专题14.30整式的乘法与因式分解（全章知识梳理与考点分类讲解）-（人教版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题14.30 整式的乘法与因式分解（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】幂的运算 m，n （1）同底数幂的乘法： ( 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （2）幂的乘方： (m，n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. （3）积的乘方： (n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. a m，n mn （4）同底数幂的除法： ( ≠0, 为正整数，并且 ). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. a0 1a  0. （5）零指数幂： 即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点提醒：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算 性质，使运算更加方便、简洁. 【知识点2】整式的乘法和除法 （1）单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .即 m(abc) mambmc m,a,b,c ( 都是单项式). （3）多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn . 要点提醒：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式 乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得 xaxb x2 abxab 出一个应用比较广泛的公式： . （4）单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起 作为商的一个因式. （5）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. (ambmcm)m  ammbmmcmm  abc 即： 【知识点3】乘法公式(ab)(ab)a2 b2 （1）平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a，b 要点提醒：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方 减去“相反项”的平方. ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 2）完全平方公式： ； （ 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点提醒：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍. 【知识点4】因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 要点提醒：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【考点一】幂的运算 【例1】（2022春·江苏泰州·七年级校考期中）按要求解答下列问题： （1）已知 ，求 的值； （2）已知n为正整数，且 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）由题意可求出 ．根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则可将所求式子变形为 ，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为 ，再将 代入求值即可． （1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ；（2）解： ． 【点拨】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）下列运算中，计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 解：A． 与 不属于同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、 ，故该选项不符合题意； C、 ，故该选项不符合题意； D、 ，故该选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的 掌握． 【变式2】（2022秋·八年级单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】首先根据同底数幂的乘法，积的乘方运算，进行运算，再进行整式的加减运算，即可求解． 解： 故答案为： ．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，整式的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则 是解决本题的关键． 【考点二】整式的乘除法运算 【例2】（2022秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程， 随后用手掌捂住了多项式如下： ． （1）求所捂的多项式； （2）求所捂的多项式与 的商； （3）当 ， 时，求所捂的多项式的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）3 【分析】（1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可； （2）根据题意列出式子化简即可； （3）把 ， 代入（1）中的式子即可． （1）解： ； 所以所捂的多项式 ． （2） ； （3）当 ， 时， 原式 【点拨】本题考查的知识点是整式的加减、整式的乘除，解题关键是熟知整式的加减实质上就是合并 同类项以及整式乘除的运算法则． 【举一反三】 【变式1】（2023春·山东泰安·六年级校考期中）计算： 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】按多项式除单项式法则计算即可． 解： ． 故选：A． 【点拨】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式法则是解决本题的关键． 【变式2】（2020秋·七年级校考课时练习） ； 【答案】 【分析】原式变形后，利用同底数幂的除法法则计算即可求出值. 解：原式= 故答案为： 【点拨】此题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点三】乘法公式 【例3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期末）计算： （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用单项式乘以多项式运算即可； （2）运用完全平方差公式计算第一部分，再利用平方差公式计算第二部分，合并同类项化简即可． （1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题考查整式的混合运算，涉及到单项式乘以多项式、合并同类项、整式乘法公式：完全平方差公式与平方差公式，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022秋·广东河源·七年级统考期中）已知 ，则 的 值为（ ） A．12 B．24 C．28 D．44 【答案】D 【分析】由 ，可得 ， ，整理得， ， ，根 据 ，代值求解即可． 解：∵ ， ∴ ， ， 整理得， ， ， ∴ ， 故选：D． 【点拨】本题考查了绝对值的非负性，完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于对绝对值 的非负性，完全平方公式的变形的熟练掌握与正确运算． 【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）已知 ， ，则 ． 【答案】24 【分析】根据 ，代值求解即可． 解： ， 故答案为：24． 【点拨】本题考查了完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确求 解． 【例4】（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）上数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学 们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当 时， 的值最小，最小值是0， ． 当 时， 的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当 __________时，代数式 有最小值是__________； （2）知识运用：若 ，求 的最大值； （3）知识拓展：若 ，求 的最小值． 【答案】（1）3，3；（2） ；（3） 【分析】（1）利用完全平方公式对代数式 变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对 变形，然后根据 可得答案； （3）移项可得 然后根据偶次方的非负性可得答案． （1）解： ， 当 时，代数式 有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解： ，当 时， 有最大值 ． 即 有最大值 ，此时 ； （3）解： ， 当 时， 的最小值为 ． 【点拨】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答 本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据 ，则 ，所以 ，把 代入计算即可求解． 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C．【点拨】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握运用完全平方公式计算是解题的关键． 【变式2】（2023秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）若多项式 是一个完 全平方式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 解： ∴ ， 解得 ， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟记完全平方公式，并根据平方项确定出这两个数． 【考点四】因式分解 【例5】（2022春·河南郑州·八年级统考期末）把下列各式因式分解： （1） ； （2） ； 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）先提公因式 ，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式，再适当化简后提公因式即可． （1）解：原式 （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式是正确解答的前提． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·广东惠州·八年级广东惠阳高级中学初中部校考期中）小强是一位密码编译爱好 者，在他的密码手册中，有这样一条信息： ， ，2， ， ， ，分别对应下列六个字：高、我、爱、美、游、惠，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱惠高 B．我游惠高 C．惠高美 D．我爱游 【答案】A 【分析】先对 进行因式分解，再根据题意，即可得到答案． 解：∵ ， ∴信息中的汉字有：爱、我、惠、高． ∴结果呈现的密码信息可能为：我爱惠高． 故选：A． 【点拨】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 【变式2】（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）已知a、b是等腰 的边且满足 ，则等腰 的周长为 ． 【答案】 或 【分析】根据完全平方公式可得 ，求出a和b的值，再分情况讨论求出 的 周长． 解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 解得 ， 当 是等腰三角形 的腰时，周长为 ； 当 是等腰三角形 的腰时，周长为 ， 故答案为： 或 ． 【点拨】本题考查了因式分解的应用和等腰三角形的性质，偶次方的非负性，熟练掌握这些知识是解 题的关键．