文档内容
专题 24.14 弧长和扇形面积（2 大知识点 7 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】弧长公式
【知识点二】扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
【题型目录】
【题型1】弧长公式（求弧长、半径、圆心角）..................................1
【题型2】扇形面积公式（求扇形面积、半径、圆心角）..........................4
【题型3】求弓形（旋转图形、不规则图形）面积................................6
【题型4】求圆锥侧面积.....................................................10
【题型5】求圆锥的高、展形图的圆心角.......................................14
【题型6】直通中考.........................................................16
【题型7】拓展延伸.........................................................17第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】弧长公式（求弧长、半径、圆心角）
【例1】（2024·江西·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点D是弦 延长线上一点，连接
， ．
（1）求证： 是半圆O的切线； （2）当BC=3时，求 的长．
【变式1】（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留
守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为 ，侧面积为 的圆锥
形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一
的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中 的长度为 米，裙长 米，圆心
角 ，则 的长为（ ）
A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
【题型2】扇形面积公式（求扇形面积、半径、圆心角）
【例2】（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图， 为 的直径，点 是 上方 上异于
的点，点 是 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．（1）求证： 是 的切线； （2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
【变式1】（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一
种图形．如图，分别以等边 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是
“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为 ，空白部分的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，以点 为圆心、 为半径作
．若阴影部分的面积是 ，则正五边形ABCDE的边长为 ．
【题型3】求弓形（旋转图形、不规则图形）面积
【例3】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图， 是 的内接三角形， ， ，D 为 延长线上一点， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）如果 的半径为 4，求阴影部分的面积．
【变式1】（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形 中，先以点A为圆心， 长为半径画弧，此
弧恰好经过点C，再以点C为圆心， 长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若 ，则图中阴影部
分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形
的弧长为 ．
【变式3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，矩形 中， ， ，现将此矩形绕点
顺时针旋转90°得到新的矩形 ，则边AD扫过的面积（阴影部分）是 （结果保留 ）【题型4】求圆锥侧面积
【例4】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，已知扇形AOB的半径为 ，圆心角的度数
为 ，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高以及圆锥的全面积．
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已
知原来的两个圆锥母线长分别为 ， ，新几何体的最大横截面圆的半径 ，则新几何体
的表面积为 ．
【变式2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等
于 ．
【题型5】求圆锥的高、展形图的圆心角
【例5】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形AOB中， ，点C是
上的一个动点（不与点A， 重合），连接 ， ， ， ，垂足分别为点D，E．
（1）若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；
（2）在 中是否存在长度为定值的边？若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．
【变式1】（23-24九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，圆锥的底面半径 ，高 ，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ，
圆心角θ为 ，圆锥的底面圆的半径为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例1】（2022·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DABC DA …是
1 1 1 1 2
由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 的圆心为A，半径为AD；弧AB 的圆心为B，半径为
1 1 1
BA；弧BC 的圆心为C，半径为CB ；弧C D 的圆心为D，半径为DC …．弧DA、弧AB、弧BC 、弧
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C D…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C D 的长是 （结果保留π）．
1 1 2022 2022
【例2】（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片 ，
，点M为 的中点，若以M为圆心， 为半径画弧交对角线
于点N，则 度；将扇形 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），
则这个圆锥的底面圆半径为 ．【例3】（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在 中， ， ， ，将
绕点 逆时针旋转到 的位置，点 的对应点 首次落在斜边 上，则点 的运动路径的
长为 .
【题型7】拓展延伸
【例1】（2020·湖北黄冈·中考真题）如图所示，将一个半径 ，圆心角 的扇形纸
板放置在水平面的一条射线 上．在没有滑动的情况下，将扇形 沿射线 翻滚至 再次回到
上时，则半径 的中点P运动的路线长为 ．
【例2】（2024·广东广州·一模）综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为 、高为 的锥形草帽（如图（ ））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、
足够大的卡纸．
步骤 ：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角 的比例剪成半径为 的扇形．
步骤 ：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、
不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：
（ ）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数
量关系： ．
