专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 14.1 幂的运算（3 大知识点 7 类题型）（知识梳理与题型分类 讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】同底数幂的乘法法则 aman amn m, n (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【要点提示】 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. amanap amnp m,n, p （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 （ 都是正整 数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， amn aman m, n 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）. 【知识点2】幂的乘方法则 (am)n amn m, n (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【要点提示】 ((am)n)p amnp a0 m,n, p （1）公式的推广： ( ， 均为正整数) amn   amn   anm （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而 解决问题. 【知识点3】积的乘方法则 (ab)n anbn n (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【要点提示】 (abc)n anbncn n （1）公式的推广： ( 为正整数). anbn abn （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算 10 10 1 1  210  2 1.     2 2  更简便.如： 【知识点4】注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【题型目录】 【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2; 【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................3; 【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................3; 【题型4】幂的混合运算.........................................................4; 【题型5】幂的运算的应用.......................................................4; 【题型6】直通中考.............................................................5; 【题型7】拓展与延伸...........................................................5. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算 【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习 了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整 式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂 相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ① ， ② ， ③ ， （2）规律 （ 都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算 ；②把 看成一个整体，计算 ． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算 （ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 ，则 ． 【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知 ，求 的值； （2）若 ，求a的值． 【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知 ， ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知 ，则x的值为 ． 【题型2】幂的乘方运算及逆运算 【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算： ． 【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．若 ,则 ． 【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若 ，求 的值； （2）若 ，求x的值． 【变式1】已知 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知 ，则 ．【题型3】积的乘方运算及逆运算 25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） （1） ; （2） 【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am＝10，bm＝2，则（ab）m＝ ． 【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若 为正整数．且 ，则 的值为 （ ） A．4 B．16 C．64 D．192 【变式2】已知 ，则 = ． 【题型4】幂的混合运算 【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ） A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12 C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3 【变式2】已知 ，则 = .（用含 的代数式表示） 【题型5】幂的运算的应用 【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用， 也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为， ， ；（ ， 为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知 ， ， ，请把 ， ， 用“ ”连接起来： ； (2)若 ， ，求 的值； (3)计算： ． 【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（ ） （1） ；（2） ；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第 1次对折后得到的图形面积为S，第2次对折后得到的图形面积为S，…，第n次对折后得到的图形面积 1 2 为S ，请根据图2化简， ． n 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例9】（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足 ，则a与b 的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为 的是（ ）A． B． C． D． 【题型7】拓展延伸 【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化 为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示 ， 运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现 有数据进行推断，正确的是（ ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（ ） A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0