文档内容
专题13 乘法公式重难点题型专训（11大题型）
【题型目录】
题型一 运用平方差公式进行运算
题型二 平方差公式与几何图形
题型三 运用完全平方公式进行运算
题型四 通过完全平方公式变形求值
题型五 求完全平方公式中的字母系数
题型六 完全平方式在几何图形中的应用
题型七 整式的混合运算
题型八 乘法公式中的多结论问题
题型九 乘法公式的相关计算
题型十 乘法公式中的“知二求三”
题型十一 乘法公式与几何图形的综合应用
【知识梳理】
知识点一、平方差公式
(ab)(ab)a2 b2
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
a,b
特别说明：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，
又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
(ab)(ba)
（1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型
(3x5y)(3x5y)
（2）系数变化：如
(m3n2)(m3n2)
（3）指数变化：如
(ab)(ab)
（4）符号变化：如
(mn p)(mn p)
（5）增项变化：如
(ab)(ab)(a2 b2)(a4 b4)
（6）增因式变化：如
知识点二、完全平方公式
ab2 a2 2abb2
完全平方公式：
(ab)2 a2 2abb2
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加
（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab
ab2 ab2
4ab
知识点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里
的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正
确.
知识点四、补充公式
(x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3
； ；
(ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc
； .
【经典例题一 运用平方差公式进行运算】
1．（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式 逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，能用平方差公式，则此项不符合题意；
B、 ，不能用平方差公式，则此项符合题意；
C、 ，能用平方差公式，则此项不符合题意；
D、 ，能用平方差公式，则此项不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）用乘法公式计算
的结果（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】先乘以 ，再依次根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：
，难度适中．
3．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）下列式子中：① ；② ；
③ ；④ ，能用平方差公式运算的是 .
【答案】①③④
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式 ，观察各个选项中式子的结构特征即
可得到答案．
【详解】解：①原式 ；
③原式 ；
④ ；
不能用平方差公式运算，
故答案为：①③④．4．（2022下·广东佛山·七年级校考专题练习）若 则 的值为
．
【答案】4
【分析】根据 得到 ，化简被求代数式，整体代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整体思想计算代数式的值，熟练掌握思想是解题的关键．
5．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）（1）你能求出 的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
______；
______；
______；…
由此我们可以得到： ______．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算： ．
（3）求 的值的个位数字，是______．（只写出答案）
【答案】（1） ， ， ， ；（2） ；（3）【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可；
（2）根据得出的规律求出即可；
（3）根据得出的规律求出即可；
【详解】（1）
；
； ；
（2）
（3）
，
个位数字以 循环，故 的个位数为2，
故 个位数字是：1．
【点睛】本题考查了整式的乘法，平方差公式、数字的规律问题，能根据算式得出规律是解此题的关键．
【经典例题二 平方差公式与几何图形】
1．（2023下·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，
其中不能验证平方差公式的是（ ）A．① B．②③ C．①③ D．③
【答案】D
【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可．
【详解】解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形，
阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，所拼成的是底为 ，高为 的平行四边形，
因此面积为 ，所以有 ，
所以图①可以验证平方差公式，不符合题意；
图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，所拼成的长方形的长为 ，款为 ，
因此面积为 ，所以有 ，
因此图②可以验证平方差公式，不符合题意；
图③中阴影部分可以看作是边长为 的正方形，因此面积为 ，所拼成的图形中阴影部分的面积
可以看作四个小正方形的面积和， ，因此不能验证平方差公式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影
部分的面积是解决问题的关键．
2．（2023下·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）如图，把一块面积为 的大长方形木板分割成 个正方形①、②、③和 个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为 ，则标号为②的正方形的面积
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】设标号为①的正方形的边长为 ，标号为②的正方形的边长为 ，根据图形及已知条件可将④⑤
长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为 及大长方形的面积为 ，得出 与 的数
量关系，然后解得 即可．
【详解】解：设标号为①的正方形的边长为 ，标号为②的正方形的边长为 ，则标号为④⑤的长方形长
为 ，宽为 ，
∵每个小长方形的面积均为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵大长方形的长等于标号为⑤的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为⑤的小长方
形的宽与标号为③的正方形的边长的和，
∴大长方形的长为： 宽为： ，
∵大长方形的面积为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即标号为②的正方形的面积为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式在几何图形面积计算中的应用，数形结合并理清题中的数量关系是解题的
关键．
3．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）如图，正方形 的面积比正方形 的面积小6，则阴影
部分的面积是 ．
【答案】3
【分析】设正方形 与正方形 的边长分别为 和 ，根据两者面积差为6，可得 ．利
用含 、 的代数式表示出阴影部分的面积，将 整体代入即可求解．
【详解】解：设正方形 与正方形 的边长分别为 和 ，
由题意得： ．
由图形可得：
．
故答案为3．
【点睛】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含 、 的代数式表示出阴影部分的面积．
4．（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，
再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为 ．
【答案】
【分析】分别用代数式表示两个图中的面积即可．
【详解】由拼图可知，图①为长为 ，宽为 的长方形，
因此它的面积为 ，
图②的面积可以看作边长为a，边长为b的两个正方形的面积差，即 ，
因此它的面积为 ，
因此有 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．
5．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1
中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）：
A． B．
C． D．(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①根据以上等式简便计算： ．
②已知 ， ，计算 的值；
③计算： ．
【答案】(1)D
(2)①800；②9；③
【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，图2阴影部分是长为 ，
宽为 的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案；
（2）①根据平方差公式将 计算即可；②根据平方差公式得到
，由 得到 ，即可计算 的值；
③利用平方差公式将原式化为
，进而得出
即可．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，
图2阴影部分是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，
由图1、图2的面积相等得， ，
故选：D；
（2）解：①；
②∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ；
③原式
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】
1．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知 ， ， ，则
的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意得 ，把
溱成两个数的差的平方形式即可求解；灵活运用完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得 ，
则，
故选：D．
2．（2023上·八年级课时练习）若 ，则 的结果是（ ）
A．23 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式 ．
3．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】首先把等式 的等号两边分别平方，即得 ，然后根据题意即可得解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式．
4．（2022下·广东清远·七年级校考阶段练习）例：若 ，求 和 的值．
解：因为 ，所以所以 ，所以 ， ，所以 ， ，
已知 ， 满足 ，求 的值为 ．
【答案】
【分析】仿照例题的思路，凑成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出 ， 的值，然后代入
进行计算即可得到答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方式及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
5．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）在学习乘法公式 的运用时，我们常利用配
方法求最大值或最小值．例如：求代数式 的最小值？总结出如下解答方法：
解：
∵ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是1，
∴ 的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)填空： ； ．(2)若 ，当 __________时， 有最__________值（填“大”或“小”），这个值
__________；
(3)已知 ， ， 是 的三边长， ， 满足 ，且 的值为代数式 的
最大值，请判断 的形状，并求出该三角形的周长．
【答案】(1) ； ；
(2) ；小；
(3) 为等腰三角形，周长为
【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，三角形的分类，
（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）仿照示例配方后即可确定最小值；
（3）利用配方法求出 ， ， 的值，即可判断 的形状，并求出该三角形的周长；
熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】（1）解： ； ，
故答案为： ； ； ；
（2） ，
∵ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ 的最小值是 ，
答案为： ；小； ；
（3） 为等腰三角形，理由如下：
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的值最大，最大值是 ，
即当 时， 有最大值，这个值是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，周长为 ，
∴ 为等腰三角形，该三角形的周长为 ．
【经典例题四 通过完全平方公式变形求值】
1．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）已知实数m，n满足 ，则 的
值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】先把原式转化为 ，可得当 ， 时，等式成立，
即可求得 ， ，再代入求值即可．【分析】解： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查非负数的性质、代数式求值，解一元一次方程，变形得出
是解题的关键．
2．（2022上·广东河源·七年级统考期中）已知 ，则 的值为( )
A．12 B．24 C．28 D．44
【答案】D
【分析】由 ，可得 ， ，整理得， ， ，根据
，代值求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
整理得， ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于对绝对值的非
负性，完全平方公式的变形的熟练掌握与正确运算．
3．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）若 ，则的值是 ．
【答案】 /
【分析】先根据非负数的性质求出 、 的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵ ，即：
∴ ，
∴ ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质．利用完全平方公式进行配方是解决问题的关键．
4．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）若n满足关系式 ，则代数式
的值是 ．
【答案】
【分析】设 ，则可得 ， ，根据完全平方公式
即可求出 的值，即 的值．
【详解】设 ， ，
则 ，
．
，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，并且灵活运用换元法是解题的关键．5．（2023上·内蒙古通辽·九年级统考期中） 阅读材料：若 ，求 m、n的值．
解： ，
．
．
．
．
根据上述材料，解答下面的问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】（1）根据题目所给的方法，利用完全平方公式，求出x和y的值，即看求解；
（2）根据 ，得出 ，将 代入 ，得
，利用题目所给方法和完全平方公式，求出b和c的值，再得出a的值，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
将 代入 ，得，
，
，
，
解得 ，则 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式
，以及几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0．
【经典例题五 求完全平方公式中的字母系数】
1．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）若 是一个关于 的完全平方式，那么k值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平
方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．
2．（2023下·陕西咸阳·七年级校考期中）规定三角“ ”表示 ，方框“ ”表示
．例如： ÷ ．若代数式为完全平方式，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先依据题目的给出的运算规律将其简化为 ，再根据 是完全平方式，
将其配方为 ，展开后通过比较同类项系数即可求出k值．
【详解】解：依据题意，有：
原式= ；
∵代数式 为完全平方式，
∴原式= ，
∴将 展开，比较等号两边同类项系数可得 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，依据题目给出的运算法则将所求代数式准确转化为常见的代数式
形式是解答本题的关键．
3．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么
A是 ．
【答案】 、 和
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出A，熟练掌握完全平方公式
是解本题的关键．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
②若 是多项式的平方，
则 ；故答案为： 、 和 ．
4．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）若关于 的二次三项式 是完全平方式，
则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 的值．
【详解】解：∵二次三项式 是完全平方式，
，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点是解题的关键．
5．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？
解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为，
是一个完全平方式，故将 写成 ，根据多项式对应
项的系数相等，得到 ．
(1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ；
(2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若 (n为常数) 是完全平方式，则n的值
为 ；
(3)已知 ，请求出b的值．
【答案】(1)左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，
都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可）(2)10或 ；16
(3)
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键；
（1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可；
（2）根据完全平方公式结构特征： 求字母常数的值即可；
（3）根据完全平方公式结构特征： 求字母常数的值即可．
【详解】（1）解： 完全平方公式： ，
完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分
别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同，
故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，
都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即
可）
（2）解： 是完全平方式，
，
，
解得： 或 ；
是完全平方式，
，
，
故答案为：10或 ；16；
（3）解： ，
，
，
，
．【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】
1．（2021下·广东佛山·七年级统考期中）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已
知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（ ），则下列关系式中
不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形和题目中的数据可以分别判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
169−9＝4xy，得xy＝40，故选项C正确，
（x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故选项A正确，
（x−y）2＝9，得x−y＝3，故选项B正确，
，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确题意，巧妙变形，利用数形结合的思想判
断各个选项是否正确．
2．（2021下·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中
划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中
阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n， ，花圃区域AEGQ和HKCS总
周长为32米，则 的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
∴2（m-3）+2（n-3）=32，
∴m+n=22，
∵mn=120，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，
∴m2+n2=244，
∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，
∵m＞n，
∴m-n=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．
3．（2022上·山东烟台·八年级统考期中）如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中
取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不
能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ．
【答案】 或
【分析】根据三种卡片的张数可知有 和 两种情况，进而可得答案．
【详解】解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张，
∴由 可知用1张A，2张B，1张C可拼成边长是 的正方形；
由 可知用1张A，4张B，4张C可拼成边长是 的正方形；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握 ．
4．（2023下·河北邢台·七年级校联考阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正
方形卡片 ，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分
的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图
3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）；
已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大 ，则小正方形卡片的面积是 ．
【答案】 5
【分析】先根据正方形的性质得出图2和图3中阴影部分的面积，进而列出等量关系并化简整理，即可求
解．
【详解】解：根据题意，图3中阴影部分的面积为 ，
图2中阴影部分为正方形，边长为 ，故图2中阴影部分面积为 ，
∵图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大 ，
∴ ，，
解得： ，即小正方形卡片的面积是5，
故答案为： ， ，5．
【点睛】本题考查正方形的性质，列代数式，整式的混合运算，完全平方公式，正方形的面积公式，正确
得出阴影部分的面积是解答的关键．
5．（2022·河北邢台·校考三模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中 型卡片是边长
为 的正方形， 型卡片是边长为 的正方形， 型卡片是长为 ，宽为 的长方形，
(1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为 ，宽为 的长方形，求嘉嘉需要 ， ， 各多
少张？
(2)若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取 型卡片 张，再取 型卡片 张，还需取 型卡
片多少张？
(3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为 的长方形，则满足条件的 的整数值 个．
【答案】(1)需要 卡片 张， 卡片 张， 卡片 张
(2)要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取 型卡片 张
(3)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式，进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式变形，即可求解；
（3）根据题意， ，可得 ，将 因式分解，即可求解．
【详解】（1）∵长方形的面积为： ．
∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张；（2）∵A型卡片4张，再取B型卡片1张的面积之和为 ，且 是一个完全平方公式，
∴要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张；
（3）依题意，设长方形的边长为 ，
则
依题意，
∵ ，
∴ 或 或 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形，完全平方公式与图形，熟练掌握多项式乘方法则是解题的关键．
【经典例题七 整式的混合运算】
1．（2023上·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期中）如图1是宽为 ，长为 的小长方形
纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 内，已知 的长度固定不变， 的
长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为 ，若 ，且 为定值，则
满足的数量关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出两块阴影部分的长和宽，再根据长方形面积公式得出S的表达式，根据S为定值，得出S的值与x无关，即可得出结论．
【详解】解：设 ，
由图可知，上面阴影部分长为 ，宽为 ，
下面阴影部分长为 ，宽为 ，
∴ ，
∵S为定值，
∴S的值与x无关，
∴ ，则 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据图形正确列出代数式，熟练掌握整式混合运
算的运算顺序和运算法则．
2．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，有三张正方形纸片 ， ， ，它们的边长分别为 ，
， ，将三张纸片按图 ，图 两种不同方式放置于同一长方形中，记图 中阴影部分周长为 ，面积为 ，
图 中阴影部分周长为 ，面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为 ，表示出 ， ， ， ，再代入
，即可求解．
【详解】解：设大长方形的宽为 ，
由图 知， ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．
3．（2022·河北保定·校考模拟预测）已知 ，则 =
【答案】15
【分析】原式利用多项式乘多项式、完全平方公式化简，去括号合并后得到最简结果，根据
可得， 然后整体代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【详解】解：
，
∵ ，
∴
∴∴原式 .
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将化简结果适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
4．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）如果 ，那么代数式 的值为
．
【答案】4
【分析】先将条件 变形为 ，再把 变形为 ，然后整
体代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
=
=
=
=
=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及求值，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
5．（2023上·天津河西·七年级统考期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如
把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛
例如：把 看作一个整体，计算
解：设 ，则原式
可参考以上想法解答下面问题：(1)计算：
(2)计算：利用分配律，试计算 的结果；
(3)求值：已知 ， ， ，求 的值
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）把 看作一个整体，进行计算即可；
（2）根据乘法分配律进行计算即可；
（3）由已知求得 ， ，再代入计算即可．
【详解】（1）解：设 ，
原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解： ， ， ，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，化简求值，解题的关键是整体代入思想的运用，注意去括号时
符号的变化．
【经典例题八 乘法公式中的多结论问题】
1．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有 个依次排列的整式：第一项是 ，
第二项是 ，用第二项减去第一项，所得之差记为 ，记 ；将第二项与 相加作为第
三项，记 ，将第三项与 相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：① ；②当 时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则 ；④
第2022项为 ；⑤当 时， ；以上正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意可以得出规律，第n项为 ， ，根据规律逐项求解判断即可．
【详解】解：由题意可知，第一项为 ，第二项为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
....．
∴ ，
故①正确；
∵将第二项与 相加作为第三项，
∴第三项为 ，
当 时， ，
故②错误；
∵将第3项与 相加作为第四项，
∴第4项为 ，
以此类推，第n项为 ，∴第4项为 ，
∵第5项与第4项之差为15，
∴ ，
解得 ，
故③正确；
∵第n项为 ，
∴第 项为 ，
故④错误；
∵ ，
∴
，
故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较
大．
2．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知整式 ， ，则下列说法中正确的有（
）
①不存在这样的实数 ，使得 ；
②无论 为何值， 和 的值都不可能同时为正；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】根据所给的说法，列出相应的式子进行运算作出判断即可得到答案．
【详解】解：①若 ，则 ，
整理得： ，
不存在这样的实数 ，使得 ，故①说法正确，符合题意；
②当 时，解得： ，
当 时，解得： ，
当 时， 和 的值同时为正，故②说法错误，不符合题意；
③若 ，
则 ，故③说法正确，符合题意；
④由题意得： ，
，
，故④说法错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减、利用平方差公式进行计算、利用完全平方公式进行计算、解不等式组，
熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
3．（2023下·浙江·七年级期末）下列四个结论，其中正确的是 ．
①若 ， ，则 可表示为 ；
②若 的运算结果中不含 项，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ，则x只能是2．
【答案】 /
【分析】①①利②用②同①底数幂的乘法运算法则可知，此选项是正确的；
②利用整式乘法法则展开后可知，此选项是正确的；
③根据已知，利用完全平方公式可知，此选项是错误的；④幂结果是1，则有两种情况，要么底数是1，要么指数为0，此选项错误．
【详解】解：①若 ， ，
则
，
故此选项正确；
②
∵不含有 项，
∴ ，
∴ ，
故此选项是正确的；
③∵
，
∴ ，
故此选项是错误的
④ ，
当 时， ，成立；
当 时， ，成立，
故此选项是错误的．
故答案为：①、②．
【点睛】本题考查幂的运算法则，多项式乘法，完全平方公式，乘方运算；掌握相关运算法则是解题的关
键．
4．（2023下·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）已知三个实数 ， ， 满足 ，
且 ，那么则下列结论一定正确的是 ．（只需要填序号）
① ；② ；③ ；④【答案】 /
②③③②
【分析】由 得 ，代入 整理得 ，然后判断各个选项正确与否．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴一定正确的是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查完全平方公式，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质和完全平方公式等
知识点．
【经典例题九 乘法公式的相关计算】
1．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式混合运算，重点是多项式乘多项式法则以及完全平方公式的运用；
（1）先算乘法，再合并同类项；（2）先用完全平方公式 去括号，再算加减；
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
2．（2023上·江苏南京·七年级南京市人民中学校考期中）计算：
【答案】
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
3．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
【分析】本题考查的是整式的混合运算．
（1）利用完全平方公式计算即可求解；
（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解；
（4）先乘方，再计算乘法．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
4．（2023上·江西南昌·八年级统考期中）（ ）化简：
（ ）先化简，后求值： ，其中 ．
【答案】（ ） ；（ ） ， ．【分析】（ ）去括号，合并同类项即可得到结果；
（ ）去括号，合并同类项，再代入求值，即可得到结果．
【详解】（ ）解：原式 ，
，
；
（ ）解：原式 ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】此题考查了整式的化简及化简求值运算，熟练掌握运算法则及整体代入思想是解题的关键．
5．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值：
(1)
(2) ．
【答案】(1)1
(2)4000000
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：
．
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式，会利用乘法公式进行简便运算是解答的关键．
【经典例题十 乘法公式中的“知二求三”】
1．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 ， 代入 即可得到答案；
（2）把 ， 代入 即可得到答案；
（3）把 ， 代入 即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
即 ，
（2） ，
即 ；（3） ，
即 ，
【点睛】此题考查了利用完全平方公式及其变形求值、多项式乘以多项式变形求值，准确变形和整体代入
是解题的关键．
2．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中
（2）已知： ．求：
① 的值；
② 的值；
【答案】（1） ；（2）① ②
【分析】（1）先化简原式，再将 代入求解即可；
（2）①由 即可求解，②由 即可求解；
【详解】解：（1）
解：原式
∵ ，
∴
（2）①∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
②∵ ， ，
∴，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
3．（2022上·河北张家口·八年级统考期末）人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知 ，
，求 的值．老师讲解了这道题的两种方法：
方法一 方法二
， ， ，
． ．
， ， ，
． ．
请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
(1)已知 ， ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）把 两边平方，利用完全平方公式化简后将 代入计算即可求出 的值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值；
【详解】（1）把 两边平方，得 ，化简，得
将 代入得 ，解得
（2）把 两边平方，得
化简，得 ，即 ，
则
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
4．（2023上·福建厦门·八年级厦门市第十中学校考期中）已知 ， ，求下列代数式的值．
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，整式的化简求值，（ ）根据完全平方公式变形求值即可求
解；（ ）先根据完全平方公式变形求得，再根据整体代入进行计算即可求解，掌握整体代入是解题的关
键．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）
，
，，
．
5．（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）阅读下列材料并解答下面的问题：
利用完全平方公式 ，通过配方可对 进行适当的变形，如：
或 ，从而使某些问题得到解决．
例：已知 ，求 的值．
解： ．
通过对例题的理解解决下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若n满足 ，求式子 的值．
【答案】(1)10
(2)34
(3)0
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；
（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴原式 ；
（2）解：把 两边平方得： ，
则 ；
（3）解：∵ ，∴
则
【点睛】此题考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【经典例题十一 乘法公式与几何图形的综合应用】
1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种
纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种
纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ；
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值；
②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ，求这个长方形的面积．
【答案】（1） ；（2）① ；②这个长方形的面积为 ．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算．
（1）由图形得出完全平方公式即可；
（2）①根据完全平方公式计算出 的值即可；
②令 ， ，则 ， ，根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为 ，即大正方形的面积为 ，
因大正方形由1个边长为 和1个边长为 的正方形及2个长为 、宽为 的长方形构成，由此可得： ．
故答案为： ；
（2）①由 可得： ，
将 ， 代入
得： ，
解得： ；
②令 ， ，则 ， ，
整体代入 可得：
，
∴ ，
故这个长方形的面积为 ．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图
形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：
．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形，试用不同的形式表
示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式）
(2)利用（1）中所得到的结论，填空：
已知 ， ，则 ；(3)如图3，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， ， ， 三点在同一直线上，连接 和 ．
①用含 ， 的式子表示阴影部分的面积 ；
②若 ， ，则阴影部分的面积 ．
【答案】(1)用不同的形式表示这个大正方形的面积为 ， ，
(2)45
(3)① ，②20
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合，利用面积法正确写出相关图形的面积．
（1）图2大正方形边长为 ，其面积为 ，分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，
其面积和为 ，二者面积相等，从而可得要求得等式；
（2）将 ， 代入（1）中等式，变形可得答案；
（3）①利用 等于直角三角形 的面积加上正方形 的面积，再减去三角形 的面积，化简
即可得答案；
②将①中结论配方，然后将 ， 代入计算即可．
【详解】（1）解：图2大正方形边长为 ，其面积为 ，
分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为
二者面积相等
由此得等式： ．
（2）解： ，
故答案为：45．
（3）解：①故答案为： ．
②由①知阴影部分面积为
，
故答案为：20．
3．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为 的
正方形．
(1)若用不同的方法计算这个边长为 的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式为________；
(2)若实数a，b，c满足 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式 的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关
键；
（1）根据图形得出等式即可；
（2）先根据幂的运算求出 ，再结合 ，即可得出 ；
【详解】（1）
（2）∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
且 ，
∴ ，
∴ ．
4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正
方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当 ， 时，正方形的面积既可以用 ，也可
以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为 ，也就是说，这个
正方形的面积为可以用等式表示为： ．请用小明计算的方法，直接写出图3中，
若 ， 时，表示的等式为______．
数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______．
数学思考：边长为a的正方形 和边长为 的正方形 拼在一起，B，C，E三点在同一条
直线上，设图中阴影部分面积为S．（1）如图4，S的值与a的大小有关吗？请说明理由．（2）如图5，
若 ， ．直接写出S的值．
数学运用：如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知 且满足① 与②
．若图4中阴影部分的面积为3，图5中梯形 的面积为5，则图5阴影部分
的面积是______．（直接写出结果）．【答案】问题呈现： 或 ；数学发现：图2：
，图3： 或 ；数学思考：（1）无关，
理由见解析；（2） ，数学运用：
【分析】问题呈现：根据阴影部分面积的不同表示方法得到等式即可；数学思考：用割补法表示阴影部分
面积即可；数学运用：根据 ， 得： 进而求出
，整体代入求得结论．
【详解】问题呈现： 或 ；数学发现：图2： ，
图3： ，或 ；
数学思考：
（1） ，
∴S的值与a的大小无关．
（2） ，理由如下：
， ，
，
，
数学运用：
由题意得： ，
① 与② ，
得： ，
即 ，
，
，
图5阴影部分的面积
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、公式变形及割补法表示面积，理解完全平方公式的结构特征
及割补法求面积是解答的关键．
5．（2023上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，
从而可以得到一个数学等式．(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足 ，可设 ， ，则
， ．则 ______．
(3)若x满足 ，则 的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为 的大长方形，则
______；
(5)如图3，已知正方形 的边长为x，E，F分别是 、 上的点，且 ， ，长方形
的面积是24，分别以 、 为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面
积，即可得到等式；
（2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果；
（3）根据（2）中的方法可得到结果；
（4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，
计算其和即可；
（5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果．【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即 ；
方法二：阴影部分也可以看作边长为 的面积减去两个长为 ，宽为 的长方形面积，即
，
两种方法可得出： ；
（2）解：由（1）可得 ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）解：设 ， ，
∵x满足 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（4）解： ，
A纸片的面积为 ，B纸片面积为 ，C纸片面积为 ，
根据 可知要拼出一个面积为 的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C
纸片，
则 ；
（5）解：由图知 ， ，
∴ ，
∵长方形 的面积是24，∴ ，
设 ， ，
则 ， ，
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟
练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式 逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，能用平方差公式，则此项不符合题意；
B、 ，不能用平方差公式，则此项符合题意；
C、 ，能用平方差公式，则此项不符合题意；
D、 ，能用平方差公式，则此项不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）已知实数m，n满足 ，则 的
值是（ ）A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】先把原式转化为 ，可得当 ， 时，等式成立，
即可求得 ， ，再代入求值即可．
【分析】解： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查非负数的性质、代数式求值，解一元一次方程，变形得出
是解题的关键．
3．（2022上·河南新乡·八年级校考期中）如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若
，则阴影部分的面积为（ ）
A．52 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据 ，列式得 ，将所列式子变形成含有 和 的
形式，再将已知条件整体代入，即可求出阴影部分的面积．【详解】
故选：B
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和整体代入法，能熟练的对完全平方公式变形是解题的关键．
4．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）有两个正方形A、 ，将A， 并列放置后构造新的图形，分
别得到长方形图甲与正方形图乙 若图甲、图乙中阴影的面积分别为 与 ，则正方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，用代数式表示图 、图 中阴影部分的面积，整体
代入即可得出 ，即正方形 的面积．
【详解】解：设正方形A的边长为 ，正方形 的边长为 ，
由题意得， ， ，
即 ， ，
，
即正方形 的面积为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．5．（2023上·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期中）如图1是宽为 ，长为 的小长方形
纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 内，已知 的长度固定不变， 的
长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为 ，若 ，且 为定值，则
满足的数量关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出两块阴影部分的长和宽，再根据长方形面积公式得出S的表达式，根据S为定值，
得出S的值与x无关，即可得出结论．
【详解】解：设 ，
由图可知，上面阴影部分长为 ，宽为 ，
下面阴影部分长为 ，宽为 ，
∴ ，
∵S为定值，
∴S的值与x无关，
∴ ，则 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据图形正确列出代数式，熟练掌握整式混合运
算的运算顺序和运算法则．
6．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知 ， ， ，则
的值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意得 ，把
溱成两个数的差的平方形式即可求解；灵活运用完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得 ，
则
，
故选：D．
7．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有 个依次排列的整式：第一项是 ，
第二项是 ，用第二项减去第一项，所得之差记为 ，记 ；将第二项与 相加作为第
三项，记 ，将第三项与 相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到
四个结论：① ；②当 时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则 ；④
第2022项为 ；⑤当 时， ；以上正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意可以得出规律，第n项为 ， ，根据规律逐项求解判断即可．
【详解】解：由题意可知，第一项为 ，第二项为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
....．
∴ ，
故①正确；
∵将第二项与 相加作为第三项，
∴第三项为 ，
当 时， ，
故②错误；
∵将第3项与 相加作为第四项，
∴第4项为 ，
以此类推，第n项为 ，
∴第4项为 ，
∵第5项与第4项之差为15，
∴ ，
解得 ，
故③正确；
∵第n项为 ，
∴第 项为 ，
故④错误；∵ ，
∴
，
故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较
大．
8．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么
A是 ．
【答案】 、 和
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出A，熟练掌握完全平方公式
是解本题的关键．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
②若 是多项式的平方，
则 ；
故答案为： 、 和 ．
9．（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）已知 ，则代数式
.
【答案】8【分析】先把代数式进行化简得 ，再把 代入求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，即 ，
把 代入得，原式 ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查代数式求值，整式的化简求值，利用整体代入的思想是解题的关键．
10．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）下列式子中：① ；② ；
③ ；④ ，能用平方差公式运算的是 .
【答案】①③④
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式 ，观察各个选项中式子的结构特征即
可得到答案．
【详解】解：①原式 ；
③原式 ；
④ ；
不能用平方差公式运算，
故答案为：①③④．
11．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图是一个可折叠式的餐桌，其桌面由
一个大正方形和四个全等的小正方形构成．当桌角全部打开时（如图①，桌面的最大长度为 ；当桌角全
部收起时（如图②，桌面未被桌角覆盖部分的长度为 ．那么，当桌角全部收起时（图②中），桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是 （用含 、 的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了整式混合运算的应用，根据图形求出小正方形的边长，再计算出大正方形的边长，然
后根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积列式计算即可．
【详解】解：由题意得，小正方形的边长为 ，
∴大正方形的边长为 ，
∴桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是 ，
故答案为： ．
12．（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图
1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b
的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2的面积关系，写出正确的等式： ；
（2）两个正方形 ， 如图3摆放，边长分别为x，y．若 ， ，则图中阴影部
分面积和为 ．
【答案】 8
【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解；
（2）根据图形得到 ，，利用完全平方公式分别求得 和 即可求解．【详解】解：（1）由图2知，大正方形的面积为 ，又可以为 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）由题知： ， ，
则 ，则 ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
图中阴影部分面积为： ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，
会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．
13．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】本题考查的是整式的混合运算．
（1）利用完全平方公式计算即可求解；
（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解；
（4）先乘方，再计算乘法．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形
内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边
长为 米，四条小路的长与宽都为b米和 米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米5元．(1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．
(2)若 ，计算草坪的造价．
【答案】(1) 平方米
(2)3240元
【分析】（1）根据图形可知，用大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积即可．
（2）把 及草坪的造价为每平米5元代入代数式计算即可．
【详解】（1）由图可得，阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形
的面积，
∴草坪(阴影)面积为：
平方米；
（2）
元．
即草坪的造价为3240元．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）（1）你能求出 的值
吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
______；
______；
______；…
由此我们可以得到： ______．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算： ．
（3）求 的值的个位数字，是______．（只写出答案）
【答案】（1） ， ， ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可；
（2）根据得出的规律求出即可；
（3）根据得出的规律求出即可；
【详解】（1）
；
； ；
（2）
（3），
个位数字以 循环，故 的个位数为2，
故 个位数字是：1．
【点睛】本题考查了整式的乘法，平方差公式、数字的规律问题，能根据算式得出规律是解此题的关键．
16．（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）（1）图1中，通过计算图中阴影部分的面积，
可得到关于 的等量关系是______________；
（2）尝试解决：
①已知： ，则 ______________；
②已知： ，求 的值；
（3）填数游戏：如图2，把数字 填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于
21，将每边四个数字的平方和分别记 ，已知 ．如果将位于这个三角形顶点处的三
个圆圈填入的数字分别表示为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）① ；②13；（3）18
【分析】本题考查了列代数式、利用完全平方公式以及变形进行计算，熟练掌握 ，
是解此题的关键．
（1）由图可得： ， ，即可得到答案；
（2）①根据 计算即可得到答案；②求出 ，再根据进行计算即可得到答案；
（3）先求数字 的和，再根据各边上的四个数字的和都等于21，得出 ，再求出
，结合每边四个数字的平方和分别记 ， ，
得出 ，从而得到答案．
【详解】解：（1）由图可得： ， ，
，
故答案为：
（2）① ，
，
故答案为： ；
② ，
；
（3）数字 的和为： ，
各边上的四个数字的和都等于21，
，
，
，
将每边四个数字的平方和分别记 ，已知 ，且
，
，
，，
，
，
．
17．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A
种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A
种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ；
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值；
②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ，求这个长方形的面积．
【答案】（1） ；（2）① ；②这个长方形的面积为 ．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算．
（1）由图形得出完全平方公式即可；
（2）①根据完全平方公式计算出 的值即可；
②令 ， ，则 ， ，根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为 ，即大正方形的面积为 ，
因大正方形由1个边长为 和1个边长为 的正方形及2个长为 、宽为 的长方形构成，
由此可得： ．故答案为： ；
（2）①由 可得： ，
将 ， 代入
得： ，
解得： ；
②令 ， ，则 ， ，
整体代入 可得：
，
∴ ，
故这个长方形的面积为 ．
18．（2023上·河南新乡·八年级统考期中）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些
代数中的数量关系
(1)利用不同的代数式表示图2的面积S，写出你从中获得的等式为 ；
(2)填空．
①已知 ， ，则 ；
②已知x满足 ，则 ；
(3)学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以 、 为边的正方形，且两正方
形的面积和 ，点C是线段 上的点，若 ，求用来种花的阴影部分（即直角三角形
）的面积．
【答案】(1)(2)①5；②5
(3)6
【分析】（1）根据正方形面积的不同算法求解；
（2）①根据 计算可得答案；②先把完全个平方公式变形，再整体代入求解；
（3）利用完全平方公式变形，再整体代入求解．
【详解】（1）解：（1） ；
故答案为： ；
（2）①∵ ， ，
∴ ；
故答案为：5；
②令 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：5；
（3）设正方形 的边长为m，正方形 的边长为n，
则 ， ，
，
∴
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴用来种花的阴影部分的面积为： ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，把公式变形是解题的关键．
19．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式
进行变形，如： ， ．
(1)根据以上变形填空：已知 ， ，则 ______．
(2)仿照以上变形填空：已知 ， ，则 ______．
(3)若 满足 ，求代数式 的值．
(4)如图，已知数轴上从左到右依次有点 、 、 三点，它们表示的数分别是 、9、11．以 为边在数
轴上方作正方形 ，以 为边在数轴上方作正方形 ，延长 交 于点 ．若正方形
与正方形 面积的和为96，则长方形 的面积为______．
【答案】(1)17
(2)2023
(3)84
(4)46
【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键．
（1）根据完全平方公式求解即可；
（2）根据 ，即可求解；
（3）设 ， ，则 ， ，根据 计算即可；
（4）正方形 的边长为 ，面积为 ，正方形 的边长为 ，面积为 ，
则有 ，设 ， ，则 ， ，利用求解即可．
【详解】（1） ， ，
；
故答案为：17；
（2） ， ，
；
故答案为：2023；
（3）设 ， ，
则 ， ，
；
（4）正方形 的边长为 ，面积为 ，正方形 的边长为 ，面积为 ，
则有 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以长方形 的面积为： ．
故答案为：46．
20．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）在学习乘法公式 的运用时，我们常利用配
方法求最大值或最小值．例如：求代数式 的最小值？总结出如下解答方法：
解：∵ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是1，
∴ 的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)填空： ； ．
(2)若 ，当 __________时， 有最__________值（填“大”或“小”），这个值
__________；
(3)已知 ， ， 是 的三边长， ， 满足 ，且 的值为代数式 的
最大值，请判断 的形状，并求出该三角形的周长．
【答案】(1) ； ；
(2) ；小；
(3) 为等腰三角形，周长为
【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，三角形的分类，
（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）仿照示例配方后即可确定最小值；
（3）利用配方法求出 ， ， 的值，即可判断 的形状，并求出该三角形的周长；
熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】（1）解： ； ，
故答案为： ； ； ；
（2） ，
∵ ，∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ 的最小值是 ，
答案为： ；小； ；
（3） 为等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的值最大，最大值是 ，
即当 时， 有最大值，这个值是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，周长为 ，
∴ 为等腰三角形，该三角形的周长为 ．
