文档内容
专题 14.3 乘法公式【九大题型】
【人教版】
【题型1 乘法公式的基本运算】...........................................................................................................................1
【题型2 利用完全平方式确定系数】...................................................................................................................2
【题型3 乘法公式的运算】...................................................................................................................................2
【题型4 利用乘法公式求值】...............................................................................................................................3
【题型5 利用面积法验证乘法公式】...................................................................................................................3
【题型6 乘法公式的应用】...................................................................................................................................4
【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】............................................................................................5
【题型8 整式乘法中的新定义问题】...................................................................................................................8
【题型9 整式乘法中的规律探究】.......................................................................................................................9
【知识点1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做
平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上
(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】
【例1】（2022春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
【变式1-1】（2022春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y）
C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a）
【变式1-2】（2022春•巴中期末）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2
【变式1-3】（2022秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
1 1
C．(- p+q)(q+ p) D．（2x﹣3y）（2x+3y）
2 2
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式
共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【变式2-1】（2022•南通模拟）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【变式2-2】（2022秋•青县期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（ ）
A．0 B．﹣5或7 C．7 D．9
【变式2-3】（2022秋•崇川区校级月考）（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，
则a，b，c的关系可以写成（ ）
A．a＜b＜c B．（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
C．c＜a＜b D．a＝b≠c
【题型3 乘法公式的运算】
1 1 1 1 1
【例3】（2022春•龙胜县期中）计算：（1- ）×（1- ）×（1- ）×…×（1- ）×（1- ）的
52 62 72 992 1002
结果是（ ）
101 101 101 1
A． B． C． D．
200 125 100 100
【变式3-1】（2022秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中
x＝1，y＝2．
【变式3-2】（2022春•乳山市期末）用乘法公式进行计算：
（1）20192﹣2018×2020；
（2）112+13×66+392．
【变式3-3】（2022春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2022秋•九龙坡区校级期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（ ）3 3
A．- B． C．﹣6 D．6
2 2
【变式4-1】（2022春•姜堰区校级月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
5 1
【变式4-2】（2022春•双峰县期中）若x、y满足x2+y2= ，xy=- ，求下列各式的值．
4 2
（1）（x+y）2
（2）x4+y4．
【变式4-3】（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2022﹣
m）2的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积
关系得到的数学公式是（ ）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
【变式5-1】（2022春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公
式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【变式5-2】（2022春•锦州期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，
可验证的等式为（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将
余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）
A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2022春•榆次区期中）如图1，从边长为（a+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）
cm的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该
长方形的面积为（ ）
A．9cm2 B．（6a﹣9）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+21）cm2
【变式6-1】（2022秋•西峰区期末）如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个
长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，
四边形PQDH是长方形．若正方形 ABCD的边长为 x，AE＝10，CG＝20，长方形 EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
【变式6-2】（2022春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正
方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为 16，则
标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【变式6-3】（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫
生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情
况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．
（1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；
（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？
【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】
【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图
一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两
幅图形中面积的等量关系，能验证公式 ；
（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上
相应的字母．
【变式7-1】（2022春•西城区校级期中）阅读学习：
数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．
如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它
的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式 ．
（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式： ．
（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝
a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．【变式7-2】（2022春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可
以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②
的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
11
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy= ，求（x﹣y）2的值；[知识迁移]类似
2
地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式： ；
a3+b3
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求 的值．
2
【变式7-3】（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①
和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样
的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘
的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接
到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40
的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表
述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成
运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10 的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：
_______________
________________________________________________________,证明上述速算方法的正确性．【题型8 整式乘法中的新定义问题】
【例 8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式 A，B，C，若 A+B+C 可以写成
（a+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式 x2，4和m是完全搭配项，则m可能是
．（写出所有情况）
【变式8-1】（2022春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数
为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
【变式8-2】（2022春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这
个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”．
（1）写出两个奇异数（8，16，24除外）；
（2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？
【变式8-3】（2022•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为
“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝
7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．
因此3，5，8，…，都是“智慧数”；而1，2，4，…，都是“非智慧数”．
对于“智慧数”，有如下结论：
①设k为正整数（k≥2），则k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；
②设k为正整数（k≥3），则k2﹣（k﹣2）2＝ ．∴都是“智慧数”．
（1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；
（2）求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．
【题型9 整式乘法中的规律探究】
【例9】（2022春•江阴市期中）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根据规律计算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+
（﹣2）2+（﹣2）1+1的值为（ ）
22019-1 22019+1
A．22019﹣1 B．﹣22019﹣1 C． D．
3 3
【变式9-1】（2022•丰顺县校级开学）解答下列问题．
（1）观察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8× ；②92﹣ 2＝8×4；③
﹣92＝8×5；④132﹣ 2＝8× 6 ；…（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；
（3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？
n(n+1)
【变式9-2】（2022秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+n= ，关于这个公式的推导方法，有很
2
多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：
首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1，
变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，
依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子：
22﹣12＝2×1+1；
32﹣22＝2×2+1；
42﹣32＝2×3+1；
…
（n+1）2﹣n2＝2×n+1；
观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝
2×（1+2+3+…+n）+n，
观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝
2×S+n，
n(n+1)
把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n= ．
2
用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的
值．
【变式9-3】（2022春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝
；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？
