专题14.5整式的乘法（知识梳理与考点分类讲解）-（人教版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题14.5 整式的乘法（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它们的指数作为积的一个因式. 要点提醒： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行 有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数 不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的 一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. m(abc)mambmc 即 . 要点提醒： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项 式的 问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式 的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. abmnamanbmbn 即 . 要点提醒： 多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之 积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： xaxb x2 abxab .【考点一】整式的乘法➼➻单项式乘以单项式 【例1】（2023秋·上海浦东新·七年级统考期中）计算： 【答案】 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法和加法运算即可得到结果． 解：原式 【点拨】此题考查了整式的加法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是 解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·上海松江·七年级校考阶段练习） 的结果是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式，同底数幂相乘，计算求解即可． 解： , 故选：D． 【点拨】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．解题的关键在于正确的运算． 【变式2】（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）如果单项式 与 的差是一个单 项式，则这两个单项式的积是 ．【答案】 / 【分析】根据 与 的差是一个单项式，可得两者为同类项，进而得出两个单项式分别为 ， ，进一步计算即可． 解：∵单项式 与 的差是一个单项式， ∴ 与 是同类项， ∴两个单项式分别为 ， ， ∴这两个单项式的积是 ， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 【考点二】整式的乘法➼➻单项式乘以多项式 【例2】（2023秋·八年级课时练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）直接利用单项式乘多项式法则计算； （2）先算积的乘方，再利用单项式乘多项式法则计算； （3）先算单项式乘多项式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可． （1）解： ； （2）（3） ． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘多项式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的 运算法则，细心计算是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·福建泉州·八年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）代数式 的值（ ）． A．只与x、z有关 B．与x、y、z都有关 C．只与x、y有关 D．与x、y、z都无关 【答案】C 【分析】根据单项式乘多项式的法则去括号，合并同类项后，即可作出判断． 解： ， 所以代数式的值只与x，y有关． 故选：C． 【点拨】此题考查了单项式乘多项式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）若有理数 满足 ，则 的 值为 ． 【答案】2028 【分析】把 化为： 代入降次，再把 代入求值即可． 解：由 得： ， 所以：． 故答案为：2028． 【点拨】本题考查的是代数式的求值，利用整体代入进行降次是解题的关键． 【考点三】整式的乘法➼➻多项式乘以多项式 【例3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 【答案】 ， 【分析】先根据多项式乘以单项式，单项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据 非负数的性质求出m、n的值，最后代值计算即可． 解： ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴原式 ．【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·七年级课时练习）已知 ，则a＋b＋c＋d+1的值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】令 ，求出 ，即可求出 ． 解： ， 令 ，得 ， 故选：C． 【点拨】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据式子的特点巧解． 【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知： ， ，化简 的结果是 ． 【答案】2 【分析】先把所求式子化简为 ，然后把已知条件式整体代入求解即可． 解： ， ∵ ， ， ∴原式 ， 故答案为：2． 【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 【考点四】整式的乘法➼➻参数问题 【例4】（2023春·山东济南·六年级校考阶段练习）已知 的展开式中不含 项和 项，求： （1） ， 的值； （2） 的值。 【答案】（1） ， ；（2）243 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含 和 项，列方程求出 与 的值即可， （2）把 与 的值代入 求值． 解：（1） 展开式中不含 和 项 且 解得 ， ． （2） 把 ， 代入原式 【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于 的方程是解此题的 关键． 【举一反三】 【变式1】（2019春·七年级课时练习）已知： ，则 的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】已知等式左边利用单项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即 可确定出m+n的值． 解： = + ,∴n=2，m+3=7，即m=4，n=2， 则m+n=4+2=6. 故选D 【点拨】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）若单项式 与 的积为 ，则 ． 【答案】-2 【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解． 解：由题意，得 ， ， 则 ． 故答案为：-2． 【点拨】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【考点五】整式的乘法➼➻化简求值 【例5】（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【答案】 ；2 【分析】先去括号合并同类项，再根据整式的除法法则化简化到最简，代入求解即可得到答案； 解：原式 ， 当 ， 时， 原式 ； 【点拨】本题考查整数化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则及整式的除法法则． 【举一反三】 【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）已知x－y＝－3，xy＝2，则（x＋3）（y－3）的值是（） A．－6 B．6 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可． 解：∵x-y=-3，xy=2， ∴（x+3）（y-3） =xy-3x+3y-9 =xy-3（x-y）-9 =2-3×（-3）-9 =2， 故选C． 【点拨】考查了整式的混合运算和求值的应用，能整体代入是解此题的关键． 【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）若 ，则 的值 ． 【答案】29 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式变形后代入计算即可求出值． 解：∵ ， ∴ 故答案为：29． 【点拨】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2023春·浙江·七年级专题练习）若 ，则 的值 ． 【答案】29 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式变形后代入计算即可求出值．解：∵ ， ∴ 故答案为：29． 【点拨】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【考点六】整式的乘法➼➻综合运算 【例6】（2023秋·七年级课时练习）化简： （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）先根据去括号，然后再合并同类项即可； （2）先根据去括号，然后再合并同类项即可． （1）解： ． （2）解： ． 【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用整式乘法和去括号法则是解答本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2018春·七年级课时练习）．下列计算正确的是（ ）． A． B．C． D． 【答案】D 解：A选项, ,所以A选项错误, B选项, ,所以B选项错误, C选项, ,所以C选项错误, D选项, ,所以D选项正确,故选D. 【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知 ， ，则 的值 为 ． 【答案】 【分析】已知 ， ，可以把等式右边转成同底数幂乘法，再把以 为底和以 为底的转 成指数相同，从而逆用积的乘方公式，把底数 和 乘起来，从而转成以 为底的，就可以比较指数，得 出 等于 ，从而可以代入要化简的式子求解． 解： ， 由 得 ， 由 得 ， 得 ，即 ， ， ，． 故答案为： ． 【点拨】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的综合运用以及代数式化简求值，熟练掌握 运算法则是解题的关键．