7.9复数单元测试（一）（原卷版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_复数知识点题型分类PDF

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7.9 复数单元测试（一）
一、单选题
1．复数z 满足
(1
)
2
2
z
i
i




（i 是虚数单位），则z 的模|
|z （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在复平面内，复数
2
(1 2 )i

对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若复数z 满足

1 2i
3
4i
z




（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（
）
A．z 的实部是11
5
B．z 的虚部是2
5
C．复数z 在复平面内对应的点在第四象限D．
5
z 
4．记i 是虚数单位，复数z 满足
3i
4
6i
z z
z



，则z （
）
A．－2 或2
3i

B．2
3i

或2
3i

C．2
3i

或2
D．2
3i

或2
5．设a 为实数，若存在实数t ，使得
2
1
(
1)i
2i
a
t



为实数（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（
）
A．
2
a 
B．a<0
C．
1
a 
D．2
1
a


6．下列命题一定成立的是（
）
A．若zC，则
2
0
z ³
B．若




2
2
, ,
,
0
x y z
x
y
y
z





C
，则x
y
z


C．若aR ，则(
2)i

a
是纯虚数
D．若
,
,
0
p q
p


C
且
0
q 
，则
0
pq 
且
0
p
q


7．
,
A B 分别是复数
1
2
,
z z 在复平面内对应的点，O是原点，若
1
2
1
2
z
z
z
z



，则OAB

一定是
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．任何一个复数
i( ,
)
z
a
b a b


R 都可以表示成
(cos
isin )(
0,
)
z
r
r






R 的形式，通常称之为复数
的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[ (cos
isin )]
(cos
isin
)(
)
n
n
r
r
n
n
n







Z ，我们称这个结论为棣
莫弗定理．则
2022
(1
3i)

（
）
A．1
B．
2022
2
C．
2022
2

D．i
二、多选题
9．对于复数


i
,
z
a
b a b


R ，下列结论错误的是（
）
A．若
0
a 
，则
i
a
b

为纯虚数
B．若
i=3+2i
a
b

，则
3,
2
a
b


C．若
0
b 
，则
i
a
b

为实数
D．2i
1

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10．复数
1
3i
1
3
i
z



，其共轭复数为z ，则下列叙述正确的是（
）
A．z 对应的点在复平面的第四象限
B．
2
z 是一个纯虚数
C．
2
z z


D．
i
z
z 
11．已知复数
1
2
,
z z ，下列结论正确的有（
）
A．
1
2
1
2
z
z
z
z



B．若
1 2
0
z z 
，则
1
2
0
z
z


C．
1 2
1
2
z z
z z

D．
1
1
z
z

12．已知复数
1
1 i
z ，复数
2
1
2
i, ,
R,
,
z
x
y x y
z z



所对应的向量分别为
1
2
,
OZ OZ

，其中O 为坐标原点，
则（
）
A．若
1
2
OZ
OZ


∥
，则
0
x
y


B．若
1
2
OZ
OZ



，则
1
2
1
2
z
z
z
z



C．若
1
2
OZ
OZ



，则
1 2
0
z z 
D．若
2
2
1
2
0
z
z


，则
1
2
OZ
OZ



三、填空题
13．设
i 1
i 1
z

，则
2
1
z
z


．
14．设i 是虚数单位，复数
i
1
2i
m
z



是实数，则实数m 的值是
.
15．设i 是虚数单位，若复数z 满足
2
z
i


，则z 的最大值为
.
16．复数
1z 、
2z 分别对应复平面内的点
1
M 、
2
M ，且
1
2
1
2
z
z
z
z



，线段
1
2
M M 的中点M 对应的复数
为4
3i

（i 是虚数单位），则
2
2
1
2
z
z


.
四、解答题
17．已知复数


2
2
3
7
2
2
5
2 i
z
m
m
m
m






.
(1)若z 为实数，求m 的值；
(2)若z 为纯虚数，求m 的值.
18．已知复数




2
1 i
3 1 i
2
i
z





．
(1)求z 的共轭复数；
(2)若
1 i
az
b

，求实数a，b 的值．
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19．已知复数
1
2
3
4i,
1
2i,i
z
z



为虚数单位.
(1)若复数
1
2
z
az

在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；
(2)若
1
2
i
z z
z


，求复数z 的共轭复数.
20．已知复数1 i
是实系数一元二次方程
2
0
x
bx
c



的一个根，向量
( , ),
(cos ,sin )
m
b c n
x
x




，xR ．
(1)若m
n


∥，求实数x 的值；
(2)已知向量
( ,1)
p
t


，且m
p



，若
( )
f x
n p



，求
( )
f x 的减区间．
21．已知z 为虚数，
1


m
z
z 为实数，且1
2
m


．
(1)求|
|
z 及z 的实部的取值范围．
(2)设
1
1
z
u
z



，那么u 是不是纯虚数？请说明理由．
(3)求
2

m
u 的最小值．
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22．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对



1
2
1
2
,
,
z z
z z
C

视为一个向量，记作


1
2
,
z z

ur
．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量


1
2
,
z z

ur
，


1
2
,
z z




ur
的数量积定义为一个复数，记作


，满足
1 1
2
2
z z
z z






ur ur
，复向量
的模定义为



ur
ur ur
．
（1）设


1 i,i


ur
，


3,4

，求复向量
，

的模；
（2）设
、

是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：



ur ur
ur ur
；
（3）当



ur ur
ur ur
时，称复向量
与

平行.设


1 i,2
i



ur
、



i, z
z
C


ur
，若复向量
与

平行，
求复数z 的值．