5.8 导数与不等式恒成立、存在性问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：分离参数法................................................................... 2
考点二：分类讨论法................................................................... 2
考点三：恒成立问题的等价转化法..................................................2
考点四：存在性等价转化法.......................................................... 2
考点五：最值定位法解决双参不等式问题.........................................2
考点六：值域法解决双参等式问题..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：分离变量法求恒成立....................................................... 3
题型二：分离变量法求存在性问题..................................................7
题型三：分类讨论法求恒成立....................................................... 9
题型四：分类讨论法求存在性问题................................................12
题型五：等价转化法求恒成立......................................................15
题型六：等价转化法求存在性问题................................................19
题型七：最值定位法解决双参不等式问题....................................... 23
题型八：值域法解决双参等式问题................................................27
5.8 导数与不等式恒成立、存在性问题
模块一：基础知识
考点一：分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
1.恒成立问题步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
( )
a
f x
)对x
D
恒成立，则只需
max
( )
a
f x
；若
( )
a
f x
对x
D
恒成立，则只需
min
( )
a
f x
．
③求最值.
2.存在性问题步骤
①分类参数（注意分类参数时自变量x 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：x
D
，使得
( )
a
f x
能成立
min
( )
a
f x
；
x
D
，使得
( )
a
f x
能成立
max
( )
a
f x
．
③求最值.
考点二：分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
0
a
，
0
或
0
a
，
0
)求解．
考点三：恒成立问题的等价转化法
当遇到
( )
( )
f x
g x
型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
或者“右减左”的函数
( )
( )
( )
H x
g x
f x
，进而只需满足
min
( )
0
F x
，或者
max
( )
0
H x
，将比较法
的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
考点四：存在性等价转化法
当遇到
( )
( )
f x
g x
型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
或者“右减左”的函数
( )
( )
( )
H x
g x
f x
，进而只需满足
max
( )
0
F x
，或者
min
( )
0
H x
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
考点五：最值定位法解决双参不等式问题
（1）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 max
2
max
(
)
(
)
f x
g x
（2）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 min
2
min
(
)
(
)
f x
g x
（3）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 max
2
min
(
)
(
)
f x
g x
（4）
1x
A
,
2x
B
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
1 min
2
max
(
)
(
)
f x
g x
考点六：值域法解决双参等式问题
1
1
x
D
,
2
2
x
D
,使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立
①
1
1
x
D
，求出
1
(
)
f x
的值域，记为
1
1
1
{ (
) |
}
A
f x
x
D
②
2
2
x
D
求出
2
(
)
g x
的值域，记为
2
2
2
{ (
) |
}
B
g x
x
D
③则A
B
,求出参数取值范围.
模块二：题型分类
题型一：分离变量法求恒成立
1.已知函数
ex
f x
kx
，xR ，k 为常数，e 是自然对数的底数．
(1)当
e
k
时，求
f
x 的极值；
(2)若
0
k
，且对于任意
0
x
，
0
f x
恒成立，试确定实数k 的取值范围．
【答案】(1)极小值为0，无极大值
(2)0
e
k
【详解】（1）当
e
k
时，
e
e
x
f x
x
，∴
e
e
x
f
x
，
由
( )
0
f
x
¢
>
得
1
x ，故
f
x 的单调递增区间为
1,；由
0
f
x
得
1
x ，
故
f
x 的单调递减区间为
,1
；
所以函数有极小值为
1
e
e
0
f
，无极大值．
（2）当
0
x
时，不等式化简为
ex
k
x
，令
ex
g x
x
，则
2
e
1
( )
x x
g x
x
；
令
( )
0
g x
得
1
x ，
∴
g x 在
0,1 上单调递减，在
1,上单调递增；
因为
min
1
e
g x
g
，所以
e
k
，
又
0
k
，所以0
e
k
．
2.已知函数
2e
2
x
f
x
x
.
(1)求曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程；
(2)求
f
x 的极值；
(3)若对于任意xR ，不等式
2 e 1
f
x
x
m
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
1
y
(2)极小值为
0
1
f
，无极大值
(3)
0
m
【详解】（1）由
2e
2
x
f
x
x
得
2
2e
2
x
f
x
，又
0
0,
0
1
f
f
，
所以
y
f x
在
0,1 切线为
1
y
（2）令
2
2e
2
0
x
f
x
，则
0
x
，故
f
x 在
0,
单调递增，
当
0
x
时，
0,
f
x
f
x
单调递减，
所以当
0
x
时，
f
x 取极小值
0
1
f
，无极大值，
（3）由
2 e 1
f
x
x
m
得
2
2
e
e
2
1
x
x
m
x
，
故
2e
2e
x
m
x
，
构造函数
2e
2e ,
x
g x
x
则
2
( )
2e
2e
x
g x
，令
2
( )
2e
2e>0
x
g x
，则
1
> 2
x
，
故当
1
> 2
x
时，
( )
0
g x
，
g x 单调递增，
1
2
x
时，
( )
0,
g x
g x
单调递减，
故当
1 ,
2
x
g x
取极小值也是最小值，
1
e
e
0
2
g
，
所以
min
m
g x
，即
0
m
3.（1）已知
1
ln
x
a
x
x
对于
1 ,2
2
x
恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）已知函数
2
e
2
x
f x
a
x
，若不等式
( )
0
f
x
在R 上恒成立，试求a 的取值范围.
【答案】（1）
,0
；（2）4 ,
e
【详解】（1）
1
ln
x
a
x
x
对于
1 ,2
2
x
恒成立，
令
1
ln
x
g x
x
x
，
1 ,2
2
x
，
只需
min
a
g x
即可，
则
2
2
1
1
1
g
x
x
x
x
x
x
x
，
当
1,2
x
时，
0
g
x
，当
1 ,1
2
x
时，
0
g x
，
所以
1
ln
x
g x
x
x
在
1,2
x
上单调递增，在
1 ,1
2
x
上单调递减，
所以当
1
x 时，
1
ln
x
g x
x
x
取得极小值，也是最小值，
所以
min
1
0
g x
g
，
故
0
a
，
实数a 的取值范围是
,0
；
（2）
e
4
x
f
x
a
x
，故e
4
0
x
a
x
在R 上恒成立，
即
4
ex
x
a
在R 上恒成立，
令
4
ex
x
h x
，
只需
max
a
h x
，
则
4
4
ex
x
h
x
，
当
1
x 时，
0
h x
，
4
ex
x
h x
单调递增，
当
1
x 时，
0
h x
，
4
ex
x
h x
单调递减，
故
4
ex
x
h x
在
1
x 处取得极大值，也是最大值，
故
max
4
1
e
h x
h
，
所以
4
e
a
，故a 的取值范围为4 ,
e
.
4.已知函数
e
1
x
f x
a x
．
(1)求函数
f
x 的单调区间；
(2)当
1,
x时，
0
f x
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
,1
.
【详解】（1）对函数
f
x 求导可得
ex
f
x
a
．
当
0
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
恒成立，可得函数
f
x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；
当
0
a
时，令
0
f
x
，可得
ln
x
a
，可得函数
f
x 的单调递减区间为
,ln a
；
令
( )
0
f
x
¢
>
，可得
ln
x
a
，可得函数
f
x 的单调递增区间为
ln ,a ；
综上所述：
0
a
时，
f
x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；
0
a
时，
f
x 的单调递增区间为
ln ,a ，单调递减区间为
,ln a
；
（2）法一：当
1,
x时，
0
f x 恒成立等价于
e
1
x
a
x
，
令
e
1
x
g x
x
，则
2
e
1
x x
g
x
x
，
令
0
g x
，可得
1,0
x
，即有
g x 在
1,0
上单调递减；
令
0
g
x
，可得
0,
x
，即有
g x 在
0,
上单调递增．
从而可得函数
g x 的最小值为
0
1
g
，
综上即可得a 的取值范围是
,1
．
法二：由（1）知，当
0
a
时，函数
f
x 在
1,
上单调递增，
所以
1
1
e
0
f x
f
满足题意；
当
1
0
e
a
时，ln
1
a ，所以函数
f
x 的在
1,
上单调递增，
所以
1
1
e
0
f x
f
满足题意；
当
1
e
a
时，ln
1
a ，函数
f
x 的在
1,lna
上单调递减，在
ln ,a 上单调递增，
所以
min
ln
ln
1
ln
f x
f
a
a
a
a
a a
，
因为
0
f x ，所以
min
0
f x
，即
ln
0
ln
0
a a
a
，解得：
1
e
1
a
，
综上，实数a 的取值范围是
,1
．
5.已知函数
2
( )
2
f x
x
x
k
，
3
2
( )
(
0)
g x
ax
bx
cx
d a
是R 上的奇函数，当
1
x 时，( )
g x 取得极值2
．
(1)求函数( )
g x 的单调区间和极大值；
(2)若对任意
1 3
,
x
，都有
( )
( )
f x
g x
成立，求实数k 的取值范围；
【答案】(1)单调增区间为(
, 1)
和(1,
)
，单调减区间为( 1,1)
，极大值为2
(2)
8,
【详解】（1）
3
2
( )
(
0)
g x
ax
bx
cx
d a
是R 上的奇函数，
(
)
( )
g
x
g x
，即
3
2
3
2
a
x
b
x
c
x
d
ax
bx
cx
d
，
得
2
0
bx
d
恒成立，
可得
0
b
d
，即
3
( )
(
0)
g x
ax
cx a
，
2
( )
3
g x
ax
c
，
又当
1
x 时，( )
g x 取得极值2
，
1
3
0
1
2
g
a
c
g
a
c
，
解得
1
3
a
c
，故函数
3
( )
3
g x
x
x
，导函数
2
3
3
g
x
x
，
令
2
3
3
0
x
解得
1
x ，当
(
, 1)
(1,
)
x
，
0
g
x
，
当
( 1,1)
x
时，
0
g x
，
( )
g x 单调增区间为(
, 1)
和(1,
)
，单调减区间为( 1,1)
，
故当= 1
x 时，( )
g x 取到极大值
( 1)
2
g
；
（2）
2
3
( )
( )
2
4
f x
g x
x
x
k
x
，对任意
1 3
,
x
，
都有
( )
( )
f x
g x
成立，只需
3
2
2
4
k
x
x
x
在
1 3
,
x
时恒成立，
构造函数
3
2
( )
2
4
F x
x
x
x
，
1 3
,
x
，则有
2
3
4
4
F
x
x
x
，
令
0
F
x
可得
2
x
或
2
3
x
，当
2
1,
3
x
时，
( )
0
F x
，
( )
F x 单调递减，
当
2 ,2
3
x
时，
0
F
x
，
( )
F x 单调递增，
当
(2,3)
x
时，
0
F
x
，
( )
F x 单调递减，
当
2
x
时，
( )
F x 取到极大值
2
8
F
，又
( 1)
1
F
，
故
( )
F x 的最大值为8，
故实数k 的取值范围为：
8,.
题型二：分离变量法求存在性问题
1.已知函数
3
2
6
f x
ax
bx
x
c
，当= 1
x 时，
f
x 的极小值为
5
2
，当
2
x
时，
f
x 有极大值．
（1）求函数
f
x ；
（2）存在
0
2,0
x
，使得
2
0
2
f x
t
t
成立，求实数t 的取值范围．
【答案】（1）
3
2
3
6
1
2
f
x
x
x
x
；（2）
1,3
．
【详解】（1）∵
2
3
2
6
f
x
ax
bx
，
由
1
2
0
f
f
，得3
2
6
0
a
b
且12
4
6
0
a
b
，解得
1
a ，
3
2
b
，
又
5
1
2
f
，∴
1
c ，
∴
3
2
3
6
1
2
f
x
x
x
x
；
（2）存在
0
2,0
x
，使得
2
0
2
f x
t
t
，等价于
2
max
2
f x
t
t
，
∵
2
3
3
6
3
2
1
f
x
x
x
x
x
，
当
[ 2, 1)
x
时，
( )
0
f
x
，当
( 1,0)
x
时，
( )
0
f
x
，
∴
f
x 在
2, 1
上递减，在
1,0
上递增，
又
2
3
f
，
0
1
f
，
∴
f
x 在
2,0
上的最大值为
2
3
f
，
∴
2
2
3
t
t
，解得1
3
t
，
所以t 的取值范围是
1,3
．
2.已知函数
( )
ln ,(
0)
f x
x x x
.
(1)求函数
( )
f x 的极值；
(2)若存在
(0
)
x
,+
，使得
2
3
2
x
mx
f x
成立，求实数m 的最小值.
【答案】(1)极小值为
1
e
，无极大值
(2)4
【详解】（1）由
ln
ln
1
f x
x
x
f
x
x
，
令
1
0
e
f
x
x
；令
1
0
0
e
f
x
x
，
∴
f
x 在
1
0, e
上单调递减，在1,
e
上单调递增，
∴
f
x 在
1
e
x
处取得极小值，且为
1
1
e
e
f
，无极大值；
（2）由
2
2
3
2 ln
3
0
2
x
mx
x
x
x
f x
m
x
x
能成立，
问题转化为
min
3
2ln
m
x
x
x
，
令
2
2
3
1
3
2
3
2ln
1
x
x
g x
x
x
g
x
x
x
x
x
，
由
1
0
x
g
x
；由
0
1
0
x
g
x
，
∴
g x 在
0,1 上单调递减，在
1,上单调递增，
∴
min
1
4
g x
g
，则
4
m
，
故m 的最小值为4．
3.已知函数
3
2
3
1
a
f x
x
x
x
，a R .
(1)当
5
a
时，讨论
f
x 在区间
0,
上的单调性；
(2)若存在
1 ,4
2
x
，使不等式
2
2ln x
f x
x
成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)
f
x 在
0,1 ，
9,上单调递增；在
1,9 上单调递减
(2)
19
,
4ln 2
4
【详解】（1）当
5
a
时，
3
2
3
1
5
f x
x
x
x
，则
4
3
2
4
1
9
9
10
1
x
x
f
x
x
x
x
x
，
当
0,1
9,
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；当
1,9
x
时，
0
f
x
；
( )
f
x
\
在
0,1 ，
9,上单调递增；在
1,9 上单调递减.
（2）当
1 ,4
2
x
时，由
2
2ln x
f x
x
得：
3
2ln
a
x
x
x
，
存在
1 ,4
2
x
，使得
3
2ln
a
x
x
x
成立，
令
3
1
2ln
4
2
g x
x
x
x
x
，则
2
2
3
1
3
2
1
x
x
g
x
x
x
x
，
当
1 ,1
2
x
时，
0
g
x
；当
1,4
x
时，
0
g
x
；
g x
在1 ,1
2
上单调递减，在
1,4 上单调递增，
max
1
max
,
4
2
g x
g
g
，
1
1
1
13
6
2ln
2ln 2
2
2
2
2
g
，
3
19
4
4
2ln 4
4ln 2
4
4
g
，
1
19
13
7
4
4ln 2
2ln 2
6ln 2
0
2
4
2
4
g
g
，即
1
4
2
g
g
，
max
19
4
4ln 2
4
g x
g
，
19
4ln 2
4
a
，
即实数a 的取值范围为
19
,
4ln 2
4
.
4.已知函数
2
( )
ln
f x
a
x
x
(a 为实常数）．若存在
[1,e]
x
，使得
( )
(
2)
f x
a
x
成立，求实数a 的取值范
围．
【答案】
1,
【详解】由
( )
(
2)
f x
a
x
得
2
ln
(
2)x
a
x
a
x
，即
2
ln
2
a
x
x
x
x
，
因为
[1,e]
x
，所以
1,ln
ln e
1
x
x
，所以
ln e
ln
x
x
，
且当
1
x 时ln
0
x
，所以
ln
x
x
在
[1,e]
x
恒成立，所以
2
2
ln
x
x
a
x
x
，
即存在
[1,e]
x
时，
2
2
ln
x
x
a
x
x
，
令
2
2
( )
ln
x
x
g x
x
x
，
2
(
1)(
2
2ln )
( )
ln
x
x
x
g x
x
x
，
令
2
2
( )
2
2ln ,
( )
1
x
h x
x
x h x
x
x
，
令
2
( )
0
x
h x
x
，解得2
e
x
，
令
2
( )
0
x
h x
x
，解得1
2
x
，
所以( )
h x 在
1,2 单调递减，
2,e 单调递增，
所以( )
(2)
2(2
ln 2)
0
h x
h
，
所以
[1,e]
x
时，
2
(
1)(
2
2ln )
( )
0
ln
x
x
x
g x
x
x
恒成立，
所以
min
( )
(1)
1
g x
g
，
所以实数a 的取值范围是
1,
.
题型三：分类讨论法求恒成立
1.已知不等式
e
2
3
x
a
x
对任意xR 恒成立，则实数a 的最大值是
.
【答案】e
3
2
【详解】不等式
e
2
3
x
a
x
对任意xR 恒成立，即
e
2
3
0
x
a
x
对任意xR 恒成立，
设
e
2
3
x
f x
a
x
，
e
2
3
x
f
x
a
，
2
3
0
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
在R 上恒成立，
f
x 在R 上单调递增，无最小值，
函数
ex
y
和函数
2
3
y
a
x
在R 上都单调递增，
e
0,
x
，
2
3
,
a
x
，
0
f x 不恒成立.
2
3
0
a
时，
e
0
x
f x
恒成立，此时
3
2
a
，
2
3
0
a
时，
0
f
x
解得
ln 2
3
x
a
，
( )
0
f
x
¢
>
解得
ln 2
3
x
a
，
f
x 在
,ln 2
3
a
上单调递减，在
ln 2
3 ,
a
上单调递增，
当
ln 2
3
x
a
时，
f
x 有最小值
ln 2
3
ln 2
3
e
2
3 ln 2
3
2
3
2
3 ln 2
3
a
f
a
a
a
a
a
a
，
故
2
3
2
3 ln 2
3
0
a
a
a
，0
2
3
e
a
，3
e+3
2
2
a
，
综上可知，实数a 的最大值为e
3
2
.
故答案为：e
3
2
.
2.设函数
2
e
1
( )
x
f x
x
ax
，若当
0
x
时
( )
0
f x
，求a 的取值范围．
【答案】
1
2
a
【详解】：由题得
( )
e
1 2
x
f
x
ax
，
令( )
e
1
2
x
g x
ax
，所以
( )
e
2
x
g x
a
，
0,
x
当
1
2
a
时，
( )
e
2
0
x
g x
a
恒成立，仅当
1 ,
0
2
a
x
时，
( )
0
g x
( )
e
1 2
x
f
x
ax
在
0,
x
单调递增，所以
( )
(0)
0
f
x
f
，
所以函数
( )
f x 在[0,
)
上单调递增.
所以
( )
(0)
0
f x
f
满足题意；
当
1
2
a
时，
( )
e
2
0
x
g x
a
得
ln 2 ,
x
a
，
( )
e
2
0
x
g x
a
得
0,ln 2
x
a
，
所以
( )
e
1 2
x
f
x
ax
在
0,ln 2
x
a
单调递减，在
ln 2 ,
x
a
单调递增，
又
(0)
0,
(ln 2 )
0
f
f
a
，所以函数
( )
f x 在
0,ln 2
x
a
单调递减，
又
(0)
0
f
，所以函数
( )
f x 在
(0,ln 2 )
x
a
上
( )
(0)
0
f x
f
，与已知矛盾，不合题意，所以舍去.
综上所述：
1
2
a
.
3.设函数
ln
1
1
ax
f x
x
x
．
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)若
0
f x 恒成立，求a 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
1
a
【详解】（1）
f
x 的定义域为
1,
．
2
2
1
1
1
1
1
a
x
a
f
x
x
x
x
．
若
0
a
，则
( )
0
f
x
¢
>
，
f
x 在
1,
上单调递增．
若
0
a
，则当
1,a 1
x
时，
0
f
x
，
f
x 单调递减；
当
1,
x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f
x 单调递增；
（2）由（1）知，若
0
a
，则当1
0
x
时，
0
0
f x
f
，矛盾．
因此
0
a
．由（1）知此时
min
1
ln
1
f x
f a
a
a
．
0
f x 恒成立等价于
min
ln
1
0
f x
a
a
恒成立．
设
ln
1
0
g a
a
a
a
，即
0
g a
恒成立，
则
1 a
g a
a
，
当
0,1
x
时，
0,
g a
g a
单调递增，
当
1,
x
时，
0,
g a
g a
单调递减，所以
max
1
0
g a
g
，
显然函数
g a 在
1
a 处有唯一零点，且
0
g a
．
而
0
g a
恒成立，所以
0
g a
，
所以
1
a ．
4．已知函数
2
1
1
( )
(
1)ln
(
,
0)
2
2
f x
x
a
x
a
a
R
．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的
[1,
)
x
，都有
( )
0
f x
成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
0
a
.
【详解】解：（1）由已知定义域为
0,
，
2
1
1
'( )
x
a
a
f
x
x
x
x
当
1
0
a
，即
1
a 时，
'
0
f
x
恒成立，则
f
x 在
0,
上单调递增；
当
1
0
a
，即
1
a 时，
1
x
a
（舍）或
1
x
a
，所以
f
x 在
0,
1
a
上单调递减，在
1,
a
上单调递增.
所以
1
a 时，
f
x 在
0,
上单调递增；
1
a 时，
f
x 在
0,
1
a
上单调递减，在
1,
a
上单调递增.
（2）由（1）可知，当
1
a 时，
f
x 在
1,上单调递增，若
( )
0
f x
对任意的
[1,
)
x
恒成立，只需
(1)
0
f
，而
(1)
0
f
恒成立，所以
1
a 成立；
当
1
a 时，若
1
1
a ，即1
0
a
，则
f
x 在
1,上单调递增，又
(1)
0
f
，所以1
0
a
成立；
若
0
a
，则
f
x 在
1,
1
a
上单调递减，在
1,
a
上单调递增，又
(1)
0
f
，所以
0
1,
1
x
a
，
0
(
)
1
0
f x
f
，不满足
( )
0
f x
对任意的
[1,
)
x
恒成立.
所以综上所述：
0
a
.
题型四：分类讨论法求存在性问题
1.已知
ln
f x
x
ax
a
(1)若
f
x 在
1
x 处取到极值，求a 的值；
(2)若存在
0
(0,
)
x
使得
0
(
)
0
f x
，求a 的范围；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
(3)直接写出
( )
f x 零点的个数，结论不要求证明.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
【答案】(1)1
(2)
1
1
, ∪,
(3)
1
a 且
0
a
有一个零点;
0
a
且
1
a 有两个零点
【详解】（1）
f
x 的定义域为(0,
)
，
1
f
x
a
x
，
1
1
0
f
a
，所以
1
a ，又
1
a 时，
ln
1
f x
x
x
，
1
1
f
x
x
，得
f
x 在
0,1 上单调递增，在
1,上单调递减，即
f
x 在
1
x 处取
到极大值. 故
1
a .
（2）注意到
1
0
f
，又
0
a
时，
1
0
f
x
a
x
恒成立，于是
f
x 在
0,
单调递增；则存在
0
1
x
使得
0
(
)
0
f x
；
当
0
a
时，令：
1
0
f
x
a
x
，得
1
x
a
.
当
1
0,
x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
，当
1
(
)
x
a
，
时，
0
f
x
，
于是可以得到函数
( )
f x 在
1
0, a
上单调递增，在1
(
)
a
，
单调递减.则
f
x 有极大值点1
a
.若1
1
a ，可得
f
x 在1
(
,1)
a
单调递减，于是
1
( )
(1)
0
f
f
a
，则
0
1
x
a
满足题意；
若1
1
a ，则
max
1
( )
(1)
0
f x
f
f
a
，则此时不存在相应的
0x ；
若1
1
a ，可得
f
x 在
1
1, a
单调递增，于是
1
( )
(1)
0
f
f
a
.则
0
1
x
a
满足题意.
综上：a 的范围是
1
1
, ∪,
；
（3）
1
a 且
0
a
有一个零点；
0
a
且
1
a 有两个零点
2.已知函数
2
e
2
2
R
x
f
x
x
ax
a
a
，其中e是自然对数的底数．
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若
2e
a
f
x
在区间
2,0
上有解，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
4
,0
,
3
【详解】（1）
2
e
2
1
4
e
2
2
x
x
f
x
x
a
x
a
x
a
x
当
1
a 时，
2
e
2
0
x
f
x
x
在R 上恒成立，所以函数
f
x 在R 上单调递增.
当
1
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
时，
, 2
2 ,
x
a
；
0
f
x
时，
2, 2
x
a
所以函数
f
x 在
, 2 ,
2 ,a
上单调递增，在
2, 2a
上单调递减.
当
1
a 时，
( )
0
f
x
¢
>
时，
, 2
2,
x
a
；
0
f
x
时，
2 , 2
x
a
所以函数
f
x 在
, 2
,
2,
a
上单调递增，在
2 , 2
a
上单调递减.
综上：
1
a 时
f
x 在R 上单调递增.
1
a
时
f
x 在
, 2 ,
2 ,a
上单调递增，在
2, 2a
上单调递减
1
a 时
f
x 在
, 2
,
2,
a
上单调递增，在
2 , 2
a
上单调递减.
（2）若
2e
a
f
x
在区间
2,0
上有解，即求
2
min
e
a
f
x
当
1
a 时
f
x 在R 上单调递增，所以
f
x 在
2,0
上的最小值为
2
2
2
min
2
1
2
e
4
4
2
e
e
f
x
f
不成立，故不满足题意.
当
1
a
时
f
x 在
, 2 ,
2 ,a
上单调递增，在
2, 2a
上单调递减
当
0
a
时，所以函数
f
x 在
2,0
单调递减，
所以
0
2
min
0
e
2
2
e
a
f
x
f
a
a
成立，满足题意.
0
1
a
时，函数
f
x 在
2, 2a
单调递减，在
2 ,0
a
上单调递增.
所以
2
2
min
2
e
2
e
a
a
f
x
f
a
a
ln 2
1
1
2
a
不成立，舍去
1
a 时
f
x 在
, 2
,
2,
a
上单调递增，在
2 , 2
a
上单调递减.
所以函数
f
x 在
2,0
单调递增，
2
2
min
2
e
4
2
e
a
f
x
f
a
，所以
4
3
a
综上a 的取值范围为：
4
,0
,
3
3.已知函数
e
1
,
x
f x
m
x m
R
(1)当
1
m 时，求曲线
y
f x
在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在
,1 2
x
，使得不等式
2
l
e
n
2
x
x
m x
m
f x 成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)
3
1
y
x
=
+
(2)
0
，
【详解】（1）当
1
m 时，
e
1
e
2
x
x
f x
m
x
x
,定义域为R，
e
2
x
f
x
.
所以
0
1
f
，
0
3
f
.
所以曲线
y
f x
在点（0，f（0））处的切线方程为：
1
3
0
y
x
，
即
3
1
y
x
=
+ .
（2）不等式
2
l
e
n
2
x
x
m x
m
f x 可化为：
2
ln
1
0
2
x
m x
m
x
m
，
即存在
,1 2
x
，使得不等式
2
ln
1
0
2
x
m x
m
x
m
成立.
构造函数
2
ln
1
,
1,2
2
x
h x
m x
m
x
m x
，则
1
1
1
m
h x
x
m
x
m
x
x
x
.
①当
1
m £ 时，
0
h x
恒成立，故
h x 在
1,2 上单调递增，故
max
2
ln 2
0
h x
h
m
m
，解得：
0
m
，
故
0
m
；
②当1
2
m
时，令
0
h x
，解得：
2;
m
x
令
0
h x
，解得：1
;
x
m
故
h x 在
1,m 上单调递减，
在
,2
m
上单调递增，又
1
1
2
h
，故
2
ln 2
0
h
m
m
，解得：
0
m
，这与1
2
m
相矛盾，舍去；
③当
2
m
时，
0
h x
恒成立，故
h x 在
1,2 上单调递减，故
max
1
1
0
2
h x
h
，不符合题意，应
舍去.
综上所述：m 的取值范围为：
0
，.
4.已知函数
3
2
( )
2
8
f
x
x
ax
．
（1）当
1
a 时，求曲线
( )
y
f x
在点(1，f （1）)处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得
( )
0
f x
成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）4
5
0
x
y
；（2）(6,
)
．
【详解】解：（1）
1
a 时，
2
( )
6
2
f
x
x
x
，
1
9
f
，
曲线
( )
y
f x
在点(1，f （1）)处的切线斜率: k
f
（1）
4
，
故曲线
( )
y
f x
在点(1，f （1）)处的切线方程为：
4
1
9
y
x
，
所求切线方程为：4
5
0
x
y
；
（2）
2
( )
6
2
2 (3
)(1
2)
f
x
x
ax
x
x
a
x
，
①当
1
3
a 即
3
a时，
( ) 0
f
x
，
( )
f x 在[1，2]上为单调增函数，
此时，
( )min
f x
f
（1）
10
0
a
，解得：
10
a
，与
3
a矛盾，不符合题意，
②当1
2
3
a
即3
6
a
时，x ，
( )
f
x
，
( )
f x 的变化如下：
x
[1，
)
3
a
3
a
(3
a ，2]
( )
f
x
0
( )
f x
递减
极小值
递增
此时，
3
3
3
2
8
8
0
3
27
9
27
min
a
a
a
a
f x
f
，解得：
6
a
，与3
6
a
矛盾，不符合题意，
③当
2
3
a 即
6
a时，
( ) 0
f
x
，
( )
f x
在[1，2]上为单调减函数
2
4
24
0
min
f x
f
a
，解得：
6
a
，又
6
a
，
6
a
，
综上：实数a 的取值范围是(6,
)
．
题型五：等价转化法求恒成立
1.已知函数
1 ln
a
f
x
a
x
x
x
，
a
g x
x
（其中a R ）．
(1)若
2
a ，求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若对于任意
1,e
x
，都有
f x
g x
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为(0,1)和(2,
)
，单调减区间为(1,2)
(2)(1
e,
)
【详解】（1）若
2
a ，则
2
3ln
(
0)
f
x
x
x
x
x
，
2
3
2
( )
1
f
x
x
x
2
2
3
2
x
x
x
2
(
1)(
2)
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
，可得0
1
x
或
2
x
，令
( )
0
f
x
，可得1
2
x
，
所以单调增区间为(0,1)和(2,
)
，单调减区间为(1,2) .
（2）因为对于任意
1,e
x
，都有
f x
g x
成立，
所以对于任意
1,e
x
，都有
0
f x
g x
成立,
即对于任意
1,e
x
，
1 ln
0
a
x
x
；
因为ln
0
x
，所以对于任意
1,e
x
，
1
ln
x
a
x
.
设( )
ln
x
h x
x
，其中
1,e
x
，则
2
ln
1
( )
(ln )
x
h x
x
，
因为
1,e
x
，所以
ln
1
0
x
，所以
( )
0
h x
，
因此( )
h x 在
1,e 单调递增，所以
max
( )
(e)
e
h x
h
，
所以
1
a
e
，即
1 e
a ，故a 的取值范围为(1
e,
)
.
2.已知函数
2
1
e
,
1
2
x
f
x
x
g x
ax
a
R
.
(1)求
f
x 的图象在
0
x
处的切线方程；
(2)当
0,
x
时，
f x
g x
恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)
1
0
x
y
(2)
,1
【详解】（1）函数
2
1
e
,
0
1
2
x
f
x
x
f
，切点为
0,1 ，
ex
f
x
x
，∴
0
1
k
f
，
∴
f
x 的图象在
0
x
处的切线方程为：
1
y
x
，即
1
0
x
y
.
（2）令
2
1
e
1
2
x
h x
f
x
g x
x
ax
，
0
0
h
.
ex
h
x
x
a
，设
ex
k x
h x
x
a
，
e
1
x
k
x
，
∵
0,
x
，∴
0
0
k
x
k
，
k x 在
0,
x
上单调递增，
即
h x
在
0,
x
上单调递增，
0
1
h
a
，
当
1
a 时，
1
0
h x
a
，∴
h x 在
0,
x
上单调递增，
∴
0
0
h x
h
，
∴当
0,
)
x
时，
f x
g x
恒成立.
当
1
a 时，
0
1
0
h
a
，
∵函数
ex
y
x
a
在
0,
上存在唯一的零点
0x ，
∴函数
h x 在区间
0
0, x
上单调递减，
0
0
0
h x
h
，不符合题意，舍去.
综上可得：a 的取值范围是
,1
.
3.已知函数
( )
ln(
1)
f x
x
，( )
g x
kx
．
(1)当
1
k 时，求函数( )
( )
( )
h x
f x
g x
的最大值；
(2)若关于x 的不等式
( )
( )
f x
g x
恒成立，求实数k 的值．
【答案】(1)0
(2)1
【详解】（1）当
1
k 时，函数( )
( )
( )
ln(
1)
h x
f x
g x
x
x
，
易知，
1
x ，
1
( )
1
1
1
x
h x
x
x
，
当
( 1,0)
x
，
( )
0
h x
，当
,
(
)
0
x
，
( )
0
h x
，
即( )
ln(
1)
h x
x
x
在区间( 1,0)
上单调递增，在区间(0,
)
上单调递减，
故( )
h x 最大值为(0)
ln1 0
0
h
.
（2）令( )
( )
( )
ln(
1)
(
1)
h x
f x
g x
x
kx x
则
1
1
1
1
( )
1
1
1
1
kx
k
kx
k
kx
k
h x
k
x
x
x
x
，
当
0
k
时，由
( )
( )
f x
g x
，即ln(
1)
0
x
，得到1
0
x
，显然不合题意，故
0
k
，
由
( )
0
h x
，得到
1
1
x
k
，故
1
(
1
)
( )
1
k x
k
h x
x
当
1
k 时，
1
( 1,
1)
x
k
时，
( )
0
h x
，
1
(
1,
)
x
k
时，
( )
0
h x
，
即
1
k 时，函数( )
ln(
1)
h x
x
kx
在区间
1
( 1,
1)
k
单调递增，在区间1
(
1,
)
k
上单调递减，
又(0)
ln(0
1)
0
0
h
k
，1
1
0
k
，所以，当
1
(
1,0)
x
k
时，( )
0
h x
，即
( )
( )
f x
g x
，故
1
k 时，不
满足
( )
( )
f x
g x
恒成立，
由（1）知当
1
k 时，( )
( )
( )
0
h x
f x
g x
恒成立，即
( )
( )
f x
g x
恒成立，
当0
1
k
时，
1
( 1,
1)
x
k
时，
( )
0
h x
，
1
(
1,
)
x
k
时，
( )
0
h x
，
即0
1
k
时，函数( )
ln(
1)
h x
x
kx
在区间
1
( 1,
1)
k
单调递增，在区间1
(
1,
)
k
上单调递减，
又(0)
ln(0 1)
0
0
h
k
，1
1
0
k
，所以，当
1
(0,
1)
x
k
时，( )
0
h x
，即
( )
( )
f x
g x
，故0
1
k
时，
不满足
( )
( )
f x
g x
恒成立，
当
0
k
，
1
( )
0
1
h x
k
x
恒成立，即( )
h x 在区间(0,
)
上单调递增，
又(0)
ln(0
1)
0
0
h
k
，所以，当
,
(
)
0
x
时，( )
0
h x
，即
( )
( )
f x
g x
，故
0
k
时，不满足
( )
( )
f x
g x
恒成立，
综上所述，实数k 的值为1.
4.已知函数
2
1
ln
f x
x
a
x
x
，
2
2
1
g x
x
x
a
．
(1)若
f
x 在
1,上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)当
1,e
x
时，
f x
g x
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
2
a a
(2)
2
1
e
2
a
a
【详解】（1）
2
1
ln
f x
x
a
x
x
，
1
2
1
f
x
x
a
x
．
依题意知
1,
x
时，
1
2
1
0
x
a
x
恒成立，即
1
1
2
a
x
x
．
令
1
2
k x
x
x
，
1,
x
，
∴
2
1
2
0
k
x
x
，
∴
1
2
k x
x
x
在
1,
x
上单调递减，
∴
1
1
k x
k
，
∴
1
1
a ，解得
2
a ，
∴实数a 的取值范围为
2
a a
；
（2）令
ln
2
1
x
f x
g x
ax
x
a
，
1,e
x
，则只需max
0
x
即可，
∴
1
1
ax
x
a
x
x
．
当
0
a
时，
0
x
，
∴
x
在
1,e
x
上单调递减，
∴
max
1
1
x
a
，
∴
1
0
a
，即
1
a ，∴1
0
a
．
当
0
a
时，当
1
0,
x
a
时，
0
x
，当
1 ,
x
a
时，
0
x
，
∴
x
在
1
0,
x
a
上单调递减，在
1 ,
x
a
上单调递增，
∴要使max
0
x
，
只需
1
0
e
0
0
a
，即
1
0
e
2
2
0
0
a
a
a
a
，解得
2
0
e
2
a
，
综上，实数a 的取值范围为
2
1
e
2
a
a
．
5.已知函数
e
ln
x
f x
a
a
，( )
ln(
1)
1
g x
x
（其中a 为常数，e 为自然对数底数）.若
( )
( )
f x
g x
恒成
立，求a 的取值范围．
【答案】
1
a
【详解】由
( )
( )
f x
g x
可知，
ln
ln(
1) 1(
0,
1)
x
a
a
x
a
x
e
，
令
0
x
，有
ln
1
a
a
，因为
ln
y
x
x
单调递增，1 ln1 1
，所以
1
a ，
当
1
a 时，
ln
x
x
a
a
e
e ，
令
e
1
x
h x
x
，则
e
1
x
h x
，
令
0
h x
，解得
0
x
，令
0
h x
，解得
0
x
，
所以
h x 在
,0
上单调递减，
0,
上单调递增，
min
0
0
h x
h
，
所以e
1
0
x
x
，即e
1
x
x
；
令
ln
1
F x
x
x
，定义域为
1,
，则
1
1
1
1
x
F
x
x
x
，
令
0
F
x
，则1
0
x
，令
0
F
x
，则
0
x
，
所以
F x 在
1,0
上单调递增，
0,
上单调递减，
max
0
0
F x
F
，
所以
ln
1
0
x
x
，即
ln
1
x
x
故ln(
1)
1
1
x
x
，即
ln
ln(
1) 1
x
a
a
x
e
成立，即
1
a ．
题型六：等价转化法求存在性问题
1．已知函数
1
( )
ln , ( )
(
R)
a
f x
x
a
x g x
a
x
，若在[1,e]上存在一点
0x ，使得
0
0
f
x
g x
成立，求a
的取值范围.
【答案】
2e
1
, 2
,
e 1
【详解】令
1
( )
( )
( )
ln
a
h x
f x
g x
x
a
x
x
，
若
0
[1,e]
x
使
0
0
h x
能成立，则对于
1,e
x
，
min( )
0
h
x
即可，
而
2
2
1
(
1)[
(1
)]
( )
1
a
a
x
x
a
h x
x
x
x
.
当1
e
a
，即
e
1
a
时，
( )
0
h x
，( )
h x 在[1,e]上单调递减，
则
min
1
( )
(e)
e
0
e
a
h x
h
a
，
2e
1
e 1
a
，
而
2e
e
1
e
1
1
显然成立，故
2e
1
e 1
a
；
当1
1
a
，即
0
a
时，
( )
0
h x
，( )
h x 在[1,e]上单调递增，
则
min
( )
(1)
1 1
0
h x
h
a
，可得
2
a ；
当1
1
e
a
，即0
e 1
a
时，
令
( )
0
h x
，得1
1
x
a
；令
( )
0
h x
，得1
e
a
x
；
所以( )
h x 在[1,1
]
a
上单调递减，( )
h x 在[1
,e]
a
上单调递增，
∴
min
( )
(1
)
2
ln(1
)
h x
h
a
a
a
a
，
而0
ln(1
)
1
a
，∴0
ln(1
)
a
a
a
，故(1
)
2
h
a
，即( )
0
h x
不成立；
综上：
2e
1
, 2
,
e 1
a
.
2.已知函数
ln
f x
x
a x
，
1
(
0)
a
g x
a
x
．
(1)若
f
x 在点
1,
1
f
处的切线为
1
y ，求实数a 的值；
(2)设函数
h x
f x g x
，求函数
h x 的单调区间与极值；
(3)若存在
0
1,e
x
，使得
0
0
f
x
g x
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
1
a
(2)答案见详解
(3)
2e
1,
e 1
【详解】（1）
ln
f
x
x
a
x
，
1
a
f
x
x
，又
f
x 在点
1,
1
f
处的切线为
1
y ，得
1
0
f
，
即1
0
a
，解得
1
a .
（2）
1
ln
1
a
a
x
h x
f x g x
a
x
，
2
1 ln
1
x
h x
a
a
x
，
0
a
，
令
0
h x
，解得
0,e
x
，令
0
h x
，解得
e,
x
，
0,e
x
，
h x 单调递增，
e,
x
，
h x 单调递减，
h x
在
e
x处取得极大值，极大值为
1
e
1
e
a
a
h
a
，无极小值.
（3）令
x
f x
g x
，
0
1,e
x
，使得
0
0
f
x
g x
，
等价于在
1,e
x
上，min
0
x
，
2
2
1
1
1
1
x
x
a
a
a
x
x
x
x
，
0
x
，
0
a
，
1
1
a
，
令
0
x
，
1
,
x
a
，令
0
x
，
0,1
x
a
，
即
x
在
0,1
a
上单调递减，在
1
,a
上单调递增，
当1
e
a
即
e
1
a
时，
x
在
1,e 上单调递减，
min
1
e
e
e
a
x
a
，则
1
e
0
e
a
a
，解得
2e
1
e 1
a
，
2e
1
e 1
e 1
，
2e
1
e 1
a
，
当1
e
a
即0
e 1
a
时，
x
在
1,1 a
上单调递减，在
1
,e
a
上单调递增，
min
1
2
ln 1
x
a
a
a
a
，因为
0
ln 1
1
a
，所以
0
ln 1
a
a
a
，
则
2
2
2
ln 1
a
a
a
a
，即
1
2
a
，不合题意，
综上，a 的取值范围为
2e
1,
e
1
.
3.已知函数f(x)＝－2aln x－2
x ，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2
x ，其中a∈R.
(1)若x＝2 是函数f(x)的驻点，求实数a 的值；
(2)当a >0 时，求函数g(x)的单调区间；
(3)若存在x[ 1
e ，e2 ]（e 为自然对数的底），使得不等式f(x)g (x)成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1) 1
2
(2)答案见解析
(3)
e,
【详解】（1）若
2
x
是函数
f
x 的驻点，则
2
0
f
，可得
2
1
2
2
0
2
2
a
，即得
1
2
a
．
（2）函数
g x 的定义域为
0,
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
ax
a
x
ax
x
a
g
x
a
x
x
x
x
，
当
0
a
时，令
0
g
x
，可得
1
0
x
a
或
2
x
，
①当1
2
a
，即
1
2
a
时，对任意的
0
x
，
0
g
x
，
此时，函数
g x 的单调递增区间为
0,
．
②当
1
0
2
a
，即
1
2
a
时，
令
0
g
x
，得
1
0
x
a
或
2
x
，
令
0
g x
，得1
2
x
a
，
此时，函数
g x 的单调递增区间为
1
0, a
和
2,，单调递减区间为1 ,2
a
.
③当1
2
a
，即
1
0
2
a
时，令
0
g
x
，得0
2
x
或
1
x
a
；令
0
g x
，得
1
2
x
a
，
此时，函数
g x 的单调递增区间为
0,2 和1 ,
a
，单调递减区间为
1
2, a
.
（3）由
f x
g x
，可得
ln
0
ax
x
，即
ln x
a
x
，其中
2
1 ,e
e
x
，
令
ln x
h x
x
，
2
1 ,e
e
x
，若存在
2
1 ,e
e
x
，使得不等式
f x
g x
成立，则
min
a
h x
，
2
1 ,e
e
x
，
2
1
ln x
h
x
x
，令
0
h x
，得
e
x，
当1
e
e
x
时，
0
h x
，当
2
e
e
x
时，
0
h x
，
∴函数
h x 在1,e
e
上严格递增，在
2
e,e 上严格递减，
∴函数
h x 在端点
1
e
x
或
2e
x
处取得最小值．
∵
1
e
e
h
，
2
2
2
e
e
h
∴
1
h
h
e
e
，
∴min
1
h x
h
e
e
，∴
e
a
≥
，
因此，实数a 的取值范围是
,e
4.设函数
2ln
p
f
x
px
x
x
，其中e 是自然对数的底数.
(1)当
3
2
p
时，求函数
f
x 的极值.
(2)若
f
x 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围.
(3)设
2e
g x
x
，若在
1,e 上至少存在一点
0x ，使得
0
0
f x
g x
成立，求实数p 的取值范围.
【答案】(1)函数的极大值为2ln 3
1
，极小值为1
2ln 3
；
(2)
1
p或
0
p；
(3)
2
4e
e
1
p
.
【详解】（1）解：由已知
2ln
p
f x
px
x
x
，得
2
2
2
( )
px
x
p
f
x
x
，
3
2
p
时，
2
(
3)( 3
1)
( )
2
x
x
f
x
x
．令
( )
0
f
x
，可得
3
x
或
3
3
，
函数在
3
(0,
)
3
，( 3 ，
)
上为单调增函数，在
3
( 3 ，
3) 上为单调减函数，
所以函数的极大值为
3
3
3
3
3
(
)
3
2ln
=2ln
3
1
3
2
3
2
3
f
，极小值为
3
3
3
( 3)
3
2ln 3=1
2ln 3
2
2
3
f
.
函数的极大值为2ln 3
1
，极小值为1
2ln 3
.
（2）解：
2
2
2
2
2
( )
p
px
x
p
f
x
p
x
x
x
，
令
2
( )
2
h x
px
x
p
，要使
( )
f x 在其定义域(0,
)
内是单调函数，只需( )
h x 在(0,
)
内，
满足( ) 0
h x 或( ) 0
h x 恒成立，
当且仅当
2
(
1) 2
p x
x
时，( ) 0
h x ，
2
(
1) 2
p x
x
时，( ) 0
h x ，
因为
2
1
0
x + > ，所以当且仅当
2
2
1
x
p
x
时，( ) 0
h x ，
2
2
1
x
p
x
时，( ) 0
h x ，
因为在(0,
)
内有
2
2
2
2
2
0
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
，当且仅当
1
x
x
即
1
x 时取等号，
所以当
1
p时，( ) 0
h x ，
( ) 0
f
x
，此时
( )
f x 在(0,
)
单调递增，
当
0
p时，( ) 0
h x ，
( ) 0
f
x
，此时
( )
f x 在(0,
)
单调递减，
综上，p 的取值范围为
1
p或
0
p．
（3）解：
2e
( )
g x
x
，在[1，e] 上是减函数，
e
x
时，( )
2
min
g x
；
1
x 时，
( )
2e
max
g x
，即
( )
[2
g x
，2e].
①
0
p时，由（2）知
( )
f x 在[1，e] 递减
( )
max
f
x
f
（1）
0
2
，不合题意.
②0
1
p
时，由
[1
x
，
1
e]
[0
x
x
，
1
e
]
e
1
1
1
1
( )
(
)
2ln
2ln
e
2lne
e
2
2
e
e
f x
p x
x
x
x
x
x
不合题意
③
1
p时，由（1）知
( )
f x 在[1，e] 上是增函数，故只需
( )
( )
2
max
min
f x
g x
，
[1
x
，e] ，而
( )max
f x
f
（e）
1
(e
)
2
e
p
，
( )
2
min
g x
，
1
(e
)
2
2
e
1
p
p
，解得
2
4e
e
1
p
．
故p 的取值范围为
2
4e
(e
1
，
)
．
题型七：最值定位法解决双参不等式问题
1.已知函数
sin x
f x
x
．
(1)当
π
0, 2
x
时，求函数
f
x 的最小值；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
(2)若
3
3
ex
x
g x
x
x
a
，且对
1
π
0, 2
x
，都
2
0,2
x
，使得
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范
围．
【答案】(1) 2
π ；
(2)
1
,
1
e
.
【详解】（1）因为函数
sin
π
,
0, 2
x
f x
x
x
，所以
2
cos
sin
x
x
x
f
x
x
．
设
π
cos
sin ,
0, 2
u x
x
x
x x
，则
sin
0
u
x
x
x
，故
u x 在
π
0, 2
上递减．
0
0
u x
u
，即
π
0,
0, 2
f
x
x
，
( )
f
x
\
在
π
0, 2
上单调递减，最小值为
π
2
2
π
f
．
（2）令
π
sin
,
0, 2
h x
x
x x
，则
cos
1
0
h x
x
在
π
0, 2
上恒成立，
即函数
h x 在
π
0, 2
上单调递减，所以
0
0
h x
h
，
所以
π
sin
,
0, 2
x
x x
，即
sin
1
x
f x
x
在
π
0, 2
上恒成立；
又
2
1
1
3
1
1
3
e
e
x
x
x
g
x
x
x
x
x
，当
0,2
x
时
1
3
3
0
ex
x
，
0,1 ,
0,
x
g
x
g x
在区间
0,1 上单调递增；
1,2 ,
0,
x
g
x
g x
在区间
1,2 上单调递减．
函数
g x 在区间
0,2 上的最大值为
1
1
1
1 3
2
e
e
g
a
a
．
综上，只需1
2
1
e
a
，解得
1
1
e
a
，即实数a 的取值范围是
1
,
1
e
．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
2.已知函数
2
ex
x
f x
，
ln
e
g x
x
ax
，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数
f
x 的极值；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
(2)对
1
1,0
x
，总存在
2
2
2,e
x
，使
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
0
f x
极小值
，
2
4
e
f x
极大值
(2)
1
e
a
【详解】（1）解：因为
2
ex
x
f x
，该函数的定义域为R ，则
2
2
ex
x
x
f
x
令
0
f
x
，得
0
x
或2 ，列表如下：
x
,0
0
0,2
2
2,
f
x
0
0
f
x
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
0
0
f x
f
极小值
，
2
4
2
e
f x
f
极大值
.
（2）解：由题意可得
1
2
max
f x
g x
，
由（1）可知
1
f x
在
1,0
单调递减，
∴
1
max
1
e
f
x
f
，∴
2
2
ln
e
e
x
ax
在
2
2
2,e
x
有解，
2
2
ln x
a
x
，
令
2
2
2
ln x
h x
x
，
2
2
2,e
x
，令
2
2
2
2
1
ln
0
x
h
x
x
，
2
e
x
2
x
2
2,e
e
2
e,e
2e
2
h x
0
2
h x
ln 2
2
单调递增
极大值1
e
单调递减
2
2
e
所以
2
max
1
e
h x
，
1
e
a
.
3.已知函数
1
2
( )
(
1)e x
f x
x
mx
，当0
6
m
时，
3
4
( )
g x
x
mx
x
，
0,2
x
，若
1x
R ，
2
0,2
x
，
使
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，求实数m 的取值范围．
【答案】
e
0,3
2
【详解】将
1x
R ，
2
0,2
x
，使
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，等价为
min
max
( )
( )
f x
g x
，
由
1
2
( )
(
1)e x
f x
x
mx
，xR ，则
1
1
1
( )
e
(
1)e
2
e
2
x
x
x
f
x
x
mx
x
m
，
又0
6
m
，且
1
e
0
x
，则
1
e
2
0
x
m
，
则当
0
x
时，
( )
0
f
x
；当
0
x
时，
( )
0
f
x
，
所以
( )
f x 在区间
,0
上单调递减；在区间
0,
上单调递增，
所以
min
( )
(0)
e
f x
f
．
又
3
4
( )
g x
x
mx
x
，
0,2
x
，则
2
2
4
( )
3
4 3
g x
x
m
m
x
，
又0
6
m
，
( )
0
g x
，
所以( )
g x 在区间
0,2 上单调递增，
所以
max
( )
(2)
8
2
2
6
2
g x
g
m
m
，
又
min
max
( )
( )
f x
g x
，则e
6
2m
，解得
e
0
3
2
m
，
故m 的取值范围为
e
0,3
2
．
4.设函数
2
e
ex
x
ax
a
f x
，
R
a
．
(1)若曲线
y
f x
在
1
x 处的切线过点
2,3
M
，求a 的值；
(2)设
1
1
1
3
g x
x
x
若对
0,2
n
，
0,2
m
，使得
f m
g n
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1) 1
(2)
2
,4
2e
,
e
【详解】（1）∵
2
e
ex
x
ax
a
f x
，
∴
2
2
2
1
e
2
e
e
2
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
ax
a
x
a
x
ax
a
x
x
a
f
x
．
又
1
1
f
，即切点为
1,1 ，
∴
3 1
1
1
2 1
k
f
a
，解得
1
a ．
（2）“对
0,2
n
，
0,2
m
，使得
f m
g n
成立”，即
“在
0,2 上，
max
max
f
x
g
x
”．
∵
1
1
1
3
g x
x
x
，
2
2
2
0
1
x
x
g
x
x
，
∴
g x 在
0,2 上单调递增，
∴
max
2
2
g
x
g
．
令
0
f
x
，得
2
x
或x
a
．
①当
0
a
时，
0
f
x
在
0,2 上恒成立，
f
x 单调递增，
1
max
2
4
e
2
f
x
f
a
，解得
4
2e
a
；
②当0
2
a
时，
0
f
x
在
0,a 上恒成立，
f
x 单调递减，
0
f
x
在
,2
a
上恒成立，
f
x 单调递
增，
1
max
2
4
e
f
x
f
a
或
max
0
e
f
x
f
a
，
∴
1
4
e
2
a
或e
2
a
．
解得：
4
2e
a
或
2
e
a
，∴2
2
e
a
；
③当
2
a
时，
0
f
x
在
0,2 上恒成立，
f
x 单调递减，
max
0
e
2
f
x
f
a
，解得
2
e
a
，
∴
2
a
．
综上所述：
4
2e
a
或
2
e
a
，即a 的取值范围为
2
,4
2e
,
e
5.已知函数
1
ln
1
R
a
f x
x
ax
a
x
．
(1)当
1
0
2
a
时，讨论
f
x 的单调性；
(2)设
2
2
4
g x
x
bx
．当
1
4
a
时，若对
1
0,2
x
，
2
1,2
x
，使
1
2
f x
g x
，求实数b 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) 17 ,
8
【详解】（1）∵
1
ln
1
a
f
x
x
ax
x
，∴
2
2
2
1
1
1
,
0,
a
ax
x
a
f
x
a
x
x
x
x
，
令
0
f
x
，可得两根分别为1，1
1
a ，
∵
1
0
2
a
，∴1
1 1
0
a
当
0,1
x
时，
0
f
x
，函数
f
x 单调递减；
当
1
1,
1
x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f
x 单调递增；
当
1
1,
x
a
时，
0
f
x
，函数
f
x 单调递减．
（2）
1
1
0,
4
2
a
，
1
1
3
0,2
a
，由（1）知，
当
0,1
x
时，
0
f
x
，函数
f
x 单调递减；
当
1,2
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f
x 单调递增，
∴
f
x 在
0,2 上的最小值为
1
1
2
f
．
对
1
0,2
x
，
2
1,2
x
，使
1
2
f x
g x
，即
g x 在
1,2 上的最小值不大于
f
x 在
0,2 上的最小值
1
2
，（*）
又
2
2
4
,
1,2
g x
x
b
b
x
，
∴①当
1
b时，
min
1
5
2
0
g x
g
b
，此时与（*）矛盾；
②当1
2
b
时，
2
min
4
0
g x
b
，同样与（*）矛盾；
③当
2
b
时，
min
2
8
4
g x
g
b
，且当
2
b
时，8
4
0
b
，
解不等式
1
8
4
2
b
，可得
17
8
b
，
∴实数b 的取值范围为17 ,
8
．
题型八：值域法解决双参等式问题
1.已知函数
1
2
x
x
m
f x
m
n
（其中
0
m
且
1,
0
m
n
）是奇函数．
(1)求m ，n的值并判断函数
y
f x
的单调性；
(2)已知二次函数
2
g x
ax
bx
c
满足
2
2
g
x
g
x
，且其最小值为3
．若对
1
1,2
x
，都
2
1 ,8
2
x
，使得
1
2
2
log
f
x
g
x
成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
2
m
，
1
n ，函数
y
f x
在R 上单调递增
(2)
7 ,
15
【详解】（1）由条件可知函数
y
f x
的定义域为R ，由
y
f x
是奇函数知
0
0
f
，
即
2
0
1
m
n
，解得
2
m
，
所以
1
2 2
1
2
2
2
2
x
x
x
x
f x
n
n
，
又
2 2
1
2 1 2
2 2
1
2 2
1
2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f x
n
n
n
n
，
于是
2
1
2
x
x
n
n
对任意的xR 恒成立，
即
1 2
1
0
x
n
对任意的xR 恒成立，解得
1
n ，
所以
1
2
2
2
1
x
x
f x
，
又
1
2 2
1
2 2
1 2
2
2
4
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
f x
，
因2
1
x 在R 上单调递增，且2
1
0
x
，
所以
4
2
1
x 在R 上单调递减，
4
2
1
x
在R 上单调递增，
于是函数
y
f x
在R 上单调递增．
（2）由（1）知当
1,2
x
时，函数
y
f x
的值域为
2 6
,
3 5
又根据条件得
2
(
2)
3
g x
a x
且
0
a
，
所以
g x 在
,2
x
时单调减，
2,
x
时单调增；
当
1 ,8
2
x
时，
2
log
1,3
x
，则函数
2
log
g
x 的值域为
3,9
3
a
，
因为对
1
1,2
x
，都
2
1 ,8
2
x
，使得
1
2
2
log
f
x
g
x
成立，
所以
2 6
,
3,9
3
3 5
a
，所以
6
9
3
5
a
，解得
7
15
a
，
因此实数a 的取值范围为
7 ,
15
．
2.函数
2
1
1
x
x
f
x
x
，
2
3
g x
x
ax
.
(1)当
1,4
x
时，总有
g x
a
成立，求实数a 的取值范围；
(2)若
3
a ，对
1
2,
x
，
2
2,
x
，使得
1
2
f x
g x
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
6
a
(2)
3, 2
a
【详解】（1）解：由
g x
a
得
2
1
3
a x
x
，
当
1
x 时，此时
R
a
；
当1
4
x
时，
2
3
4
1
2
1
1
x
a
x
x
x
，
因为1
4
x
，故
1
0
x
，
所以
4
4
1
2
2
1
2
6
1
1
x
x
x
x
，
当且仅当
4
1
1
x
x
时等号成立，即
3
x
时等号成立，
故
6
a ；
综合得：
6
a ；
（2）记
|
( ),
[2,
)
A
y y
f x x
，
|
( ),
[2,
)
B
y y
g x x
，
因为对
1
2,
x
，
2
2,
x
，使得
1
2
f x
g x
，
所以A
B
，
因为
1
1
1
3
1
f x
x
x
，当且仅当
2
x
时，等号成立，
所以
[3,
)
A
，
当
3
a 时，
g x 在
2,上单调递增，
所以
2
7
2
g x
g
a
，
故
[7
2 ,
)
B
a
，
因为A
B
，
所以7
2
3
a
，即
2
a ，
又
3
a ，
故
3, 2
a
.
3.已知函数
2
2
f x
x
x
a
，
5
g x
ax
a
.
(1)若函数
y
f x
在区间
3,0
上存在零点，求实数a 的取值范围；
(2)若对任意的
1
3,3
x
，总存在
2
3,3
x
，使得
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
15,0
(2)
,
6
10,
【详解】（1）由题知，
2
2
f x
x
x
a
，
因为
y
f x
的图象开口向上，对称轴为
1
x ，
所以函数
f
x 在
3,0
上单调递减
因为函数
y
f x
在区间
3,0
上存在零点，
所以
( 3)
15
0
(0)
0
f
a
f
a
，解得15
0
a
，
所以实数a 的取值范围为
15,0
.
（2）记函数
2
2
f x
x
x
a
，
3,3
x
的值域为集合A ，
5
g x
ax
a
，
3,3
x
的值域为集合B ，
则对任意的
1
3,3
x
，总存在
2
3,3
x
，使得
1
2
f x
g x
成立
A
B
，
因为
y
f x
的图象开口向上，对称轴为
1
x ，
所以当
3,3
x
，
min
1
1
f x
f
a
，
max
3
15
f x
f
a
，
得
|
1
15
A
y a
y
a
，
当
0
a
时，
g x 的值域为
5 ，显然不满足题意；
当
0
a
时，
g x 的值域为
| 5
4
5
2
B
y
a
y
a
，
因为A
B
，
所以
5
4
1
5
2
15
a
a
a
a
，解得
10
a
；
当a<0 时，
g x 的值域为
| 5
2
5
4
B
y
a
y
a
，
因为A
B
，所以
5
2
1
5
4
15
a
a
a
a
，解得
6
a ，
综上，实数a 的取值范围为
,
6
10,
.
4.已知函数
2
( )
2,
R
f x
x
ax
a
．
(1)若不等式
( )
0
f x
的解集为[1,2] ，求不等式
2
( )
1
f x
x
的解集；
(2)若对于任意
[ 1,1]
x
，不等式
( )
2 (
1)
4
f x
a x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)已知
( )
g x
x
m
，当
3
a 时，若对任意
1
[1,4]
x
，总存在
2
(1,8)
x
，使
1
2
f x
g x
成立，求实数m
的取值范围．
【答案】(1)
1
,
1,
2
；
(2)
1
, 3
；
(3)
31
7, 4
【详解】（1）由题意，1,2 为方程
2
2
0
x
ax
的两个不等实数根，
1
2
3
a
a
，所以不等式
2
( )
1
f x
x
为
2
2
2
3
2
1
2
3
1
0
x
x
x
x
x
，
解得
1
2
x
或
1
x
，所以不等式解集为
1
,
1,
2
.
（2）
2
( )
2 (
1)
4
2
2
0
f x
a x
x
x
a
a
对
[ 1,1]
x
恒成立，
令
2
2
2
a
h x
x
x
a
，即
0
h x
对
[ 1,1]
x
恒成立，
因为函数
h x 开口向上，故只需满足
1
0
1
2
2
0
1
0
1
2
2
0
h
a
a
h
a
a
，
解得
1
3
a
，所以a 的取值范围为
1
, 3
（3）当
3
a 时，
2
( )
3
2
f x
x
x
，开口向上，对称轴为
3
2
x
当
[1,4]
x
时，
min
1
( )
4
f x
，
max
( )
6
f x
，
1
( )
6
4
f x
，
(1,8)
x
时，
( )
8
, 1
g x
m
m
，由题意，
对任意
1
[1,4]
x
，总存在
2
(1,8)
x
，使
1
2
f x
g x
成立，
即函数
f
x 的值域是函数
g x 的值域的子集，
即
1 ,6
4
8
, 1
m
m
，
1
8
4
1
6
m
m
，
解得
31
7
4
m
，所以m 的取值范围为
31
7, 4
.
