文档内容
专题 14.3 整式的乘法（6 大知识点 15 类题型）（知识梳理与题型分
类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （ ≠0， 都是正整数，并且 ）
【要点提示】
（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
【知识点2】单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则
连同它们的指数作为积的一个因式.
【要点提示】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理
数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数
不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积
的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
m(abc)mambmc
即 .
【要点提示】
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即
abmnamanbmbn
.
【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式
的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：
xaxb x2 abxab
.
知识点与题型目录
【知识点一】同底数幂的除法
【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;
【知识点二】单项式相乘
【题型2】单项式相乘.........................................................3;
【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................3;
【知识点三】单项式乘以多项式
【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................4;
【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................4;
【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值.....................................4;
【知识点四】多项式相乘
【题型7】计算多项式乘以多项式...............................................5;
【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值.......................................5;
【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘..........................................5;
【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题......................................5;
【题型11】多项式相乘中的几何问题............................................6;
【知识点五】多项式除以单项式
【题型12】多项式除以单项式..................................................6;【知识点六】多项式除以单项式
【题型13】整式乘法混合运算..................................................7;
【直通中考与拓展延伸】
【题型14】直通中考..........................................................7;
【题型15】拓展延伸..........................................................8.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】同底数的除法运算及逆运算
【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算： ．
【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 ，则 ．
【题型2】单项式相乘
【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：
(1) ； (2)
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： ．
【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值
【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值： ，其中
， ．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式 与 的积为 ，则 ， 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值
【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若 ，代数式 的值是
．
【题型5】单项式乘以多项式的应用
【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为 分米、宽 分米的
长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
(1)用含 ， 的整式表示盒子的外表面积；
(2)若 ， ，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？
【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘 时，因抄错运算符号，算成了加上 ，得到的结果是 ，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知： ，则 ．
【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值
【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝ +5x﹣6对任意数都成
立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若 ，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使 中不含有 的四次项，则
．
【题型7】计算多项式乘以多项式
【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；(2) ； (3)
【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果 ，那么x的值是 ．
【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值
【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值： ，其中．
【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定 ，例如 ，
已知 ，则代数式 的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知 ，则 的值为 ．
【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘
【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值： ，
其中 ．
【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若 ，则 ．
【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题
【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式 与 积是一个关于 的三
次多项式，且化简后含 项的系数为1，求 和 的值．
【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式 与 的乘积中 的项系数与 的项系
数之和为 ，则常数 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若 的积中不含 项，则
， ．
【题型11】多项式相乘中的几何问题
【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（ ）米，短边为 米，绿化区外边沿的长边为（ ）米，短边
为（ ）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（ 为正数）
【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类
卡片．如果要拼成一个长为 ，宽为 的大长方形，那么需要C类卡片 张．
【题型12】多项式除以单项式
【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住
了一个多项式，
(1)求所捂的多项式；(2)若 ，求所捂多项式的值．
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若 ，则A代表的整式是 ．
【题型13】整式乘法混合运算
【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：
(1) ，其中 ， ．
(2)已知 ，求代数式 的值．
【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式 中的括号内应填入
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知 ，则 的值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型14】直通中考
【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提
到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， 展开的多项式中各项系数之和为 ．
【题型15】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是 ，
则第2024次计算后输出的结果为 ．
