5.7 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：两角和与差的余弦公式 .....................................................2
考点二：两角和与差的正弦公式 .....................................................2
考点三：两角和与差的正切公式 .....................................................2
考点四：三角恒等变换思想-角的代换、常值代换 ................................2
考点五：辅助角公式 ....................................................................3
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：两角和与差余弦公式 ........................................................3
题型二：已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦 .................................4
题型三：用和差角的余弦公式化简、求值 ..........................................6
题型四：逆用和差角的余弦公式化简、求值 .......................................9
题型五：15°或75°的余弦值应用 ..................................................10
题型六：两角和与差正弦公式 .......................................................11
题型七：已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦 ...............................13
题型八：用和差角的正弦公式化简、求值 ........................................14
题型九：逆用和差角的正弦公式化简、求值 .....................................15
题型十：15°或75°的正弦值应用 ..................................................17
题型十一：两角和与差正切公式 ....................................................18
题型十二：已知两角的正弦，余弦求和差角的正切 ............................19
题型十三：15°或75°的正切值应用 ...............................................21
题型十四：用和差角的正切公式化简、求值 .....................................22
题型十五：逆用和差角的正切公式化简、求值 ..................................24
模块三：综合巩固 .......................................................................25
5.7 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
模块一：基础知识
考点一：两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式
（1）cos(
)
cos
cos
sin
sin
（2）cos(
)
cos
cos
sin
sin
①简记符号:C
,C
. ②适用条件:公式中的角, 是任意角.
考点二：两角和与差的正弦公式
（1）sin(
)
sin
cos
cos
sin
（2）sin(
)
sin
cos
cos
sin
①简记符号: S
, S
. ②适用条件:公式中的角, 是任意角.
考点三：两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
（1）
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
（2）
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
①简记符号: S
, S
.
②适用条件:公式中的角, ，
，
2
k
，k
Z
.
③变形结论：
tan
tan
tan(
)(1
tan
tan
)
tan
tan
tan(
)(1
tan
tan
)
考点四：三角恒等变换思想-角的代换、常值代换
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=( +
)-
；
②=
-(
- )；
③=
[( +
)+( -
)]；
④=
[( +
)-(
- )]；
⑤
=( -
)-(
-
)；
⑥- =( -
)+(
- ).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
考点五：辅助角公式
通过应用公式
[或
将形如
(a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
模块二：题型分类
题型一：两角和与差余弦公式
1.cos17 cos43
sin17 sin223
.
【答案】1
2 /0.5
【详解】
cos17 cos43
sin17 sin223
cos17 cos43
sin17 sin 180
43
cos17 cos43
sin17 sin4
2
1
cos 17
43
c
60
3
os
.
故答案为：
1
2 .
2.计算cos43 cos13
sin 43 sin13
的值（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．cos57
【答案】C
【详解】
3
cos43 cos13
sin43 sin13
cos 43
13
cos30
2
，
故选：C.
3.sin15 sin 45
cos15 cos45
．
【答案】
1
2
/ 0.5
【详解】
sin15 sin 45
cos15 cos45
cos15
cos45
sin15 sin 45
1
cos 15
45
cos60
2
．
故答案为：
1
2
4.sin 70 sin10
sin 20 cos10
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
【答案】B
【详解】sin 70 sin10
sin 20 cos10
sin 70 sin10
sin 90
70
cos10
1
sin 70 sin10
cos70 cos10
cos(70
10 )
cos60
2
．
故选：B．
题型二：已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦
1.已知锐角
，
，且满足
2
5
sin
cos
10
5
，
.
(1)求sin；
(2)求
.
【答案】(1) 3 10
10
(2) 3π
4
【详解】（1）因为为锐角，
5
cos
5
，
所以
2
2
5
5
sin
1 cos
1
5
2 5
.
因为，是锐角，即
π
0
2
，
π
0
2
，
所以
π
0
2
，
π
π
2
2
，
又因为
2
sin
10
，
所以
2
7 2
cos
1 sin
10
.
sin
sin
sin
cos
cos
sin
2
5
7 2
2 5
15 10
3 10
+
=
10
5
10
5
50
10
.
（2）由（1）知，
3 10
sin
10
，
因为是锐角，
3 10
sin
10
，
所以
2
2
3 10
10
cos
1 sin
1
10
10
，
由
π
0
2
，
π
0
2
，
所以0
π
，
10
5
3 10
2 5
2
cos
cos
cos
sin
sin
10
5
10
5
2
，
因为0
π
，
所以
3π
4
.
2.已知
π
0
π
2
，
3
cos
5
，
12
sin
13
，则
cos
（ ）
A．
63
65
B．
33
65
C．33
65
D．63
65
【答案】A
【详解】因为
π
0
π
2
，
3
cos
5
，
12
sin
13
，
所以
2
3
4
sin
1 cos
1
5
5
，
2
2
12
5
cos
1 sin
1
13
13
，
则
3
5
4
12
63
cos(
)
cos
cos
sin
sin
5
13
5
13
65
.
故选：A.
3.已知,
都为锐角，
12
cos
13
，
4
cos
5
，则cos 等于（ ）
A．63
65
B．
63
65
C．33
65
D．
33
65
【答案】A
【详解】解：因为,
都为锐角，即
π
,
0, 2
，所以
0,π
因为
12
cos
13
，
4
cos
5
，
所以
5
sin
13
，
3
sin
5
，
所以
cos
cos
cos
cos
sin
sin
12
4
5
3
63
13
5
13
5
65
.
故选：A
4.已知
2
3
sin
,cos
,
3
4
且,
都是第二象限角，则cos(
)
（ ）
A．
35
6
12
B．3 5
2 7
12
C．3 5
2 7
12
D．3 5
2 7
12
【答案】C
【详解】因为
2
3
sin
,cos
,
3
4
且,
都是第二象限角，
所以
2
5
cos
1 sin
3
，
2
7
sin
1 cos
4
，
所以
5
3
2
7
3 5
2 7
cos(
)
cos
cos
sin
sin
3
4
3
4
12
.
故选：C.
5.已知锐角
、
满足
5
3 10
sin
,cos
5
10
，则
等于（ ）
A．3π
4
B．π
4 或3π
4
C．π
4
D．π
2
【答案】C
【详解】因为
π
0,
)
2
、
（
满足
5
3 10
sin
,cos
5
10
，
所以
2
2 5
cos
1
sin
5
，
2
10
sin
1 cos
10
.
由此可得
3 10
2 5
10
5
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
10
5
10
5
2
.
又因为
0,π)
（
，所以
π
4
，
故选：C.
6.已知
4
sin
5
=
，
5
cos
13
，且角，分别位于第二、四象限，求
cos
和
cos
的值．
【答案】
33
cos
65
，
63
cos
65
【详解】因为角，分别位于第二、四象限，
所以cos
0
，sin
0
，
故
2
2
4
3
cos
1
sin
1
5
5
，
2
2
5
12
sin
1
cos
1
13
13
，
所以
3
5
4
12
33
cos
cos
cos
sin
sin
5
13
5
13
65
，
5
c
4
os
cos
cos
sin
sin
3
5
12
63
5
13
5
13
6
．
题型三：用和差角的余弦公式化简、求值
1.cos20 cos385
cos70 sin155
（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
【答案】B
【详解】cos20 cos385
cos70 sin155
cos20 cos 360
25
cos 90
20
sin 180
25
cos20 cos25
sin 20 sin 25
2
cos 20
25
cos45
2
．
故选：B．
2.化简求值：
(1) sin50
sin 20 cos30
cos20
；
(2)
sin
75
cos
45
3 cos
15
.
【答案】(1) 1
2
(2)0
【详解】（1）
sin 20
30
sin 20 cos30
sin50
sin 20 cos30
cos20
cos20
sin 20 cos30
cos20 sin30
sin 20 cos30
cos20 sin30
1
sin30
cos20
cos20
2
；
（2）
sin
75
cos
45
3 cos
15
sin
15
60
cos
15
30
3 cos
15
sin
15
cos60
cos
15
sin 60
cos
15
cos30
sin
15
sin30
3 cos
15
1
3
3
1
sin
15
cos
15
cos
15
sin
15
3 cos
15
0
2
2
2
2
3.已知
π
3π
6cos
sin
2
2
8
2cos π
3sin 2π
，
π
0, 4
.
(1)求tan的值；
(2)若
π
0, 2
，且
π
5
cos 4
5
，求
的值.
【答案】(1)
1
tan
2
(2)
π
4
【详解】（1）∵
π
3π
6cos
sin
2
2
8
2cos π
3sin 2π
，
∴6sin
cos
6tan
1
8
2cos
3sin
2
3tan
，解得
1
tan
2
.
（2）∵
π
0, 2
，∴π
π
3π
4
4
4
，且
π
5
cos 4
5
，
∴
π
2 5
sin 4
5
，
∴
π
π
5
2
2 5
2
3 10
cos
cos
4
4
5
2
5
2
10
，
∴
10
sin
10
，则
1
tan
3
，
∴
1
1
tan
tan
2
3
tan
1
1
1
1
tan tan
1
2
3
，
∵
3π
0, 4
，∴
π
4
.
4.求下列各式的值.
(1) sin 20
sin 40
cos20
cos40
；
(2)sin 20
sin 40
sin80
【答案】(1)
3
(2) 0
【详解】（1）
sin 30
10
sin 30
10
sin 20
sin 40 =
cos20
cos40
cos 30
10
cos 30
10
sin30 cos10
cos30 sin10
sin30 cos10
cos30 sin10
= cos30 cos10
sin30 sin10
cos30 cos10
sin30 sin10
3
2cos30 sin10
cos30
2
=
3
1
2sin30 sin10
sin30
2
.
（2）
sin 20
sin 40
sin80
sin 20
sin 60
20
sin 60
20
sin 20
sin 60 cos20
cos60 sin 20
sin 60 cos20
cos60 sin 20
sin 20
2cos60 sin 20
0
.
5.（1）求值：
cos
1020
sin
1050
tan945
.
（2）已知
1
cos
7
，
13
cos
14
，且
π
0
2
，求角cos 的值.
【答案】（1）5
4 ；（2）
1
2 .
【详解】（1）
cos
1020
sin
1050
tan945
cos1020
sin 1080
1050
tan 225
1
5
cos60
sin30
tan 225
cos60
sin30
tan 45
1
4
4
；
（2）由
π
0
2
得
π
0
2
，又
13
cos
14
，
所以
2
3 3
sin
1 cos
14
，由
1
cos
7
得，
2
4 3
sin
1 cos
7
，
所以
1
13
4 3
3 3
1
cos
cos
cos
cos
sin
sin
7
14
7
14
2
.
题型四：逆用和差角的余弦公式化简、求值
1.已知
π
3
cos
cos
3
3
，
π
0, 2
，则sin
.
【答案】2 6
1
6
【详解】因为
π
3
cos
cos
3
3
，即
π
π
3
cos
cos cos
sin
sin
3
3
3
，
所以3
3
3
cos
sin
2
2
3
，所以
3
1
3
3
cos
sin
2
2
3
，
即
π
1
cos
6
3
，
因为
π
0, 2
，所以
π
π 2π
,
6
6
3
，
所以
2
π
π
2 2
sin
1 cos
6
6
3
，
所以
π
π
π
π
π
π
sin
sin
sin
cos
cos
sin
6
6
6
6
6
6
2 2
3
1
1
2 6
1
3
2
3
2
6
.
故答案为：2 6
1
6
2.
3
cos
cos
si
5
(
)
)
n
s n
(
i
，则cos （ ）
A．4
5
B．3
5
C．
4
5
D．
3
5
-
【答案】B
【详解】因为
3
cos
cos
si
5
(
)
)
n
s n
(
i
，
所以
3
cos
cos
cos
5
.
故选：B
3.已知
π
sin
sin
1
3
，则
π
cos 3
．
【答案】
3
3
【详解】由题知，
π
1
3
3
3
sin
sin
1
sin
sin
cos
sin
cos
3
2
2
2
2
，
于是
3
1
3
π
π
π
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
2
2
3
3
3
3
.
则
π
3
cos 3
3
.
故答案为：
3
3
4.已知是锐角，且
π
π
1
cos
cos
sin
sin
6
6
2
，则
．
【答案】π
12
【详解】
π
π
1
π
1
cos
cos
sin
sin
cos
6
6
2
6
2
π
1
cos 2
6
2
，
由题意，是锐角，则
π 7π
2
,
6
6
6
，则2
6
3
，解得
π
12
.
故答案为：π
12
题型五：15°或75°的余弦值应用
1.求75°，15°角的余弦值．
【答案】
6
2
cos75
4
，
6
2
cos15
4
.
【详解】
cos75
cos 45
30
cos45 cos30
sin45 sin30
2
3
2
1
2
2
2
2
6
2
4
，
cos15
cos 45
30
cos45 cos30
sin45 sin30
2
3
2
1
2
2
2
2
6
2
4
．
2.
5π
cos 12 的值为（ ）
A．
6
2
4
B．
2
2
C．
6
2
4
D．
3
2
4
【答案】C
【详解】
5π
π
π
π
π
π
π
cos
cos
cos
cos
sin
sin
12
6
4
6
4
6
4
3
2
1
2
6
2
2
2
2
2
4
.
故选：C
3.求下列各式的值．
(1)cos75；(2)
7
cos 12
；(3)
cos
165
；(4)
61
cos(
)
12
【答案】(1)
6
2
4
(2)
2
6
4
(3)
6
2
4
(4)
2
6
4
【详解】（1）解：
2
3
2
1
6
2
cos75
cos 45
30
cos45 cos30
sin 45 sin30
2
2
2
2
4
（2）解：
7
2
1
2
3
2
6
cos
cos
cos
cos
sin
sin
12
4
3
4
3
4
3
2
2
2
2
4
（3）解：
cos
165
cos
18
s
0
15
co 15
2
3
2
1
6
2
cos 45
30
cos45 cos30
sin 45 sin30
2
2
2
2
4
（4）解：
61
61
cos(
)
cos
cos(5
)
cos
12
12
12
12
2
1
2
3
2
6
cos
cos
cos
sin
sin
3
4
4
3
4
3
2
2
2
2
4
4.（多选）下列各式正确的是（ ）
A．
2
1
π
2
cos
2
8
4
B．
3
2
12
12
π
π
cos
si n
C．
6
2
15
4
o
cos
D．
8π
3
sin 3
2
【答案】BD
【详解】A 选项，因
2
2
1
8
4
π
π
cos
cos
，则
2
1
π
1
1
π
2
cos
1 cos
2
8
2
2
4
4
，故A 错误；
B 选项，
1
3
3
2
12
12
2
12
2
12
π
π
π
π
cos
si n
cos
si n
2
6
12
6
12
π
π
π
π
si n
cos
cos
si n
2
2
4
π
si n
，故B 正确；
C 选项，
1
2
3
2
2
6
15
60
45
2
2
2
2
4
o
o
o
cos
cos
，故C 错误；
D 选项，由诱导公式，
8π
8π
2π
π
π
3
sin
sin
2π
sin
sin π
sin
3
3
3
3
3
2
，故D 正确.
故选：BD
题型六：两角和与差正弦公式
1.求下列各式的值：
(1)sin20 cos40
cos20 sin40
；
(2)sin85 cos40
sin5 sin40
．
【答案】(1)
3
2
(2)
2
2
【详解】（1）原式
sin 20
40
3
sin60
2
．
（2）原式
sin85 cos40
cos85 sin40
sin 85
40
2
sin45
2
．
2.sin 74 cos14
sin16 sin14
=（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【答案】A
【详解】sin 74 cos14
sin16 sin14
sin 74 cos14
cos74 sin14
3
sin(74
14 )
sin 60
2
，
故选：A
3.sin160 cos40
sin 250 cos50
-
=
.
【答案】
3
2
【详解】原式
(
)
(
)
(
)
sin 180
20
cos40
sin 180
70
cos 90
40
=
-
-
+
-
，
sin 20 cos40
sin 70 sin 40
，
sin 20 cos40
cos20 sin 40
，
3
sin 20
40
sin 60
2
故答案为：
3
2
.
4.化简计算：sin 20 cos110
cos160 sin 70
.
【答案】1
【详解】sin 20 cos110
cos160 sin 70
sin 20 cos70
cos20 sin 70
sin 20
70
sin9
(
1
)
0
.
故答案为：1
题型七：已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦
1.若，
π
(0,
)
2
且
5
cos
13
，
3
sin
5
，则sin(
)
.
【答案】63
65
【详解】因为
π
(0,
)
2
且
5
cos
13
，所以
2
2
5
12
sin
1 cos
1
13
13
，
又因为
π
(0,
)
2
且
3
sin
5
，所以
2
2
3
4
cos
1 sin
1
5
5
，
所以
12
4
5
3
63
sin(
)
sin
cos
cos
sin
13
5
13
5
65
，
故答案为：63
65
2.已知
π
0, 2
，
π
0, 2
，
5
cos
13
，
3
sin
5
，则sin
．
【答案】33
65
【详解】
π
,
0, 2
，
0,π
，
2
12
sin
1 cos
13
，
2
4
cos
1 sin
5
，
sin
sin
sin
cos
cos
sin
12
4
5
3
33
13
5
13
5
65
.
故答案为：33
65 .
3.已知
1
sin
3
，
cos
1
，则
sin
2
的值（ ）
A．1
B．1
C．1
3
D．
1
3
【答案】D
【详解】由cos(
)
1
，得sin(
)
0
，又
1
sin
3
，
所以
1
sin
2
sin(
)
sin(
) cos
+cos(
) sin
3
.
故选：D.
4.已知sin
,
,co
2
π
3
3π
,π
π,
s
,
,
3
2
4
2
求
cos
，sin(
)
的值.
【答案】3 5
2 7
12
，
35
6
12
.
【详解】∵
2
sin
3
，且
π ,π
2
，∴
2
2
2
5
cos
1 sin
1
3
3
；
又∵
3
cos
4
，且
3
π,
π
2
，∴
2
2
3
7
sin
1 cos
1
4
4
.
∴
cos
cos
cos
sin
sin
5
3
2
7
3
4
3
4
3 5
2 7
12
.
sin(
)
sin
cos
cos
sin
2
3
5
7
3
4
3
4
35
6
12
题型八：用和差角的正弦公式化简、求值
1.已知为第二象限角，且
15
sin
4
，则
π
sin
4
的值为
.
【答案】
30
2
8
【详解】因为为第二象限角，且
15
sin
4
，故
2
15
1
cos
1
4
4
.
π
π
π
sin
sin
cos
cos
sin
4
4
4
15
2
1
2
30
2
4
2
4
2
8
.
故答案为：
30
2
8
2. sin20
2sin 40
cos20
．
【答案】
3
【详解】sin20
2sin 40
cos20
sin20
2sin 6
s
2
2
0
0
co
0
s
cos20
sin20
2sin 60
60
co 20
2cos
sin 20
o
cos2
sin20
3
3
n
c s2
0
si 20
0
.
故答案为：
3
3.sin 40 (tan10
3)
;
【答案】1
【详解】原式
sin10
sin 40
3
cos10
sin10
3 cos10
sin 40
cos10
2sin 10
60
sin 40
cos10
2sin 40 cos40
cos10
sin80
cos10
1
cos10
cos10
.
故答案为：1
4.化简：
(1) sin(π
)
π
π
cos(
)sin(
)
cos(
π)
2
2
(2)
2(sin
cos )
x
x
【答案】(1)
2
sin
(2)
π
2sin(
)
4
x
【详解】（1）sin(π
)
π
π
cos(
)sin(
)
cos(
π)
2
2
2
sin
sin
cos
sin
cos
.
（2）
2(sin
cos )
x
x
2
2
2
sin
cos
2
2
x
x
π
π
2 cos
sin
sin
cos
4
4
x
x
π
2sin
4
x
.
题型九：逆用和差角的正弦公式化简、求值
1.cos45 sin75
sin45 cos75
的值为（ ）
A．
3
2
B．
3
2
C．
1
2
D．
1
2
【答案】A
【详解】
3
cos45 sin75
sin45 cos75 =sin 75
45
=sin120 = 2
.
故选：A
2.
cos 70
sin 170
sin 70
cos 10
等于（ ）．
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
2
D．
1
2
【答案】B
【详解】原式
cos 70
sin[180
10
]
sin 70
cos 10
cos 70
sin 10
sin 70
cos 10
3
sin[(10
)
(70
)]
sin( 60 )
sin 60
2
.
故选：B
3.
1
1
2tan 20
2cos10
（ ）
A．
2
B．
3
2
C．
3
D．2
【答案】B
【详解】
1
1
cos20
1
2tan 20
2cos10
2sin 20
2cos10
cos20
2sin10
cos(30
10 )
2sin10
2sin 20
2sin 20
cos30 cos10
sin30 sin10
2sin10
2sin 20
3
3
1
3
cos10
sin10
3( cos10
sin10 )
2
2
2
2
2sin 20
2sin 20
3sin(30
10 )
3
2sin 20
2
，
故选：B
4.已知
,
0,π
，
5
sin
6
，tan
1
tan
4
，则
（ ）
A．5π
6
B．7π
6
C．11π
6
D．7π
6 或11π
6
【答案】B
【详解】因为
,
0,π
，tan
1
0
tan
4
，
所以
π π
0
,
π
2 2
或
π π
0
,
π
2 2
；
若
π π
0
,
π
2 2
，则π
0
，
此时
sin
0
（舍）；
若
π π
0
,
π
2 2
，则0
π
，
此时
sin
0
（符合题意），
所以
π π
0
,
π
2 2
，
即
π 3π
,
2
2
；
因为
5
sin
6
且tan
1
tan
4
，
所以
5
sin cos
cos sin
6
且sin cos
1
cos sin
4
，
解得
1
sin cos
6
，
2
cos sin
3
，
则
1
sin
sin cos
cos sin
2
，
又
π 3π
,
2
2
，所以
7π
6
.
故选：B.
题型十：15°或75°的正弦值应用
1.求75°，15°角的正弦值．
【答案】sin75
6
2
4
，sin15
6
2
4
【详解】
sin75
sin 45
30
sin45 cos30
cos45 sin30
2
3
2
1
6
2
2
2
2
2
4
．
sin15
sin 45
30
sin45 cos30
cos45 sin30
2
3
2
1
6
2
2
2
2
2
4
．
2.计算
7π
sin
12
（ ）
A．
2
6
4
B．
2
6
4
C．
6
2
4
D．
2
6
4
【答案】D
【详解】
7π
7π
sin
sin
12
12
π
π
π
π
π
π
sin
sin
cos
cos
sin
4
3
4
3
4
3
2
1
2
3
2
6
2
2
2
2
4
.
故选：D．
3.sin105的值为（ ）
A．
3
2
2
B．
6
2
4
C．1
2
2
D．
6- 2
4
【答案】B
【详解】
2
3
1
sin105
sin(60
45 )
sin60 cos45
cos60 sin 45
(
)
2
2
2
6
2
4
,
sin105
6
2
4
,
故选：B
题型十一：两角和与差正切公式
1.利用两角和（差）的正切公式，求1
tan15
1
tan15
的值．
【答案】
3
【详解】（方法一）因为
tan15
tan 45
30
tan 45
tan30
1
tan 45 tan30
1
tan30
1
tan30
2
3
，
所以
1
tan15
1
2
3
3
1
tan15
1
2
3
．
（方法二）
1
tan15
tan 45
tan15
tan 45
15
tan 60
3
1
tan15
1
tan 45 tan15
．
故答案为：
3
2.已知
12
tan
5
，分别求下列各式的值．
(1)
π
tan
4
；
(2)
π
tan
4
．
【答案】(1) 17
7
(2) 7
17
【详解】（1）
π
tan
tan
π
tan
1
4
tan
π
4
1
tan
1
tan
tan 4
．
因为
12
tan
5
，
所以
12
1
π
17
5
tan
12
4
7
1
5
（2）
π
tan
tan
π
tan
1
4
tan
π
4
1
tan
1
tan
tan 4
．
因为
12
tan
5
，
所以
12
1
π
7
5
tan
12
4
17
1
5
．
3.化简下列各式：
(1) tan 74
tan 76
1
tan 74 tan 76
；
(2)
3
tan15
1
3 tan15
．
【答案】(1)
3
3
(2)1
【详解】（1）原式
3
tan 74
76
tan150
3
．
（2）原式
tan 60
tan15
tan 60
15
tan 45
1
1
tan 60 tan15
．
4.已知角的终边上一点
4,3
A
，且
tan
2
，则
tan 3
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．5
2
D．
5
2
【答案】B
【详解】角的终边上一点
4,3
A
3
tan
4
3
tan
tan
tan
4
tan
2
3
1
tan tan
1
tan
4
，
解得
1
tan
2
.
1
tan 3
tan
2
.
故选：B.
题型十二：已知两角的正弦，余弦求和差角的正切
1.已知tan
tan
3
，
sin
2sin
sin
，则
tan
（ ）
A．4
B．6
C．
3
2
D．6
【答案】D
【详解】由
sin
2sin
sin
得
sin
cos
cos
sin
1
1
sin
cos
cos
sin
2sin
sin
2
2
sin
sin
tan
tan
，进而可得
tan
tan
3
2
tan
tan
tan
tan
2
，所以
tan
tan
3
tan
6
3
1
tan
tan
1
2
=
，
故选：D
2.已知为锐角，
3
sin
5
，角的终边上有一点
2,1
P
，则
tan
（ ）
A．2
B．10
11
C．11
10
D．
11
12
【答案】A
【详解】因为为锐角，
3
sin
5
，则
2
4
cos
1 sin
5
，所以，
sin
3
tan
cos
4
，
由三角函数的定义可得
1
tan
2
，因此，
3
1
tan
tan
4
2
2
3
1
1
tan
tan
1
4
2
tan
.
故选：A.
3.若
1
tan
3
，
1
tan
2
，,
(0,π)
，则
（ ）
A．π
4
B．3π
4
C．5π
4
D．7π
4
【答案】A
【详解】.
,
(0,π)
且
1
tan
3
，
1
tan
2
，
所以
π
,
0, 2
，
(0,π)
，
又
1
1
tan
tan
3
2
tan(
)
1
1
1
1
tan
tan
1
2
3
，
π
4
.
故选：A
4.已知
3
cos
5
，
π
(
,π)
2
，
12
sin
13
，是第三象限角，求sin(
)
，cos(
)
，tan(
)
的值.
【答案】
16
sin(
)
65
，
33
cos
65
，
16
tan
63
=
【详解】因为
3
cos
5
，
π
(
,π)
2
，
所以
2
4
sin
1
cos
5
=
-
=
，
因为
12
sin
13
，是第三象限角，
所以
2
5
12
cos
1 sin
,tan
13
5
，
所以
4
5
3
12
16
sin
sin
cos
cos
sin
5
13
5
13
65
，
3
5
4
12
33
cos
cos
cos
sin
sin
5
13
5
13
65
，
4
12
tan
tan
16
3
5
tan
4
12
1
tan
tan
63
1
3
5
.
5.已知，都是锐角．
(1)
4
sin
5
，
5
cos
13
，求sin 的值；
(2)
1
tan
7
，
10
sin
10
，求
tan
的值．
【答案】(1) 16
65
(2) 1
2
【详解】（1）
，都是锐角，
4
sin
5
，
3
cos
5
，
0,π
，
5
cos
13
，
(
)
12
sin
13
\
+
=
，
12
3
5
4
16
sin
sin[
]
sin
cos
cos
sin
13
5
13
5
65
；
（2）
，都是锐角，
10
sin
10
，
3 10
1
cos
,tan
10
3
，
1
1
tan
tan
1
7
3
tan
1
1
1
tan tan
2
1
7
3
．
题型十三：15°或75°的正切值应用
1. tan555的值为
．
【答案】2
3
/
3
2
【详解】
tan 60
tan 45
tan555
tan 3 180
15
tan15
tan 60
45
1
tan 60 tan 45
2
3
1
3
1
2
3
1
3
3
1
3
1
.
故答案为：2
3
.
2.
23π
tan
12
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．3
1
D．2
3
【答案】A
【详解】
2
π
π
tan
tan
3
1
23π
π
π
π
π
3
1
3
4
tan
tan
2π
tan
tan
π
π
12
12
12
3
4
3
1
3
1
3
1
1
tan
tan
3
4
4
2 3
2
3
2
.
故选：A.
题型十四：用和差角的正切公式化简、求值
1.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且
,
0,π
，则2
．
【答案】
3π
4
【详解】因为
1
tan
0
3
，
1
tan
0
7
，
,
0,π
，
所以
π
0, 2
，
π ,π
2
，
因为
2
2
1
2
2tan
3
3
tan2
0
1
tan
4
1
1
3
，
所以
π
2
0, 2
，
π ,π
2
，因此π
2
0
，
因为
3
1
tan 2
tan
4
7
tan 2
1
3
1
1
tan 2
tan
1
4
7
，
所以
3π
2
4
，
故答案为：
3π
4
2.已知
3π
π, 2
，
3
sin
5
，则
π
tan
4
（ ）
A．1
B．3
4
C．1
7
D．7
【答案】D
【详解】因为
3π
π, 2
，
3
sin
5
，则
2
4
cos
1 sin
5
，
可得
3
sin
3
5
tan
4
cos
4
5
，
所以
π
3
tan
tan
1
π
4
4
tan
7
π
3
4
1
tan
tan
1
1
4
4
.
故选：D.
3.已知角，满足tan
2
=- ，
tan
1
，则tan （ ）
A．
1
3
B．1
C．－3
D．3
【答案】C
【详解】
tan
tan
1
2
tan
tan
3
1
tan
tan
1 2
.
故选：C
4.已知角的终边经过1
3
,
2
2
，tan2
；
π
tan
4
.
【答案】
3
3
2
/ 2
3
【详解】由题可知，
3
2
tan
3
1
2
，
2
2tan
tan 2
3
1
tan
，
π
tan
tan
π
4
tan
3
2
π
4
1
tan
tan 4
.
故答案为：
3 ；3
2
5.求下列各式的值.
(1)
11π
tan 12 ；
(2) tan 75
tan15
1
tan 75 tan15
.
【答案】(1) 2
3
(2)
3
【详解】（1）解：由
π
π
3
tan
tan
1
11π
π
π
π
π
4
6
3
tan
tan(π
)
tan
tan(
)
2
3
π
π
12
12
12
4
6
3
1 tan
tan
1
4
6
3
.
（2）解：由两角差的正切公式，可得tan 75
tan15
tan(75
15 )
tan 60
3
1
tan 75 tan15
.
题型十五：逆用和差角的正切公式化简、求值
1. 3 tan10
3 tan 20
tan10 tan 20
（ ）
A．1
B．
3
C．3
D．2 3
【答案】A
【详解】
3 tan10
3 tan 20
tan10 tan 20
3 tan10
tan 20
tan10 tan 20
3 tan 10
20
1
tan10 tan 20
tan10 tan 20
3
3
1
tan10 tan 20
tan10 tan 20
1
3
，
故选：A．
2. tan35
tan80
tan35 tan80
（ ）
A．1
B．1
C．
3
D．
3
【答案】A
【详解】因为
tan35
tan80
tan 35
80
1
tan35 tan80
，即
tan35
tan80
tan 35
80
1
tan35 tan80
，
所以
tan35
tan80
tan35 tan80
tan 35
80
1
tan35 tan80
tan35 tan80
tan 45 1
tan35 tan80
tan35 tan80
1
.
故选：A
3. tan40
tan80
3tan80 tan40
（ ）
A．3
B．
3
3
C．
3
3
D．
3
【答案】D
【详解】
tan40
tan80
tan120
tan 40
80
1
tan40 tan80
，
tan120 1
tan40 tan80
tan40
tan80
，
即
tan40
tan80
3 1
tan40 tan80
，
则
tan40
tan80
3tan80 tan40
3 1
tan40 tan80
3tan80 tan40
3
，
故选：D
4.若
3π
4
，则(1
tan
)(1
tan
)
的值为（ ）
A．
1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】D
【详解】因为
3π
4
，所以
3π
tan(
)
tan 4
，
所以tan
tan
1
1
tan
tan
，所以tan
tan
tan
tan
1
，
所以(1
tan
)(1
tan
)
1 (tan
tan
)
tan
tan
1 (tan
tan
1)
tan
tan
2
，
故选：D
5.
π
4
（
π
,
π
2
k
，k Z ），则1
tan
tan
tan
tan
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
【答案】A
【详解】因为
π
4
，
所以
tan
tan
π
tan
tan
1
1
tan
tan
4
.
所以
tan
tan
1
tan
tan
.
所以
1
tan
tan
tan
t
1
t
1
an
ta
tan
t
a
n
an
n
1
tan
tan
2
1
tan
tan
.
故选：A.
6.计算3tan80
3tan50
3tan80 tan50
的值为（ ）
A．
3
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
【答案】B
【详解】因为
tan80
tan50
3
tan30
tan 80
50
1
tan80 tan50
3
，所以tan80
tan50
3
1
tan80 tan50
3
，交叉相乘得：
3tan80
3tan50
3tan80 tan50
3
所以3tan80
3tan50
3tan80 tan50
3
.
故选：B.
模块三：综合巩固
1.已知
π
2 < 𝜃<
3π
2 ，且cos 𝜃+ 2π
3
=
1
3，则sin𝜃的值为（ ）
A．2 2−3
6
B．2 6 + 1
6
C．1−2 6
6
D．
3 + 2 2
6
【解题思路】根据条件求出sin 𝜃+ 2π
3 的值，令sin𝜃= sin(𝜃+
2π
3 −
2π
3 )，按两角差的公式展开，计算即可.
【解答过程】因为
π
2 < 𝜃<
3π
2 ，所以
7π
6 < 𝜃+
2π
3 <
13π
6 ，又cos 𝜃+ 2π
3
=
1
3
又cos
13π
6 = cos
π
6 =
3
2 >
1
3，
所以sin 𝜃+ 2π
3
= −2 2
3 ，
则sin𝜃= sin(𝜃+
2π
3 −
2π
3 )
= sin(𝜃+ 2π
3 )cos 2π
3 −cos(𝜃+ 2π
3 )sin 2π
3
= −2 2
3 × (−
1
2)−
1
3 ×
3
2 = 2 2−3
6
，
故选：A.
2.已知cos 𝛼+ π
12 =
3
5,𝛼∈0, π
2 ，则cos 𝛼+ π
3 = （ ）
A．3−4 3
10
B．
4
5
C．−2
10
D．7 2
10
【解题思路】根据同角平方关系结合角的范围求得sin 𝛼+ π
12 =
4
5，再根据cos 𝛼+ π
3 = cos
𝛼+ π
12 + π
4 ，
结合和角余弦公式即可求解.
【解答过程】因为𝛼∈0, π
2 ，所以𝛼+
π
12 ∈
π
12 , 7π
12 ，又cos 𝛼+ π
12 =
3
5，
所以sin 𝛼+ π
12 =
1−cos2 𝛼+ π
12 =
4
5，
所以cos 𝛼+ π
3 = cos
𝛼+ π
12 + π
4
= cos 𝛼+
π
12 cos π
4 −sin 𝛼+
π
12 sin π
4
=
3
5 ×
2
2 −
4
5 ×
2
2 = −2
10.
故选：C.
3.已知角𝜃的终边过点𝑃(−3,−1).则sin(
π
4−𝜃) = （ ）
A．−2 5
5
B．2 5
5
C．−5
5
D．
5
5
【解题思路】根据角𝜃的终边过点𝑃(−3,−1)，利用三角函数的定义得到sin𝜃,cos𝜃，然后利用两角差的正弦
公式求解.
【解答过程】解：因为角𝜃的终边过点𝑃(−3,−1)，
所以sin𝜃=
−1
(−3)2 + (−1)2 = −10
10 ,cos𝜃=
−3
(−3)2 + (−1)2 = −3 10
10 ，
所以sin(
π
4−𝜃) = sin
π
4cos𝜃−cos
π
4sin𝜃，
=
2
2 ⋅−3 10
10
−2
2 ⋅−
10
10
= −5
5 ，
故选：C.
4.已知角𝛼,𝛽∈(0,π)，且sin(𝛼+ 𝛽) + cos(𝛼−𝛽) = 0,sin𝛼sin𝛽−3cos𝛼cos𝛽= 0，则tan(𝛼+ 𝛽) = （ ）
A．−2
B．−
1
2
C．
1
2
D．2
【解题思路】由两角和与差公式化简后求解．
【解答过程】由sin(𝛼+ 𝛽) + cos(𝛼−𝛽) = 0，可得sin𝛼cos𝛽+ cos𝛼sin𝛽+ cos𝛼cos𝛽+ sin𝛼sin𝛽= 0，即
sin𝛼cos𝛽+ cos𝛼sin𝛽
cos𝛼cos𝛽+ sin𝛼sin𝛽= −1，
故
tan𝛼+ tan𝛽
1 + tan𝛼tan𝛽= −1.又sin𝛼sin𝛽−3cos𝛼cos𝛽= 0，故sin𝛼sin𝛽 = 3cos𝛼cos𝛽，
即tan𝛼tan𝛽= 3，代入
tan𝛼+ tan𝛽
1 + tan𝛼tan𝛽= −1可得tan𝛼+ tan𝛽= −4.
故tan(𝛼+ 𝛽) =
tan𝛼+ tan𝛽
1−tan𝛼tan𝛽= 2，
故选：D.
5.求
2cos10∘
cos20∘−tan20∘的值为（ ）
A．3
B．−3
C．
3
3
D．−3
3
【解题思路】由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
【解答过程】2cos10°
cos20° −tan20°
= 2cos10°
cos20° −sin20°
cos20°
= 2cos(30∘−20°)−sin20°
cos20°
=
3cos20° + sin20°−sin20°
cos20°
=
3，
故选：A．
6.已知tan𝛼+ tan𝛽= −6,tan(𝛼+ 𝛽) = −1，则
sin(𝛼+ 𝛽)
cos(𝛼−𝛽) = （ ）
A．
1
3
B．3
C．
2
3
D．
3
2
【解题思路】根据已知条件求得tan𝛼tan𝛽= −5，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【解答过程】∵tan𝛼+ tan𝛽= −6，tan(𝛼+ 𝛽) = −1，
∴
tan𝛼+ tan𝛽
1−tan𝛼tan𝛽= −1，则tan𝛼tan𝛽= −5，
∴
sin(𝛼+ 𝛽)
cos(𝛼−𝛽) =
sin𝛼cos𝛽+ cos𝛼sin𝛽
cos𝛼cos𝛽+ sin𝛼sin𝛽=
tan𝛼+ tan𝛽
1 + tan𝛼tan𝛽=
−6
1−5 =
3
2．
故选：D．
7..若tan(𝛼−𝛽) = 2,tan𝛽= 4，则
7sin𝛼−cos𝛼
7sin𝛼+ cos𝛼= （ ）
A．−
7
5
B．
7
5
C．−
5
7
D．
5
7
【解题思路】先利用两角和的正切公式求得tan𝛼的值，再利用齐次式求值的方法即可求得
7sin𝛼−cos𝛼
7sin𝛼+ cos𝛼的值.
【解答过程】tan𝛼= tan[(𝛼−𝛽) + 𝛽] =
2 + 4
1−2 × 4 = −
6
7，
则
7sin𝛼−cos𝛼
7sin𝛼+ cos𝛼=
7tan𝛼−1
7tan𝛼+ 1 =
−6−1
−6 + 1 =
7
5
故选：B.
8.已知cos 𝜋
4 + 𝜃=
4
5，
17𝜋
12 < 𝜃<
7𝜋
4 ，则
1−tan𝜃
2sin2𝜃+ sin2𝜃的值为（ ）
A．
100
21
B．−
100
21
C．
75
28
D．−
75
28
【解题思路】由题知sin 𝜋
4 + 𝜃= −
3
5，进而得sin𝜃= −7 2
10 ，cos𝜃=
2
10，tan𝜃= −7，再根据
1−tan𝜃
2sin2𝜃+ 2sin𝜃cos𝜃=
(1−tan𝜃)(sin2𝜃+ cos2𝜃)
2sin2𝜃+ 2sin𝜃cos𝜃
，并结合齐次式求解即可.
【解答过程】解：因为
17
12𝜋< 𝜃<
7
4𝜋，
5𝜋
3 < 𝜃+
𝜋
4 < 2𝜋，所以sin 𝜋
4 + 𝜃< 0，
因为cos 𝜋
4 + 𝜃=
4
5，所以sin 𝜋
4 + 𝜃= −
3
5
所以，sin𝜃= sin
𝜋
4 + 𝜃−𝜋
4 = −
3
5 ×
2
2 −
4
5 ×
2
2 = −7 2
10 ，
cos𝜃= cos
𝜋
4 + 𝜃−𝜋
4 =
4
5 ×
2
2 −
3
5 ×
2
2 =
2
10，tan𝜃= −7，
所以，
1−tan𝜃
2sin2𝜃+ 2sin𝜃cos𝜃= (1−tan𝜃)(sin2𝜃+ cos2𝜃)
2sin2𝜃+ 2sin𝜃cos𝜃
= (1−tan𝜃)(tan2𝜃+ 1)
2tan2𝜃+ 2tan𝜃
=
8 × 50
98−14 =
100
21 .
故选：A．
9.cos10 cos70
sin 70 sin10
（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
【答案】A
【详解】
1
cos10 cos70
sin 70 sin10
cos 70
10
cos60
2
.
故选：A
10.cos44 cos14
sin 44 sin14
的值为（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
【答案】C
【详解】
3
cos44 cos14
sin 44 sin14
cos 44
14
cos30
2
.
故选：C.
11.
π
π
π
π
cos
sin
cos
sin
3
6
6
3
的值等于（ ）
A．
3
2
B．1
C．0
D．
1
2
【答案】B
【详解】
π
π
π
π
π
π
π
cos
sin
cos
sin
sin
sin
1
3
6
6
3
3
6
2
，
故选：B.
12.已知
π
1
tan
tan 4
6
，则
π
tan
tan 4
（ ）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
【答案】D
【详解】因为
π
tan
tan
π
π
4
tan
tan
1
π
4
4
1
tan
tan 4
，
所以
π
π
1
5
tan
tan
1
tan
tan
1
4
4
6
6
，
故选：D.
13.已知
5
1
sin126
4
，则sin18（ ）
A．3
5
4
B．3
5
8
C．
5
1
8
D．
5
1
4
【答案】D
【详解】
5
1
sin126
sin 90
36
cos36
4
，
2
5
1
cos36
1 2sin 18
4
，
解得
2
2
3
5
5
2 5
1
5
1
sin 18
8
16
4
，∵sin18
0
，∴
5
1
sin18
4
，
故选：D．
14.若
π
1
sin
3
3
，
π
0, 2
，则cos（ ）
A．
3
2 2
6
B．
3
2 2
6
C．2 2
3
6
D．
3
2 2
6
【答案】C
【详解】解：由
π
0, 2
，得
π
π π
,
3
3 6
，
由
π
1
sin
3
3
，得
2
π
π
2 2
cos
1 sin
3
3
3
，
所以
π
π
π
π
π
π
cos
cos
cos
cos
sin
sin
3
3
3
3
3
3
2 2
1
1
3
3
2
3
2
2 2
3 .
6
故选：C.
15.已知钝角a 满足
5
sin
5
，则
π
cos 4
（ ）
A．
10
4
B．
3 10
10
C．10
5
D．2 5
5
【答案】B
【详解】由为钝角，可知cos
0
，所以
1
2 5
cos
1
5
5
，
所以
π
2
2
2 5
5
3 10
cos
cos
sin
4
2
2
5
5
10
．
故选：B．
16.已知,
均是锐角，已知
4
sin
5
=
，
5
cos(
)
13
，则sin （
）
A．
56
65
B．56
65
C．
16
65
D．16
65
【答案】D
【详解】因为,
均是锐角，0
π
，
则
3
cos
5
，
12
sin(
)
13
，又
(
)
，
所以sin
sin[(
)
]
sin(
)cos
cos(
)sin
12
3
5
4
16
13
5
13
5
65
.
故选：D
17.（多选）下列式子中值为
3 的为（ ）
A．
2023π
tan
3
B．sin15
cos15
C．1
tan15
1
tan15
D．tan103
tan43
3tan103 tan43
【答案】ACD
【详解】对于A，
2023π
π
π
tan
tan 674π
tan
3
3
3
3
；
对于B，
2
sin15
cos15
1
6
2 sin
2 sin 6
5
45
0
；
对于C，1
tan15
tan45
tan15
tan 60
3
1
tan15
1
tan45 tan15
；
对于D，由
tan103
tan43
t
3
an60
tan 103
43
tan
a
1
103 t n43
，
所以
3
tan103
tan43
3tan103 tan43
.
故选：ACD.
18.（多选）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一
个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，
则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为5
4
B．3sin
3cos
2
C．3sin
3sin
2
D．
5
cos
18
【答案】AC
【详解】对于A，4 个直角三角形的面积之和为9
4=5
，故每个直角三角形的面积为5
4 ，故A 正确，
对于BC,由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，
可得3sin
3cos
2
,由于
，
互余，所以3sin
3sin
2
，故B 错误，C 正确，
对于D，3cos
3sin
2
，①，3sin
3cos
2
，②，且cos
sin
，sin
cos
，
2
2
4
9cos
sin
9sin
cos
9cos
cos
9sin
sin
9sin
9cos
9cos
9
9cos
,
故
5
cos(
)
9
，故D 错误，
故选：AC
19.sin21 cos9
sin69 sin9
．
【答案】1
2 /0.5
【详解】
sin21 cos9
sin69 sin9
sin21 cos9
sin 90
21 sin9
1
sin21 cos9
cos21 sin9
sin 21
9
sin30
2
.
故答案为：
1
2 .
20.计算
1
tan15
3
tan 60 tan15
.
【答案】1
3
【详解】
1
tan15
3
tan 60 tan15
1
tan 45
tan15
1
1
3
1
tan 45
15
1
tan 45
tan15
3
3
3
3
3
.
故答案为：1
3
21.求下列各式的值:
(1)sin 72 cos18
cos72 sin18
;
(2)sin 20 cos110
cos160 sin70
.
【答案】(1)1
(2) 1
【详解】（1）
sin 72 cos18
cos72 sin18
sin 72
18
sin90
1
.
（2）
sin 20 cos110
cos160 sin 70
sin 20 cos 180
70
cos 1
)
80
(
20
sin 70
sin 20
cos70
cos20 sin 70
sin 20 cos70
cos20 sin 0
(
)
7
sin 20
70
sin9
(
1
)
0
.
22.计算：
(1)1
tan 75
1
tan 75
；
(2)已知tan
2,tan
1
，求tan(
)
.
【答案】(1)
3
(2) 3
【详解】（1）方法一
3
1
tan 45
tan30
3
tan 75
tan 45
30
2
3
1
tan 45 tan30
3
1 1
3
,
1
2
3
1
tan 75
3
1
tan 75
1
2
3
方法二
1
t n75
t n45
t n75
=
=t n 45
75
= tan120
3
1
t n75
1
t n45 t n75
a
a
a
a
a
a
a
（2）
2
1
tan
tan
tan
3
1
tan
tan
1
2
1
23.已知
3
sin
5
，
5
cos
13
，且，均为第四象限角，求下列各式的值：
(1)
cos
；
(2)
cos
．
【答案】(1)
16
65
；
(2) 56
65
【详解】（1）因为，均为第四象限角，所以
2
4
cos
1 sin
5
，
2
12
sin
1 cos
13
，所以
4
5
3
12
20
36
16
cos
cos
cos
sin
sin
5
13
5
13
65
65
65
（2）由第一问知：
4
cos
5
，
12
sin
13
，所以
4
5
3
12
20
36
56
cos
cos
sin
sin
5
13
5
13
65
65
c s
5
o
6
