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第六章平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）
【人教A 版（2019）】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22 题，单选8 题，多选4 题，填空4 题，解答6 题，满分150 分，限时120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8 小题，满分40 分，每小题5 分）
1.下列命题：
①若|�Ԧሬ| = |�Ԧሬ|，则�Ԧሬ= �Ԧሬ；
②�Ԧሬ= �Ԧሬ的充要条件是|�Ԧሬ| = |�Ԧሬ|且�Ԧሬ∥�Ԧሬ
③若�Ԧሬ∥�Ԧሬ, �Ԧሬ∥�Ԧሬ，则�Ԧሬ∥�Ԧሬ；
④若�､�､�､�是不共线的四点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ是四边形����为平行四边形的充要条件.
其中，真命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2.已知�1Ԧ
ሬሬ，�2Ԧ
ሬሬ是平面内两个不共线的向量，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 4�1Ԧ
ሬሬ+ 2�2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 1 −��2Ԧ
ሬሬ，且A，
C，D 三点共线，则�=（
）
A．
1
2
B．2
C．4
D．
1
4
3.向量�Ԧሬ= （1,3），�Ԧሬ= 3�−1, �+ 1 ，�Ԧሬ= 5,7 ，若�Ԧሬ+ �Ԧሬ
∥�Ԧሬ+ �Ԧሬ，且�Ԧሬ= ��Ԧሬ+ ��Ԧሬ，则�+ �的值为
（
）
A．2
B．
5
2
C．3
D．
7
2
4.如图，△���是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若��= 4，��= 2，
点M 为线段��上的动点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬሬ的最大值为（
）
A．
16
9
B．
21
4
C．6
D．10
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5.在△���中，��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ，E 是线段��上的动点（与端点不重合），设��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，则
2�+3�+��
��
的最
小值是（
）
A．10
B．4
C．7
D．13
6.已知△���中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（
）
（1）若�2tan�= �2tan�，则△���是等腰三角形；
（2）若sin�= cos�，则△���是直角三角形；
（3）若cos�cos�cos�< 0，则△���是钝角三角形；
（4）若cos(�−�)cos(�−�)cos(�−�) = 1，则△���是等边三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
7.在锐角△���中，角�，�，�的对边分别为�，�，�，记△���的面积为�，若(�2 −�2)sin�= 2�，则
�+�
�
取值范围是（
）
A．(1,5)
B．( 2 + 1,5)
C．(1,
3 + 2)
D．( 2 + 1,
3 + 2)
8.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两
条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆�的半径2，点�是圆�内的定点，且��=
2，
弦��, ��均过点�，则下列说法错误的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ为定值
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围是−2,0
C．当��⊥��时，��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ为定值
D．��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的最大值为16
二．多选题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分）
9.下列说法不正确的是（
）
A．若�Ԧሬ= �Ԧሬ，则�Ԧሬ、�Ԧሬ的长度相等且方向相同或相反
B．若向量�Ԧሬ，�Ԧሬ满足�Ԧሬ
> �Ԧሬ，且同向，则�Ԧሬ＞�Ԧሬ
C．若�Ԧሬ
≠�Ԧሬ，则�Ԧሬ与�Ԧሬ可能是共线向量
D．若非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ平行，则�、�、�、�四点共线
10．图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中��= 1, ∠�= ∠���=
π
2 , ∠���=
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π
6 , ∠�=
π
4，则下列结论正确的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
6
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3
11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1 是一个正八边形窗花隔断，
图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为1，P 是正八边形
ABCDEFGH 边上任意一点，则（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬ能构成一组基底
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
2��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ在��Ԧ
ሬሬሬሬ向量上的投影向量的模为
2
2
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的最大值为3 + 2 2
12．在△���中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且tan�+ tan�=
3�
�cos�，则下列结论正确的是
（
）
A．�=
π
6
B．若�= 2，则该三角形周长的最大值为6
C．若△���的面积为2，a，b，c 边上的高分别为ℎ1, ℎ2, ℎ3，且ℎ1ℎ2ℎ3 = �，则�2的最大值为24 3
D．设��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
2�+���Ԧ
ሬሬሬሬ，且��= 1，则�+ 2�的最小值为
9 7
7
三．填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分）
13．已知�Ԧሬ，�Ԧሬ是平面内两个不共线的向量，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧሬ+ 2�Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3�Ԧሬ+ ��Ԧሬ，若A，B，C 三点共线，则
�=
．
14．如图，在△���中，已知��= 2, ��= 3, ∠���= 60°，点D，E 分别在边AB，AC 上，且��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ=
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3��Ԧ
ሬሬሬሬ，点F 为线段DE 上的动点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ的取值范围是
．
15．设�റሬ, �റሬ为不共线的向量，满足�റሬ= ��റሬ+ ��റሬ, 3�+ 4�= 2(�, �∈R)，且�റሬ
= �റሬ−�റሬ
= �റሬ−�റሬ，若�റሬ−�റሬ
= 3，
则�റሬ
⋅�റሬ
2 −(�റሬ⋅�റሬ)2的最大值为
．
16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径��=
20cm，需要剪去四边形���1�，可以经过对折，沿��, ��裁剪，展开就可以得到．
已知点�在圆上且��= 10cm，∠���= 30°．则镂空四边形���1�的面积的最小值为
cm2．
四．解答题（共6 小题，满分70 分）
17．已知�Ԧሬ
= 2，�Ԧሬ
= 3，�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= 8．
(1)求�Ԧሬ+ �Ԧሬ；
(2)当�为何值时，��Ԧሬ−�Ԧሬ与�Ԧሬ+ 2�Ԧሬ垂直？
(3)求向量�Ԧሬ与�Ԧሬ+ �Ԧሬ的夹角的余弦值．
18．设�1റ
ሬሬ，�2റ
ሬሬ是两个不共线的向量，如果��റ
ሬሬሬሬ= 3�1റ
ሬሬ−2�2റ
ሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ= 4�1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ= 8�1റ
ሬሬ−9�2റ
ሬሬ.
(1)求证：A，B，D 三点共线；
(2)试确定�的值，使2��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ和�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ共线；
(3)若�1റ
ሬሬ+ ��2റ
ሬሬ与��1റ
ሬሬ+ �2റ
ሬሬ不共线，试求�的取值范围.
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19．已知�1Ԧ
ሬሬ，�2Ԧ
ሬሬ是平面内两个不共线的非零向量，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬ=−2�1Ԧ
ሬሬ+ �2Ԧ
ሬሬ，且
A，E，C 三点共线.
(1)求实数�的值；
(2)若�1Ԧ
ሬሬ= (3,1)，�2Ԧ
ሬሬ= ( −1, −2)，求��Ԧ
ሬሬሬሬ的坐标；
(3)已知�( −
1
2 , 3)，在(2)的条件下，若A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标.
20．如图，点�, �分别是正方形����的边��、��上两点，��= 1，∠���= �，记点�为△���的外心.
(1)若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，0 ≤�≤1，求��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的值；
(2)若�= 45°，求��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围；
(3)若�= 60°，若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，求3�+ 6�的最大值.
21．在锐角△���中，cos�=
2
2 ，点�为△���的外心．
(1)若��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，求�+ �的最大值；
(2)若��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
2．
①求证：��Ԧ
ሬሬሬሬ+ sin2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−cos2�⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ；
②求3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ的取值范围．
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22．在△���中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足�cos�+
3�sin�−�−�= 0．
(1)求角A；
(2)若�=
3，求△���周长的最大值；
(3)求
��−��−��
�2
的取值范围．
