5.7 函数的曲线切线与导数
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：求曲线“在”与“过”某点的切线......................................2
考点二：切线条数问题................................................................ 2
考点三：公切线问题................................................................... 2
考点四：已知切线求参数问题....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求“在”型的切线方程.................................................... 3
题型二：求“过”型切线方程....................................................... 3
题型三：切线的平行与垂直问题.................................................... 4
题型四：切线的条数问题............................................................. 5
题型五：两曲线的公切线问题....................................................... 6
题型六：三角函数的切线............................................................. 7
题型七：切线与倾斜角................................................................ 7
题型八：直线上点到曲线距离....................................................... 8
题型九：两曲线上点距离最值....................................................... 9
题型十：恒成立与存在求参.......................................................... 9
题型十一：零点或交点交点求参数................................................10
题型十二：等式（不等式）整数解求参..........................................11
题型十三：恒等式、不等式........................................................ 12
模块三：综合巩固....................................................................... 12
5.7 函数的曲线切线与导数
模块一：基础知识
考点一：求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
考点二：切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点
,t f t
，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数
问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
考点三：公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示
同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
考点四：已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条
件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函
数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
模块二：题型分类
题型一：求“在”型的切线方程
1.曲线
3
1
f x
x
在点
1,
1
f
处的切线方程为（
）
A．
3
1
y
x
B．
3
1
y
x
=
+
C．
3
3
y
x
D．
3
3
y
x
2.（多选）若曲线
2
y
x
ax
b
在点
0,b 处的切线方程是
1
0
x
y
，则（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．
1
b = -
D．
1
b
3.已知曲线
ln
y
x
x
在点
1,1 处的切线与曲线
2
(
2)
1
y
ax
a
x
相切，求a 的值.
4.（多选）下列函数的图象可能与直线2
0
x
y
m
(
R)
m
相切的是（
）
A．
2
( )
f x
x
x
B．
( )
2
ex
f x
x
C．
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
D．
( )
2
f x
x
x
5.（多选）若( )
ln
f
x
x
=
的图象在
1
2
1
2
,
x
x x
x
x
x
处的切线分别为1
2
,l l ，且1
2
l
l
，则（
）
A．
1
2
1
x x
B．
1
2
x
x
的最小值为2
C．1
2
,l l 在y 轴上的截距之差为2
D．1
2
,l l 在y 轴上的截距之积可能为1
6.已知函数
1
( )
(
3)e
ln
x
f x
ax
x
x
（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,
(1))
f
处的切线的斜率为8，
则实数a 的值为（
）
A．1
B．2
C．e
D．3
7.已知函数
2
1
2
f x
x
f
x
，则
f
x 的图象在点
2
2
f,
处的切线的斜率为（
）
A．3
B．3
C．5
D．5
题型二：求“过”型切线方程
1.过坐标原点且与曲线
ln x
y
x
相切的直线斜率为（
）
A．1
B．1
2e
C．1
e
D．1
2
2.已知曲线
3
:
2
S y
x
x
．
（1）求曲线S 在点
(1,1)
A
处的切线方程；
（2）求过点
(2,0)
B
并与曲线S 相切的直线方程．
3.过点
2, 6
作曲线
3
3
y
x
x
的切线，所得切线斜率为（
）
A．－3
B．0 或3
C．－3 或24
D．0
4.已知过点
1,0
的直线与曲线
ex
y
的相切于点A ，则切点A 坐标为（
）
A．
0,1
B．
1,e
C．
2
2,e
D．
3
3,e
5.已知函数
3
2
2
( )
( 1)
3
f x
x
x
f
x
，其中
f
x
是
f
x 的导函数.
（1）求
1
f
；
（2）求过原点与曲线
y
f x
相切的切线方程.
5.设
0
1
x ，曲线
ln
3
2
f
x
a x
x
a
在点
0,0
P x
处的切线经过点
0,2e ，则
0
a
x
（
）
A．e
B．
2e
C．
3e
D．2e
6.写出a 的一个值，使得直线
0
x
ay
a
是曲线
sin x
y
x
的切线，则a=______.【答案不唯一】
题型三：切线的平行与垂直问题
1.设曲线
2x
f
x
a x
在点
1,
1
f
处的切线与直线ln2
3
0
x
y
平行，则实数
a
（
）
A．ln2
2
B．ln2
C．2ln2
D．3ln2
2.已知
ln
f x
x
x
，曲线
y
f x
在点Q 处的切线l 与直线2
14
0
x
y
平行，则直线l 的方程为（
）
A．2
1
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．
2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
3.已知曲线
1e
ln
x
y
x
x
在
1
x 处的切线与直线
2
0
x
my
垂直，则实数m
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289.
4.函数
2
ex
f x
x
a
的图象在点
0,
0
f
处的切线与直线
2
1
0
x
y
垂直，则实数
a
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289．
5.已知曲线
3
y
x
与曲线
1
ln 3
3
x
y
x
在
0
x
x
处的切线互相垂直，则
0x
．
题型四：切线的条数问题
1.若过
,a b 可作
1 (
0)
y
x
x
x
的两条切线，则（
）
A．
1
a
b
a
a
B．a
b
C．
0
b
D．
1
b
a
a
2.（多选）已知函数
3
f x
x
mx
，若过点
1,1
P
恰能作2条曲线
y
f x
的切线，则m 的值可以为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若曲线
1 ex
y
x
过点
,0
P a
的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是
.
4.若曲线
ex
x
f x
有三条过点
0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（
）
A．
2
1
0, e
B．
2
4
0, e
C．
1
0, e
D．
4
0, e
5.若过点
,s t 可以作曲线
ln
y
x
的两条切线，则（
）
A．
ln
s
t
B．
ln
s
t
C．
ln
t
s
D．
ln
t
s
6.已知函数
1 ex
f x
x
，过点M（1，t）可作3 条与曲线
y
f x
相切的直线，则实数t 的取值范围
是（
）
A．
2
4 ,0
e
B．
2
4
2
,
e
e
C．
3
6 ,2e
e
D．
3
6 ,0
e
7.若过点( , )
m n 可以作曲线
2
log
y
x
的两条切线，则（
）
A．
2
log
m
n
B．
2
log
n
m
C．
2
log
m
n
D．
2
log
n
m
8.过点
0,b 作曲线
ex
y
的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（
）
A．
0,1
B．
,1
C．
,1
D．
0,1
题型五：两曲线的公切线问题
1.曲线
log
1
a
y
x a
与y
x
在公共点处有相同的切线，则
a
.
2.若直线l 是曲线
ln
y
x
的切线，也是曲线
2
ex
y
的切线，则直线l 的方程为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 ．
3.若直线
4
y
x
m
是曲线
3
13
y
x
nx
与曲线
2
2ln
y
x
x
的公切线，则n
m
．
4.若函数
2
( )
1
f x
x
与( )
ln
1
g x
a
x
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233）
A．2e
B．e
C．
e
D．
2e
5.曲线
2(
0)
f x
ax a
与
ln
g x
x
有两条公切线，则a 的取值范围为
6.若函数
1
( )
3
3(
0)
f x
x
x
x
的图象与函数
ex
g x
tx
的图象有公切线l ，且直线l 与直线
1
2
2
y
x
互相垂直，则实数t （
）
A．1
e
B．
2e
C．1
e 或2 e
D．1
e 或4 e
7.若函数
2
1
f x
x
与
2 ln
1
g x
a
x
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（
）
A．e
2
B．e
C．
e
D．
2e
8.若曲线
ln
y
x
与曲线：y =
2x k 有公切线，则实数k 的最大值为（
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233）
A．7
8 + 1 ln2
2
B．7
8 - 1 ln2
2
C．1
2 + 1 ln2
2
D．1
2
1 ln2
2
题型六：三角函数的切线
1.函数
2 cos
2sin
f x
x
x
x
在
π
x
处的切线在y 轴上的截距为（
）
A．
2
π
2π
B．2π
C．
2
π
2
D．
2
2π
π
2
2π
2.设函数
3
2
1
( )
(
1)
sin
3
f x
x
a
x
a
x
，若
( )
f x 为奇函数，则曲线
( )
y
f x
在点(0,0) 处的切线斜率为（
）
A．3
B．2
C．1
D．
1
2
3.过曲线
cos
y
x
上一点
1
,
3 2
P
且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（
）
A．
2
3
2
3
0
3
2
x
y
B．
2
1
2
0
3
2
x
y
C．
2
3
2
3
0
3
2
x
y
D．
2
1
2
0
3
2
x
y
4.已知函数
3sin
4cos
f x
x
x
，则曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程为（
）
A．
3
4
y
x
B．
0
y
C．
4
y
D．
4
3
y
x
题型七：切线与倾斜角
1.设点P 是曲线
3
3
2
y
x
x
上的任意一点，P 点处切线倾斜角为，则角的取值范围是______.
2.函数
2ln
1
sin
y
x
x
的图象在
0
x
处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（
）
A．3
10 B．± 3
10
C．3
5
D．± 3
5
3.已知P 是曲线
2
:
ln
3
C y
x
x
a x
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为，若3
2
，
则实数a 的取值范围是（
）
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
A．
2 3,0
B．
2 2,0
C．
,2 3
D．
,2 2
题型八：直线上点到曲线距离
1.已知
1
1
1
ln
2
0
x
x
y
，
2
2
2
5
2ln 2
0
x
y
，则
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
的最小值为（
）
A．3 5
5
B．4 5
5
C．9
5
D．16
5
【注意】直线与曲线最短距离，方法主要是“切线平行法”
2.曲线
ex
y
上到直线
e
2
y
x
的距离为
1
2 的点的个数为（
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-）
A．4
B．3
C．2
D．1
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
3.曲线
ln
y
x
上的点到直线
2
y
x
的最短距离是（
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-B0-A4-60-28-3B-3D ；B0-A4-60-28-3B-）
A．2 2
B．3 2
2
C．
2
3
D．
2
4.已知实数a，b，c，d 满足：
2e
1
1
1
a
a
c
b
d
，其中e 是自然对数的底数，则
2
2
(
)
(
)
a
c
b
d
的最小值是
（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
题型九：两曲线上点距离最值
【基础知识】
两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图
1.设P 为曲线
ex
y
上一点，Q 为曲线
ln
y
x
上一点，则|PQ|的最小值为（
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
）
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
2.已知函数
4
3
e x
y
的图象与函数
ln(
1) 1
4
x
y
的图象关于某一条直线l 对称，若P，Q 分别为它们上的两
个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
3.已知点P 为曲线
ln
e
x
y
上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线
ln
y
a x
相切，则
实数a＝___．
4.若
1
2
,
x x
R
，则
2
1
2
2
1
2
e
e
x
x
x
x
的最小值是
A．1
B．2
C．3
D．4
题型十：恒成立与存在求参
1.已知函数
2
2 ,
0,
ln ,
0,
x
x x
f
x
x
x x
，若关于x 的不等式
e
f x
ax
（e是自然对数的底数）在R 上恒成
立，则a 的取值范围是（
）
A．
2
1 e
1
,
3e
2
B．
2
1 e
1
,
3e
2
C．
2
1 e ,2
2e
D．
2
1 e ,2
2e
2.已知函数
2
e
2
x
f x
ax
ax
在
0,
x
上有最小值，则实数a 的取值范围为（
）
A．1 ,
2
B．
e
1
,
2
2
C．
1,0
D．
1
,
2
3.已知P 是曲线
2
:
ln
3
C y
x
x
a x
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为，若3
2
，
则实数a 的取值范围是（
）
A．
2 3,0
B．
2 2,0
C．
,2 3
D．
,2 2
4.若曲线
ex
y
过点( 2,0)
的切线恒在函数
2
1
2
( )
e
3
1
e
e
x
f x
a
x
x
的图象的上方，则实数a 的取值
范围是__________．
题型十一：零点或交点交点求参数
【注意】常用思维：1.分参，水平线法2.分离函数，切线法3.移项到一侧求导讨论法
1.若函数
ln
1
f x
x
ax
有3 个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．
0,1
B．
0,1
C．
1,1
D．
1,0
0,1
U
2.已知函数
2
2
,
0
1 ,
0
x
x
x
f
x
x
x
，若函数
g x
f
x
x
m
恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（
B0-A4-60-28-3B-3D；
B0-A4-60-28-3B-B0-A4-60-28-3B-3D ；B0-A4-60-28-3B-B0-A4-60-28-3B-3D ；B0-A4-60-28-3B- ）
A．
1
, 2
(
,0]
4
B．
1
2,
0,
,
4
C．
1
2,
0,
4
D．
1 ,2
0,
4
3.已知函数
( )
eln
|
|
f x
x
x
a
，
2
[1,e ]
x
.若
( )
y
f x
的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范
围是（
）
A．[1,e]
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
B．(0,e]
C．
2
[1,e
2e]
D．
2
(0,e
2e]
4.函数
2
3
4
,
2
( )
log (
1),
2
x
x
f x
x
x
，
( )
3
g x
kx
k
，若函数
( )
f x 与( )
g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范
围为（
）
A．(2 2
6,0)
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
B．(2 3
6,0)
C．( 2,0)
D．(2 5
6,0)
题型十二：等式（不等式）整数解求参
1.已知函数
1
ln
f x
kx x
x
，若
0
f
x
有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（
）
A．ln5 ln 2
,
30
10
B．ln5 ln 2
,
30
10
C．ln 2 ln3
,
10
12
D．ln 2 ln3
,
10
12
2.已知函数
2
e
2
x
x
f
x
a
x
，若有且仅有两个正整数，使得
0
f x
成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
1
1
,
3e e
B．
3
2
9
1
,
5e
e
C．
3
9
1
,
5e
3e
D．
2
1
2
,
2e e
3.已知不等式ln
(
1)
2 ln2
x
x
x
k
x
的解集中仅有2 个整数，则实数k 的取值范围是（
）
A．
3
4
0,
ln
4
3
B．3
4 2
ln
,
ln2
4
3 3
C．2 ln2,
3
D．3
4 2
ln
,
ln2
4
3 3
4.若关于x 的不等式
1
e
2
1
x
a
x
x
（其中
1
a ），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
3
5
,
4 3e
B．
3
1, 2e
C．
2
3
5
,
4
3e
D．
2
3
5
,
2e
3e
题型十三：恒等式、不等式
1.已知直线
R
y
ax a
与曲线
ln
y
x
相交于
1
1
(
,
)
M x y ､
2
2
(
,
)
N x
y
两点，若
1
2
x
x
，则下列结论错误的是
（
）
A．
1
0
e
x
B．
1
2
2e
x
x
C．
2
1
y
D．
1
2
2
y
y
2.已知m，n 为实数，不等式ln
0
x
mx
n
恒成立，则n
m 的最小值为______．
3.若直线l 与函数
ex
f
x
，
ln
g x
x
的图象分别相切于点
1
1
,
A x
f x
，
2
2
,
B x g x
，则
1
2
1
2
x x
x
x
______.
4.若曲线
ln
y
x
在点
1
1
,
P x y
处的切线与曲线
x
y
e
相切于点
2
2
,
Q x
y
，则
1
2
1
1
1
x
x
x
__________.
模块三：综合巩固
1.已知函数
2
( )
2
(1)
f x
x
xf
，则曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处的切线方程为（
）
A．6
8
0
x
y
B．6
8
0
x
y
C．6
8
0
x
y
D．6
8
0
x
y
2.已知函数
(
0)
x
f x
e
ax a
在
0
x
处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为1
4 ，则实数a 的值为
（
）
A．1
B．1
C．3
D．3
3.若直线y
kx
b
是曲线
ln
2
y
x
的切线，也是曲线
ln
1
y
x
的切线，则k （
）
A．2
B．4
C．
2e
D．
2
e
4.已知M 是曲线
2
1
ln
1
2
y
x
x
a x
上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4
的锐
角，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2,
B．
4,
C．
,2
D．
,4
5.函数
( )
ln
f x
x
ax
存在与直线2
0
x
y
平行的切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,2]
B．
1
1
,2
2
,2
e
e
C．
2,
D．
0,
6.如图所示，函数
y
f x
的图像在点P 处的切线方程是
2
10
y
x
，则
4
4
f
f
的值为（
）
A．0
B．1
C．-1
D．2
7.曲线
2
1
3ln
2
y
x
x
在点P 处的切线与直线
2
2
0
x
y
垂直，则点P 的横坐标为（
）
A．e
B．1
C．3
D．2e
8.已知函数
3cos
sin
f
x
x
x
.曲线
y
f x
在点
,
3
3
f
处的切线方程为（
）
A．
2
2
3
3
y
x
B．
2
2
3
3
y
x
C．
3
3
y
x
D．
3
3
y
x
9.函数
2ln(
1)
cos
y
x
x
的图象在
0
x
处的切线对应的倾斜角为，则cos2
（
）
A．3
10
B．
3
10
C．3
5
D．
3
5
-
.
10.已知
0
a
，
0
b
，直线y
x
b
与曲线
ex a
y
相切，则4
1
a
b
的最小值是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
11.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，则点P 到直线:
4
0
l x
y
距离的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．2 2
12.已知点P（x,y）是曲线
2
y
x
=
上的一动点，则点P（x,y）到直线2
4
0
x
y
的距离的最小值为（
）
A．
5
5
B．2 5
5
C．3 5
5
D．3
5
13.已知点A 在函数
( )
e
2
x
f x
x
的图象上，点B 在直线:
3
0
l x
y
上，则A ，B 两点之间距离的最小
值是（
）
A．2 2
B．4
C．4 2
D．8
14.已知
2
2
(
)
e
1
(
R)
x
y
x
a
x
a
a
，则y 的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．
1
2
D．
2
e
15.若过点
,a b 可以作曲线
ex
y
的两条切线，则（
）
A．eb
a
B．ea
b
C．0
eb
a
D．0
ea
b
16.若直线l 与曲线y=
x 和x2+y2= 1
5 都相切，则l 的方程为（
）
A．y=2x+1
B．y=2x+ 1
2
C．y= 1
2 x+1
D．y= 1
2 x+ 1
2
17.函数
4
3
( )
2
f x
x
x
的图像在点(1
(1))
f
，
处的切线方程为（
）
A．
2
1
y
x
B．
2
1
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
1
y
x
18.曲线
2
1
2
x
y
x
在点
1, 3
处的切线方程为__________．
19.曲线
cos
2
x
y
x
在点
0,1 处的切线方程为__________.
20.已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
在点
1,ae 处的切线方程为
2
y
x
b
，则
A．
,
1
a
e b
B．
,
1
a
e b
C．
1,
1
a
e
b
D．
1,
1
a
e
b
21.设函数
3
2
1
f x
x
a
x
ax
．若
f
x 为奇函数，则曲线
y
f x
在点
0 0
，处的切线方程为(
)
A．
2
y
x
B．y
x
C．
2
y
x
D．y
x
22.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线
4 (
0)
y
x
x
x
上的一个动点，则点P 到直线x+y=0 的距离的最小
值是_____.
23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对
数的底数），则点A 的坐标是____.
24.若过点(1,2) 可作曲线
3
y
x
ax
的三条切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．( 3, 1)
B．( 2, 1)
C．(1,2)
D．(1,3)
25.曲线
2ln
y
x
上的点到直线
2ln2
0
x
y
的最短距离是（
）
A．2
B．2
ln2
C．ln2
D．
2
26.已知过原点的直线与函数
e
,
0
ln ,
0
x x
f
x
x x
的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（
）
A．
1
, e
e
B．
1
e
0,e
C．
1
e, e
D．
1
, e
0,e
