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第六章 平面向量及其应用B（提高卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2019秋•长宁区期末）设 为两个非零向量 、 的夹角，已知当实数t变化时 的最小值为2，
θ
则（ ）
A．若 确定，则 唯一确定 B．若 确定，则 唯一确定
θ θ
C．若 确定，则 唯一确定 D．若 确定，则 唯一确定
θ θ
【解答】解：令f（t） 2 2t t2 ；
∴△＝4（ • ）2﹣4 • 4 • （cos ﹣1）≤0恒成立，
θ
当且仅当t cos 时，f（t）取得最小值2，
θ
∴（ cos ）2 2（ cos ）• • 2，
θ θ
化简 sin2 ＝2．
∴ 确定，则θ| |唯一确定
故θ选：A．
2．（2020春•常州期中）在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若 ，
则∠B的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由正弦定理可知，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，（R为三角形外接圆半径），
因为 ，
所以， ，且A，B，C都为锐角，
所以 ，所以﹣tanB＝tan（A+C） ，
整理可得，tan2B＝3，
故tanB ，B ．
故选：D．
3．（2019•西湖区校级模拟）如图，O是坐标原点，M，N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，
则| |的范围为（ ）
A．[0， ） B．[0，2） C．[1， ） D．[1，2）
【解答】解：可设M（cos ，sin ），N（cos ，sin ），且0＜ ， ＜ ，
α α β β α π β
则| |
，
由0＜ ， ＜ ，可得 ﹣ ，
α π β α β
即有cos（ ﹣ ） [﹣1，0），则| |的范围为[0， ），
α β ∈
故选：A．
4．（2020•福建二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA＝acosC，b＝2
，若边BC的中线等于3，则△ABC的面积为（ ）
A．9 B． C．3 D．
【解答】解：由题意得，（2b﹣c）cosA＝acosC，
根据正弦定理得，（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，
2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC，2sinBcosA＝sin（A+C），
因为A+B+C＝180°，所以①A+C＝180°﹣B，则sinB＝sin（A+C），
代入 得，cosA ，
①
由0°＜A＜180°，得，A＝60°，
∵b＝2 ，若如图边BC的中线AD等于3，
∴2 ，两边平方可得：4 2 2 2+2 ，可得4×32＝c2+12+2 ，整
理可得c2+2 c﹣24＝0，解得c＝2 ，或﹣4 （舍去），
∴S△ABC bcsinA 3 ．
故选：C．
5．（2020•大同模拟）在△ABC中，点P满足 ，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点
M，N，若 ， （ ＞0， ＞0），则 + 的最小值为（ ）
λ μ λ μ
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中， ，
点P满足 ，∴ ∴
∵ ， （ ＞0， ＞0），
λ μ∴
因为B，P，C三点共线，所以， ， ＞0， ＞0
λ μ
∴ + ＝（ + ）（ ）＝1 1
λ μ λ μ
当且仅当 时取“＝”，则 + 的最小值为
μ λ λ μ
故选：B．
6．（2020•麒麟区校级一模）已知数列{a }的前n项和为S ，且a ＝a +a（n N*，a为常数），若平面内
n n n+1 n
∈
的三个不共线的非零向量 ， ， 满足 ，A，B，C三点共线且该直线不过
O点，则S 等于（ ）
2010
A．1005 B．1006 C．2010 D．2012
【解答】解：由a ＝a +a得，a ﹣a ＝a；
n+1 n n+1 n
∴{a }为等差数列；
n
由 ，所以A，B，C三点共线；
∴a +a ＝a +a ＝1，
1005 1006 1 2010
∴S 2010＝1005．
2010
故选：A．
7．（2020•深圳模拟）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线
定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，
又∵M为BC中点，∴ ，
∵M为BC中点，∴ ．
故选：D．
8．（2020•浙江模拟）若AB＝4， ，平面内一点P，满足 ，sin∠PAB的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由向量关系AB＝4， ，平面内一点P，满足 ，
可得PC是∠APB角平分线，∴PA＝3PB，
构造阿波罗尼斯圆，A（﹣2，0），B（2，0），
设P（x，y），则： 3，解得圆的方程为：（x ）2+y2 ．圆的圆心坐标 ，半
径为
AP为圆Q切线时，∠PAB最大，sin∠PAB ，
故选：C．二．多选题（共4小题）
9．（2020春•潍坊月考）设P是△ABC所在平面内的一点， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：显然 成立，C对，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，D对，
∴ ，A错，
∴ ，B错，
故选：CD．
10．（2020春•如东县校级月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．在△ABC中，A＞B，∴sinA＞sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【解答】解：对于A，由A＞B，可得：a＞b，利用正弦定理可得：sinA＞sinB，正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B （0， ），∵A+B ，∴ A B＞0，∴sinA＞sin（ B）＝
∈
cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确
对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∵A，B （0， ），
∴2A＝2∈B或2Aπ＝2 ﹣2B，
π
∴A＝B或 ，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．
对于D，由于B＝600，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2+c2﹣ac，可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，
可得A＝C＝B＝60°，故正确．
故选：ABD．
11．（2019秋•德城区校级月考）已知 ， 是两个单位向量， R时，| |的最小值为 ，则下列结
λ∈ λ
论正确的是（ ）
A． ， 的夹角是
B． ， 的夹角是 或
C． |＝1或
D． 1或
【解答】解：∵ ， 是两个单位向量，且 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
∴ ，
∴ 与 的夹角为 或 ，
∴ 或3，
∴ 或 ．
故选：BC．12．（2019春•烟台期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：
（b+c）＝9：10：11，则下
列结论正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为
【解答】解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，
解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，
可得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；
由c为最大边，可得cosC 0，即C为锐角，故B错误；
由cosA ，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2 1 cosC，
由2A，C （0， ），可得2A＝C，故C正确；
∈ π
若c＝6，可得2R ，△ABC外接圆半径为 ，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•和平区三模）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝2，CD与以AB为直径的半圆O相切于点
D，且BC∥AD，若 1，则BD＝ 1 ；此时 ．
【解答】解：设∠ODB＝∠DBA＝ ， ，则∠DAB ，
α
∵BC∥AD，∴∠ABC＝ ﹣∠DAB ，
π
而∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝ +∠DBC，∴∠DBC ，即BD⊥BC，
α∴ 2×（2cos ）×cos（ ﹣ ）+0＝﹣1，
α π α
∴ ，∴ ，即 ，
在Rt△ABD中，BD ，AD ，∠ADO ，
∴ ．
故答案为：1； ．
14．（2020•呼和浩特二模）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线
AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接
送点M，N，且AM＝AN＝2千米，若要求观景台P与两接送点所成角∠MPN与∠BAC相等，记∠PMA
＝ ，观景台P到M，N建造的两条观光线路PM与PN之和记为y，则把y表示为 的函数为y＝ 4si n
（ α +30 ° ），其中 30 ° ＜ ＜ 90 ° ；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的α距离PA＝ 2 千米．
α α
【解答】解：由余弦定理可得MN2＝AM2+AN2﹣2AM•ANcos120°＝4+4﹣2×2×2×（ ）＝12，
则MN＝2
∵∠MPN＝∠BAC＝120°，∠PMA＝ ，
∴∠ANM＝∠AMN＝30°， α
∴∠PMN＝ ﹣30°，
∴∠PNM＝α90﹣ ，
α
由正弦定理可得 4，
∴PM＝4sin（90°﹣ ）＝4cos ，PN＝4sin（ ﹣30°）＝2 sin ﹣2cos ，
∴y＝PM+PN＝4cosα+2 sin α﹣2cos ＝2 sαin +2cos ＝4sin（α +30°）α，其中30°＜ ＜90°，
∴60°＜ +30°＜120°α， α α α α α α
α
∴ sin（ +30°）≤1，
α∴当 ＝60°时，此时PM+PM的长度最长，
此时αPM＝PN＝2，
∴PA＝2，
故答案为：4sin（ +30°），其中30°＜ ＜90°，2．
α α
15．（2020•浙江）设 ， 为单位向量，满足|2 | ， ， 3 ，设 ， 的夹角
为 ，则cos2 的最小值为 ．
θ θ
【解答】解：设 、 的夹角为 ，由 ， 为单位向量，满足|2 | ，
α
所以4 4 • 4﹣4cos +1≤2，
α
解得cos ；
α
又 ， 3 ，且 ， 的夹角为 ，
θ
所以 • 3 4 • 4+4cos ，
α
2 • 2+2cos ，
α
9 6 10+6cos ；
α
则cos2 ，
θ
所以cos 时，cos2 取得最小值为 ．
α θ
故答案为： ．
16．（2020•江苏）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9．若 m （ m） （m为常数），则CD的长度是 0 或 ．
【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B（4，0），C（0，3），
由 m （ m） ，得 ，
整理得：
＝﹣2m（4，0）+（2m﹣3）（0，3）＝（﹣8m，6m﹣9）．
由AP＝9，得64m2+（6m﹣9）2＝81，解得m 或m＝0．
当m＝0时， ，此时C与D重合，|CD|＝0；
当m 时，直线PA的方程为y x，
直线BC的方程为 ，
联立两直线方程可得x m，y＝3﹣2m．
即D（ ， ），
∴|CD| ．
∴CD的长度是0或 ．
故答案为：0或 ．四．解答题（共5小题）
17．（2020•运城模拟）△ABC的角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知sinA﹣sinC （sinB﹣
sinC）．
（1）求角A；
（2）从三个条件： a＝3； b＝3； △ABC的面积为3 中任选一个作为已知条件，求△ABC周
长的取值范围． ① ② ③
【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
得b2+c2﹣a2＝bc，所以 ，因为A （0， ），所以 ．
∈ π
（2）分三种情况求解：
选择 a＝3，
①
因为 ，
由正弦定理得 ，
即 △ ABC 的 周 长
因为 ，所以 ，
即△ABC周长的取值范围是（6，9]．选择 b＝3．
②
因为 ，
由正弦定理得 ，
即△ABC的周长 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即△ABC周长的取值范围是（6，+∞）．
选择 ．
③
因为 ，得bc＝12，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣36，
即△ABC的周长 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．
即△ABC周长的取值范围是 ．
18．（2020•江苏四模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA ．
（1）若△ABC的面积为3，求 的值；
（2）设 （2sin ，1）， （cosB，cos ），且 ∥ ，求sin（B﹣2C）的值．
【解答】解：（1）因为cosA ，所以sinA
则S△ABC | |•| |sinA | |•| |＝3，即| |•| | ，
又cosA ，所以 ；
（2）因为 ∥ ，所以2sin cos cosB，即sinB＝cosB，所以B ，
因为sinA ，cosA ，sinB＝cosB ，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB ，
cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB ，
则sin2C＝2sinCcosC＝2 ，cos2C＝2cos2﹣1＝2 1 ，
所以sin（B﹣2C）＝sinBcos2C﹣cosBsin2C （ ） ．
19．（2020•武昌区模拟）已知△ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且B ，b＝2．
（1）若c ，求sinA的值；
（2）当 取得最大值时，求A的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得 ，则sinC ，
因为b＞c，所以C ，
则sinA＝sin（ ﹣B﹣C）＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC ；
π
（2） bacosC＝2acosC＝2 cosC
sinA（ A）
sinA（ cosA sinA）
＝2 sin（2A ）
当且仅当2A ，即A 时 取到最大值．
20．（2020春•丽水期末）已知向量 （cosx+sinx， cosx）， （cosx﹣sinx，﹣2sinx），记函数f
（x） • ．（Ⅰ）求函数f（x）在 上的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）＝f（x+t）为偶函数，求|t|的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x） （cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣2 sinxcosx
＝cos2x﹣sin2x sin2x
＝cos2x sin2x＝2cos（2x ），
因为x [0， ]，则 ，所以﹣1≤cos（2x ） ，
∈
则f（x）的取值范围为[﹣2，1]；
（Ⅱ）若g（x）＝f（x+t）＝2cos（2x+2t ）为偶函数，
则2t k （k Z），即t （k Z），
π ∈ ∈
故|t|的最小值为 ．
21．（2020•泰安模拟）在 asinC C； 5ccosB+4b＝5a； （2b﹣a）cosC＝
ccosA，这三个条件中任①选一个，补充在下面问题中，然后解答补②充完整的题目． ③
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且满足______．
（1）求sinC；
（2）已知a+b＝5，△ABC的外接圆半径为 ，求△ABC的边AB上的高h．
【解答】解：选择条件 ：
（1）因为 ① ，
所以由正弦定理得 ，
即 ，
故 ，
又A （0， ），故sinA≠0，
所以∈ π ．
由 ．
所以 ，（2）由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
于是得△ABC的面积 ，
所以 ，
选择条件 ：
（1）因为②5ccosB+4b＝5a，
由正弦定理得5sinCcosB+4sinB＝5sinA，
即5sinCcosB+4sinB＝5sin（B+C）＝5sinBcosC+5cosBsinC，
于是sinB（4﹣5cosC）＝0，
在△ABC中，sinB≠0，
所以 ， ，
（2）由正弦定理得 ，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC ，
所以 ，
于是得△ABC的面积 ，
所以 ，
选择条件 ：
（1）因为③（2b﹣a）cosC＝ccosA，
所以由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，
所以2sinBcosC＝sin（A+C）＝sinB，
因为B （0， ），
∈ π
所以 ，又C （0， ），
∈ π
所以 ，
所以 ．
（2）由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
于是得△ABC的面积 ，
所以 ．
