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第六章 平面向量及其应用A（基础卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2019秋•公安县期末）如果向量 （0，1）， （﹣2，1），那么| 2 |＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：由向量 （0，1）， （﹣2，1），
所以 2 （﹣4，3），
由向量的模的运算有| 2 | 5，
故选：B．
2．（2020•葫芦岛模拟）在矩形ABCD中，AB＝1，AD ，点M在对角线AC上，点N在边CD上，且
， ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【解答】解： ，
∴ （ ）•（ ）
．
故选：C．
3．（2020•黄山二模）如图，在等腰直角△ABC中，斜边 6，且 2 ，点P是线段AD上任一点，则 的取值范围是（ ）
A．[0，4] B．[ ] C．[0， ] D．[ ]
【解答】解：AB＝AC＝3 ， ，
（ ） ，
设 ，则 （ 1） ，
λ
∴ （ ）•[ （ 1） ] （ 1） 10 2﹣6 ，
λ λ
∵0≤ ≤1，
λ
∴当 时， 取得最小值 ，当 ＝1时， 取得最大值4．
λ λ
故选：B．
4．（2020•茂名二模）设 ， 是两个不共线的平面向量，已知 ， ，若 ，
则k＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，解得k＝﹣6．
故选：D．
5．（2020春•扬州期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a ，则
等于（ ）A． B． C． D．2
【解答】解：A＝60°，a ，
由正弦定理可得， 2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
则 2．
故选：D．
6．（2020春•房山区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝2，A＝45°，B＝
30°，那么b＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由正弦定理可得， ，
所以b ，
故选：A．
7．（2020•罗湖区校级模拟）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，
表达式为：S ，p ；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数
学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公
式完全等价，因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式．现在有周长为 10+2 的△ABC满足sinA：
sinB：sinC＝2：3： ，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．12
【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3： ，∴a：b：c＝2：3： ，
∵△ABC周长为10+2 ，即a+b+c＝10+2 ，
∴a＝4，b＝6，c＝2 ，∴p 5 ，
∴△ABC的面积S 6 ．
故选：C．8．（2020•山西模拟）已知向量 ， ， ，则当 取最小值时，实数t
＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设P（x，y）；
因为向量 ， ， ，
可得（x，y﹣2）＝t（1，﹣2）；
故 ；
∴ ；
当t 时 取最小值 ．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•江阴市期中）在△ABC中， ，AC＝1， ，则角A的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由正弦定理可得， 即 ，
所以sinC ，
所以C 或 ，
当C 时，A ，
当C 时，A ．
故选：AD．
10．（2020•青岛模拟）已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足 2， ，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． ∥ B．
C． D．S＝4
【解答】解：已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足 2 ，所以
A，P，C三点共线．点P为线段AC的三等分点，
由于 ，所以A，B，Q三点共线，且B为线段AQ的中点，
如图所示：
所以
不平行，故选项A错误．
①
根据三角形法则： ．
②
③
△ABC的面积为3，所以 ，则S△ABP ＝2，S△BCP ＝1，
④
且S△ABP ＝S△BPQ ＝2，
所以S△APQ ＝2+2＝4．
故选：BD．
11．（2020春•正定县校级月考）以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ）
A．在△ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝bC．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在△ABC中，
【解答】解：对于A，由正弦定理 ，
可得：a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故正确；
对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A+2B＝ ，即A＝B，或A+B ，
π
∴a＝b，或a2+b2＝c2，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB a＞b A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，
正确； ⇔ ⇔
对于D，由正弦定理 ，
可得右边 2R＝左边，故正确．
故选：ACD．
12．（2020•泰安模拟）已知向量 （2，1）， （1，﹣1）， （m﹣2，﹣n），其中m，n均为正
数，且（ ）∥ ，下列说法正确的是（ ）
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b方向上的投影为
C．2m+n＝4
D．mn的最大值为2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量 （2，1）， （1，﹣1），则 • 2﹣1＝1＞0，则 、 的夹角为锐角，A错误；
对于B，向量 （2，1）， （1，﹣1），则向量a在b方向上的投影为 ，B错误；
对于C，向量 （2，1）， （1，﹣1），则 （1，2），若（ ）∥ ，则（﹣n）＝2
（m﹣2），变形可得2m+n＝4，C正确；对于D，由C的结论，2m+n＝4，而m，n均为正数，则有mn （2m•n） （ ）2＝2，即mn
的最大值为2，D正确；
故选：CD．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•新课标Ⅰ）设向量 （1，﹣1）， （m+1，2m﹣4），若 ⊥ ，则m＝ 5 ．
【解答】解：向量 （1，﹣1）， （m+1，2m﹣4），若 ⊥ ，
则 • m+1﹣（2m﹣4）＝﹣m+5＝0，
则m＝5，
故答案为：5
14．（2020•新课标Ⅰ）设 ， 为单位向量，且| |＝1，则| |＝ ．
【解答】解： ， 为单位向量，且| |＝1，
| |2＝1，
可得 ，
1+2 1＝1，
所以 ，
则| | ．
故答案为： ．
15．（2020•葫芦岛模拟）若tan ，向量 （1，﹣1）， （cos2 ，sin2 ），则 • ．
α α α
【解答】解：向量 （1，﹣1）， （cos2 ，sin2 ），tan ，
α α α
则 • ．故答案为： ．
16．（2020春•房山区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝3，b ，c＝
2 ，那么cosA＝ ．
【解答】解：由余弦定理可得，cosA ．
故答案为：
四．解答题（共5小题）
17．（2020春•胶州市期中）已知 ， R．
α∈
（1）若向量 ，求 的值；
（2）若向量 ，证明： ．
【解答】解：（1）因为 ，
所以tan ，
α
所以 ．
（2）证明：因为 ，
所以6（sin2 ﹣cos2 ）+5（1+cos2 ）＝0，
α α α
所以 ．
18．（2019秋•滨海县期末）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°， ，
．
（1）求CD的长；
（2）求 的值．【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即CD的长为
；
（2） ，
∴ ．
19．（2020•重庆模拟）已知函数 ．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，c＝1，求△ABC的面积．
【解答】解：（1） ，
由 ，得 ，k Z；
∈
由 ，得 ，k Z．
∈
故f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，k Z．
∈
（2） ，则 ，
∵A （0， ），∴ ，即 ，
∈ π由正弦定理得， 即 ，解得 ，∴ 或 ，
当C 时，A+C＞ ，舍去，所以 ，故 ，
π
∴ ．
20．（2019 秋•安徽期末）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设平面向量
，且
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若 ，求△ABC中AB边上的高h．
【解答】解：（Ⅰ）平面向量 ，且 ，
可得 ，
所以cos2B﹣sin2A+sinAsinB＝cos2C，即1﹣sin2B﹣sin2A+sinAsinB＝1﹣sin2C，
即sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，
根据正弦定理得a2+b2﹣c2＝ab，所以 ，
所以 ；
（Ⅱ）由余弦定理 ，又 ，所以ab＝3，
根据△ABC△的面积 ，即 ，解得 ，
所以△ABC中AB边上的高 ．
21．（2020•山东模拟）在 a ， （2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这两个条件
中任选一个，补充在下列①问题中，并解答． ②
已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，c 而且 _______．
（1）求∠C；
（2）求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）选 ，∵a ，
∴ ① ，∵sinA≠0，
∴ ，即 ，
又0＜C＜ ，
π
∴ ，故 ，即 ；
选 ，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，
∴②（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
∴ ，
∵0＜C＜ ，
π
∴ ；
（2）由（1）可知， ，
在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC＝3，即a2+b2﹣ab＝3，
∴ ，
∴ ，当且仅当那个a＝b时取等号，
∴ ，即△ABC周长的最大值为 ．
