6.2 排列与排列数
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：排列概念......................................................................2
考点二：排列数....................................................................... 2
考点三：排列数公式................................................................... 2
考点四：阶乘............................................................................2
考点五：排列的常见类型与处理方法...............................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：排列的概念与定义.......................................................... 3
题型二：排列的列举问题............................................................. 3
题型三：排列数基础运算............................................................. 4
题型四：排列数方程和不等式问题..................................................5
题型五：排列的证明问题............................................................. 5
题型六：全排列问题................................................................... 6
题型七：元素有限制的排列问题.................................................... 6
题型八：相邻问题的排列问题....................................................... 8
题型九：不相邻的排列问题.......................................................... 9
题型十：其他的排列模型........................................................... 10
题型十一：相邻与不相邻排列综合................................................10
题型十二：数字排列问题........................................................... 12
题型十三：排列的综合问题........................................................ 13
模块三：综合巩固....................................................................... 14
6.2 排列与排列数
模块一：基础知识
考点一：排列概念
1.排列的定义：
从�个不同元素中，任取�(�≤�)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从�
不同元素中取出�个元素的一个排列.
2.要点诠释:
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n 个不同元素中取出m 个元素后，再安排这m 个
元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
考点二：排列数
1.排列数的定义：
从�个不同元素中，任取�(�≤�)个元素的所有排列的个数叫做从�个元素中取出�元素的排列数，用符
号��
�表示.
2.要点诠释:
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，
按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
考点三：排列数公式
1.��
�= ��−1
�−2 ⋯�−�+ 1
(�, �∈�∗, �≤�).
2.要点诠释:第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是�−�+ 1，共有�个因
数.
考点四：阶乘
1．阶乘的概念：�!表示正整数1 到�的连乘积，叫做�的阶乘．规定0 ! = 1．
2.排列数公式的阶乘式：��
�= ��−1
�−2 ⋯�−�+ 1 =
�!
�−�! .
考点五：排列的常见类型与处理方法
1.相邻元素捆绑法
2.相离问题插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
模块二：题型分类
题型一：排列的概念与定义
1.下面问题中，是排列问题的是（
）
A．由1，2，3 三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40 人中选5 人组成篮球队
C．从100 人中选2 人抽样调查
D．从1，2，3，4，5 中选2 个数组成集合
2.下列问题是排列问题的是（
）
A．从10 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5 个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4 四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
3.下列问题是排列问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022 个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
4.下列问题属于排列问题的是（
）
①从10 个人中选2 人分别去种树和扫地；
②从10 个人中选2 人去扫地；
③从班上30 名男生中选出5 人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8 中任取两个不同的数作幂运算.
A．①④
B．①②
C．④
D．①③④
题型二：排列的列举问题
1.写出从a、b、c、d 四个元素中任取两个不同元素的所有排列．
2.请列出下列排列：
(1)从4 个不同元素a b c d
, ,
,
中任取3 个元素的所有排列；
(2)从7 个不同元素, , , , ,
,
a b c d e f g 中任取2 个元素的所有排列．
3.北京、广州、南京、天津4 个城市相互通航，应该有
种机票．
4.从0，1，2，3 这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？
并写出这些三位数．
5.写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4 四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
题型三：排列数基础运算
1.
3
9
A 等于（
）
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
2.89 90 91
100
可以表示为(
)．
A．
10
100
A
B．
11
100
A
C．
12
100
A
D．
13
100
A
3.若
3
2
6
5
A
!A
m
，则m （
）
A．6
B．5
C．4
D．3
4.
6
5
7
6
4
5
A
A
A
＝
．
5.
10
8
7
10
8
7
A
89A
8A
．
6.计算：
2
5
A
3!
（
）
A．30
B．60
C．90
D．120
7.
6
5
4
6
5
4
A
6A
5A
.
8.
(
2)(
3)(
4)
(
15)
N ,
15
x
x
x
x
x
x
可表示为（
）
A．
13
2
Ax
B．
14
2
Ax
C．
13
15
Ax
D．
14
15
A x
9.（多选）下列等式正确的是（
）
A．
!
A
!
m
n
n
n
m
B．
14
16
30
30
A
A
C．
1
1
A
A
m
m
n
n
n
D．
7
6
20
20
A
20A
10.
1998
1999
2023
2024
N,
2024
n
n
n
n
n
n
可表示为（
）
A．
27
1998
An
B．
26
1998
An
C．
27
2024
An
D．
26
2024
An
题型四：排列数方程和不等式问题
【例题】已知
2
2
1
A
A
10
n
n
，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
1.若
3
3
2
A
10A
n
n
，则n （
）
A．1
B．6
C．7
D．8
2.求不等式
2
9
9
A
6A
x
x
的解集．
3.解不等式：
2
8
8
A
6A
x
x
4.不等式
3
2
A
3A
x
x
x
的解集是（
）
A．
3
x x
B．
4,
N
x x
x
C．
3
4
x
x
D．
3,
N
x x
x
5.不等式
2
8
8
A
6
A
x
x
的解集为（
）
A．
2 8,
B．
7,12
C．{ 7
12,
}
x
x
x
N
∣
D．
8
题型五：排列的证明问题
1.求证：
1
1
A
A
2
m
m
n
n
n
n
m
．
2.求证：
(1)
2
2
3
3
A
A
A
n
n
n
n
n
n ；
(2)
1
1
A
A
A
m
m
m
n
n
n
m
．
3.（1）求证：
1 !
!
!
n
n
n n
；
（2）求证：
1
1
1 !
!
1 !
n
n
n
n
；
（3）求和：
1
2
3
2!
3!
4!
1 !
n
n
L
．
题型六：全排列问题
1.A，B，C 三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（
）
A．3 种
B．4 种
C．6 种
D．12 种
2.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（
）
A．24 种
B．23 种
C．12 种
D．11 种
3.5 月12 日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲
座，还要到3 个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（
）
A．3
B．
33
C．9
D．6
4.8 个完全相同的球放入编号1，2，3 的三个空盒中，要求放入后3 个盒子不空且数量均不同，则有
种
放法.
5.将4 名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4 个项目进行培训（每个
项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1 个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方
案共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．18 种
D．48 种
6.今年中秋和国庆共有连续8 天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任
选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2 天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方
法数为
．
题型七：元素有限制的排列问题
1.4 个人排成一排，则甲不站两边的站法有（
）
A．8
B．10
C．12
D．24
2.某班派遣
,
,
,
,
A B C D E 五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多
有两位同学去，且
,
A B 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有
种.
3.某生产过程有4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6 名工人中安排4 人分别照看
一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人，则
不同的安排方案有
种．
4.从
, ,
A B C 等7 人中选5 人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）
(1)若A 必须在内，有多少种排法？
(2)若
, ,
A B C 都在内，且
,
A B 必须相邻，C 与
,
A B 都不相邻，有多少种排法？
5.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必
须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（
）
A．360
B．480
C．600
D．720
6.电视台连续播放6 个广告，其中包含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首位必须播放公
益广告，则共有
种不同的播放方式（结果用数值表示）.
7.老师和学生共10 人一起照相，其中1 名老师、4 名女生、5 名男生，排成一行，要求男生、女生必须分
性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有
种．
8.从7 名运动员中选4 名组成接力队参加4×100 米接力赛．问：甲、乙两人都不跑中间两棒的排法有多少
种？
9.甲、乙、丙等6 人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2 人，则不同排法共有（
）
A．108 种
B．96 种
C．84 种
D．72 种
10.某单位党员到社区做志愿服务，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D 四个社区做志愿者．每
人安排1 个社区，每个社区安排1 人，则甲没被安排到D 社区的概率为（
）
A．1
24
B．1
6
C．3
4
D．1
4
11.某5 位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3 位同学要加入，若保持原来5 位同学的相对顺序不
变，且甲､乙2 位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（
）
A．360 种
B．144 种
C．180 种
D．192 种
题型八：相邻问题的排列问题
1. A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻，那么排法种数共有（
）
A．24
B．120
C．48
D．60
2.第19 届亚运会于2023 年9 月28 日至10 月8 日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”
的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6
个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2 个，现将这6 个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉
祥物相邻，则排法种数共为（
）
A．48
B．24
C．12
D．6
3.2023 年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成
一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不
同的站法共有（
）种．
A．144
B．72
C．36
D．24
4.2023 年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3 名运动员与4 名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排
在两端，则不同的排法种数有（
）
A．720
B．960
C．1120
D．1440
5.8 名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A 不站在前排，D 不站在后排，E 和F 左右相邻，
则不同的排列方式共有（
）
A．1152 种
B．1728 种
C．2304 种
D．2880 种
6.现有A ，B ，C ，D ，E 五人排成一列，其中A 与B 相邻，C 不排在两边，则共有
种不同的排法
（用具体数字作答）.
7.一排有6 个插座，只有三个通电，那么恰有两个不通电的相邻的情况有（
）
A．10 种
B．12 种
C．72 种
D．144 种
8.某人将斐波那契数列的前6 项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可
以设置的不同数字密码有（
）
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
9.每年5 月初，高三的同学们都要拍毕业照，留下高中生活的美好见证.某班同学集体合影后有4 位同学邀
请两位老师合影留念.若6 人站成一排，两位老师站在中间位置，甲乙两位同学站在一起，则不同的站位方
法有
种.（用数字作答）
题型九：不相邻的排列问题
1. A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（
）
A．72
B．36
C．18
D．64
2.（多选）5 人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（
）
A．
3
2
3
4
A A
B．
5
4
5
4
A
2A
C．84
D．
5
5
1 A
2
3.老师排练节目需要4 个男生和2 个女生，将这六名学生随机排成一排，2 个女生不相邻的排法
为
.
4.某班联欢会原定3 个节目已排成节目单，开演前又增加了2 个节目，现将这2 个新节目插人节目单中，
要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（）
A．6
B．12
C．20
D．72
5.“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花
房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6 色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝
牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（
）
A．24 种
B．20 种
C．12 种
D．22 种
6.杭州第19 届亚运会火炬9 月14 日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8
公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6
人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（
）
A．288 种
B．360 种
C．480 种
D．504 种
7.2023 年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成
一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不
同的站法共有（
）种．
A．144
B．72
C．36
D．24
8.已知来自甲、乙、丙三个学校的5 名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要
求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（
）
A．40
B．36
C．56
D．48
9.（多选）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学
不与老师相邻，则不同的站法种数为（
）
A．
5
4
5
4
A
A
B．
4
1
3
4
2
3
A
C A
C．
1
1
3
1
2
3
C C A
D．
4
4
1 A
2
10.琼中中学一条校道路边有7 盏路灯，为了节约用电，学校决定每天晩上点亮其中的3 盏路灯，但要求点
亮的3 盏路灯都不相邻，不同的点亮方式有（
）种
A．5
B．10
C．15
D．20
题型十：其他的排列模型
1.把2 个相同的红球､1 个黄球､1 个蓝球放到
, ,
A B C 三个盒子里，每个盒子中至少放1 个球，则不同的放法
种数为（
）
A．18
B．20
C．21
D．24
2.现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有（
）．
A．128 种
B．36 种
C．72 种
D．84 种
3.某次数学竞赛获奖的6 名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序
种数为（
）．
A．20
B．120
C．360
D．720
题型十一：相邻与不相邻排列综合
1.电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战
役胜利做出重要贡献的故事，现有4 名男生和3 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连
在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
2.有甲、乙、丙、丁、戊5 位同学，求：
(1)5 位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？
(2)5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
3.有六位同学A，B，C，D，E，F 站成一排照相，如果：
(1)A，B 两人不排在一起，有几种排法？
(2)C，D 两人必须排在一起，有几种排法？
(3)E 不在排头，F 不在排尾，有几种排法？
4.4 名男生、3 名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
5.4 名男生和4 名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．
(1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
6.有4 名男生，3 名女生，共7 个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男生､女生各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？
题型十二：数字排列问题
1.用数字1、2 、3、4 、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2 整除的数共有
个．（用
数字作答）
2.用0,1,2,3,4,5,6 可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5 整除的五位数有多少个？
3.用数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数．
(1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
(2)要求3 和4 相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
4.用1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？
5.由数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50000 的偶数共有多少个？
6.将0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123 大的数？
题型十三：排列的综合问题
1.五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲
与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（
）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．96 种
2.根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023 年11 月24 日上映，某数学组有3 名男教师
和2 名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
(1)2 名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)2 名女教师互不相邻的坐法有多少种？
3.某中学进行数学竞赛选拔考试，A ，B ，C ，D ，E 共5 名同学参加比赛，决出第1 名到第5 名的名次. A
和B 去向教练询问比赛结果，教练对A 说：“你和B 都没有得到冠军．”对B 说：“你不是最后一名.”从这两
个回答分析，5 人的名次排列方式共有（
）
A．54 种
B．72 种
C．96 种
D．120 种
4.有4 名男生，4 名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数．
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间．
5.分别求下列情形的方法数：（用数字作答）
(1)从4 名男生4 名女生中选出2 男2 女组成一个队伍；
(2)8 个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起；
(3)8 个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻．
6.3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲､乙两人中间必须有3 人.
7.电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和
英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3 名男
生和4 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
8.（1）配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2 种无机染料和2 种添加剂，其中有机染料的添加顺序
不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？
（2）某展览馆计划展出10幅不同的画，其中水彩画1幅、油画4 幅、国画5幅．现排成一排陈列，要求同
一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？
模块三：综合巩固
1.下列问题是排列问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2023 个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
2.下列问题是排列问题的是（
）
A．从8 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5 个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4 四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
3.甲､乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（
）
A．6
B．4
C．8
D．10
4.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（
）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．60 种
5.将4 张相同的博物馆的参观票分给5 名同学，每名同学至多1 张，并且票必须分完，那么不同的分法的
种数为（
）
A．54
B．45
C．5×4×3×2
D．5
6.某学习小组共5 人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（
）
A．20
B．15
C．10
D．5
7.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（
）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
8.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这
六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（
）
A．15
B．30
C．12
D．36
9.从5 本不同的书中选两本送给2 名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（
）
A．5
B．10
C．20
D．60
10.由1，2，3，4 这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(
)
A．9
B．12
C．15
D．18
11.下列各式中，不等于!
n 的是（
）
A．An
n
B．
1
1
1
A
1
n
n
n
C．
1
An
n
D．
1
1
An
n
n
12.有4 名司机，4 名售票员要分配到4 辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配
方法有（
）
A．
8
8A 种
B．
4
8A 种
C．
4
4
4
4
A A 种
D．
4
4
2A 种
13.现有10 名学生排成一排，其中4 名男生，6 名女生，若有且只有3 名男生相邻排在一起，则不同的排
法共有（
）种.
A．
2
2
6
7
A A
B．
3
2
4
7
A A
C．
3
2
2
3
6
7
A A A
D．
3
6
2
4
6
7
A A A
14.要从a，b，c，d，e 5 个人中选出1 名组长和1 名副组长，但a 不能当副组长，则不同的选法种数是（
）
A．20
B．16
C．10
D．6
15.“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1 到9 这九个自然数填到
如图所示的小九宫格的9 个空格里，每个空格填一个数，且9 个空格的数字各不相同，若中间空格已填数
字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，
则不同的填法种数为（
）
4
A．70
B．120
C．140
D．144
16.甲、乙，丙、丁，戊5 名同学进行劳动技术比赛，决出第1 名到第5 名的名次．甲和乙去询问成绩，裁
判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5 人的名次排列的不同情况可能
有（
）
A．27 种
B．72 种
C．36 种
D．54 种
17.现要从6 名学生中选4 名代表班级参加学校的4 100m
接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1 棒或第4
棒，乙不能跑第1 棒，则合适的选择方法种数为（
）
A．84
B．108
C．132
D．144
18.甲､乙､丙､丁等7 人站成一排，其中甲､乙相邻，丁与甲､乙､丙都不相邻的站法共有（
）
A．576 种
B．448 种
C．288 种
D．224 种
19．(多选)用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（
）
A．
4
6
A
B．
4
5
A
C．
1
5
A
3
5
A
D．
4
6
A －
3
5
A
20．（多选）A、B、C、D、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（
）
A．若A、B 两人站在一起有48 种方法
B．若A、B 不相邻共有12 种方法
C．若A 在B 左边有60 种排法
D．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有72 种方法
21.从甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1 人
入选的不同参赛方案共有
种.
22.某中学为庆祝建校130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5 名老师参加“130 周年办学成果展”活动，
活动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有
种(用数字作答)．
23.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意
正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
2
2
2
2
2
2
2
2
12
3
1
1
1
2
2
2
0
．设
2
2
2
2
25
a
b
c
d
，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是
．
24.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意
正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
2
2
2
2
2
2
2
2
12
3
1
1
1
2
2
2
0
.设
2
2
2
2
36
a
b
c
d
，其中a b c d
, ,
,
均为自然数，则满足条件的有序数组
, , ,
a b c d 的个数是
.
25.解不等式：
3
2
2
1
2
1
3A
2A
6A
x
x
x
；
26. 4 名男生和5名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
27.如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC
A B C
的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
28.求证：（1）
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
A
A
n A
；
（2）(
1)!
!
(
1)
! (
)
!
(
1)!
!
n
n
n
k
n
k
n
k
k
k
.
