
1
2
1
0,
e
,
e
e
e
u
u
u
，
所以，要使
1
e
ln
b
x
b
x
x
在
2
1,e 上有两个不同的根，
由图可知，只需
2
2
1
1
e
e
b
，即
2
2
1
1
1
e
e
b
，
b 的取值范围为
2
2
1
1,
1
e
e
.
