5.3导数求函数的单调性（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_导数知识点+题型分类_单独的原卷版+解析版

5.3 导数求函数的单调性
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：函数的单调性与导数的关系...............................................2
考点二：求已知函数（不含参）的单调区间......................................2
考点三：由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法....................... 2
考点四：含参问题讨论单调性....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求函数单调区间（不含参）...............................................3
题型二：函数单调性求参数范围.................................................... 4
题型三：求含参函数的单调区间.................................................... 5
题型四：已知函数f(x)在区间D 上存在单调区间求参数...................... 6
题型五：已知函数f(x)单调区间为（是）D 求参数值..........................6
题型六：已知函数f(x)在区间D 上不单调，求参数............................ 7
题型七：含参问题讨论单调性(导函数一次型) ................................... 8
题型八：含参问题讨论单调性(导函数二次型且可因式分解) ..................9
题型九：含参问题讨论单调性(导函数二次型不可因式分解) ................ 11
题型十：原函数与导函数的关系...................................................12
题型九：利用单调性解不等式......................................................13
题型十：利用单调性比较大小......................................................14
模块三：综合巩固....................................................................... 15
5.3 导数求函数的单调性
模块一：基础知识
考点一：函数的单调性与导数的关系
函数
( )
y
f x

在区间( , )
a b 内可导，
(1)若
( )
0
f
x


，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是单调递增函数；
(2)若
( )
0
f
x


，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是单调递减函数；
(3)若恒有
( )
0
f
x


，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
条件
恒有
结论
函数
( )
y
f x

在区
间( , )
a b 上可导
( )
0
f
x


( )
y
f x

在( , )
a b 内单调递增
( )
0
f
x


( )
y
f x

在( , )
a b 内单调递减
( )
0
f
x


( )
y
f x

在( , )
a b 内是常数函数
考点二：求已知函数（不含参）的单调区间
①求
( )
y
f x

的定义域
②求
( )
f
x

③令
( )
0
f
x


，解不等式，求单调增区间
④令
( )
0
f
x


，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
( )
0
f
x


（或
( )
0
f
x


）不跟等号.
考点三：由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数

f x 在区间D 上单调
①已知

f x 在区间D 上单调递增
x
D

，

0
f
x


恒成立.
②已知

f x 在区间D 上单调递减
x
D

，

0
f
x


恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数

f x 在区间D 上存在单调区间
①已知

f x 在区间D 上存在单调增区间
x
D

使得
( )
0
f
x


有解
②已知

f x 在区间D 上存在单调减区间
x
D

使得
( )
0
f
x


有解
3、已知函数

f x 在区间D 上不单调
0x
D


，使得


0
0
f
x


有变号零点
考点四：含参问题讨论单调性
第一步：求
( )
y
f x

的定义域
第二步：求
( )
f
x

（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
( )
g x
对于
( )
y
f x

进行求导得到

f
x

，对

f
x

初步处理（如通分），提出

f
x

的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为

f
x

的有效部分（如：
2
2
(
2)
xe
x
ax
f
x
x




，则记
2
( )
2
g x
x
ax



为
( )
f
x

的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定

f
x

的正负.
第四步：确定导函数有效部分( )
g x 的类型：
①( )
g x 为一次型（或可化为一次型）②( )
g x 为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论
( )
y
f x

的单调性
模块二：题型分类
题型一：求函数单调区间（不含参）
1.函数

2
1
ln
2
f x
x
x


的单调递减区间为（
）
A．

1,1

B．

0,1
C．

1,
D．

0, 

2.函数

2
5ln
4
f x
x
x



的单调递减区间是（
）
A．

0,3
B．

3,
C．
5
, 2







D．
5
0,2






【答案】D
【详解】

5
2
f
x
x



，定义域为

0, 

，令

0
f
x


，解得
5
0
2
x


，所以

f
x 在
5
0,2






上单调递减.
故选：D.
3.（多选）函数
( )
ln
f x
x
x

的一个单调递增区间是（
）
A．(e,
)

B．1 ,
e







C．
1
(0, )
e
D．1 ,1
e






4.（多选）函数
4
2
2
5
y
x
x


的单调减区间可以为（
）
A．(
, 1)

B．( 1,0)

C．(0,1)
D．(1,
)

5.函数
sin
cos (0
2π)
y
x
x
x
x




的增区间为
．
6.已知函数
1
1
( )
e
e
x
x
f x




，求函数
( )
f x 的单调区间.
7.设
2
3
( )
2
f x
x
x


，则
( )
f x 的单调递减区间是（
）
A．
4
(0, )
3
B．4
( ,
)
3 
C．(
,0)

D．(
,0)

和4
( ,
)
3 
8.函数
ln
1
x
y
x


的单调减区间为（
）
A．

,1

B．

0,1
C．

1,e
D．

1,
题型二：函数单调性求参数范围
【例题】已知函数

ln
f
x
x
ax


在区间

1,3 上单调递减，则实数a 的取值范围为（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．
1
a 
B．
1
a 
C．
1
3
a 
D．
1
3
a 
1.已知函数



2
e x
f x
x
ax



在

0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．

,2e

B．

e,
C．

1,
D．

1,
2.若函数

ln
f x
x
a x


在区间

1,2 内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
, 1)

B．(
, 1]

C．(
, 2)

D．(
, 2]

3.已知函数

2
1
ln
6
2
f x
a
x
x
x



在定义域内单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．

,0

B．

9,
C．

,9

D．

0, 

4.若函数

3
12
f x
x
x


在区间

1,
1
k
k


上单调，则实数k 的取值范围是（
）
A．



, 3
1,1
3,




B．



3, 1
1,3



C．

2,2

D．不存在这样的实数k
5.已知函数

e
ln
x
f x
a
x


在区间

2,3 上单调递增，则a 的最小值为（
）
A．
2
2e
B．e
C．
1
e
D．
2
1 e
2

6.已知函数

2
4
ln
f x
ax
ax
x



，则

f x 在

1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（
）
A．
1
, 6
a







B．
6
1 ,








a
C．
1 ,
2
a








D．
1 1
,
2 6
a







7.已知函数

2
2
f
x
ax
x


在

1,上不单调，则实数a 的取值范围是（
）
A．

,1

B．

0,1
C．

1,
D．
1
0, 2






8.已知函数

2
2
ln
f x
x
x


，若

f x 在区间

2 ,
1
m m 
上单调递增，则实数m 的取值范围是
.
题型三：求含参函数的单调区间
1.求函数

3
2
3
3
1
f x
ax
x
a



的单调区间．
2.讨论函数
3
y
x
ax
b



的单调性．
3.已知




2
2
1
2
ln
2 1
2
f
x
x
x
x
a
x
a x












，
0
a 
．讨论

f
x 的单调性；
4.已知函数




2
ex
f x
x
a
x



.
（1）当
4
a 
时，求曲线

y
f x

在



0,
0
f
处的切线方程；
（2）讨论

f
x 的单调性.
5.已知函数





2
2 ln
ln
0
f x
ax
a
x
a a
x






，讨论函数

f x 的单调性．
6.已知函数



1
ln
0
f
x
x
a
x a
x




.讨论

f x 的单调性．
题型四：已知函数f(x)在区间D 上存在单调区间求参数
1.若函数

2
(
)
ln
f
x
x
m
x



在区间

1,2 上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是
．
2.函数

2
ex
x
a
f x


在R 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是
.
3.若函数
3
2
1
( )
2
f x
x
ax
x



在

1,3 存在单调递减区间，则a 的取值范围为
．
题型五：已知函数f(x)单调区间为（是）D 求参数值
1.已知函数





3
2
2
3
1
1
0
f x
mx
m
x
m
m






的单调递减区间是

0,4 ，则m 
.
题型六：已知函数f(x)在区间D 上不单调，求参数
1.若函数

2
2
ln
f x
x
x


在其定义域的一个子区间

2
1,2
1
k
k


内不是单调函数，则实数k 的取值范围是
（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．1 3
,
2 4





B．3 ,
4





C．1 ,2
2





D．
1 3
,
2 4







2.已知函数



4
1
x
f
x
ax
x
e



在区间

1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．
2
,
4
16
e
e








B．
2
,
4
16
e
e








C．
3
2
,
36
16
e
e








D．
3
,
4
16
e
e








3.已知函数
3
2
1
2
1
3
2
a
g x
x
x
x



．若
g x 在

2, 1


内不单调，则实数a 的取值范围是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 ．
4.若函数

3
2
4
1
3
2
x
a
f x
x
x



在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289
.
题型七：含参问题讨论单调性(导函数一次型)
1.已知函数
( )
ln
(
)
f x
x
ax a


R .
(1)若
1
a ，求函数
( )
f x 的极值；
(2)求函数
( )
f x 的单调区间.
2.已知函数
( )
(
1)
ln (
)
f x
a x
x
x a



R ．求函数
( )
f x 的单调区间．
3.已知函数

ln
3(
R)
f
x
a
x
ax
a




，讨论函数

f
x 的单调性．
4.已知函数





e
2
R
x
f x
a
x a




．讨论函数

f
x 的单调性．
题型八：含参问题讨论单调性(导函数二次型且可因式分解)
1.知函数
2
( )
ln
(1 2 )
f x
ax
x
a x




，其中
R
a 
．
(1)若
1
2
x 
是函数
( )
f x 的极值点，求a 的值；
(2)若a<0 ，讨论函数
( )
f x 的单调性．
2.已知函数



2
ln
2
1
f x
a
x
x
a
x




，其中
0
a 
.求函数

f
x 的单调区间；
3.已知函数

2
1
e
2
x
f
x
x
a
x
x










R
a
(1)若
0
a 
，求曲线

y
f x

在点
2
x 
处的切线方程；
(2)当
0
a 
时，求函数

f
x 的单调递增区间.
4.已知函数
2
1
ln
(1
)
1
2
y
x
ax
a x




．
(1)当
1
a 时，求曲线
( )
f x 在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(2)当
1
a 时，讨论函数
( )
f x 的单调性；
5.已知函数




2
e
1
0
2
x
m
f x
x
x
m




.
(1)当
0
m 
时，求函数

f
x 的最小值；
(2)当
0
m 
时，讨论

f
x 的单调性.
6.已知
2
2
3
( )
(
)ln
2
2
f x
x
ax
x
x
ax




，求
( )
f x 的单调递减区间.
题型九：含参问题讨论单调性(导函数二次型不可因式分解)
1.设函数
1
( )
ln
1
x
f x
a
x
x



，其中a 为常数，讨论函数
( )
f x 的单调性．
2.已知函数



1
ln
0
f x
x
a
x a
x




.讨论

f
x 的单调性．
B0-A4-60-28-3B-3D
3.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x
kx



．
B0-A4-60-28-3B-3D
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
4.已知函数

ln
2
a
f
x
x
x
x



．讨论当
0
a 
时，

f
x 单调性．
题型十：原函数与导函数的关系
1.已知函数

y
xf
x


的图象如图所示（其中

f
x

是函数

f
x 的导函数），则

y
f x

的图象大致是
（
）
A．
B．
C．
D．
2.设函数

f
x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数

f
x

的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3.若函数

y
f x

的导函数

y
f
x


的图象如图所示，则函数

f
x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4.（多选）已知函数


,
y
f x
y
g x


的导函数图象如图，那么


,
y
f x
y
g x


的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5.函数

y
f x

的图象如图，则导函数

y
f
x


的图象可能是下图中的（
）
A．
B．
C．
D．
6.已知函数
( )
y
f x

，其导函数
( )
y
f
x


的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数
( )
y
f x

图像
的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.

f
x

是函数

f x 的导函数，

y
f
x


的图象如图所示，则

y
f x

的图象最有可能是下列选项中的
（
）
A．
B．
C．
D．
8.已知

f
x

是函数

f x 的导函数，函数.

y
xf
x


的图象如图所示，则

y
f x

的大致图象可能是
（
）
A．
B．
C．
D．
9.（多选）设

f
x

是函数

f x 的导函数，将

y
f x

和

y
f
x


的图象画在同一直角坐标系中，可能正
确的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型九：利用单调性解不等式
1.已知定义域为R 的奇函数

f
x 的图象是一条连续不断的曲线，当


2,
x
时，

0
f
x


，当


0,2
x
时，

0
f
x


，且

3
0
f

，则关于x 的不等式


1
0
x
f x

的解集为（
）
A．



3, 1
1,3



B．



3,0
0,3


C．



3, 1
0,3



D．



3,0
1,3


2.设函数

e
e
2sin
x
x
f
x
x




，则关于t 的不等式



2
1
0
f t
f
t


的解集为（
）
A．

, 1

B．
1
,
3







C．

1,

D．
1 ,
3






3.已知定义在R 上的函数

f
x 的导函数为

f
x

，且


0
f
x
f x



，
1
e
f

，则不等式
1 ln
2
f
x
x






的解集为（
）
A．

0,e
B．

2
0,e
C．

e,
D．

2e ,
4.已知

f
x 是定义在

π,π

上的奇函数，其导函数为

f
x

，
π
2
4
f 





，且当


0, π
x
时，


sin
cos
0
f
x
x
f
x
x



，则不等式

1
sin
f x
x

的解集为
．
5.已知函数
2
1
( )
ln
2
2
f x
x
x
x



满足
2
(2
)
(4
12)
f
a
a
f
a



，则实数a 的取值范围是
.
6.已知函数

2023
1
sin
e
e
x
x
f
x
x
x




，其中e 是自然对数的底数，若




2
1
2
0
f a
f
a



，则实数a 的取
值范围是（
）
A．
1 ,1
2







B．
1
1, 2







C．

1
, 1
,
2







D．


1
,
1,
2









7.已知

f x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x 
时，
e
sin
x
f x
x


，则不等式


π
3
1
e
f
x 

的解集是（
）
A．1
π 1
π
,
3
3








B．
1
π
0,
3







C．
π
1 e
0,
3







D．1
π ,
3








题型十：利用单调性比较大小
1.设
2
ln 2
1
ln 6
,
,
4
e
12
a
b
c



，则（
）
A．a
c
b


B．a
b
c


C．b<c<a
D．c<a<b
2.已知实数：a ，b ，
(0.1)
c
，且
2023
2023ea
a


，
2024
2024eb
b


，
2025
2025ec
c


，则（
）
A．a
b
c


B．b
c
a


C．c
a
b


D．c
b
a


3.（多选）已知定义在R 上的函数

f
x 满足


f
x
f
x


，在下列不等关系中，一定成立的是（
）
A．


e
1
2
f
f

B．


e
1
2
f
f

C．


e 2
e
2
e
f
f


D．


e 2
e
e
2
f
f


4.已知函数



2
2
ln e
e
x
f x
x


，若

3e
a
f

，
1
2
b
f 





，
4
3
c
f 






，则（
）
A．a
b
c


B．b
a
c


C．c
a
b


D．c
b
a


5.已知
ln2
ln6
ln7
2
6
7
a
b
c



，
，
，则（
）
A．c
b
a


B．b
a
c


C．b
c
a


D．a
b
c


6.已知
1
97
ln 98
98
a 

，
1
98
ln 99
99
b 

，
1
99
ln100
100
c 

，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a
c
b


B．a
b
c


C．c
a
b


D．c
b
a


7.已知定义在R 上的函数

f x ，其导函数为

f
x

，当
0
x 
时，


0
xf
x
f x



，若

2
1
a
f

，

2
b
f

，
1
4
2
c
f 





，则a ，b ，c 的大小关系是（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．c
b
a


B．c<a<b
C．a
b
c


D．b
a
c


8.已知函数

f x 的导函数为

f
x

，且


f
x
f x


对任意的xR 恒成立，则（
）
A．



ln3
3
0
f
f

B．


2
2
e
0
f
f

C．



ln 2
2
0
f
f

D．


2
2
e
0
f
f

9.已知函数

y
f x

是定义在R 上的奇函数，且当


,0
x
时不等式


0
f x
xf
x



成立，若


0.3
0.3
3
3
a
f


，




π
π
log 3
log 3
b
f


，
1
1
3
3
log 9
log 9
c
f 







，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A．c
b
a


B．c
a
b


C．a
c
b


D．b
a
c


模块三：综合巩固
1．.函数
(
e
3
)
(
) x
f x
x


的单调递减区间是（
）
A．(, 2]
B．[0 , 3]
C．[1, 4]
D．[2 ,
)


2.函数

2
5ln
4
f x
x
x



​
的单调递增区间是（
）
A．

0,3
B．

,0


​
和5 ,
2







​
C．
5
0,2






​
D．5 ,
2







​
3.已知函数
( )
y
f x

的导函数

f
x

的图象如图所示，那么函数y 
( )
f x （
）
A．在(
, 1)

上单调递增
B．在(1,
)
上单调递减
C．在(
,2)

上单调递增
D．在(2,
)
上单调递减
4.已知函数

2 ,0
,
ln
,
,
x
a
x
f x
x x
a
x








若

f
x 在

0, 

上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
1,e




B．

e,2e
C．
2
,e e




D．

e,
5.若函数

3
3
1
f x
x
kx


在区间

1,上单调递增，则实数k 的取值范围是（
）
A．

,1

B．

,1

C．

1,

D．

1,
6.已知函数

3
2
1
f x
x
x
ax



在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
,
3







B．
1
,
3







C．
1 ,
3








D．
1 ,
3






7.若函数

ln
f x
x
a x


在区间

1,2 内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
, 1)

B．(
, 1]

C．(
, 2)

D．(
, 2]

8.已知函数

ln
1
a
f
x
x
x


在
1 ,1
2





上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
9
2
a 
B．
9
2
a 
C．
4
a 
D．
4
a 
9．(多选)设

f
x ，
g x 都是单调函数，其导函数分别为

f
x

，

g
x

，


h x
f x
g x


，下列命题
中，正确的是（
）
A．若
( )
0
f
x
¢
>
，

0
g
x


，则
h x 单调递增；
B．若
( )
0
f
x
¢
>
，

0
g x


，则
h x 单调递增；
C．

0
f
x


，

0
g
x


，则
h x 单调递减；
D．若

0
f
x


，

0
g x


，则
h x 单调递减；
10．若函数

cos
f
x
ax
x


在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289．
11．已知函数

2
2
ln
f x
x
x


，若

f
x 在区间

2 ,
1
m m 
上单调递增，则实数m 的取值范围是
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289.
12．已知函数
2
ln
a
g x
x
x
x



在区间

1,2 上不单调，则实数a 的取值范围是
.
13.已知定义在R 上的函数

f x 的导函数为

f
x

，且对任意
R
x
都有

2
f
x


，

2
0
f

，则不等式

2
4
0
f x
x



的解集为（
）
A．

2,
B．

1,
C．

,1

D．

,2

14.定义在

0, 

上的函数

f x 满足：
0
x

有


0
f x
xf
x



成立且

2
2
f

，则不等式

4
f x
x

的
解集为
.
15.已知函数



2
2
1
2
ln
2
f x
a
x
x
ax a



R ．
(1)当
1
a 时，求曲线

y
f x

在



1,
1
f
处的切线方程；
B0-A4-60-28-3B-3D
(2)讨论函数

f
x 的单调性；
B0-A4-60-28-3B-3D
16.已知函数



3
2
1
1
1
3
2
a
f
x
x
x
a
x




.
(1)若曲线

y
f x

在点



2
2
f,
处的切线与直线6
1
0
x
y

平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数

f
x 的单调性.
B0-A4-60-28-3B-3D