对数函数
目录
模块一：基础知识.................................................................................................3
考点一：对数函数的概念.................................................................................. 3
考点二：对数函数的图象和性质.......................................................................3
考点三:不同底的对数函数图象的相对位置..................................................... 3
考点四：反函数的概念...................................................................................... 3
考点五：三种常见函数模型的增长差异...........................................................3
模块二：题型分类.................................................................................................4
题型一：对数函数的概念与解析式...................................................................4
题型二：求对数函数的定义域...........................................................................5
题型三：求对数型复合函数的定义域...............................................................7
题型四：求对数函数在区间上的值域...............................................................9
题型五：求对数型复合函数的值域.................................................................11
题型六：根据对数函数值域求参数或范围..................................................... 13
题型七：判断对数函数的图像形状.................................................................15
题型八：根据对数函数图像判断参数范围..................................................... 18
题型九：对数函数图像过定点问题.................................................................19
题型十：对数函数图像的应用.........................................................................20
题型十一：对数函数的单调性.........................................................................22
题型十二：对数型复合函数的单调性.............................................................24
题型十三：由对数（型）单调性求参数.........................................................25
题型十四：由对数函数的单调性解不等式..................................................... 28
题型十五：比较对数式的大小.........................................................................30
题型十六：对数函数的单调性应用.................................................................32
题型十七：求对数函数的最值.........................................................................36
题型十八：根据对数函数的最值求参数或范围............................................. 37
题型十九：对数函数的最值与不等式综合问题............................................. 39
题型二十：反函数............................................................................................41
模块三：综合巩固...............................................................................................43
4.4 对数函数
模块一：基础知识
考点一：对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
考点二：对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax 与y＝
1
log
a
x 的图象关于x 轴对称
考点三:不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1 的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a<1 的对数函
数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x 轴．
考点四：反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax 的定义域R 就是y＝logax 的值域；而y＝ax 的值域(0，＋∞)就是y＝logax 的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x 对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定
相同．
考点五：三种常见函数模型的增长差异
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x 的增大逐渐变“陡”
随x 的增大逐渐趋于稳定
随x 的增大匀速上升
增长速度
y＝ax 的增长快于y＝kx 的增长，y＝kx 的增长快于y＝logax 的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0 时，有ax>kx>logax
模块二：题型分类
题型一：对数函数的概念与解析式
1．若某对数函数的图象过点
4,2 ，则该对数函数的解析式为（
）
A．
2
log
y
x
B．
4
2log
y
x
C．
2
log
y
x
或
4
2log
y
x
D．不确定
【答案】A
【解析】设函数为
log
0,
1
a
y
x a
a
，再根据图象过点
4,2 可得2
log 4
a
，即可解出a ，得到该对数
函数的解析式．
【详解】设函数为
log
0,
1
a
y
x a
a
，依题可知，2
log 4
a
，解得
2
a
，所以该对数函数的解析式为
2
log
y
x
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题．
2．已知对数函数
( )
f x 的图像经过点
1 , 3
8
A
与点
(16, )
B
t ，
0.1
log
a
t
，
0.2t
b
，
0.1
c
t
，则（
）
A．c<a<b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．c
b
a
【答案】C
【分析】根据对数函数可以解得
2
a
，
4
t
，再结合中间值法比较大小．
【详解】设
( )
log
0,
1
a
f x
x a
a
，由题意可得：
1
log
3
8
a
，则
2
a
∴
log 16
4
a
t
0.1
log
4
0
a
，
4
0.2
0,1
b
，
0.1
4
1
c
∴a
b
c
故选：C．
3．(多选)已知函数
2
log
,
0
2 ,
0
x
x x
f
x
x
，若
1
2
f a
，则
a
（
）
A．1
B．1
C．
2
D．
2
【答案】BC
【分析】分
0
a
与
0
a
两种情况，解方程，求出答案.
【详解】当
0
a
时，
2
1
log
2
a
，解得
1
2
2
2
a
，满足要求，
当
0
a
时，
1
2
2
a
，解得
1
a ，满足要求.
故选：BC
4.下列函数中，是对数函数的有
①
loga
y
x
(
R)
a
；②
8
log
y
x
；③
ln
y
x
；④
log (
2)
x
y
x
；⑤
4
2log
y
x
.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据对数函数的概念分析可得答案.
【详解】①
loga
y
x
在
0
a
且
1
a 的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；
②
8
log
y
x
和③
ln
y
x
符合对数函数的定义，是对数函数；
④
log (
2)
x
y
x
中，底数不是常数，不是对数函数；
⑤
4
2log
y
x
中系数不是1，不是对数函数.
故选：B.
题型二：求对数函数的定义域
1．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，
ln
B
x y
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
0,2
C．
0,1
D．
0,2
【答案】D
【分析】解不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得A
B
.
【详解】由
2
2
2
1
0
x
x
x
x
，解得1
2
x
，所以
1,2
A
.
由
ln
y
x
得
0
x
，所以
0,
B
，
所以
0,2
A
B
.
故选：D
2．函数
2
ln( 2
3)
y
x
x
的定义域为（
）
A．
3 ,1
2
B．
3
(
, 1)
,
2
C．
3
,
(1,
)
2
D．
3
1, 2
【答案】A
【分析】先利用对数式的真数为正得到关于x 的一元二次不等式，不等式的解集即为该函数的定义域.
【详解】要使函数
2
ln( 2
3)
y
x
x
有意义，
须
2
2
3
0
x
x
，
即
2
2
3
0
x
x
，
即
2
3
1
0
x
x
，
解得：
3
1
2
x
，
即函数
2
ln( 2
3)
y
x
x
的定义域为
3 ,1
2
.
故选：A.
3．(多选)条件p：
1
log a
f x
x
是
0,
上的增函数；条件q：2
0
3
a
a
；条件r：
3
a
；条件s：
2
lg
2
y
x
x
a
定义域为R ．则以下正确的是（
）
A．p 是q 的必要不充分条件；
B．p 是s 的充分不必要条件；
C．r 是q 的必要不充分条件；
D．r 是s 的充分不必要条件；
【答案】ABC
【分析】根据要求分别对条件p，q，r，s 等价转换，然后结合充分条件与必要条件定义判断即可.
【详解】解析：条件p 等价于
1
1
2
a
a
；条件q 等价于2
3
a
；
条件s 等价于：
4
4
0
1
a
a
故：A、B、C 正确，D 错误．
故选：ABC
4．求下列函数的定义域：
(1)
2
3
log
y
x
(2)
log (4
)(
0,
1)
a
y
x a
a
【答案】(1){
0}
x x
∣
(2){
4}
x x
∣
【分析】对数型函数的定义域即真数部分大于0.
【详解】（1）
2
0
x
,即
0
x
∴函数
2
3
log
y
x
的定义域是{
}
x x
∣
0
（2）
x
4
0
即
4
x
,
log (4
)(
0,
1)
a
y
x a
a
的定义域是{ |
4}
x x
.
题型三：求对数型复合函数的定义域
1．函数
3
1
log
2
1
1
f
x
x
x
的定义域为（
）
A．
0,1
1,
B．
0,1
1,
U
C．
1 ,1
1
2
,
D．
1 ,1
1
2
,
【答案】D
【分析】根据具体函数定义域满足的条件，得到
1
0
2
1
0
x
x
，解之即可求出结果.
【详解】由题意知
1
0
2
1
0
x
x
，解得
1
2
x
且
1
x ，
故选：D.
2．设全集U＝R，若集合
2
2
3
2
x x
M
y y
，
3
lg 2
x
N
x y
x
，则
U M
N
ð
（
）
A．
3,2
B．
3,0
C．
1
4,
，
+
D．
3,1
【答案】D
【分析】根据指数型复合函数的值域以及对数型函数的定义域即可求解
,
M N ,利用集合的交兵补运算即可
求解.
【详解】由集合的意义，可得M 为函数
2
2
3
2
x x
y
的值域，
令
2
2
3
1
t
x
x
x
，3
，
由二次函数的性质可得
2
2
2
3
1
4
t
x
x
x
=-
+ =-
-
+
，易得0
4
t
，
进而可得0≤
2
2
3
x
x
≤2；
在
2
2
3
2
x x
y
中，有1≤y≤4；
即M＝{y|1≤y≤4}，则
|
1
{
U M
y y
=
ð
或y＞4}；
集合N 为函数
3
lg 2
x
y
x
的定义域，则
3
0
2
x
x
，
解可得3
2
x
-
，
即
{ | 3
2}
N
x
x
；
则
{ | 3
1}
3,1
UM
N
x
x
ð
；
故选：D．
3．(多选)下列说法正确的是（
）
A．若函数
( )
f x 的定义域为[0,2] ，则函数
(2 )
f
x 的定义域为[0,1]
B．
2 1
1
2
x
y
的最大值为1
2
C．
1
2
x
y
x
的图象关于( 2,1)
成中心对称
D．
2
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
的递减区间是(
,2)
【答案】AC
【分析】对于A，由0
2
2
x
求解判断，对于B，利用换元法根据指数函数的单调性分析判断，对于C，
对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图象变换规律分析判断，对于D，利用换元法分析判断
【详解】对于A，由题意得0
2
2
x
，得0
1
x
，所以函数
(2 )
f
x 的定义域为[0,1] ，所以A 正确，
对于B，令
2
1
t
x
，则
1
2
t
y
，因为
1
t ，且
1
2
t
y
在定义域内递减，
所以1
1
2
2
t
，所以
2 1
1
2
x
y
的最小值为1
2 ，所以B 错误，
对于C，因为
1
(
2) 1
1
1
2
2
2
x
x
y
x
x
x
，所以
1
2
x
y
x
是由反比例函数
1
y
x
向左平移2 个单位长度，
再向上平移1 个单位长度得到的，
因为
1
y
x
的对称中心为(0,0) ，所以
1
2
x
y
x
的对称中心为( 2,1)
，所以C 正确，
对于D，由
2
4
5
0
x
x
，得
1
x 或
5
x
，所以函数的定义域为(
, 1)
(5,
)
，令
2
4
5
t
x
x
，则
2
log
y
t
，
因为
2
4
5
t
x
x
在(
, 1)
上递减，在(5,
)
上递增，且
2
log
y
t
在(0,
)
上递增，
所以
2
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
在(
, 1)
上递减，在(5,
)
上递增，所以D 错误，
故选：AC
4．（2023·全国·高一专题练习）函数
0.5
1
log
4
3
y
x
的定义域为（
）
A．3 ,1
4
B．3 ,
4
C．
1,
D．
3 ,1
1,
4
【答案】A
【分析】根据题意得到
0.5
4
3
0
log
4
3
0
x
x
，再解不等式组即可.
【详解】由题知：
0.5
3
4
3
0
3
1
4
log
4
3
0
4
1
x
x
x
x
x
.
故选：A.
题型四：求对数函数在区间上的值域
1．已知函数
2
1
3,
1
ln ,
1
a
x
a
x
f x
x x
的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
, 1
C．
1,
D．
, 1
2,
【答案】C
【分析】根据给定条件结合分段函数值域的意义可得
2
1
3
a
x
a
在
1
x 取尽一切负数，再列出不等式
求解即可作答.
【详解】函数
2
1
3,
1
ln ,
1
a x
a
x
f x
x x
，而函数
ln
y
x
是增函数，当
1
x
时，ln
0
x
，则当
1
x
时，
函数
ln
y
x
值域为[0,
)
，
因函数
f
x 的值域为R ，因此，在当
1
x 时，函数
2
1
3
y
a x
a
取尽一切负数，
当1
0
a
，即
1
a 时，=
2
y
，不符合题意，当1
0
a
时，
2
2
y
a
a
，也不符合题意，当1
0
a
时，
2
1
3
y
a x
a
为增函数，由
1
x 可得
2
2
y
a
a
，
则需
2
1
0
2
0
a
a
a
，解得
1
a ，
所以实数a 的取值范围是：
1,.
故选：C
2．已知集合
2
P
x
x
，
1
3
1
log
,
3
9
Q
y y
x
x
，则P
Q
（
）
A．
1,2
B．
0,2
C．
1,4
D．
0,4
【答案】B
【分析】解不等式求得集合P ，求函数值域求得集合Q ，由此求得P
Q
.
【详解】
2
0
4
0,4
x
x
P
，
1
3
1
3
log
1,2
1,2
9
x
x
Q
，
所以P
Q
0,2 .
故选：B
3.函数
5
2
log
1
y
x x
的值域为（
）
A．
2,
B．
,2
C．
2,
D．
3,
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质，先求函数
5
log
y
x
的范围，再求函数的值域.
【详解】由
1
x
知
5
log
0
x
，
2
y
，值域是
2,．
故选：C
4.已知
2
4
2
16
log
log
f x
x
x
，
1 ,8
2
x
，则
f
x 的值域为（
）
A．
3,1
B．
1,3
C．
0,1
D．
3,0
【答案】A
【分析】令
2
log x
t
= ，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t 的取值范围，再根据条件求新函数
的值域.
【详解】令
2
log x
t
= ，则
1,3
t
，又
2
4
4
4
2
2
16
log
log 16
log
2
log
2
x
x
t
x
，
所以原函数可变为
2
y
t
t
2
1
1
t
，
1,3
t
，
所以
max
1
y
，
min
3
y
，所以
f
x 的值域为
3,1
.
故选：A.
5．(多选)下列说法正确的有（
）
A．实数
0
x
y
是1
1
x
y
成立的充分不必要条件
B．已知
( )
f x 的定义域为
0,2 ，则
(
2)
f x
的定义域为
2,0
C．
1
3
1
1
0,
,
log
3
2
x
x
x
D．函数
1 2
1
x
y
x
在区间
1,内是减函数
【答案】AC
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据抽象函数的定义域判断B，根据指数函数、对数函
数的性质判断C，根据幂函数的性质判断D.
【详解】对于A：当
0
x
y
，则1
1
0
y
x
x
y
xy
，故1
1
x
y
，即充分性成立，
当= 1
x ，
1
y ，满足1
1
x
y
，但不满足
0
x
y
，故必要性不成立，
所以实数
0
x
y
是1
1
x
y
成立的充分不必要条件，故A 正确；
对于B：
( )
f x 的定义域为
0,2 ，令0
2
2
x
，解得2
4
x
，
故
(
2)
f x
的定义域为
2,4 ，故B 错误；
对于C：
1
(0,
)
3
x
，
1
1
0
2
x
，
1
1
3
3
1
log
log
1
3
x
，所以
1
3
1
1
0,
,
log
3
2
x
x
x
，故C 正确；
对于D，因为
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
x
x
y
x
x
x
，
又
1
2
1
y
x
可以由
1
y
x
向右平移1个单位，再向下平移2 个单位得到，
因为
1
y
x
在
0,
上单调递增，所以函数
1 2
1
x
y
x
在区间(1,
)
内是增函数，故D 错误．
故选：AC．
题型五：求对数型复合函数的值域
1．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，集合
2
2
log
2
B
y y
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
,1
C．
,2
D．
0,2
【答案】C
【分析】解不等式求得集合A ，求函数的值域求得集合B ，进而求得A
B
.
【详解】
2
2
2
0
x
x
x x
，解得0
2
x
，
所以
0,2
A
，
由于
2
0
2
2
x
，所以
2
2
2
log
2
log 2
1
x
，
所以
,1
B
，所以
,2
A
B
.
故选：C
2．关于函数
2
ln
1
y
x
x
有如下命题：
①函数的定义域为R；
②函数是增函数；
③函数的值域为R；
④函数图象关于直线
1
2
x
对称.其中正确命题的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】通过真数的范围，判断函数的定义域，利用复合函数的单调性判断②的正误；复合函数的值域判
断③的大小；利用函数的对称性判断④的正误．
【详解】函数
2
ln
1
y
x
x
；
2
1
x
x
①
可得
3
0
，
2
3
1
0
4
x
x
函数的定义域为R；
②函数
2
1
y
x
x
在
1
2
x
时，函数是增函数；
1
2
x
时，函数是减函数，可得②不正确；
2
3
1
0
4
x
x
③
，可得
2
ln
1
y
x
x
3
ln 4 ；可得函数的值域为R 不正确；
④函数图象关于直线
1
2
x
对称正确；
故选C．
【点睛】本题考查复合函数的对称性、函数的单调性、函数的定义域以及函数的值域，考查转化思想以及
计算能力属于基础题．
3．(多选)若函数
f
x 的定义域与值域相同，则
f
x 的解析式可能为（
）
A．
ln
2 x
f x
B．
2
log
1
f x
x
C．
2
1
f
x
x
D．
7
1
7
x
f
x
x
【答案】ABD
【分析】对于A：由指数和对数函数的性质判断；对于B：由
1
1
x 结合对数函数的单调性判断；对于
C：由反比例函数的单调性判断；对于D：由
50
7
7
f x
x
结合反比例函数的单调性判断.
【详解】对于A：因为
ln
,
x，所以
ln
2
0
x
，所以
ln
2 x
f x
的定义域与值域均为
0,
；
对于B：
f
x 的定义域为
0,
，因为
1
1
x ，所以
2
2
0
l
o
1
og
1
l g
x
，
即
2
log
1
f x
x
的定义域与值域均为
0,
；
对于C：
2
1
f
x
x
的定义域为
,0
0,
U
，值域为
0,
；
对于D：
7
1
7
x
f
x
x
的定义域
,7
7,
，
50
7
7
7
f x
x
，
即值域为
,7
7,
．
故选：ABD
题型六：根据对数函数值域求参数或范围
1．已知函数
lg
f x
x
，若
f a
f b
且a
b
¹ ，则
9
a
b
的最小值为（
）
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质可得
1
ab 且,
0
a b
，将目标式化为
9
9
a
b
a
a
，应用基本不等式求最小值，
注意等号成立条件.
【详解】由对数函数的性质，且
f a
f b
且a
b
¹ ，可知：
1
ab 且,
0
a b
，
所以
9
9
9
2
6
a
b
a
a
a
a
，当且仅当
1
3,
3
a
b
时等号成立.
故选：C
2．已知命题p：函数
2
1
2
log (
2
)
y
x
x
a
的值域为R；命题q：函数
(5
2 )
y
a x
是减函数．若p 为假命题，
q 为真命题，则实数a 的取值范围是
A．
5
2
a
B．
1
a
C．
5
1
2
a
D．
5
1
2
a
【答案】A
【分析】根据p 假q真列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围
【详解】由于p 假q真，所以
4
4
0
5
2
0
a
a
，解得
5
2
a
.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查根据命题真假性求参数的取值范围，考查对数函数值域，考查一次函数单调性，
属于基础题.
3．(多选)已知
2
0
ax
bx
c
的解集是( 2,3)
，则下列说法中正确的是（
）
A．若c 满足题目要求，则有2023
2022
c
c
成立
B．
12
3
4
a
b
的最小值是4
C．函数
2
lg
1
y
bx
ax
的值域为R ，则实数b 的取值范围是[4,
)
D．当
2
c
时，
2
( )
3
6
f x
ax
bx
，
[ , ]
x
m n
的值域是[ 3,1]
，则n
m
的取值范围是[2,4]
【答案】ACD
【分析】根据三个二次之间的关系分析可得
0,
,
6
a
b
a c
a
，对A：根据指数函数的单调性分析判断；
对B：根据基本不等式分析运算；对C：根据对数函数分析判断；对D：根据二次函数的性质运算判断.
【详解】若
2
0
ax
bx
c
的解集是( 2,3)
，则方程
2
0
ax
bx
c
的根为2,3
，且a<0，
可得
1
6
b
a
c
a
，解得
0
6
0
b
a
c
a
，
对A：∵
0
c
，则
0
2023
2023
2023
1,2022
0
2022
2022
2022
c
c
c
c
，
∴2023
2022
c
c
，A 正确；
对B：∵
12
12
1
12
4
1
12
4
8
3
4
2
3
4
3
4
3
4
3
3
4
3
3
3
4
3
3
a
b
b
b
b
b
b
b
，
当且仅当
1
12
3
4
3
3
4
b
b
，即
2
3
b
时等号成立，
∴
12
3
4
a
b
的最小值是8
3 ，B 错误；
对C：函数
2
lg
1
y
bx
ax
的值域为R ，则函数
2
1
y
bx
ax
的值域包含
0,
，且
0
b
，
可得
2
2
0
Δ
4
4
0
b
a
b
b
b
，解得
4
b
，C 正确；
对D：当
2
c
时，则
1
1
,
3
3
a
b
，
2
( )
2
f x
x
x
，
令
2
( )
2
1
f x
x
x
，解得
1
x ；
令
2
( )
2
3
f x
x
x
，解得= 1
x 或
3
x
；
若
( )
f x 在
[ , ]
x
m n
上的值域是[ 3,1]
，则
1
1
3
m
n
或
1
1
3
m
n
，
可得2
4
n
m
，故n
m
的取值范围是
2,4 ，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】易错点睛：注意理解以下两种情况：
（1）
2
lg
0
y
ax
bx
c
a
的值域为R ，则
0
Δ
0
a
；
（2）
2
lg
0
y
ax
bx
c
a
的定义域为R ，则
0
Δ
0
a
.
题型七：判断对数函数的图像形状
1．函数
ln
e
e
x
x
x
x
f x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
f
x 的定义域以及零点个数，可得出合适的选项.
【详解】对于函数
f
x ，有
0
e
e
0
x
x
x
，解得
0
x
，故函数
f
x 的定义域为
0
x x
，排除AB 选项，
令
0
f
x
可得ln
0
x
，解得
1
x ，即函数
f
x 只有两个零点，排除C 选项.
故选：D.
2．若0
1
b
a
，则函数
logb
y
x
a
的图象不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据对数函数的图像特征即可求解结论．
【详解】
0
1
b
a
，
logb
y
x
在(0,
)
上单调递减，且过第一，第四象限，
图像向左平移a 个单位，得到
log (
)
b
y
x
a
，
故函数
log (
)
b
y
x
a
的图象不经过第一象限，
故选：A ．
3．(多选)在同一坐标系中，函数
x
y
a
与
log
(
0,
a
y
x a
且
1)
a
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.
【详解】当
1
a 时，
x
y
a
定义域为R，且在R 上单调递减，
loga
y
x
定义域为(0,
)
，且在(0,
)
上
单调递增，D 符合；当0
1
a
时，
x
y
a
定义域为R，且在R 上单调递增，
loga
y
x
定义域为(0,
)
，
且在(0,
)
上单调递减，B 符合．
故选：BD．
4.函数
2
2
ln
1
( )
1
x
x
f x
x
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值判断即可.
【详解】由已知得函数的定义域为
1
x x
，
∵
2
2
2
2
2
2
1
1
ln
ln
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
2
2
ln
1
1
x
x
x
f x
，
∴
( )
f x 为奇函数，
令
e 1
x
，则
ln
e
e 1
(
)
2
e 1
e
f
，
其中
e
e 1
e
e 1
0
e
e 1
e
e 1
1
1
e
e 1
，
故
(
)
e
0
1
f
，排除AD ,
令
1
2
x
，
5
1
5
1
2
ln
5
1
ln
ln
2
5
1
1
3
3
3
4
4
5
1
2
(
4
)
2
f
，
其中
2
0
1
5
1
，故
1
( )
0
2
f
，排除B ,
故选：C .
5.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c 的大小关系是（
）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．
【详解】y＝logax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx 的图象在（0，
＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
题型八：根据对数函数图像判断参数范围
1．已知函数
,
,
log
a
x
c
y
x
y
b
y
x
的图象如图所示，则（
）
A．
2
1
lg
2
a
c
b
B．
2
1
lg
2
a
b
c
C．
2
1
lg
2
a
b
c
D．
2
1
lg
2
a
c
b
【答案】C
【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定, ,
a b c 的范围后，再确定lgb ，
2
c，1
( )
2
a 的范围，从而得它们的大小关系．
【详解】由图象知最上方的图象是
a
y
x
的图象，过(0,1)点的是
x
y
b
的图象，过(1,0) 点的是
logc
y
x
的
图象，
因此a<0，0
1
b
，
1
c ，
lg
0
b
，
2
0
1
c
，1
( )
1
2
a ，即
2
1
lg
2
a
b
c
，
故选：C．
2．若函数
loga
f x
x
b
的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数
x
g x
a
b
的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数
( )
log (
)
a
f x
x
b
的图象可推得，0
1
a
，且0
1
b
，可得函数( )
x
g x
a
b
的图象递减，
且1
(0)
2
g
，从而可判断答案.
【详解】由函数
( )
log (
)
a
f x
x
b
的图象为减函数可知，0
1
a
，
再由图象的平移变换知，( )
log (
)
a
f x
x
b
的图象由
( )
loga
f x
x
向左平移不超过一个单位，可知0
1
b
，
故函数( )
x
g x
a
b
的图象递减，且1
(0)
1
2
g
b
，则符合题意的只有B 中图象
故选：B.
3．(多选)设a 与b 为实数，
0
a
，且
1
a ，已知函数
loga
f x
x
b
的图像如图所示，则下列结论正
确的是（
）
A．
3
a
B．
3
b
C．函数的定义域为
0,
D．函数
loga
f x
x
b
在
0,
为增函数
【答案】ABD
【分析】由图像求出函数解析式为
3
log
3
f x
x
，则可求其定义域，判断单调性.
【详解】解：有题意可知
0
log
2
2
log
2
0
a
a
f
b
f
b
，
即
2
2
1
0
a
b
b
a
，解得
3
3
a
b
，AB 选项正确，
3
log
3
f x
x
，则
3
0
3
x
x
，
函数的定义域为
3,
，C 选项错误；
1
a
，函数在
0,
为增函数，D 选项正确；
故选：ABD.
题型九：对数函数图像过定点问题
1．函数
( )
log (
1) 1
a
f x
x
（
0
a
且
1
a ）的图象恒过定点（
）
A．(2,2)
B．(2,1)
C．(3,2)
D．(2,0)
【答案】B
【分析】函数
loga
y
x
图象过定点(1,0) ，故可令
1
1
x ，求解即可．
【详解】由对数函数的性质，令
1
1
x ，即
2
x
，此时
( )
1
f x ，
故函数
( )
log (
1) 1
a
f x
x
的图象恒过定点(2,1) .
故选：B．
2．已知幂函数
2
2
1
m
f
x
m
x
的图象过函数
log
1
(
0
a
g x
x
b a
且
1)
a
的图象所经过的定点，
则b 的值等于（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】首先根据函数是幂函数求m ，再根据函数所过定点求b .
【详解】因为函数
f
x 为幂函数，所以2
1
1
m ，得
1
m ，即
3
f x
x
，
函数
log
1
(
0
a
g x
x
b a
且
1)
a
的定点为
2,b ，
即
3
2
8
b
.
故选：D
题型十：对数函数图像的应用
1．已知函数
2
log
1
f x
x
x
，则不等式
0
f x
的解集是（
）
A．
1,1
B．(
)
0,1
C．(
)
1,0
-
D．
【答案】B
【分析】分别画出函数
2
log
1
y
x
和y
x
的图象，利用函数的图象，即可求解.
【详解】不等式
2
0
log
1
f x
x
x
，
分别画出函数
2
log
1
y
x
和y
x
的图象，
由图象可知
2
log
1
y
x
和y
x
有两个交点，分别是
0,0 和
1,1 ，
由图象可知
2
log
1
x
x
的解集是(
)
0,1
即不等式
0
f x
的解集是(
)
0,1 .
故选：B
2．函数
1
( )
lg
( 1
1)
1
x
f x
x
x
的图象的对称点为（
）
A．( 1,1)
B．(0,0)
C．(1, 1)
D．(1,1)
【答案】B
【分析】证明其为奇函数即可得到答案.
【详解】
1
1
(
)
lg
lg
( )
1
1
x
x
f
x
f x
x
x
，又因为定义域为
1,1
，其关于原点对称，
∴函数
( )
y
f x
为奇函数．
∴
1
( )
lg1
x
f x
x
的图象关于(0,0) 对称．
故选：B.
3．(多选)已知函数
2
2
1,
0,
log
1,
0,
x
x
f
x
x
x
则下列选项正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间
0,
上单调递增
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．方程
1
8
f x
f
f
有两个不等的实数根
D．不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,
2 2,8
8
4
【答案】BC
【分析】画出
2
2
1,
0
log
1,
0
x
x
f
x
x
x
的图象，结合图象即可判断各选项.
【详解】
画出
2
2
1,
0
log
1,
0
x
x
f
x
x
x
的图象，如上图所示.
令
2
2
log
1
0, log
1
x
x
，解得
1
2
x
或
2
x
，
所以
f
x 的图象与x 轴交于
1 ,0 , 2,0
2
.
对于A，由图象可知，函数
f
x 在区间
0,
上不单调，A 错；
对于B，由图象可知，函数
f
x 的值域为
1,
，B 对；
对于C，
2
1
1
log
1
2
8
8
f
，
2
2
2
1
5
f
，
由图象可知，方程
1
8
f x
f
f
，即
5
f x
有两个不等的实数根，C 对；
对于D，由图象可知，当1
2
2
x
时，
0
f x
，
所以，由
0
f
f x
可得
1
2
2
f x
.
令
2
1
log
1
2
x
，解得
2
4
x
或
2 2
x
；
令
2
log
1
2
x
，解得
1
8
x =
或
8
x
，
所以，由图象可知，不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,0
,
2 2,8
8
4
，D 错.
故选：BC
题型十一：对数函数的单调性
1．下列函数中，对定义域内任意两个自变量的值x，y 都满足
f
x
y
f
x
f
y
，且在定义域内为单
调递减函数的是（
）
A．
1
3
log
f
x
x
B．
3
log
f x
x
C．
1
3
x
f x
D．
3x
f x
【答案】C
【解析】利用指数函数的性质以及有理数指数幂的运算性质即可求解．
【详解】函数在定义域内为单调递减函数，排除选项B ，D ，
又
1
1
1
( )
( )
( )
3
3
3
x y
x
y
，函数
1
( )
( )
3
x
f x
满足题意，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
是基础题．
2．下列函数中，在区间
0,
上单调递增的是（
）
A．
1
y
x
B．
0.5
log
y
x
C．
3
y
x
D．
3
y
x
【答案】C
【分析】直接由解析式判断各选项的单调性即可得解.
【详解】对于A，一次函数
1
y
x
在
0,
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为对数函数
log
0
1
a
y
x
a
在
0,
上单调递减，
所以
0.5
log
y
x
在
0,
上单调递减，故B 错误；
对于C，幂函数
3
y
x
在
0,
上单调递增，故C 正确；
对于D，反比例函数
3
y
x
在
0,
上单调递减，故D 错误.
故选：C.
3．(多选)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（
）
A．
x
y
e
B．
3
y
x
C．
ln
y
x
D．y
x
【答案】BD
【分析】利用基本初等函数的基本性质可得结论.
【详解】对于A 选项，
1
0
1
e
，所以，函数
1
x
x
y
e
e
是定义域为R 的减函数；
对于B 选项，函数
3
y
x
是定义域为R 的增函数；
对于C 选项，函数
ln
y
x
是定义域为
0,
的增函数；
对于D 选项，函数y
x
是定义域为R 的增函数.
故选：BD.
【点睛】本题考查基本初等函数定义域和单调性的判断，属于基础题.
题型十二：对数型复合函数的单调性
1．函数
2
1
2
log
4
5
y
x
x
的单调递增区间是（
）
A．
, 5
B．
, 2
C．
2,
D．
1,
【答案】A
【分析】求出定义域，在定义域内确定内层函数
2
4
5
t
x
x
的单调性，再由复合函数单调性得结论．
【详解】、
由
2
4
5
0
t
x
x
得
5
x 或
1
x ，
易知函数
2
4
5
t
x
x
在(
, 5)
上递减，在(1,
)
上递增，
又
1
2
log
y
t
是减函数，所以原函数的增区间是(
, 5)
．
故选：A．
2．已知函数
ln
2
ln 4
f
x
x
x
，则（
）．
A．
f
x 的图象关于直线
3
x
对称
B．
f
x 的图象关于点
3,0 对称
C．
f
x 在
2,4 上单调递增
D．
f
x 在
2,4 上单调递减
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域.
A：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；
B：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；
C：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；
D：结合C 的分析进行判断即可.
【详解】
f
x 的定义域为
2,4
x
，
A：因为
3
ln
1
ln 1
3
f
x
x
x
f
x
，
所以函数
f
x 的图象关于
3
x
对称，因此本选项正确；
B：由A 知
3
3
f x
f
x
，所以
f
x 的图象不关于点
3,0 对称，因此本选项不正确；
C：
2
ln
2
ln 4
ln(
6
8)
x
x
x
f x
x
函数
2
2
6
8
(
3)
1
y
x
x
x
在
2,3
x
时，单调递增，
在
3,4
x
时，单调递减，因此函数
f
x 在
2,3
x
时单调递增，在
3,4
x
时单调递减，故本选项不正
确；
D：由C 的分析可知本选项不正确，
故选：A
3．(多选)某数学课外兴趣小组对函数
2
1
lg
0,
R
x
f x
x
x
x
的性质进行了探究，得到下列四个命题，
其中正确的命题有（
）
A．函数
f
x 的图象关于y 轴对称
B．当
0
x
时，
f
x 是增函数，当
0
x
时，
f
x 是减函数
C．函数
f
x 的最小值是lg2
D．函数
f
x 与
2
x
有四个交点
【答案】AC
【分析】根据偶函数的概念判断A，根据复合函数单调性的法则及偶函数的性质判断B，根据复合函数最
值的求法判断C，根据函数的定义判断D.
【详解】
2
1
lg
0,
R
x
f x
x
x
x
的定义域为
,0
0,
U
，关于原点对称，
且满足
f
x
f x
，所以函数
f
x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；
当
0
x
时，
2
1
1
lg
lg
x
f
x
x
x
x
，由
1
y
x
x
的性质可知其在
0,1 上是减函数，
在
1,上是增函数，所以由复合函数单调性可知，
f
x 在
0,1 上是减函数，
在
1,上是增函数，又
f
x 是偶函数，图像关于y 轴对称，故B 不正确；
当
0
x
时，
1
2
x
x
（当且仅当
1
x 时取等号），又
f
x 是偶函数，
所以函数
f
x 的最小值是lg2 ，故C 正确；
由函数定义可得，函数
f
x 与
2
x
不可能有四个交点，故D 不正确.
故选：AC.
题型十三：由对数（型）单调性求参数
1．已知
3
2
4 ,
1
log
,
1
a
x
a
x
f x
x
x
（
0
a
且
1
a ）在R 上单调，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
B．
2
0, 3
C．2 ,1
3
D．
1,2
【答案】A
【分析】当
1
a 时，
f
x 为增函数，当0
1
a
时，若
f
x 单调递减，则
3
2
1 4
0
3
2
0
a
a
a
，解方程即
可得出答案.
【详解】当
1
a 时，
loga
f x
x
在
1,上单调递增，
3
2
1
0
a
，所以
3
2
4
f x
a
x
a
在
,1
上单调递增，
而
3
2
1 4
log 1
a
a
a
，即
2
0
a
，解得
2
a ，
所以当
1
a 时，
3
2
4 ,
1
log
,
1
a
a
x
a
x
f x
x
x
在R 上为增函数，
当0
1
a
时，
3
2
4 ,
1
log
,
1
a
a
x
a
x
f x
x
x
，
若单调递减，则
3
2
1 4
0
3
2
0
a
a
a
，无解.
故
1
a .
故选：A.
2．设
1
a ，若函数
2
( )
loga
f x
ax
x
在1 ,4
2
上是增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．(2,
)
B．[2,
)
C．(4,
)
D．[4,
)
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性，结合对数的真数大于零恒成立即可求解.
【详解】因为
1
a ，设
2
u
ax
x
，由题意知
2
u
ax
x
在1 ,4
2
上是增函数，
则有1
1
2
2
a
，即
1
a ，于是
1
a ．
又
loga
y
u
是对数函数，故
2
0
u
ax
x
在1 ,4
2
上恒成立，
由前面分析可知，
2
u
ax
x
在1 ,4
2
上是增函数，
所以
2
min
1
1
1
0
2
2
4
2
a
u
a
，解得
2
a
.
综上，得实数a 的取值范围是
2
a
.
故选：A
3．(多选)下列命题为真命题的是（
）
A．若a
b
，则
2
2
a
b
B．若1
1
0
a
b
，则
1
1
a
b
a
b
C．若关于x 的不等式
2
2
0
ax
bx
的解集为
1
1
|
3
2
x
x
，则
10
a
b
D．函数
2
1
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
在区间(3
2,
2)
m
m
内单调递增，则实数m 的取值范围为4 ,3
3
【答案】BC
【分析】对于A ,令
2,
1
a
b
即可判断；对于B ，作差法比较
1
1
,
a
b
a
b
的大小即可；对于C ，根据一元
二次不等式解集及根与系数的关系即可求出,a b ；对于D ,根据复合函数的单调性，求出函数的单调递增区
间，再利用集合关系即可求出m 的范围.
【详解】对于A ,令
2
1
a
b
，则
2
2,
a
b
错误；
对于B ，
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
1
(
)
(
)(1
)
a
b
a
b
a
b
ab
ab
，
而1
1
0
a
b
，所以
0,
0,
0
b a
a
b
ab
，
则
1
1
(
)
0
a
b
a
b
，即
1
1
a
b
a
b
，正确；
对于C ，由题知
0
12
1
1
1
2
3
2
6
2
1
1
1
(
)
3
2
6
a
a
b
b
a
a
，故
10
a
b
，正确；
对于D ，由
2
4
5
0
x
x
，得1
5
x
，
又函数
2
4
5
y
x
x
的对称轴为
2
x
，
根据复合函数的单调性知
2
1
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
的单调递增区间为[2,5) ，
又
2
1
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
在区间(3
2,
2)
m
m
内单调递增，
则
3
2
2
4
3
2
2
2
3
2
5
m
m
m
m
m
，故D 错误,
故选：BC.
题型十四：由对数函数的单调性解不等式
1．已知函数
2
2
log
f x
x
x
，则不等式
ln
ln
2
f
x
f
x
的解集为（
）
A．1 ,1
e
B．1 ,e
e
C．
1,e
D．
1 ,1
1,e
e
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】解：由题可知函数
f
x 的定义域为
,0
0,
U
，
∵
2
2
2
2
log
log
f
x
x
x
x
x
f
x ，
∴
f
x 是偶函数，
∴由
ln
ln
2
f
x
f
x
可得
2
ln
2
f
x
，即
ln
1
f
x .
当
0
x
时，
2
2
log
f x
x
x
，∵
2
log
y
x
和
2
y
x
=
在
0,
上都是单调递增的，
∴
f
x 在
0,
上单调递增，又因
f
x 是偶函数，
∴
f
x 在
,0
上单调递减.
又∵
1
1
1
f
f
，由函数
f
x 的定义域知
ln
f
x 有ln
0
x
，
∴由
ln
1
1
f
x
f
可得0
ln
1
x
，解得：1
e
x
；
由
ln
1
1
f
x
f
可得1
ln
0
x
，解得：1
1
e
x
.
综上，不等式的解集为
1 ,1
1,e
e
.
故选：D.
2．已知集合
2
3,
Ζ
A
x
x
x
，
2
log
2
1
B
x
x
，则A
B
=（
）
A．
2,3
B．
2,3
C．
2,3
D．
3
【答案】D
【分析】先求出集合A 和集合B ，再由交集定义求解即可.
【详解】由已知，
2
3,
Ζ
2,3
A
x
x
x
，
由不等式
2
log
2
1
x
得
2
2
log
2
log 2
x
，∴0
2
2
x
，即2
4
x
，
∴
2
log
2
1
2
4
B
x
x
x
x
，
∴
3
A
B
.
故选：D.
3．(多选)已知函数
2
2
log
2
1
f
x
mx
x
m
，
R
m
，则下列说法正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
B．若函数
f
x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是1
5 1
5
,
2
2
C．若函数
f
x 在区间
2,上为增函数，则实数m 的取值范围是
0,
D．若
0
m
，则不等式1
f x 的解集为
3
2
x x
【答案】AC
【分析】函数
( )
f x 的定义域为R 等价于
2
2
1
0
mx
x
m
恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数
m 的取值范围，即可判断A；若函数
( )
f x 的值域为R 等价于
2
2
1
y
mx
x
m
的值域有子集
0,
，即
可求出实数m 的值，从而判断B；函数
( )
f x 在区间[2,
)
上为增函数等价于函数
2
2
1
y
mx
x
m
在区间
[2,
)
上为增函数且
2
2
1
0
mx
x
m
恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数m 的取值范围，从
而判断C；若
0
m
，
2
( )
log (2
1)
f x
x
，即可解出不等式
( )
1
f x ；即可判断D.
【详解】对于A：因为
( )
f x 的定义域为R ，所以
2
2
1
0
mx
x
m
恒成立，
当
0
m
时2
1
0
x
，显然不恒成立，故
0
m
，
所以
0
Δ
4
4 (
1)
0
m
m m
，解得
1
5
2
m
，即实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
，故A 正确；
对于B：因为
( )
f x 的值域为R ，所以函数
2
2
1
y
mx
x
m
R
x
的值域有子集
0,
，
当
0
m
时，此时
2
log
2
1
f
x
x
的定义域为1 ,
2
，值域为R ，符合题意；
当
0
m
时
0
Δ
4
4 (
1)
0
m
m m
，解得
1
5
0
2
m
，
综上可得实数m 的取值范围是
1
5
0,
2
，故B 错误；
对于C，因为函数
( )
f x 在区间[2,
)
上为增函数，
当
0
m
时，
2
( )
log (2
1)
f x
x
，函数在定义域1 ,
2
上单调递增，符合题意；
当
0
m
时，
0
1
2
4
4
1
0
m
m
m
m
，解得
0
m
；综上可得
0
m
，故C 正确；
对于D，当
0
m
时，
2
( )
log (2
1)
f x
x
，由
( )
1
f x ，即
2
log (2
1)
1
x
，可得0
2
1
2
x
，
解得1
3
2
2
x
，即不等式1
f x 的解集为
1
3
2
2
x
x
，故D 错误.
故选：AC.
题型十五：比较对数式的大小
1．已知
3
0.5
3
log
,
log
2,
2
6
a
b
c
,则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．c
a
b
B．a
b
c
C．c
b
a
D．a
c
b
【答案】D
【分析】先根据
2
3
2
2
36
6
3
27
结合
3
log
f x
x
在
0,
上为增函数判断a 与c 的大小,再根据对数
的运算性质得
0
b
即可判断.
【详解】由
2
3
2
2
36
6
3
27
,
因为
3
log
f x
x
在
0,
上为增函数,
所以
2
3
2
2
3
3
log 6
log
3
,即
3
2
3
3
3
log 6
log 3
2
,
所以
0
a
c
>
>
,
0.5
1
2
2
log
2
log 2
log 2
1
0
b
,
所以a
c
b
.
故选：D
2．函数
( )
(
2)
f x
f x
、
均为偶函数，且当
[0,2]
x
时，( )
f x 是减函数，设
8
1
log 2
a
f
，
(7.5),
( 5)
b
f
c
f
，
则a、b、c 的大小是（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质和周期函数的定义证明
4
f x
f x
，由此转化, ,
a b c ，利用函数的单调性
比较其大小.
【详解】因为函数
( )
(
2)
f x
f x
、
均为偶函数，
所以
f
x
f x
，
2
2
f
x
f x
，
所以
4
2
2
2
2
f
x
f
x
f
x
f
x
，
所以
8
1
1
1
log 2
3
3
a
f
f
f
，
(7.5)
3.5
0.5
0.5
b
f
f
f
f
( 5)
1
1
c
f
f
f
，
因为
1
0
0.5
1
2
3
，当
[0,2]
x
时，
( )
f x 是减函数，
所以
1
1
0.5
3
f
f
f
，
所以a
b
c
.
故选：A.
3．(多选)已知,
R
a b
，且
0
a
b
，则（
）
A．
2
2
2
2
a
a
b
b
B．
5
3
2log
log
a
b
C．
1
1
2
5
2
5
a
b
D．
2
2
1
1
6
2
6
2
a
b
【答案】CD
【分析】A 应用作差法比较；B 特殊值
1
5
a
，
1
3
b
判断；C 根据不等式性质判断；D 利用对应指数函数
单调性判断.
【详解】对于A，
2
2
2
(
2 )
(
)(
)
2(
)
(
)(
2)
a
a
b
b
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，
由于
,2
a
b
的大小不确定，无法比较大小，错误；
对于B，当
1
5
a
，
1
3
b
时，
5
2log
1
a ，
3
log
1
b ，此时
5
3
2log
log
a
b
，错误；
对于C，由已知有
2
5
2
5
0
a
b
，所以
1
1
2
5
2
5
a
b
，正确；
对于D，由已知有
2
2
1
1
a
b
，且0
6
2
1
，所以
2
2
1
1
( 6
2)
( 6
2)
a
b
，正确.
故选：CD
题型十六：对数函数的单调性应用
1．声强级
IL （单位：dB）由公式
12
10lg 10
I
I
L
给出，其中I 为声强（单位：
2
W / m ）．若学校图书规
定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（
）
A．
6
2
10
W / m
B．
7
2
10 W / m
C．
8
2
10 W / m
D．
9
2
10 W / m
【答案】C
【分析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算可得解.
【详解】依题意，
12
10lg
40
10
I
，则
4
12
10
10
I
，则
8
10
I
，
故选：C．
2．已知函数
2 ,
1,
1 ,
1
x x
f
x
f
x
x
则
2
log 9
f
的值为（
）
A．9
B．9
2
C．9
4
D．9
8
【答案】D
【分析】判断
2
log 9所在区间，再利用分段函数依次分段计算即可得解.
【详解】函数
2
log
y
x
在(0,
)
上单调递增，而8
9
16
，则
2
3
log 9
4
，
因函数
2 ,
1
( )
(
1),
1
x x
f x
f x
x
，则
2
2
2
9
log 9
log 9
3
log 8
f
f
f
，
显然
9
1
2
8
，则
2
9
log
1
8 ，则
2
9
log 8
2
9
9
(log
)
2
8
8
f
，
所以
2
9
(log 9)
8
f
.
故选：D.
3．(多选)已知函数
2
y
f x
的图象关于直线
2
x
对称，在
,0
x
时
f
x 单调递减，且
1
0
f
.
若
0.9
0.7
1
3
,
3
a
f
b
f
，
0.7
log
0.8
c
f
，则下列正确的有（
）
A．b
a
B．
1
c
a
b
C．c
c
b
a
D．b
a
c
【答案】ACD
【分析】根据函数的对称性的性质，结合指数函数的单调性、对数的运算性质、函数的单调性进行判断即
可.
【详解】因为函数
2
y
f x
的图象关于直线
2
x
对称，
所以函数
y
f x
图象关于纵轴对称，因此函数
y
f x
是偶函数，
因为
,0
x
时.
f
x 单调递减，
所以
0,
x
时.
f
x 单调递增，
0.9
0.9
1
3
3
b
f
f
，
因为
1
0
f
，函数
y
f x
是偶函数，
所以
1
1
0
f
f
，
因为
0.9
0.7
0.7
3
3
1
log
0.8
，
所以
0
b
a
c
因此选项A 正确，B 不正确，
由
1
1
0
0
c
c
b
a
a
b
a
b
，因此选项C 正确，
因为
0
b
a
b
a
，而0
c
，所以b
a
c
b
a
c
，因此选项D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题的关键由函数
2
y
f x
对称性得到函数
f
x 的对称性.
4．在函数
log
0
1,
1
a
y
x
a
x
的图象上有A，B，C 三点，它们的横坐标分别是,
2,
4
t t
t
.
(1)若ABC
的面积为S，求
S
f t
；
(2)判断
S
f t
的单调性；
(3)求
S
f t
的最大值．
【答案】(1)
2
4
log
2
a
t t
S
f t
t
(2)单调递减
(3)
5
log 9
a
【分析】（1）根据图像得到：ABC
的面积=梯形AA B B
的面积梯形BB C C
的面积梯形AA C C
的面积，
代入点坐标，从而得到面积表达式
2
4
log
2
a
t t
S
t
；
（2）根据复合函数单调性的法则，得到结果；
（3）由（2）的结论，可知函数在
1
t 时取到最大值，从而得到
S
f t
的最大值是
5
log 9
a
.
【详解】（1）如图所示，设
,
,
A B C
是A，B，C 在x 轴上的射影，
则A，B，C 三点的坐标为
,loga
A t
t ，
2,log
2
a
B t
t
，
4,log
4
a
C t
t
，
则
B
BB C C
AA C C
ABC
AA B
S
S
S
S
S
¢
=
=
+
-
1
1
log
log
2
2
log
2
log
4
2
2
2
a
a
a
a
t
t
t
t
1 log
log
4
4
2
a
a
t
t
2 log
2
log
log
4
a
a
a
t
t
t
1,
1,
2
1,
4
1
x
t
t
t
.
由0
1
a
和对数的性质，得
2
4
2log
2
log
log
4
log
2
a
a
a
a
t t
S
f t
t
t
t
t
.
（2）由（1）知，
2
2
4
4
log
log
1
2
2
a
a
t t
S
t
t
，
当
1
t 时，
2
2
t
单调递增，
2
4
2
t
单调递减，
2
4
1
2
t
单调递增．
∵0
1
a
，∴
2
4
log
1
2
a
S
f t
t
单调递减．
（3）当
1
t 时，
2
2
9
t
，
2
4
5
1
9
2
t
.
由（2）知
S
f t
是减函数，
∴
S
f t
的最大值为
5
log 9
a
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是结合图形，利用梯形的面积公式得到S关于t 的表达式，从而得解.
5．已知函数
4
4
log
2
x
x
m
f x
为偶函数.
(1)解关于x 的不等式
2
2
0
x
mx
；
(2)若
4
log
2x
f
x
a
a
在区间
1,2 上恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)(
)
1,2
-
(2)
17
0,12
【分析】（1）根据奇偶性求m，然后解不等式可得；
（2）参变分离，将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可.
【详解】（1）
4
4
log
2
x
x
m
f
x
，由于函数
4
4
log
2
x
x
m
f x
为偶函数，
所以
=
f x
f
x
，
即
4
4
4
4
log
log
2
2
x
x
x
x
m
m
，即4
4
2
2
x
x
x
x
m
m
，
即
1
4
1
0
x
m
恒成立，∴
1
m .
所以不等式为
2
2
0
x
x
，解得：1
2
x
，所以原不等式的解集是(
)
1,2
-
.
（2）由题得
4
4
4
1
log
log
2
2
x
x
x
a
a
恒成立，即4
1
2
2
x
x
x
a
a
恒成立，
因为
1,2
x
，所以1
2
1
3
x
，所以
2
1
1
2
2
1
x
x
x
a
恒成立，
令
2
1
1
2
2
1
x
x
x
y
g x
，令
2
1 3
5
x
t
t
，
则
2
1
1
1
2
3
2
3
t
y
h t
t
t
t
t
，
因为
2
3
y
t
t
在
3,5 单调递增，
所以函数
h t 在
3,5 上单调递减，故
min
17
5
12
h t
h
.
∴
17
12
a
.
∵
2
0
x
a
a
对任意的
1,2
x
恒成立，且1
2
1
3
x
，∴
0
a
.
∴实数a 的取值范围是
17
0,12
.
题型十七：求对数函数的最值
1．函数
2
2
log (
1)
x
y
x
在区间[0,1] 上的最大值和最小值之和为
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】试题分析：因为函数
2x
y
与
2
log (
1)
y
x
是增函数，
所以
2
2
log (
1)
x
y
x
在区间[0,1] 上是增函数，
因此
1
max
2
2
log (1 1)
3
y
＝
，
0
min
2
2
log (0
1)
1
y
，
所以和为4．
故选C．
2．函数
2
2
4
log
log
4
4
x
f x
x
的最小值为（
）
A．
9
4
B．2
C．
3
2
D．0
【答案】A
【分析】函数式变形后把
2
log x 作为一个整体，结合二次函数的性质求解．
【详解】由题意知
f
x 的定义域为(0,
)
.
所以，
2
2
2
4
2
2
4
log
log
4
log
log 4
1
log
4
x
f
x
x
x
x
，
2
2
2
2
2
2
2
1
9
9
2
log
1 log
log
log
2
log
2
4
4
f x
x
x
x
x
x
2
1
log
2
x
，
2
x
时等号成立．
故选：A.
【点睛】本题考查求对数型函数的最值，解题方法利用整体思想（实质就是换元法）结合二次函数的性质
求解．
3．(多选)已知函数
lg
1
lg 3
f x
x
x
，则（
）
A．
f
x 在
1,3 单调递增
B．
f
x 在
1,2 单调递增，在
2,3 单调递减
C．
f
x 的图象关于直线
2
x
对称
D．函数
f
x 的最小值为0
【答案】BC
【分析】由对数性质求函数定义域，再根据二次函数、对数函数的单调性判断复合函数的单调性并判断最
值情况，判断
(4
),
( )
f
x
f x
是否相等判断对称性.
【详解】由题设
1
0
3
0
x
x
，故1
3
x
，其定义域为(1,3) ，
令
2
(
1)(3
)
(
2)
1
t
x
x
x
，而( )
lg
g t
t
递增，
又
2
2
1
y
x
在(1,2) 上递增，在(2,3) 上递减，
故
( )
f x 在(1,2) 上递增，在(2,3) 上递减，且最大值为
(2)
0
f
，无最小值，
所以A、D 错误，B 正确；
(4
)
lg(3
)
lg(
1)
( )
f
x
x
x
f x
，则
f
x 的图象关于直线
2
x
对称，C 正确.
故选：BC
题型十八：根据对数函数的最值求参数或范围
1．若函数
2
( )
log
3
4
1
a
f x
x
ax
有最小值，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3 ,1
2
B．(1, 3)
C．
3
0, 2
D．( 3,
)
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得
0,1
1,
a
且
2
3
4
1
0
x
ax
，则
0
，即可求出a 的大致范围，
再令
2
3
4
1
0
x
ax
的根为
1
x 、
2
x 且
1
2
x
x
，
2
3
4
1
u x
x
ax
，
loga
y
u
，对a 分两种情况讨论，结
合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意
0,1
1,
a
且
2
3
4
1
0
x
ax
，所以
2
16
12
0
a
，解得
3
2
a
或
3
2
a
，
综上可得
3 ,1
1,
2
a
，
令
2
3
4
1
0
x
ax
的根为
1
x 、
2
x 且
1
2
x
x
，
2
3
4
1
u x
x
ax
，
loga
y
u
，
若
1,
a
，则
loga
y
u
在定义域上单调递增，
2
3
4
1
u x
x
ax
在
1
2
, 3
a
x
上单调递增，在
2
2 ,
3
a x
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
2
( )
log
3
4
1
a
f x
x
ax
在
1
2
, 3
a
x
上单调递增，在
2
2 ,
3
a x
上单调递减，
函数不存在最小值，故舍去；
若
3 ,1
2
a
，则
loga
y
u
在定义域上单调递减，
2
3
4
1
u x
x
ax
在
1
2
, 3
a
x
上单调递增，在
2
2 ,
3
a x
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
2
( )
log
3
4
1
a
f x
x
ax
在
1
2
, 3
a
x
上单调递减，在
2
2 ,
3
a x
上单调递增，
所以函数在
2
3
a
x
取得最小值，所以
3 ,1
2
a
；
故选：A
2．已知a>1，函数
loga
y
x
在区间[ ,3 ]
a
a 上的最大值与最小值的差为2，则a=（
）
A．9
B．3
C．2
D．
3
【答案】D
【分析】由已知中底数的范围，可以判断出对数函数的单调性，则可求出函数在区间[a ，3 ]
a 上的最大值
与最小值，结合已知构造方程，解方程可得答案．
【详解】因为a>1，所以
loga
y
x
在定义域(0,
)
上单调递增，
所以log 3
log
2
a
a
a
a
，即log 3
2
a
，所以
3
a
.
故选：D
3．(多选)关于函数
2
lg(
1)
f x
ax
ax
，则下列说法正确的是（
）
A．函数
f
x 的图像可能关于原点对称
B．若函数
f
x 有最小值，则a 的范围是[0,4)
C．若函数
f
x 有最大值，则a 的范围是(
,0)
D．函数
f
x 有可能是单调函数
【答案】AB
【分析】当
0
a
时，
0
f
x
，可判定以A 正确；分
0
a
和
0
a
，根据对数函数的性质，可得判定B 正
确，C 不正确；根据二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，可判定D 不正确.
【详解】由题意，函数
2
lg(
1)
f x
ax
ax
，
对于A 中，当
0
a
时，
lg1
0
f x
，此时函数的图象关于原点对称，所以A 正确；
对于B 中，当
0
a
时，
lg1
0
f x
，满足题意；
当
0
a
时，要使得函数
f
x 有最小值，则满足
2
0
4
0
a
a
a
，解得0
4
a
，
综上可得，函数
f
x 有最小值，则a 的范围是[0,4)，所以B 正确；
对于C 中，当
0
a
时，
lg1
0
f x
，满足题意；
当
0
a
时，要使得函数
f
x 有最大值，则满足
2
0
4
0
a
a
a
，解得a<0 或
4
a
，
综上可得，函数
f
x 有最小值，则a 的范围是(
,0]
(4,
)
，所以C 不正确；
对于D 中，当
0
a
时，
lg1
0
f x
，函数不是单调函数；
当
0
a
时，因为函数
2
1
y
ax
ax
在定义域上不是单调函数，
根据复合函数的单调性，可得函数
f
x 也不是单调函数，所以D 不正确.
故选：AB
题型十九：对数函数的最值与不等式综合问题
1．已知函数
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
，若不等式
(2
4 )
(
2
2)
0
x
x
x
f
f m
对
R
x
恒成立，则实
数m 的取值范围为（
）
A．(
,2 2
1)
B．( 2 2
1,
)
C．( 2 2
1,2 2
1)
D．(
,2 2
1)
【答案】D
【分析】先求出函数
( )
f x 的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，
2
2
2
+
1
x
x
m
，最后结
合基本不等式计算求解即可
【详解】
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
,
2
e
e
(
)
ln( 1
),
2
x
x
f
x
x
x
2
2
e
e
e
e
(
)
( )
ln( 1
)
ln( 1
)
0
ln1
0
2
2
x
x
x
x
f
x
f x
x
x
x
x
,
所以
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
为奇函数,
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
为单调增函数,
(2
4 )
(
2
2)
0
(2
4 )
(
2
2)
(2
2 )
x
x
x
x
x
x
x
f
f m
f
f m
f
m
，
,
2
4
2
2
x
x
x
m
,
2
+
2
+
+
2
4
2
2
2
4
=2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
m
m
，
R
x
恒成立,
2
2
0,
+
1
2
1
2
2
2 2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
,
2 2
1
m
.
故选：D.
2．若不等式
2
1
loga
x
x
（
0
a
，且
1
a ）在
1,2
x
内恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1,2
B．
1,2
C．1, 2
D．
2,
2
【答案】B
【分析】分析出0
1
a
时，不成立，当
1
a 时，画出
loga
f x
x
，
2
1
g x
x
的图象，数形结合得
到实数a 的取值范围.
【详解】若0
1
a
，此时
1,2
x
，log
0
a x
，而
2
1
0
x
，故
2
1
log a
x
x
无解；
若
1
a ，此时
1,2
x
，log
0
a x
，而
2
1
0
x
，
令
loga
f x
x
，
2
1
g x
x
，
画出两函数图象，如下：
故要想
2
1
log a
x
x
在
1,2
x
内恒成立，
则要log 2
1
a
，解得：
1,2
a
.
故选：B.
3．(多选)已知函数
2
2
2
ln
1
1
( )
1
ax
a
x
x
f x
x
a
，其中
0
a
，若
( )
f x 的最大值为M，最小值为N，则
当a 的值变化时（
）
A．M
N
为定值B．M
N
为定值
C．
4
M
N
D．
ln 2
M
N
【答案】BC
【分析】对函数变形得到
2
2
ln
1
1
( )
1
x
x
f x
a
a
x
，其中判断出
2
2
ln
1
( )
1
x
x
g x
x
为奇函数，故
1
2
M
N
a
a
，A 错误；
max
2 ( )
M
N
g x
，B 正确；由基本不等式求出
4
M
N
，C 正确；
(1)
( 1)
ln( 2
1)
ln 2
M
N
f
f
，D 错误.
【详解】
2
2
ln
1
1
( )
1
x
x
f x
a
a
x
，令
2
2
ln
1
( )
1
x
x
g x
x
，定义域为R ，
2
2
2
2
2
2
1
ln
ln
1
ln
1
1
( )
1
1
1
x
x
x
x
x
x
g
x
g x
x
x
x
，
故( )
g x 为奇函数，
max
min
( )
( )
0
g x
g x
，
max
min
1
1
( )
( )
2
2
M
N
g x
g x
a
a
a
a
，M
N
与a 有关，不是定值，故A 错误；
因为
1
1
2
4
4
a
a
a
a
，故C 正确；
max
min
max
( )
( )
2 ( )
M
N
g x
g x
g x
为定值，故B 正确；
ln( 2
1)
ln( 2
1)
(1)
( 1)
ln( 2
1)
ln 2
2
2
M
N
f
f
，故D 错误．
故选：BC
题型二十：反函数
1．
2
log
f x
x
的反函数是（
）
A．
x
y
a
B．
2x
y
C．
log 2
x
y
D．
4x
y
【答案】B
【分析】根据指数函数与对数函数的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据指数函数与对数函数的关系，可得函数
2
log
f x
x
的反函数为
2x
y
.
故选：B.
2．函数
y
f x
的图象与函数
3x
y
的图象关于直线y
x
对称，则
1
9
3
f
f
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解.
【详解】因为函数
y
f x
的图象与函数
3x
y
的图象关于直线y
x
对称，
所以
3
log
f x
x
，所以
3
3
1
1
9
log
log 9
1 2
1
3
3
f
f
.
故选：A.
3．(多选)下列说法正确的是（
）
A．函数
3
log
y
x
与
3
log
y
x
的图象关于y 轴对称.
B．函数
3x
y
与
3
log
y
x
的图象关于y
x
对称.
C．
0x
R ，当
0
x
x
时，恒有2
2
x
x
.
D．用二分法求方程3
3
8
0
x
x
在
1,2
x
内的近似解的过程中得到
1
0
f
，
1.5
0
f
，
1.25
0
f
，
则方程的根落在区间
1.25,1.5 上.
【答案】BCD
【分析】利用函数图象的对称性可判定A 项，根据反函数的定义可判定B 选项，根据指数函数的增长速度
可判定C 项，利用二分法及零点存在性定理可判定D 项.
【详解】对于A 项，显然函数
3
log
y
x
与
3
log
y
x
的定义域均为
0,
，图象不会关于y 轴对称，其图
象关于x 轴对称，故A 错误；
对于B 项，函数
3x
y
与
3
log
y
x
互为反函数，故图象关于y
x
对称，故B 正确；
对于C 项，易知
2
1
2
2 2,2
2 1
，由指数函数的增长速度可知，当
2
x
时，恒有2
2
x
x
，即C 正确；
对于D 项，由于函数
3
3
8
x
f x
x
连续，又
1.5
0
f
，
1.25
0
f
，由零点存在性定理可知函数零点
落在区间
1.25,1.5 上，即D 正确.
故选：BCD.
模块三：综合巩固
1.当
1
a 时，在同一平面直角坐标系中，函数
x
y
a
与
loga
y
x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
1
a 可知
1
0
1
a
，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果.
【详解】依题意可将指数函数
x
y
a
化为
1
x
y
a
，由
1
a 可知
1
0
1
a
；
由指数函数图象性质可得
1
x
y
a
为单调递减，且过定点
0,1 ，即可排除BC，
由对数函数图象性质可得
loga
y
x
为单调递增，且过定点
1,0 ，排除D，
故选：A
2.设
1.2
0.2
2
log
0.3,
log 3,
2
b
c
a
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）.
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
b
a
D．c
a
b
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小作答.
【详解】依题意，
0.2
0.2
log
0.3
log
0.2
1
a
，
2
2
2
1
log 2
log 3
log 4
2
，即1
2
b
，
而
2
1
1.
2
2
2
c
，所以a
b
c
.
故选：A
3.函数
0.5
1
log
(4
3)
y
x
的定义域为（
）
A．3 ,1
4
B．3 ,
4
C．
1,
D．
3 ,1
1,
4
【答案】A
【分析】根据函数的解析式，建立不等式求解即可.
【详解】要使函数
0.5
1
log
(4
3)
y
x
有意义，需满足
0.5
log
4
3
0
x
，
即
0.5
0.5
log
4
3
log
1
x
，得0
4
3
1
x
，解得3
1
4
x
，
则函数
0.5
1
log
(4
3)
y
x
的定义域为3 ,1
4
.
故选：A.
4.已知函数
1
0 ,
1
log
(
0)
k
x
f x
x
x
k
x
在定义域上是单调函数，则实数k 的取值范围是（
）
A．
0,1
B．
1,
C．
1,3
D．
1,3
【答案】B
【分析】由分段函数单调性的特征，求实数k 的取值范围.
【详解】当
0
x
时，
1
1
f x
x
单调递增且
0
1
f
，
所以当
0
x
时，
logk
f x
x
k
也单调递增，
则
1
log
0
,
1,
k
k
k
解得
1
k ，所以
1,
k
.
故选：B.
5.已知函数
log
,0
1
( )
,(
0,
1)
2,
1
a x
m
x
f x
a
a
x
x
在定义域内单调递减，若
2
0
f
m
f a
，则实数m 的
取值范围是（
）
A．
1,3
B．
1,3
C．
3,
D．
3,
【答案】B
【分析】根据给定函数的单调性确定,a m 的范围，再借助单调性解不等式作答.
【详解】依题意，函数
( )
f x 的定义域为(0,
)
，即函数
( )
f x 在(0,
)
上单调递减，
因此
0
1
1
a
m
，不等式
2
0
f
m
f a
化为：
1
( 2
2)
(1
)
0
m
m
m
，解得1
3
m
，
所以实数m 的取值范围是
1,3 .
故选：B
6.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，且在
,0
上单调递增，设
4
log 5
a
f
，
2
1
log 3
b
f
，
0.5
0.2
c
f
，则a ，b ，c 的大小关系（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．b<c<a
D．a
b
c
【答案】B
【分析】根据函数的单调性、奇偶性、对数函数、指数函数等知识确定正确答案.
【详解】函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，且在
,0
上单调递增，
所以
f
x 在
0,
上单调递减.
0.5
0
0
0.2
0.2
1
，
4
2
2
2
2
1
log 5
1,
log
log 3
log 3 ,log 3
1
3
b
f
f
f
，
2
2
0.5
2
4
4
2
log 3
log
3
log 9
log 5
1
0.2
，
所以b
a
c
.
故选：B
7.已知函数( )
2
2
2
log
log
f
x
x
x
=
-
．
(1)解不等式
2
f x
；
(2)求函数
f
x 的单调递增区间．
【答案】(1)
1
0,
4,
2
(2)
2
，
【分析】（1）解不等式问题中可将
2
log x 看作整体，然后解关于
2
log x 的一元二次不等式，求出
2
log x 的范
围后，再求x 的取值范围.
（2）复合函数的单调性问题：同增异减，令
2
log
t
x
，在
0
，
上单调递增，所以求函数
f
x 的单调递
增区间时，只需求
2
1
1
2
4
y
t
的单调递增区间.
【详解】（1）由
2
f x
可得
2
2
2
log
log
2
0
x
x
-
-
³
，
即(
)(
)
2
2
log
2
log
1
0
x
x
-
+
³
，
所以
2
log
2
x
或
2
log
1
x ，
解得
4
x
或
1
0
2
x
，
因此原不等式的解集为
1
0,
4,
2
．
（2）函数( )
2
2
2
log
log
f
x
x
x
=
-
的定义域为
0
，
，
又( )
2
2
2
2
2
1
1
log
log
log
2
4
f
x
x
x
x
=
-
=
-
-
，
令
2
log
t
x
，则
2
1
1
2
4
y
t
，
因为
2
log
t
x
在
0
，
上单调递增，若求原函数的单调递增区间，
则需满足
2
1
1
2
4
y
t
单调递增，
所以
1
2
t
，即：
2
1
log
2
x
得
2
x
，
可得函数
f
x 的单调递增区间为：
2
，
．
8.已知指数函数
2
4
4
(
0)
x
f
x
b
b
a
b
的图象过点1 ,
2
2
．
(1)求,a b的值；
(2)求关于x 的不等式
log
3
2
log
1
a
a
x
x
的解集．
【答案】(1)
2
a
，
1
b
(2)
4
1, 3
【分析】（1）由指数函数的概念列式求解，
（2）由对数函数的单调性转化后求解．
【详解】（1）由题知指数函数
f
x ，则
2
4
4
1
b
b
，得
1
b 或=
5
b
，又
0,
1
b
b
，
图象经过1 ,
2
2
，则
1
2
1
2
2
f
a
，解得
2
a
；
（2）
2
a
，以2 为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，
∴满足条件
3 ,
3
2
0,
2
1
0,
1,
3
2
1,
4 ,
3
x
x
x
x
x
x
x
，
∴不等式的解集为
4
1, 3
．
9.已知函数
2
( )
log
4
2 2
3
x
x
f x
.
(1)求方程
1
f x 的根；
(2)求
f
x 在
0,2 上的值域.
【答案】(1)
0
x
(2)
2
1,log 11
【分析】（1）由题得到方程4
2 2
1
0
x
x
，求出方程的根；
（2）换元后得到
2
2
3
h t
t
t
的单调性，结合复合函数的单调性得到
f
x 单调递增，求出值域.
【详解】（1）
2
log
4
2 2
3
1
x
x
，故4
2 2
1
0
x
x
，
2
2
1
0
x
，
所以2
1
x ，解得
0
x
；
（2）令
2x
t
，当
0,2
x
时，
2
1,4
x
t
，
故
2
2
log
2
3
y
t
t
，由于
2
2
3
h t
t
t
在
1,4
t
上单调递增，
故
2,11
h t
，
由复合函数单调性可知，
2
2
log
2
3
y
t
t
在
1,4
t
上单调递增，
故
2
2
2
log
2
3
1,log 11
y
t
t
.
