专题14.8整式的乘法与因式分解（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 14.8 整式的乘法与因式分解（4 大知识点 16 类题型）（全章知 识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】幂的运算 【要点提示】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用 运算性质，使运算更加方便、简洁. 【知识点2】整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .即 m(abc) mambmc m,a,b,c ( 都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn . 【要点提示】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式 乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能 xaxb x2 abxab 得出一个应用比较广泛的公式： . 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一 起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. (ambmcm)m  ammbmmcmm  abc 即： 【知识点3】乘法公式 (ab)(ab)a2 b2 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a，b 【要点提示】在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减 去“相反项”的平方. ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 ； 2. 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【要点提示】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍. 【知识点4】因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把 这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【要点提示】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 知识点与题型目录 【整式的乘法】 【题型1】幂的运算............................................................3 【题型2】幂的逆运算..........................................................3 【题型3】单项式相乘..........................................................4 【题型4】单项式乘以多项式....................................................4【题型5】多项式相乘的运算....................................................5 【题型6】多项式相乘的化简求值................................................5 【乘法公式】 【题型7】运用乘法公式进行运算................................................6 【题型8】运用乘法公式化简求值................................................6 【题型9】运用乘法公式求参数值................................................6 【题型10】乘法公式的几何应用.................................................6 【因式分解】 【题型11】利用公式法进行因式分解.............................................8 【题型12】用十字相乘法、分组分解法进行因式分解...............................8 【题型13】因式分解综合.......................................................8 【题型14】因式分解的应用.....................................................9 【直通中考与拓展延伸】 【题型15】直通中考...........................................................9 【题型16】拓展延伸..........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】幂的运算 【例1】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1) ； (2) ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若 ，则 ． 【题型2】幂的逆运算 【例2】（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如 ， 则 （m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题：(1)计算： ______； (2)已知： ， （m，n为正整数），则 ______； (3)已知m个 相乘的结果为 ，n个 相乘的结果为 ，若 个 相乘的结果为 64，求 的值． 【变式1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 （ ） A．1 B．2 C．2000 D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论： ①无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数． ②当 时，方程组的解也是方程 的解． ③若 ，则 ． ④无论a取何值， 的值始终不变． 其中正确的有 ．（填写序号） 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【题型3】单项式相乘 【例3】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项． (1)求 的值， (2)先化简，再求值： ．【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若 表示 ， 表示 ，则 ． 【变式2】（2023七年级下·江苏·专题练习）若 ，则 的值为 ． 【题型4】单项式乘以多项式 【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知 ，求 的值． 分析：考虑到满足 的 的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将 整体 代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知 ， (1)求 的值． (2)求 的值． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）若不论 为何值时，等式 恒 成立，则 ， ． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值： 其中 ． 【题型5】多项式相乘的运算 【例5】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算(1) ； (2) ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式 分解因式得 ，则 的值 分别（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且 ，则a 的值不可能是（ ） A．10 B．11 C．12 D．14 【题型6】多项式相乘的化简求值 【例6】（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项 是 ． (1)求 ， 的值． (2)先化简再求值 ． 【变式1】（19-20八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 ，则当 ， 的 值为（ ） A．25 B．20 C．15 D．10 【变式2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ， ，那么 的值为 ． 【题型7】运用乘法公式进行运算 【例7】（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）用乘法公式计算： ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【题型8】运用乘法公式化简求值【例8】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：已知 ，求代数式 的值． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值． （2）已知 ， ，求 的值． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，求代数式 的值． 【题型9】运用乘法公式求参数值 【例9】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式 是关于 、 的完全平方式， 则 的值为（ ） A．21 B．19 C．21或 D． 或19 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）若 ，则k的值为（ ） A．109 B．110 C．111 D．112 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式 是完全平方式，那 么k的值是 ． 【题型10】乘法公式的几何应用 【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）乘法公式的探究与运用： (1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两 数平方差的形式） (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________， 面积是________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________；(4)运用你得到的公式计算： ； (5)若 ， ，则 的值为________． 【变式1】（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的 小正方形卡片 ，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴 影部分的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片 内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）； 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大 ，则小正方形卡片的面积是 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为_________； 【类比探究】 （2）若 ，则 的值为_________； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地 于点 ，该校计划在 和 区域内种花，在 和 的区域（阴影部分）内种草．经测量种花区域的面积为 ， ，请求出种草区域的面积．【题型11】利用公式法进行因式分解 【例11】（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）因式分解： (1) ； (2) ． 【变式1】（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）因式分解： (1) ； (2) ． 【题型12】用十字相乘法、分组分解法进行因式分解 【例12】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习） 分解因式： 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解 (1) (2) ． 【变式2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）分解因式： (1) (2) 【题型13】因式分解综合 【例13】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 【变式1】（22-23七年级上·北京海淀·期末）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【变式2】（21-22七年级下·全国·单元测试）分解因式： 【题型14】因式分解的应用【例14】（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为 cm 的大正方形，2块是边长为 cm的小正方形，且 ，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为 ，大长方形纸板的周长为 ． ①求 的值； ②求图中空白部分的面积． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知a、b、c为 的三边长，且满足 ， ，是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）若b为常数，且 是完全平方式，那么 ． 【题型15】直通中考 【例1】（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生 错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为 ，令 ， 等式两边都乘以 ，得 ① 等式两边都减 ，得 ②等式两边分别分解因式，得 ③ 等式两边都除以 ，得 ④ 等式两边都减 ，得 ⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：① ；② ；③ ；④ ，……，结 合你观察到的规律判断 的计算结果的末位数字为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例2】（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，，则的值为 ．