专题15.3整数指数幂（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 15.3 整数指数幂（3 大知识点 9 类题型）（知识梳理与题型分 类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】零指数幂 a0 1a 0 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即 . am an amn a0 m n 【要点提示】同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即 （ ， 、 为整数） a0 1a 0 mn 当 时，得到 . 【知识点2】负整数指数幂 1 an  任何不等于零的数的 n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数，即 an （ a ≠0， n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质 仍然成立. ana 0 an a 【要点提示】 是 的倒数， 可以是不等于 0的数，也可以是不等于 0的代数式.例如 1 2xy1  1 ab5  2xy xy 0 ab5 ab0 （ ）， （ ）. 【知识点3】科学记数法的一般形式 a10n n 1|a|10 （1）把一个绝对值大于10的数表示成 的形式，其中 是正整数， a10n n （2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 的形式，其中 是正整数， 1|a|10 . 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 知识点与题型目录 题型目录 【题型1】零指数幂...........................................................2【题型2】负整数指数幂.......................................................3 【题型3】整数指数幂的运算...................................................5 【题型4】计算单项式除以单项式...............................................6 【题型5】用科学记数法表示绝对值小于1的数...................................8 【题型6】还原用科学记数法表示的小数.........................................9 【题型7】用科学记数法表示数的除法..........................................10 【题型8】直通中考..........................................................11 【题型9】拓展延伸..........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】零指数幂 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）计算 (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) . 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂： （1）先计算算术平方根，立方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）下列计算正确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方对各选项判断作答即可． 解：A中 ，错误，故不符合要求； B中 ，错误，故不符合要求； C中 ，正确，故符合要求； D中 ，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点拨】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方等知识．熟练掌握合并同类 项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式 ，其中 的值是 ． 【答案】 或 或 【分析】本题主要考查了零指数幂，乘方，熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据题意分三种情况进行分类讨论即可． 解：①当 时， ，解得 ； ②当 时， ； ③当 为偶数时， ，解得 ． 故答案为： 或 或 ． 【题型2】负整数指数幂 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2)【分析】（1）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法法则进行 计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂除法法则进行计算即可． 解：（1） ． （2） ． 【点拨】本题主要考查了幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加 （减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 【变式1】（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）若 ， ， ， ，则a、 b、c、d的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小 即可.解： ， ， ， ∵ ∴ ， 故选：D 【变式2】（21-22八年级上·河北廊坊·期末）已知 ， 满足 ，则 ； ． 【答案】 1 【分析】先利用绝对值和平方数的非负性得到 ， ，从而得到 ， ， 再代入计算即可． 解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 故答案为：1； ． 【点拨】本题考查零指数幂和负指数幂的计算，解题的关键是根据绝对值和平方数的非负性求出 ， ． 【题型3】整数指数幂的运算 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ．【答案】(1)-5 (2)2 022 (3) 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可； （2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可； （3）按照整数指数幂的计算法则计算即可； 解：（1） ； （2） =2022； （3） ． 【变式1】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则逐项计算即可． 解：A． ，故不正确；B． ，故不正确； C． ，故不正确； D． ，故正确； 故选D． 【点拨】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂相除，底数不变指 数相减；非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1． 【变式2】计算： . 【答案】 【分析】根据整数指数幂运算法则计算即可. 解：原式= = 【点拨】本题是对整数指数幂及其运算的考查，熟练掌握整数指数幂及其运算法则是解决本题的关键. 【题型4】计算单项式除以单项式 【例4】（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值 ，其中 ， ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式混合运算化简求值，正确的计算是解题的关键．先计算积的乘方，再计算单项 式除以单项式，然后合并同类项，最后 将代入化简结果进行计算即可求解． 解：； 当 ， 时，原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法和除法，积的乘方和合并同类项，根据单项式乘单项式，单项式除单项式， 积的乘方和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 解： 、 ，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算正确，符合题意； 、 ，原选项计算错误，不符合题意； 、 与 不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选： ． 【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期中）若定义知识树 表示运算 ，则知识树 表示的运算结果为 ． 【答案】m【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得 ，即可求解； 理解新定义是解题的关键． 解： 解：根据题意， 表示 ， ， 故答案为：m． 【题型5】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例5】．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知正数P可以用科学记数法表示为 ． (1)下列说法正确的是（ ） A．a一定为整数 B．n一定为正数 C． D． 时，P一定为小数 (2)若P是218000000，则 ______， ______； (3)若P是302万，则 ______， ______； (4)若P是0.00015，则 ______， ______； (5)若 ， ，则P是（ ） A．30亿 B．300 C．3000亿 D．30000000000 【答案】(1)D (2)2.18，8 (3)3.02，6 (4)1.5， (5)C 【解析】略 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）华为Mate60 Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7 纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比0.7纳米等于0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数 法为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的定义改写即可． 解：将一个数改写为 ，其中 ， 为整数，故0.000 000 007用科学记数法为 ， 故选D． 【点拨】本题主要考查科学记数法的定义，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示： ； 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把 原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10 时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 解： ， ； 故答案为 ， ． 【点拨】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 【题型6】还原用科学记数法表示的小数 【例6】（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列用科学记数法表示的数还原． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将小数点向左移动4位即可；（2）将小数点向左移动5为即可；（3）将小数点向左移动 6为即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点拨】本题主要考查了将用科学记数法表示绝对值小于1的数还原，解题的关键是掌握用还原科学记 数法表示绝对值小于1的数的方法： ，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 【变式1】（2023·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为 ，将这个数据写成小数的形式为： ，这个小数中0的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据科学记数法还原原数，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记 数法表示绝对值小于1的数的方法，即 ，则小数点向右移动了 为，由此还原原数，即可求解． 解： ， ∴这个小数中0的个数为7个， 故选：C ． 【变式2】（22-23八年级上·广西贵港·期末）用科学记数法表示的数 写成小数是 ． 【答案】 【分析】利用科学记数法逆运算把数写成小数形式． 解： ， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了科学记数法的逆运算，将科学记数法 表示的数，还原成通常表示的数，就是 把 的小数点向左移动 位所得到的数． 【题型7】用科学记数法表示数的除法 【例7】（21-22八年级上·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 解：（1） （2）【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 解： ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题 的关键． 【变式2】（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 解： ， ， ， ， 故答案为： ．【点拨】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·海南·中考真题） （1）计算： ； （2）解不等式组： ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，解一元一次不等式组： （1）先计算算术平方根，零指数和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 （无解）”求出不等式组的解集即可． 解：（1） ； （2） 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为 ． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题） （1）计算： ； （2）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】（1） ；（2） ， 【分析】本题考查了负整数指数幂，实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运 算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．（1）先计算开方、负整数指数幂和绝对值，然后根据有理数的加减法计算即可； （2）先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当 时，原式 ． 【题型9】拓展延伸 【例1】已知实数a，b，定义运算：a*b＝ ，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 【答案】3或1或﹣1 【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而 得出答案． 解：∵a+1＞a﹣2， ∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1， 则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0， 解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1， 故答案为：3或1或﹣1． 【点拨】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都 等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键． 【例2】（20-21七年级下·上海·期中）已知： （n是自然数）．那么 的 值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算 再求解 再化简 再计算 即可得到答案. 解：由题意得： ，∴ ， 则 ∴ ． 故选D． 【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟 知以上运算的运算法则是解题的关键.