专题14.8整式的乘法与因式分解（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 14.8 整式的乘法与因式分解（4 大知识点 16 类题型）（全章知 识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】幂的运算 【要点提示】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用 运算性质，使运算更加方便、简洁. 【知识点2】整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .即 m(abc) mambmc(m,a,b,c都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn. 【要点提示】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式 乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能 得出一个应用比较广泛的公式： xaxb x2 abxab. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一 起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：(ambmcm)m  ammbmmcmm  abc 【知识点3】乘法公式 (ab)(ab)a2 b2 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a，b 【要点提示】在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减 去“相反项”的平方. ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 ； 2. 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【要点提示】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍. 【知识点4】因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把 这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【要点提示】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 知识点与题型目录 【整式的乘法】 【题型1】幂的运算............................................................3 【题型2】幂的逆运算..........................................................4 【题型3】单项式相乘..........................................................7 【题型4】单项式乘以多项式....................................................9【题型5】多项式相乘的运算...................................................10 【题型6】多项式相乘的化简求值...............................................11 【乘法公式】 【题型7】运用乘法公式进行运算...............................................13 【题型8】运用乘法公式化简求值...............................................15 【题型9】运用乘法公式求参数值...............................................16 【题型10】乘法公式的几何应用................................................17 【因式分解】 【题型11】利用公式法进行因式分解............................................21 【题型12】用十字相乘法、分组分解法进行因式分解..............................22 【题型13】因式分解综合......................................................24 【题型14】因式分解的应用....................................................26 【直通中考与拓展延伸】 【题型15】直通中考..........................................................29 【题型16】拓展延伸..........................................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】幂的运算 【例1】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方运算进行化简，然后根据指数的大小即可判断． 解：∵ , , , ∵ ， ∴ ． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若 ，则 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，直接利用幂的乘方运算法则，再利用同 底数幂的乘法运算法则进而得出答案． 解： ， ， ， 故答案为：16． 【题型2】幂的逆运算 【例2】（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如 ， 则 （m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题： (1)计算： ______； (2)已知： ， （m，n为正整数），则 ______；(3)已知m个 相乘的结果为 ，n个 相乘的结果为 ，若 个 相乘的结果为 64，求 的值． 【答案】(1)3； (2)20； (3)4． 【分析】本题考查同底次幂的乘法及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将 变形为 即可求解； （2）将 变形为 即可求解； （3）将 通过变形以及整体代入可化简为 ，即可求解． 解：（1） ， 故答案为：3． （2） ， 故答案为：20． （3）由已知可知 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 （ ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明 可得 ， 进而求得代数式的值．解：∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ； ∴ ， ． 故选B． 【变式2】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论： ①无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数． ②当 时，方程组的解也是方程 的解． ③若 ，则 ． ④无论a取何值， 的值始终不变． 其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】③④ 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的 定义，以及相反数性质判断即可． 解： 得： ， 解得 ， 把 代入 得 ①当 时 ，解得 ， ∴当 时，x，y的值互为相反数，故①错误； ②当 时， ，此时 ， ，方程组的解不是方程 的解，故②错误；③若 ，则 ，即 ，把 ， 代入得 ， 解得 ，故③正确； ④ ，即无论a取何值， 的值始终不变，故④正确； 综上所述，正确的有③④． 故答案为：③④． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握逆用积的乘方和幂的乘方运算法则简便计算是解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，变形为 ，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘 法法则计算即可； （2）先逆用幂的乘方运算法则，变形为 ，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘 法法则计算即可． 解：（1）原式 ； （2）原式． 【题型3】单项式相乘 【例3】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项． (1)求 的值， (2)先化简，再求值： ． 【答案】(1) (2) ， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出 ，再由同类项的定义 得到 ，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解：（1） ， ∵ 与 的积与 是同类项， ∴ 与 是同类项， ∴ ， ∴ ； （2） ， 当 时，原式 ．【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若 表示 ， 表示 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式的知识．根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的 结果． 解：根据题意得： ． 故答案为： 【变式2】（2023七年级下·江苏·专题练习）若 ，则 的值为 ． 【答案】4 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算 ，再根据等式得到指数间关系，最后求出 ． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ①， ②． ∴ ，得 ． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 【题型4】单项式乘以多项式【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知 ，求 的值． 分析：考虑到满足 的 的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将 整体 代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知 ， (1)求 的值． (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（ ） 把 转化为 ，再利用整体代入法计算即可； （ ）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 解：（1） ； （2） ， ， ， ， ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）若不论 为何值时，等式 恒 成立，则 ， ． 【答案】 1【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并 同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 解： 恒成立， ． 故答案为：1， ． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值： 其中 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查整式的乘法法则、加减法则、代数式求值，根据整式乘法法则展开，然后合并同类项， 最后将 代入即可． 解： ， ， ∴原式 ． 【题型5】多项式相乘的运算 【例5】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果． 解：（1） ； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式 分解因式得 ，则 的值 分别（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键． 利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且 ，则a 的值不可能是（ ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键；根据多项式乘多项 式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出a的值． 解： ， ， m、n为整数， ， 或 或 或 ， a的值不可能是 ， 故选： ． 【题型6】多项式相乘的化简求值【例6】（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项 是 ． (1)求 ， 的值． (2)先化简再求值 ． 【答案】(1) ， (2)35 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关 键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含 的一次项，常数项是 可得 ， ，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将 ， 的值代入求解即可． 解：（1）∵ ， 又∵展开式中不含 的一次项，常数项是 ， ∴ ， ， 解得 ， ； （2）原式 ， ∵ ， ， ∴原式 ． 【变式1】（19-20八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 ，则当 ， 的 值为（ ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】A 【分析】把所求的式子化简成已知式子是解此类题的关键.解： , , ∴d=25 选A 【点拨】式子的变形，一定是加了多少就要减去多少才能保持不变. 【变式2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ， ，那么 的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出 ，再利用整体代入法代值计算即可． 解： ， ， ， 原式 ， 故答案为：9． 【题型7】运用乘法公式进行运算 【例7】（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式和多项式乘以多项式： （1）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把原式变形为 ，再利用平方差公式和完全平方公式去括号即可得到答 案．解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）用乘法公式计算： ． 【答案】 ． 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算可 得，熟记公式是解题的关键． 解： ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：(1) ； (2) ． 【答案】(1)90000 (2)10000 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成 ，利用完全平方公式即可求解； （2）将原式写成 ，利用平方差公式即可求解． 解：（1） ； （2） ． 【题型8】运用乘法公式化简求值 【例8】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：已知 ，求代数式 的值． 【答案】 ， 【分析】本题考查整式的混合运算，原式利用完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式法则计 算得到最简结果，再把已知等式代入计算即可求出值．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的 关键．也考查了求代数式的值． 解：， ∵ ， ∴原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值． （2）已知 ， ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，通过对完全平方公式变形求值，整式的加减运算等知识点，熟练 掌握通过对完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式将原式变形为 ，然后将 ， 代入计算即可； （2）利用完全平方公式将 ， 展开，两式相减即可求得． 解：（1） ， ， ； （2） ， ， ∴ ， 两式相减得： ， ． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，求代数式 的值． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式混合运算、平方差公式、完全平方公式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．将 化简为 ，由 可变化为 ，再 将 作为一个整体代入，即可求出该式的值． 解：原式 ， ， 当 时，即 ， 原式 ， ， 【题型9】运用乘法公式求参数值 【例9】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式 是关于 、 的完全平方式， 则 的值为（ ） A．21 B．19 C．21或 D． 或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出 完全平方式为 ，再将其展开，则 有 ，计算出k的值即可． 解：∵多项式 是关于 、 的完全平方式， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）若 ，则k的值为（ ） A．109 B．110 C．111 D．112【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式得到 即可求解，掌握平方差公 式是解题的关键． 解： ， ∴ ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式 是完全平方式，那 么k的值是 ． 【答案】 / 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判 断即可得到k的值． 解：∵ 是二次三项式， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∵二次三项式 是一个完全平方式， ∴ ， 当 时，方程无解； 当 时，解得： ． 故答案为： ． 【题型10】乘法公式的几何应用 【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）乘法公式的探究与运用：(1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两 数平方差的形式） (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________， 面积是________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________； (4)运用你得到的公式计算： ； (5)若 ， ，则 的值为________． 【答案】(1) ； (2) ， ， (3) (4)99.91 (5)5 【分析】本题考查背景了平方差公式的几何背景及其在简算中和代数式求值中的应用． （1）由图形可知长和宽的值，再根据正方形面积公式可得答案； （2）由图形可知长方形的长和宽，根据长方形面积公式可得答案； （3）由（1）（2）结论直接得答案； （4）应用（3）的公式可简算，从而得答案； （5）根据（3）中公式可得 ，再将 代入可得答案． 解：（1）阴影部分的面积 大正方形的面积 小正方形的面积 ， 故答案为： ； （2）长方形的长是 ，宽是 ，面积 长 宽 ， 故答案为： ， ， ； （3）∵图①、图②阴影部分的面积相等 ， 故答案为： ；（4） ； （5） ， 故答案为：5． 【变式1】（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的 小正方形卡片 ，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴 影部分的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片 内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）； 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大 ，则小正方形卡片的面积是 ． 【答案】 5 【分析】先根据正方形的性质得出图2和图3中阴影部分的面积，进而列出等量关系并化简整理，即可求 解． 解：根据题意，图3中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分为正方形，边长为 ，故图2中阴影部分面积为 ， ∵图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大 ， ∴ ， ， 解得： ，即小正方形卡片的面积是5， 故答案为： ， ，5． 【点拨】本题考查正方形的性质，列代数式，整式的混合运算，完全平方公式，正方形的面积公式，正 确得出阴影部分的面积是解答的关键． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为_________； 【类比探究】 （2）若 ，则 的值为_________； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地 于点 ，该校计划在 和 区域内种花，在 和 的区域（阴影部分）内种草．经测量种花区域的面积为 ， ，请求出种草区域的面积． 【答案】（1） ；（2）88；（3）种草区域面积为11． 【分析】本题考查了图形面积与完全平方公式，完全平方公式的变形应用． （1）根据图形知，等号左边正方形面积等于右边两个正方形面积和加上两个相同长方形面积，即可完成；（2）由完全平方公式变形即可求解； （3）设 ，则 ， ，由完全平方公式变形即可求解． 解：（1）由图形知， ； 故答案为： ； （2）∵ ， ∴ ； 故答案为：88． （3）设 ， ∵种花区域的面积为 ， ， ∴ ， 即 ； ∵ ， ∴ ； ∴ ． 即种草区域面积为11． 【题型11】利用公式法进行因式分解 【例11】（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法． （1）先提取公因式2，然后利用完全平方公式求解即可； （2）先提取公因式 ，然后利用平方差公式求解即可． 解：（1） ； （2） 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题考查因式分解， （1）直接利用完全平方公式进行分解即可； （2）先提公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可；解题的关键是掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法和分组分解法，注意：因式分解的结果必 须分解到不能再分解为止， 解：（1） ； （2） ． 【题型12】用十字相乘法、分组分解法进行因式分解 【例12】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】先把二次三项式 利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的 关键． 解： ． 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解 (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的基本方法是解体的关键． （1）提公因式 即可得解； （2）将 拆成 ，再分成两组 和 ，提公因式 ，再用十字相乘法求解即可．解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法和分组分解法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法分解因式即可； （2）先分组，再提公因式和平方差公式分解因式即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型13】因式分解综合 【例13】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在有理数范围分解因式(1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）把 看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可； （3）设 ，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可； （4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可． 解：（1） （2） （3）设 ， 则原式 ， ，∴原式 （4） ， . 【变式1】（22-23七年级上·北京海淀·期末）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先利用 、 凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可； （3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可； （4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出 ，再把 分解为 ，得出 ，然后把 看作整体，利用完全平方公式变形，得出 ，然后再利用平方差公式因式分解即可． 解：（1） ； （2）（3） ； （4） ． 【点拨】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法． 【变式2】（21-22七年级下·全国·单元测试）分解因式： 【答案】 【分析】先去括号，进而利用完全平方公式分解因式即可． 解：， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题的关键． 【题型14】因式分解的应用 【例14】（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为 cm 的大正方形，2块是边长为 cm的小正方形，且 ，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为 ，大长方形纸板的周长为 ． ①求 的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为 ． 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于 的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是 ，几何第一步中求出的 的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 解：（1）通过观察图形可以得出图形的面积是： ， 长方形的长是 ，宽是 ， 由此可得： ， 故答案为： ； （2）①根据长方形的周长为 ，可得： ，整列得： ，解得： ． 答： 的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为 ， 根据②得： ， ∵阴影部分的面积为 ，且阴影部分的面积表示为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解： ， ∴ ． 答：空白部分的面积为 ． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知a、b、c为 的三边长，且满足 ， ，是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得 或 ，由 ，可得 ，进而判定三角形的形状，将等式化为 或 是解题的关键． 解：∵ ， ， ， ， 或 ， 或 ， ∵ (舍去负值)， 为等腰三角形， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）若b为常数，且 是完全平方式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求完全平方式中字母的值，根据题意可确定两平方项为 ，进而根 据完全平方式的特点得到 ，据此计算求解即可． 解： ， ∵ 是完全平方式，b为常数，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【题型15】直通中考 【例1】（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算 法则进行计算即可作出判断即可． 解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生 错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为 ，令 ， 等式两边都乘以 ，得 ①等式两边都减 ，得 ② 等式两边分别分解因式，得 ③ 等式两边都除以 ，得 ④ 等式两边都减 ，得 ⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的应用，等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数， 等式仍然成立，得到第④步出现错误． 解：∵ ， ∴ ， ∴ 的两边不能除以 ； 故出现错误的是第④步； 故答案为：④ 【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：① ；② ；③ ；④ ，……，结 合你观察到的规律判断 的计算结果的末位数字为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出 的 个位数字，最后即可得出答案. 解：∵① ； ② ；③ ； ④ ， ……， ∴ ，，． ∴ ， 因为 ， ， ， ， ， ， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为 ，所以 的末位数字为2，所以 的末位数字为1， 即 的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·广东广州·期中）若 ， ， ，则 的值为 ． 【答案】2044 【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是 解题的关键． 先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可． 解：∵ ， ， ， ∴． 故答案为： ．