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专题 12.9 角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】角的平分线的性质
(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)符号语言：
OC平分∠ADB，
又 PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
PE=PF
【知识点二】角的平分线的判定
(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)符号语言：
PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
又 PE=PF
OC平分∠ADB，
【知识点三】角的平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明
【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在 中， ， 于点 ，
平分 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题．
（1）证明 ，即可证明结论成立； （2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．
（1）证明：∵ ，
∴
，
∴
∵
（2）证明：∵ ，
∴
平分 ， ，
【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图， 平分 ，点P是射线 上一点，
交于点M，点N是射线 上的一个动点，连接 ．若 ，则 的长度不可能是（ ）
A．18 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的
关键．
过点 作 ，如图所示，由角平分线的性质可得 ，根据点与直线上各点的距离中垂线
段最短可得 ，从而得到答案．
解：过点 作 ，如图所示：
平分 ，点 是射线 上一点， 于点 ， ，
由角平分线性质可得 ，
点 射线 上的一个动点，连接 ，
由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得 ，
综合四个选项可知， 的长度不可能是 ，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在 中， ， 的平分线交于点O，
点O到 边的距离为3，且 的周长为20，则 的面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O
作 于M， 于N，连接 ，利用角平分线的性质求得 ，然后利用求解即可．
解：过O作 于M， 于N，连接 ，
∵点O到 边的距离为3，
∴ ，
∵ 的周长为20，
∴
∵ ， 的平分线交于点O， ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为：30．
【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明
【例2】如图， 于 于F，若 ，
（1）求证： 平分 ；
（2）已知 ，求 的长．
【答案】(1)见详解 (2)12【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有
，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出 ，根据全等三角形的判定定理得出 ，推出 ，根
据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，即可求出答案．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】如图，在 中， ， ， ，若 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 于点E，作 于点F，根据 可证 ，从而可知 是
的平分线，进而可求出 的度数．
解：如图，作 于点E，作 于点F，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ 是 的平分线．
∴ ．
故选C．
【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在 中， ，三角形的外角
和 的平分线交于点E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明 平分
；
过点E作 ，根据角平分线的性质可得 ，则有，再根据 ，即可得出 平分 即可解答．
解：过点E作 ，如图所示：
三角形的外角 和 的平分线交于点E，
，
，
，
平分 ，
，
故答案为： ．
【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值
【例3】如图， 和 中， ，连接 与
交于点M， 与 交于点N．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）连接 ，有以下两个结论：① 平分 ；② 平分 ，其中正确的一个是
（请写序号），并给出证明过程．
【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)②
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．
（1）欲证明 ，只要证明 ；
（2）由 ，推出 ，由
可得 ；
（3）结论：②；作 于 于J．利用角平分线的判定定理证明即可．
（1）证明：∵
∴
即
在 和 中，
∴
∴ ．
（2）证明：∵
∴
∵
又 ，
，
∴ ，
∴
（3）解：结论：②
理由：作 于 于J．
∵∴
∴ •，
∴ ，
∵作 于K， 于J，
∴
不妨设①成立，则 ，则 显然不可能，故①错误．
故答案为：②．
【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图， ，M是 的中点， 平分
，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作
于N，根据角平分线的性质得出 ，进而得出 ．
解：作 于N，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵M是 的中点，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，∴ ，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在 中， ， ，
的平分线与 的外角平分线交于点 ，连接 ，则 的大小等于 ．
【答案】 /34度
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质
得出 平分 ，然后利用三角形外角的性质 ，即可求解．
解：过点D作 于H， 于E， 于F，
∵ 的平分线与 的外角平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ 平分 ，∴ ，
∵ ，
∴
，
故答案为： ．
【题型4】通过作图（作角平分线）进行求值或证明
【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：
（1）如图1，已知 ，利用直尺和圆规，作 的平分线 交 于点 （保留作图痕迹，不要
求写作法）；
（2）如图2所示， 是 的角平分线 分别是 上的点，且 ，求
证： ．
【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，证明 ，得出 ，即可
得出答案．
（1）解：如图，作 的平分线 交 于点 ；（2）证明：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，
则 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
．
【点拨】本题主要考查了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性
质，解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
【变式1】（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在 中， ，以A为圆心，任意长为半径画
弧，分别交 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点O，作
射线 ，交 于点E．已知 ， ， 的面积为（ ）A．6 B．11 C．14 D．28
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到 和 的距离相等，点E
到 的距离等于 的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
解：由基本作图得到 平分 ，
∴点E到 和 的距离相等，
∴点E到 的距离等于 的长度，即点E到 的距离为4，
∴ ．
故选：C．
【变式2】（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上
分别截取线段 ， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，
两弧交于点P，作射线 ，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则
．
【答案】6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知 平分 ，根据角平分线的
性质可知 ，结合 求出 ， ．
解：作图可知 平分 ，
∵ 是边 上的高， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：6．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】1．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长
为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
（所在圆的半径相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角
互余可求出 ，由作图得 ，由三角形的外角的性质可得 ，故可得答案
解：∵ ，
∴ ，
由作图知， 平分 ，
∴ ，
又
∴
故选：B
【例2】．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过
证明可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则
的 边上的中线长 的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意得到 ，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向
延长中线 至 ，使得 ，连接 ，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，
是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在 中， 为 边上的高， 是
的角平分线，点 为 上一点，连接 ， ．
（1）求证： 平分
（2）如图2，连接 交 于点 ，若 与 的面积相等，求证：
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全
等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据 是 的角平分线和， 为 边上的高，可得 ，由得 ，即可证明 ；
（2）过点E作 于点M， 于点N，由角平分线性质可以得 ，由 与
的面积相等可得 ，证明 ，得出 ， ，
即可得出 ，再根据垂直模型证明 ，即可得出
结论．
（1）证明：∵ 为 边上的高，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： 平分 ．
（2）过点E作 于点M， 于点N，
平分 ，且 ， ，
．
，
，
平分 ，，
在 和 中，
，
， ，
，
，
，
为 边上的高，
，
，
．
在 和 中，
．
.
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
思考如图12.3-3，任意作一个角 ，作出 的平分线 ．在 上任取一点P，过点P画出
， 的垂线，分别记垂足为D、E，测量 、 并作比较，你得到什么结论？在 上再取几个点
试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距
离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是 的平分线 上一点，过点P作 于点D， 于点E．求证：
．
【知识应用】（2）如图2， 的平分线与 的外角 的平分线相交于点O，过点O作
于点D， 于点E，连接 ．
①证明： 平分 ；
②若 ，则 ________．
【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据条件证明 ，从而 ．
（2）①过点O作 于点F， 由（1）的结论易证 ，根据“到角的两边距离相等的
点在这个角的平分线上”得到 平分 ；
②根据三角形的内角和 ，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等
于不相邻的两个内角的和”，推导出 ，从而求解．
（1）证明： 平分 ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）①证明：过点O作 于点F，是 的平分线， ， ，
，
是 的平分线， ， ，
，
，
， ，
平分 ，
② 平分 ， 平分 ，
， ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的
内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
