4.9数列求和13种归类：高考版（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_数列（包含一个合集）

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4.9 数列求和13 种归类（高考版）
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：等差等比数列求和.......................................................... 2
题型二：分组求和......................................................................3
题型三：倒序求和......................................................................4
题型四：错位相消求和................................................................ 5
题型五：裂项相消常规型............................................................. 6
题型六：分段求和......................................................................7
题型七：正负相间求和................................................................ 8
题型八:
λ(an+1−an)
an+1⋅an
型裂项相消.........................................................9
题型九:
λan
(an−t)(an+1−t)⋅型裂项相消................................................. 10
题型十:( −1)�−1 λ(an+1+an)
an+1⋅an 型裂项相消............................................ 11
题型十一:( −1)�−1 λ(an+1−an)
an+1⋅an 型裂项相消......................................... 12
题型十一：“分子分母有理化”型裂项........................................... 12
题型十二：
��+�
(��+�)[�(�+1)+�] ⋅
1
��型裂项相消........................................ 13
模块二：高考真题....................................................................... 14
模块三：各地模拟....................................................................... 16
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4.9 数列求和13 种归类（高考版）
模块一：题型分类
题型一：等差等比数列求和
1.已知数列
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
3
6
a 
,
3
12
S 
，设
2
n
a
nb 
.
（1）求
na ；（2）求数列
nb
的前n 项和
nT .
【提分笔记】
基本规律
等差等比求和公式：
等差：前n 项和公式：Sn＝na1＋nn－1
2
d＝na1＋an
2
.
等比：前n 项和公式：Sn＝
na1，q＝1，
a11－qn
1－q
＝a1－anq
1－q
，q≠1.
2.在等差数列
na
中，
2
4
7
4,
15
a
a
a



.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
2
2
n
a
nb


，求
1
2
3
10
b
b
b
b





的值.
3.已知等差数列
na
的公差不为零，
1
25
a 
，且
1
11
13
,
,
a a
a 成等比数列．
（1）求
na
的通项公式；（2）求
1
4
7
3
2
n
a
a
a
a






．
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题型二：分组求和
1.已知在等比数列
na
中，
1
1
a 
，且
2a 是
1a 和
3
1
a 的等差中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足


*
2
n
n
b
n
a
n
N



，求
nb
的前n 项和
n
S .
【提分笔记】
基本规律
分组求和法：
1.形如an＝b
c
n
n

（等差）（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝b
c
n
n

（等差比）（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝b
c
b
c
n
n
n
n

，（，为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.已知正项等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足关于x 的不等式
2
1
2
2
0
a x
S x



的解集为(1,2).
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
2
2log
2
1
n
n
n
b
a
a


，求数列
nb
的前n 项和
nT .
3.已知正项数列
na
满足：
1a
a

，
2
2
1
1
4
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a






，n

N .
（1）判断数列
na
是否是等比数列，并说明理由；
（2）若
2
a 
，设
n
n
a
b
n


，n

N ，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
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题型三：倒序求和
1.已知函数
3
3
( )
log 1
x
f x
x


．
（1）证明函数
( )
f x 的图像关于点1
(
,1)
2
对称;
（2）若
1
2
1
( )
( )
...
(
)(
,
2)
n
n
S
f
f
f
n
N
n
n
n
n








，求
n
S ；
【提分笔记】
基本规律
倒序求和，多是具有中心对称的
2.设奇函数��对任意�∈�都有�(�) = �(�−1) +
1
2 .
(1)求�
1
2 和�(
�
�) + �(
�−�
�)(�= 0,1,2, …, �)的值；
(2)数列��满足：��= �0 + �
1
�+ �
2
�+ ⋯�
�−1
�
+ �1 −�
1
2 ，数列��是等差数列吗？请给予证
明；
3.已知f(x)＝
1
4
2
x 
(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2 的中点P
的横坐标是1
2 .
（1）求证：点P 的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝


*
N ,
1,2,3,
,
n
f
m
n
m
m









，求数列{an}的前m 项和Sm.
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题型四：错位相消求和
1.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
2
4
S
S

，
2
1
2
1
a
a

.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
nb
满足


2
1
4
n
n
n
a
b


，求数列
nb
的前n 项和
n
R .
【提分笔记】
基本规律
错位相减法：形如an＝b
c
n
n

（等差）（等比），用错位相减法求解．
2.设{
}
n
a
是公比不为1 的等比数列，
1a 为
2
a ，
3
a 的等差中项．（1）求{
}
n
a
的公比；
（2）若
1
1
a ，求数列{
}
n
na
的前n 项和．
2.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
4
a 
，且对任意正整数n ，点

1,
n
n
a
S

都在直线
3
2
0
x
y



上.（1）
求
na
的通项公式；
（2）若
n
n
b
na

，求
nb
的前n 项和
nT .
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题型五：裂项相消常规型
1.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
15
S 
，
7
35
S 
.
（1）求
na
的通项公式
na ；
（2）若
1
2
1
n
n
a b
n


，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【提分笔记】
基本规律
裂项相消法：常用的裂项公式有：
①
1
nn＋1
＝1
n－1
n＋1
；
②
1
2n－12n＋1＝1
2
1
2n－1
－
1
2n＋1 ；
③
1
n＋n＋1
＝n＋1－n；
④
2n
2n－12n＋1－1＝
1
2n－1
－
1
2n＋1－1
；
⑤
n＋1
n2n＋22＝1
4×(n+2)2－n2
n2(n+2)2 ＝1
4×[
1
(n+2)2－1
n2]
2.设数列
na
满足：
1
1
a 
，且
1
1
2
n
n
n
a
a
a




（
2
n 
），
3
4
12
a
a


.
（1）求
na
的通项公式：
（2）求数列
2
1
n
n
a a 






的前n 项和.
3.已知公差不为零的等差数列
na
满足：
3
8
20
a
a


，且
5a 是
2a 与
14
a 的等比中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a a 

，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
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题型六：分段求和
1.设
na
是等差数列，
nb
是等比数列.已知
1
1
a 
，
1
2
b 
，
2
2
2
b
a

，
3
3
2
2
b
a


.
（1）求
na
和
nb
的通项公式；
（2）数列
nc
满足
1,
2 (
)
,
2
k
n
k
n
n
c
k
N
a n







，设数列
nc
的前n 项和为
n
S ，求
2n
S
.
【提分笔记】
基本规律
分段数列求和：
1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
2
a 
，


1
1
0
2
n
n
n
n
S S
S
S
n






.
（1）求证：数列
1
n
S






是等差数列；
（2）若
1
,
3
2
,
n
n
n
S
n
C
n
n






奇
偶
为
数
为
数
，设数列

n
C
的前n 项和为
nT ，求
2n
T
.
3.已知等比数列{ }
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a 
，且4
n
S ，
1
3
n
S ，
2
2
n
S 成等差数列.
（1）求{ }
na
的通项公式；
（2）若数列{ }
nb
满足
1
0
b 
，
1
1
n
n
b
b

，设
,
2
1,
,
2 ,
n
n
n
a n
k
k
Z
c
b n
k k
Z








，求数列{ }
nc
的前2n项和.
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题型七：正负相间求和
1.已知数列
na
的前n 项和是
n
S ，且


2
1
n
n
S
a
n



*
N
.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）令
2
log
n
n
b
a

，求数列



2
1
n
nb

前2n 项的和T .
【提分笔记】
基本规律
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后
的奇数项通项。
2.设
n
S 是数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a 
，
1
2
2
n
n
S
a 


⑴求数列
na
的通项公式；
⑵设


1
2
1
log
n
n
n
b
a

，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.已知等差数列
na
满足：
2
4
a 
，
5
3
2
2
0
a
a



.
（1）求
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足：




*
1
n
n
n
b
a
n n
N



，求
nb
的前n 项和
n
S .
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题型八:
�(��+�−��)
��+�⋅��
型裂项相消
1.数列 
na
满足
1
1
a 
，2
3
a 
且


*
2
1
2
1
1
2
N
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
a
a
a










.（1）设
1
n
n
n
n
a
b
a
a



，证明：数列 
nb
是等差数列；（2）设


2
1
1
n
n
n
n
a
c
a a 


，求数列 
nc
的前n 项和为
n
S .
【提分笔记】
基本规律
1.形如a-b
ab ，可列为
a-b
1
1
ab
b
a


型。其中，分子a-b 是隐藏比较深的分母相减结果，需要注意构造出
这种形式。
2.如果分子次幂比较高，可以先分离常数，再构造分母之差的形式。
2.正项数列
na
的前n 项和Sn 满足：
2
2
2
(
1)
(
)
0
n
n
S
n
n
S
n
n






(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)令
2
2
1
(
2)
n
n
n
b
n
a



，数列{bn}的前n 项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜5
64
.
3.等差数列
na
满足
1
3
a 
，
2
1
a ，
5
1
a 
，
9
5
a 
成等比数列，数列
nb
满足
1
1
b 
，
1
n
n
n
b
b
a


.
（Ⅰ）求数列
na
，
nb
的通项公式；（Ⅱ）数列
1
n
n
n
a
b b 






的前n 项和为
nT ，证明
1
nT .
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题型九:
���
(��−�)(��+�−�)⋅型裂项相消
1.已知数列
na
满足
1
1
a 
，
1
4
2
n
n
n
a
a 


.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）令



1
2
1
1
n
n
n
n
b
a
a 



，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若对于任意的n

N ，均有
n
m
T

恒成立，
求实数m 的取值范围.
【提分笔记】
基本规律
形如



+1
f (n)
t
t
n
n
a
a


指数型，其中f（n）可构造为



+1
f(n)
[
t
t ]
n
n
a
a





，化为
a-b
1
1
ab
b
a


。
注意构造过程中指数幂的运算。
2.在数列
na
中，
1
1
a 
，
2
3
a 
，且对任意的nN
*，都有
2
1
3
2
n
n
n
a
a
a




.
（Ⅰ）证明数列

1
n+
n
a
a

是等比数列，并求数列
na
的通项公式；
（Ⅱ）设
1
2n
n
n
n
b
a a 

，记数列
nb
的前n 项和为
n
S ，若对任意的nN
*都有
1
n
n
S
m
a


，求实数m 的取
值范围.
3.在数列
na
中，
1
1
a 
，
2
2
a 
，
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a




.
（1）求
na
的通项公式；
（2）
2
1
5
2
3
n
n
a
b


，
n
S 是数列

n
n
b
b

的前n 项和，
n
n
n
b
T
S

，求证：
1
2
3
2
n
T
T
T



．
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题型十:( −1)�−1 �(��+�+��)
��+�⋅��型裂项相消
1．已知
n
S 是公差不为零的等差数列
na
的前n 项和，
3
3
6,
S
a

是
1a 与
9a 的等比中项.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设数列


*
2
4
( 1)
4
1
n
n
n
a
b
n
N
n



，数列
nb
的前2n项和为
2n
P ，若
2
1
1
2020
n
P 

，求正整数n 的最小
值.
【提分笔记】
基本规律
形如

1
1
f (n)
1
a
a
n
n
n



g
型，可构造
1
f(n)
a
a
n
n




（
），化为
a
b
1
1
ab
b
a



利用正负相间裂项相消求和。
2.已知数列{an}的中a1=1，a2=2，且满足
1
1
1
1
 
1
n
i
i
i
n
n
a
a
a







.（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn
2
1
1
( 1)n
n
n
n
a
a a




，记数列{bn}的前n 项和为Tn，若|Tn+1|
1
2020

，求n 的最小值.
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
*
1
1
2
8,
,
8
n
n
S
a
n
n
N
a






，设
2
n
n
b
a


.（1）证明：
nb
是
等比数列；（2）设



1
( 1)
2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
c




，求
nc
的前n 项和
nT ，若对于任意
*,
n
n
N
T


.
恒成
立，求取值范围.
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题型十一:( −1)�−1 �(��+�−��)
��+�⋅��型裂项相消
1.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
na 是4 与
n
S 的等比中项.（1）求
na
的通项公式；
（2）求数列

1
1
1
n
n
n
n
a
a















的前2n 项和
2n
T
.
【提分笔记】
基本规律
形如

1
1
f (n)
1
a
a
n
n
n



g
型，可构造
1
f(n)
a
a
n
n




（
），化为a
b
1
1
ab
b
a



利用正负相间裂项相消求和。
注意构造过程中指数幂的运算。
题型十一：“分子分母有理化”型裂项
1.数列
na
满足
1
1
a 
，
2
1
2
n
n
a
a

.（1）求证:数列
na
是等比数列，并求出
na
的通项公式；
（2）若
2
7
2
6
2
log
log
n
n
n
b
a
a




，求数列
nb
的前2019 项和.
【提分笔记】
基本规律
一般情况下，无理型
1
n
k
n
k
n
n
k





2.设{an}是各项都为整数的等差数列，其前n 项和为
n
S ，
nb
是等比数列，且
1
1
1
a
b


，
3
2
7
a
b


，
5 2
50
S b 
，
*
n
N

.（1）求数列
na
，
nb
的通项公式；
（2）设cn＝log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn，
1
2
3
n
n
n
n
c
n
n
c
c
c
T
a
a
a
a









.
（i）求Tn；（ii）求证：
2
1
n
i
iT
i



＜2.
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3.已知数列
na
的前项和满足


2
n
n
S
na
n n



N
，且
2
3
a 
.
（1）求证：数列


1
2
1
na
n
n









是常数数列；
（2）设
1
1
1
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a




，
nT 为数列
nb
的前n 项和，求使
9
20
nT 
成立的最小正整数n 的值.
题型十二：
��+�
(��+�)[�(�+1)+�] ⋅
1
��型裂项相消
1.已知正项数列
na
满足：
1
1
a 
，
2
1
1
n
n
n
a
S
S




，其中
n
S 是数列
na
的前n 项和．
（1）求数列
na
的通项公式；（2）设



1
2
1
2
1 3 n
n
n
a
n
n
a
b
a
a




，证明：
1
2
1
4
n
b
b
b



．
【提分笔记】
基本规律
形如
1
(
)[ (
c
1)
]
n
n
kn
b k n
b
a






型“等差指数幂”裂项型，分子n
c

可构造为
n 1
n
[ (
1)
]a
(
)a
k n
b
kn
b





，化为
a
b
1
1
ab
b
a



裂项求解。
2.设
na
是等差数列，
nb
是等比数列，公比大于0，已知
1
1
b 
，2
3
2
1
b
b

，

2
6
4
1
a
a
b

，4
2
5
3
a b
a
a


（1）求数列
na
，
nb
的通项公式；（2）设
1
1
(
2)
nc
n n


，
*
1
2
3
(
)
n
n
S
c
c
c
c
n
N





（i）求
n
S （ii）求
*
1
1
(
)
n
k
k
k
k
b
b
n
N
kS





．
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3.已知
na
为单调递增数列，
n
S 为其前n 项和，
2
2
n
n
S
a
n


(Ⅰ)求
na
的通项公式；
(Ⅱ)若
2
1
1
,
2
n
n
n
n
n
n
a
b
T
a
a






为数列
nb
的前n 项和，证明：
1
2
nT 
.
模块二：高考真题
1.等差数列
na
的首项为1，公差不为0 ．若
2a 、
3a 、
6a 成等比数列，则
na
的前6 项的和为（
）
A．24

B．3

C．3
D．8
2.记
n
S 为数列
na
的前n 项和．已知2
2
1
n
n
S
n
a
n 

．
(1)证明：
na
是等差数列；
(2)若
4
7
9
,
,
a a a 成等比数列，求
n
S 的最小值．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
9
4
a 
，且
1
4
3
9
n
n
S
S


.
（1）求数列
na
的通项；
（2）设数列
nb
满足
*
3
(
4)
0(
)
n
n
b
n
a
n
N




，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
n
n
T
b


对任意
N
n


恒成立，
求实数的取值范围.
4.设
na
是首项为1 的等比数列，数列
nb
满足
3
n
n
na
b 
．已知
1a ，
2
3a ，
3
9a 成等差数列．（1）求
na
和
nb
的通项公式；
（2）记
n
S 和
nT 分别为
na
和
nb
的前n 项和．证明：
2
n
n
S
T 
．
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5.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n






为奇数
为偶数
（1）记
2
n
n
b
a

，写出
1b ，
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
（2）求
na
的前20 项和.
6.等比数列
na
的各项均为正数，且
2
1
2
3
2
6
2
3
1,
9
a
a
a
a a



.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列
1
nb






的前n项和
nT .
7.已知数列{
}
na
满足
2
1
2
(
1)
*,
1,
2
n
n
a
qa q
q
n
N
a
a





为实数，且
，
，且
2
3
3
4
4
5
,
,
a
a a
a a
a
+
+
+
成等差数列.
（Ⅰ）求q的值和{
}
na
的通项公式；
（Ⅱ）设
*
2
2
2
1
log
,
n
n
n
a
b
n
a


N ，求数列
nb
的前n 项和.
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8.已知数列{an}的前n 项和
2
1
(
)
2
n
S
n
kn k
N 



,且Sn 的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列9
2
2
n
n
a







的前n 项和Tn．
9.已知公比大于1的等比数列{
}
na
满足
2
4
3
20,
8
a
a
a


．
（1）求{
}
na
的通项公式；
（2）求
1
1
2
2
3
1
( 1)n
n
n
a a
a a
a a




.
10.设{
}
na
是公比不为1 的等比数列，
1a 为
2a ，
3a 的等差中项．
（1）求{
}
na
的公比；
（2）若
1
1
a ，求数列{
}
n
na
的前n项和．
模块三：各地模拟
1.已知数列
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
3
6
a 
,
3
12
S 
，设
2
n
a
nb 
.
（1）求
na ；
（2）求数列
nb
的前n 项和
nT .
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2.已知等差数列{ }
na
中，
2
5
a 
，
5
14
a 
，数列{ }
nb
的前n 项和
2
1
n
n
S
b

.
（1）求
na ，
nb ；
（2）若
n
n
n
c
a
b


，求{ }
nc
的前n 项和
nT .
3.设




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
是函数

2
1
log
2
1
x
f x
x



的图象上任意两点，且
1 (
)
2
OM
OA
OB





，已知
点M 的横坐标为1
2
．（1）求证：M 点的纵坐标为定值；
（2）若
*
1
2
1
...
,
,
2
n
n
S
f
f
f
n
N
n
n
n
n

























且
求
n
S ；
4.已知数列
na
中，
1
1
a 
，
0
na 
，前n 项和为
n
S ，若
1
n
n
n
a
S
S 


（
*
n
N

，且
2
n 
）.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）记
1
3
2
n
n
n
a
c



，求数列
nc
的前n 项和
nT .
5.在等差数列
na
中，
1
8
a ，
2
4
3
a
a

．
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设



*
4
12
n
n
b
n
N
n
a



，
nT 为数列
nb
的前n 项和，若
9
5
n
T 
，求n 的值．
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6.已知
na
为等差数列，
nb
为等比数列，
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
3
a 
，
1
1
b 
，
2
2
10
b
S


，
5
2
3
2
a
b
a


.
（1）求数列
na
和
nb
的通项公式；
（2）令
2 ,
,
n
n
n
n
S
c
b
n




为奇数
为偶数
，数列
nc
的前n 项和
nT ，求
2n
T
.
7.已知数列
na
为等比数列，
2
4
a 
，
3
2
a 
是
2a 和
4a 的等差中项.（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
2
2log
( 1)n
n
n
b
a
n



，求数列
nb
的前n 项和
nT .
8.已知数列
na
满足
1
4
a 
，且当
2
n 
时，



1
1
2
2
n
n
n
a
n a
n





.（1）求证：数列
n
a
n






是等差
数列；
（2）记
2
2
1
n
n
n
b
a


，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
9.已知数列{��}的前�项和为��，且��=
��+�
2 .（1）若数列{��+ �}是等比数列，求�的取值；
（2）求数列{��}的通项公式；（3）记��=
1
��+1 +
1
����+1，求数列{��}的前�项和��.
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10.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
2
n
n
n
S
a
a


．（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足


2
1
1
2
n
n
n
n
b
S



，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
11.在①
2a ，
3a ，
4
4
a 
成等差数列；②
1S ，
2
2
S 
，
3S 成等差数列；③
1
2
n
n
a
S


中任选一个，补充
在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列
na
中，前n 项和为
n
S ，已知
1
2
a 
，且______.
（1）求数列
na
通项公式；（2）数列
nb
的通项公式
1
2
1
1
n
n
n
n
b
a
a 



，
*
n
N

，求数列
nb
的
前n 项和
nT .
12.数列{ }
na
是等比数列，公比大于0，前n 项和
*
(
)
n
S
n
N

，{ }
nb
是等差数列，已知
1
1
2
a 
，
3
2
1
1
4
a
a


，
3
4
6
1
a
b
b


，
4
5
7
1
2
a
b
b


．（Ⅰ）求数列{ }
na
，{ }
nb
的通项公式
na ，
nb ；（Ⅱ）设{
}
n
S
的前n 项和为
*
(
) :
nT n
N

（ⅰ）求
nT ；（ⅱ）若
1
1
3
1
2
(
)
n
n
n
n
n
n
T
b
b
c
b
b







，记
1
n
n
n
n
R
C


，求
n
R 的取值范围．