6.5 平面向量的基本定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：平面向量基本定理.......................................................... 2
考点二：线段的定比分点及λ ........................................................ 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：平面向量基本定理的理解..................................................3
题型二：向量基底的判断............................................................. 5
题型三：用基底表示向量............................................................. 7
题型四：利用平面向量基本定理求参数..........................................11
题型五：平面向量基本定理的几何应用..........................................15
模块三：综合巩固....................................................................... 20
6.5 平面向量的基本定理
模块一：基础知识
考点一：平面向量基本定理
定理
条件
e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
把不共线的向量e1，e2 叫做表这一平面内所有向量的一组基底
1.基底：若
1
2
,
e e
不共线，我们把
1
2
,
e e
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的
分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．
1
2
,
是被
1
2
,
,
a e e
唯一确定的数值．
（3）1
2
,
e e
是同一平面内所有向量的一组基底，则当a
与
1e
共线时，2
0
；当a
与
2e
共线时，1
0
；当
0
a
时，
1
2
0
．
（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
3.平面向量基本定理唯一性的应用：
设a
，b
是同一平面内的两个不共线向量，
若
1
1
2
2
b
x a
y
x a
y b
，则
1
2
1
2
x
x
y
y
4.重要结论设
1
2
,
e e
是平面内一个基底，
若
1 1
2
2
a
e
e
，
①当
2
0
时，a
与
1e
共线；②当
1
0
时，a
与
2e
共线；③当
1
2
0
时，
0
a
；
考点二：线段的定比分点及λ
设
1P 、
2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于
1P 、
2P 的任一点，则一定存在实数，使
1
2
PP
PP
，叫做
点P 分
1
2
PP
所成的比.有三种情况：
0
(内分)
(外
分)
0
(
1
)
(外分)
0
( 1
0
)
（1）定比分点坐标公式：若点
1
1
1
(
)
P x
y
，
，
2
2
2
(
)
P x
y
，
，为实数，且
1
2
PP
PP
，
则点P 坐标为
1
2
1
2
(
)
1
1
x
x
y
y
，
，我们称为点P 分
1
2
PP
所成的比.
（2）点P 的位置与的范围的关系：
①当
0
时，
1PP
与
2
PP
同向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的内分点；
②当
0
(
1
)时，
1PP
与
2
PP
反向共线，这时称点P 为
1
2
PP
的外分点.
（3）若P 分有向线段
1
2
PP
所成的比为，点M 为平面内的任一点，则
1
2
1
MP
MP
MP
；
特别地P 为
1
2
PP 的中点
1
2
2
MP
MP
MP
.
模块二：题型分类
题型一：平面向量基本定理的理解
1.下面说法中，正确的是(
)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量a
和一组基底
1e
，
2e
，使a
=λ
1e
+μ
2e
成立的实数对一定是唯一的.
A．②④
B．②③④
C．①③
D．①③④
【答案】B
【解析】因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；
由平面向量基本定理知④正确．
综上可得②③④正确．故选：B．
2.下列关于基底的说法正确的序号是(
)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①②
B．①③
C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】由基底的定义可知①③正确. 故选B.
3.(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(
)
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1
λ2
＝μ1
μ2
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
【答案】
BC
【解析】
由平面向量基本定理可知，AD 的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的
实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0 或μ1＝μ2＝0 时，结论不成立．
4.下列说法错误的是（
）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【答案】B
【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；
平面内所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以B 不正确；
根据平面向量基本定理可知中：选项C、D 都正确，故选：B
5.（多选）下列说法中正确的是（
）
A．平面向量的一个基底
1
2
,
e e
中，
1e
，
2e
一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若
0
a
，则
1
2
0
.
C．若单位向量
1e
､
2e
的夹角为2
3
，则
1e
在
2e
方向上的投影向量是
2
1
2 e
.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
【答案】ABC
【解析】选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，
因此
1e
，
2e
一定都是非零向量，故A 正确；
选项B：
1
2
0
0
0
a
e
e
，
由在同一基底下向量分解的唯一性，有
1
2
0
，故B 正确；
选项C：
1e
在
2e
方向上的投影向量为：
1
2
2
2
2
1
2
|
|
e
e e
e
e
，故C 正确；
选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，
因此基底不是唯一的，故D 错误，故选：ABC
6．（多选）下列结论正确的是（
）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若
1
2
1
2 ( , , ,
ae
be
ce
de a b c d
R
，
2
1,e
e
是单位向量)，则
,
a
c b
d
C．向量a
与b
共线存在不全为零的实数
1
2
,
,
使
1
2
0
a
b
D．已知A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若
,
OP
xOA
yOB 则
1
x
y
【答案】CD
【解析】对于A，由平面基底的概念可知，
只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A 错误；
对于B，不妨设
1
2
e
e
，
1,
0
a
b
c
d
，此时有
1
2
1
2
0
ae
be
ce
de
，
但
,
a
c b
d
不成立，故B 错误；
对于C，向量共线定理的充要条件可知C 正确；
对于D，由向量共线定理可知
1
OP
OA
AP
OA
AB
OA
AO
OB
OA
OB
，
其中
,
R
AP
AB
，若
,
OP
xOA
yOB 则
1
1
x
y
，故D 正确.故选：CD.
7.（多选）设a
是已知的平面向量，向量, ,
a b c
在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（
）
A．给定向量b
，总存在向量c
，使a
b
c
；
B．给定向量b
和c
，总存在实数和，使a
b
c
；
C．给定单位向量b
和正数，总存在单位向量c
和实数，使a
b
c
；
D．若
2
a
，存在单位向量,b c
和正实数,
，使a
b
c
，则
2
.
【答案】ABD
【解析】对A，给定向量b
，总存在向量c
，使a
b
c
，即a
b
c
，
显然存在c
，所以A 正确.
对B，因为向量a
，b
，c
在同一平面内且两两不共线，
由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使a
b
c
，故B 正确．
对C，给定单位向量b
和正数，总存在单位向量c
和实数，使a
b
c
，
当a
分解到c
方向的向量长度大于时，向量a
没办法按,b c
分解，所以C 不正确.
对D，存在单位向量b
、c
和正实数，，由于a
b
c
，向量b
、c
的模为1，
由三角形的三边关系可得
2
，所以D 成立.故选：ABD
题型二：向量基底的判断
1．已知
1e
，
2e
是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（
）
A．
0
a
，
1
2
b
e
e
B．
1
2
3
3
a
e
e
，
1
2
b
e
e
C．
1
2
2
a
e
e
r
ur
ur
，
1
2
b
e
e
D．
1
2
2
a
e
e
r
ur
ur
，
1
2
2
4
b
e
e
【答案】C
【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为
1
2
3
3
a
e
e
，
1
2
b
e
e
，所以
3
a
b
r
r ，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设a
b
，即
1
2
1
2
2
e
e
e
e
，则
1
2
，
所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设
1
2
2
a
e
e
r
ur
ur
，
1
2
2
4
b
e
e
，所以
1
2
a
b
=
，所以此两个向量不可以作为基底；故选：C.
2．设
1
2
e e
，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（
）
A．
1
2
+
e
e
和
1
2
e
e
B．
1
2
4
3e
e
和
1
2
8
6e
e
C．
1
2
+2
e
e
和
1
2
2 +
e
e
D．
1e
和
1
2
+
e
e
【答案】B
【解析】
1
2
e e
，是平面内所有向量的一组基底，所以
1
2
e e
，不共线；
所以
1
2
+
e
e
和
1
2
e
e
不共线，
1
2
+2
e
e
和
1
2
2 +
e
e
不共线，
1e
和
1
2
+
e
e
不共线；
所以选项A,C,D 都可以作为基底；
B 中，
1
2
1
2
6
=2
8
4
3
e
e
e
e
，所以
1
2
4
3e
e
和
1
2
8
6e
e
共线，不能作为基底．故选：B
3．已知向量
1e
，
2e
不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（
）
A．1
2
e
e
和
1
2
e
e
B．
1
2
4
2
e
e
和
1
2
6
3
e
e
C．
1
2
2e
e
和
2e
D．1
2
e
e
和
2
1
2e
e
【答案】B
【解析】A 选项，设
1
2
1
2
e
e
a e
e
，则
1
1
a
a
，无解，
故
1
2
e
e
和
1
2
e
e
是不共线的向量，可作为一组基底，A 错误；
B 选项，∵
1
2
1
2
2
4
2
6
3
3
e
e
e
e
，
∴
1
2
4
2
e
e
和
1
2
6
3
e
e
共线，不能作为一组基底，故B 正确；
C 选项，设
2
2
1
2e
e
e
b
，则
2
0
1
b
，无解，
故
1
2
2e
e
和
2e
不共线，故可作为一组基底，C 错误；
D 选项，设
1
2
2
1
2
e
e
c
e
e
，则
2
1
1
c
c
，无解，
1
2
e
e
和
2
1
2e
e
不共线，可作为一组基底，D 错误..故选：B
4．已知
2
1,e
e
是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（
）
A．
1
1
2
,
a
e b
e
e
B．
2
1
2
3 ,
a
e b
e
e
C．
1
2
1
2
5
2 5
2
,
5
5
a
e
e b
e
e
D．
1
2
1
2
2 ,
2
a
e
e b
e
e
【答案】C
【解析】若两向量平行，则不可以作为基底，
由选项可知，ABD 中的两个向量都不共线，可以作为基底，
C 中的向量
1
2
1
2
5
2 5
2
,
5
5
a
e
e b
e
e
，满足
5
5
b
a
，向量
/ /
a
b
，不能作为基底.故选：
C
5．（多选）向量,a b
都是非零向量，满足下面哪个条件时，,a b
可以充当该平面的基底（
）
A．
0
a b
a b
B．
0
a b
a b
C．2
0
a b
a b
D．
0
a b
【答案】CD
【解析】对于A，a b
a b
，则
,
π,
a b
a
b
∥
，不能作为基底；故A 错误；
对于B，a b
a b
，则
,
0,
a b
a
b
∥
，不能作为基底，故B 错误；
对于C，
1
2
a b
a b ，则
1
cos
,
2
a b
，
2π
,
3
a b
，a与b
不共线，可作为基底，故C 正
确；
对于D，
0,
a b
a
b
，可作为基底，故D 正确；故选：CD.
6.若向量a与b
是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（
）
A．a
与a
b
B．a
b
与2a
b
C．2
5
a
b
与4
10
a
b
D．2a
b
与
2
a
b
【答案】C
【解析】对于A，假设存在实数，使
a
b
a
，则
1
1
0
，方程组无解，
即不存在实数，使
a
b
a
，即a
与a
b
不共线，A 不选；
对于B，假设存在实数，使
2
a
b
a
b
，则
1
2
1
，方程组无解，
即不存在实数，使
2
a
b
a
b
，即a
b
与2a
b
不共线，B 不选；
对于C，假设存在实数，使
2
4
10
5
a
b
a
b
，则
2
4
5
10
，解得
1
2
，
即2
5
a
b
与4
10
a
b
共线，选C；
对于D，假设存在实数，使
2
2
a
b
a
b
，则
2
1
2
，方程组无解，
即不存在实数，使
2
2
a
b
a
b
，即2a
b
与
2
a
b
不共线，D 不选；故选：C
题型三：用基底表示向量
1．在ABC
中，AB a
= ，AC
b
，若
1
3
BD
BC
，M 为线段AD 的中点，则AM
（
）
A．1
1
3
6
a
b
B．1
1
6
3
a
b
C．1
1
3
6
a
b
D．1
1
6
3
a
b
【答案】A
【解析】如图所示，可知
1
1
2
1
2
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
AM
，
所以
1
1
3
6
AM
a
b
.故选：A
2．如图，已知AB
a
，AC
b
，
3
BD
DC
，用a
，b
表示AD
，则AD
=（
）
A．3
1
4
4
a
b
B．1
3
4
4
a
b
C．1
1
4
2
a
b
D．3
1
4
2
a
b
【答案】B
【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.
【详解】因为
3
BD
DC
，
所以
3
3
1
3
4
4
4
4
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AB
AC
AB
AC
，
又因为AB
a
，AC
b
，
所以
1
4
3
4
AD
a
b
，
故选：B.
3．如图，在ABC
中，AB
c
，AC
b
，若点D 满足
2
BD
DC
，则AD
（
）
A．2
1
3
3
b
c
B．5
2
3
3
c
b
C．2
1
3
3
b
c
D．2
2
3
3
b
c
【答案】A
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.
【详解】因为
2
BD
DC
，所以有
2
3
BD
BC
，
2
2
1
2
2
1
(
)
3
3
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
BA
AC
AB
AC
b
c
，
故选：A
4．如图，在
ABD
△
中，C 为BD 的中点，2AE
EB
，则CE
（
）
A．
1
1
3
2
AD
AB
B．
1
1
2
3
AD
AB
C．
1
1
3
6
AD
AB
D．
1
1
2
6
AD
AB
【答案】D
【分析】利用向量加，减，数乘运算，结合图形，即可求解.
【详解】
1
2
1
1
2
1
1
2
3
2
2
3
2
6
CE
CB
BE
DB
BA
DA
AB
AB
AD
AB
.
故选：D
5．如图，在平行四边形ABCD中，E 是CD 的中点，AE 和BD 相交于点F ．记
AB a
= ，AD
b
，则（
）
A．
2
1
3
3
CF
a
b
B．
2
1
3
3
CF
a
b
C．
1
2
3
3
CF
a
b
D．
1
2
3
3
CF
a
b
【答案】A
【解析】在平行四边形 ABCD 中
//
AB CD ，AE 和BD 相交于点F ，
所以ABF
EDF
∽
，又E 是CD 的中点，
所以
1
2
DF
DE
BF
AB
，所以
1
1
3
3
DF
DB
AB
AD
，
所以
1
2
1
3
3
1
3
3
2
3
C
D
AB
AD
A
F
CD
F
AB
b
B
a
A
D
.故选：A
6．如图为正六边形ABCDEF，其中点O 为正六边形ABCDEF 的中心，设AB a
= ，AF
b
，若BM
MC
，
3
EF
EN
，则MN
（
）
A．5
7
6
6
a
b
B．
5
7
6
6
a
b
C．
3
1
5
6
a
b
D．3
1
5
6
a
b
【答案】B
【解析】由正六边形的性质可知AB
FO
OC
，AF
OE
BO
，
因为BM
MC
，
3
EF
EN
，
所以
1
2
OM
OB
OC
，
2
2
2
1
3
3
3
3
ON
OF
FN
OF
FE
OF
OE
OF
OE
OF
，
所以
2
1
1
3
3
2
MN
ON
OM
OE
OF
OB
OC
2
1
1
3
3
2
AF
AB
AF
AB
2
1
1
1
7
5
5
7
3
3
2
2
6
6
6
6
AF
AB
AF
AB
AF
AB
a
b
．故选：B
7．如图，已知M ，N ，P 分别是ABC
三边BC ，CA ，AB 上的点，且
1
4
BM
BC
，
1
4
CN
CA
，
1
4
AP
AB
，
令
,
AB
a AC
b
，试用,a b
分别表示
,
,
MN MP NP
.
【答案】
3
1
2
4
M
a
b
N
，
1
1
2
4
MP
a
b
，
1
3
4
4
NP
a
b
.
【解析】在ABC
中，
,
AB
a AC
b
，由
1
4
CN
CA
，得
3
3
4
4
AN
AC
b
，
1
4
CN
b
，
由
1
4
BM
BC
，得
3
3
3
3
(
)
4
4
4
4
CM
CB
AB
AC
a
b
，
1
1
4
4
BM
b
a
，
所以
3
3
3
( 1
1
)
4
2
(
)
4
4
4
MN
CN
CM
a
a
b
b
b
，
由
1
4
AP
AB
，得
3
3
4
4
BP
BA
a
，则
3
1
1
1
1
(
)
(
)
4
4
4
2
4
MP
BP
BM
a
b
a
a
b
，
1
3
1
3
4
4
4
4
NP
AP
AN
AB
b
a
b
.
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC 和BD 交于点M，E 在BC 上，且
:
1: 2
BE EC
，直线DE 与AB
的延长线交于点F，记AB a
= ，AD
b
．
（1）试用a
，b
表示MA
、MB
；
（2）试用a
，b
表示DF
．
【答案】（1）
1
1
2
2
MA
a
b
，
1
1
2
2
MB
a
b
；（2）
3
2
DF
a
b
.
【解析】（1）平行四边形ABCD的对角线AC 和BD 交于点M，
1
1
1
1
1
(
)
(
)
2
2
2
2
2
MA
CA
CD
DA
AB
AD
a
b
，
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
MB
DB
AB
AD
a
b
.
（2）点E 在BC 上，且
:
1: 2
BE
EC
，
/ /
BE
AD ，则BEF
ADF
∽
，
于是
1
3
BF
BE
BE
AF
AD
BC
，即
1
3
BF
AF
，
3
3
2
2
AF
AB
a
，
所以
3
2
DF
AF
AD
a
b
.
题型四：利用平面向量基本定理求参数
1．如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上一点，若
1
5
AP
t AB
AC
，则实数t 的值为（
）
A．1
5
B．1
3
C．2
3
D．4
5
【答案】A
【解析】
1
3
AN
NC
，故
4
AC
AN
，则
1
1
4
4
5
5
5
AP
t AB
AC
t AB
AN
t AB
AN
，
又P 是BN 上一点，所以
4
1
5
t
，解得
1
5
t
.故选：A.
2．如图，在平行四边形ABCD中，
,
M N 分别为
,
AB AD 上的点，且
4
2
,
5
3
AM
AB AN
AD
，连接
,
AC MN
交于P 点，若AP
AC
，则的值为（
）
A．3
5
B．5
7
C．4
11
D．8
15
【答案】C
【分析】选
,
AB AD
为基底分别把
,
AP AC
表示出来，然后代入AP
AC
中，
,
AB AD
的系数对应相等即可；
本题也可以用排除法，显然
1
2
AP
AC
，故
1
2
，只有C 选项满足，故选C.
【详解】设MP
kMN
则
4
5
AP
AM
MP
AB
kMN
显然
2
4
3
5
MN
AN
AM
AD
AB
得
4
2
4
2
4 1
5
3
5
3
5
k
AP
AB
k
AD
AB
AD
k AB
显然AC
AD
AB
因为AP
AC
所以有
2
4 1
3
5
k AD
k AB
AD
AB
即
2
4 1
3
5
k AD
k AB
AD
AB
根据向量的性质可知
2
3
4 1
5
k
k
解得
6
11
4
11
k
故选：C
3．如图，若OA
a
，OB
b
，OC
c
，点B 是线段AC 上一点，且
3
5
AB
AC
．若b
a
c
，则（
）
A．
1
5
，
4
5
B．
2
= 5
，
3
5
C．
3
5
，
2
5
D．
4
= 5
，
1
5
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为
3
3
2
3
5
5
5
5
OB
OA
AB
OA
AC
OA
OC
OA
OA
OC
.
所以
2
3
5
5
b
a
c
，即
2
= 5
，
3
5
.
故选：B
4．在ABC
中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE
AB
AC
，则2
．
【答案】0
【分析】利用平面向量的基本定理和向量相等求解.
【详解】∵
2
1
1
1
2
3
2
3
3
3
CE
CA
CB
CA
AB
AC
AB
AC
，
∴
1
3
，
2
3
，
∴2
0
．
故答案为：0
5．在平行四边形ABCD中，E 是对角线AC 上靠近点C 的四等分点，点F 在BE 上，若
1
3
AF
xAB
AD
，
则x （
）
A．4
5
B．5
6
C．7
8
D．8
9
【答案】D
【解析】由平面向量加法的平行四边形法则可得AC
AB
AD
，
因为E 是对角线AC 上靠近点C 的四等分点，则
3
3
3
4
4
4
AE
AC
AB
AD
，
设BF
BE
，其中0
1
≤
≤，
则
3
3
4
4
AF
AB
BE
AB
AE
AB
AB
AB
AD
AB
1
3
1
1
4
4
3
AB
AD
xAB
AD
，
所以，3
1
4
3
，可得1
1
4
9
，因此，
1
1
8
1
1
4
9
9
x
.故选：D.
6．在三角形ABC 中，点D 是AB 边上的四等分点且
3
AD
DB
，AC 边上存在点E 满足
0
EA
CE
，
直线CD 和直线BE 交于点F，若
0
FC
DF
，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】由已知
0
EA
CE
，
则
1
1
1
1
1
1
1
BE
BC
CE
BC
CA
BC
BA
BC
BA
BC
同理可得
1
1
1
1
1
4 1
BF
BC
BD
BC
BA
，
因为直线CD 和直线BE 交于点F，
所以设
1
1
m
m
BF
mBE
BA
BC
即
1
1
1
1
4 1
m
m
解得
4
.故选：C.
7．已知在ABC
中，D ，E 分别为边AB ，AC 上一点，且
3
AB
DB
，
2
AE
EC
，CD 与BE 交于F ，若
AF
mAB
nAC
，则
,
m n 为（
）
A．6 6
,
5 5
B．2 2
,
5 5
C．6 2
,
5 5
D．2 6
,
5 5
【答案】B
【解析】设DF
DC
，EF
EB
，
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
AF
AD
DF
AB
DC
AB
AC
AB
AB
AC
，
又
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
AF
AE
EF
AC
EB
AC
AB
AC
AB
AC
，
2
2
3
3
2
2
3
3
，得
2
5
2
5
代入得：
2
2
5
5
AF
AB
AC
故选：B．
8．如图所示，ABC
内有一点G 满足
0
GA
GB
GC
，过点G 作一直线分别交AB AC
，
于点D E
，.若
(
0)
AD
xAB AE
yAC xy
，
，则1
1
x
y
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】因为
0
GA
GB
GC
，所以G 为ABC
的重心，
所以
1
1
1
3
AG
AB
AC
t AD
t AE
txAB
t yAC
，
所以
1
3
tx
且
1
1
3
t y
，所以1
1
3
x
y
，故选：B
题型五：平面向量基本定理的几何应用
1．点P 是ABC
所在平面上一点，若
1
1
2
3
AP
AB
AC
，则ABP
与
ACP
△
的面积之比是（
）
A．3
2
B．3
C．1
3
D．2
3
【答案】D
【解析】如图，延长AP 交BC 于点D ，
设AD
AP
，则
2
3
AD
AB
AC
，
因为
,
,
B C D 共线，所以
1
2
3
，解得
6
5
，
所以
5
6
AP
AD
，
3
2
5
5
AD
AB
AC
，
则
5
5
,
6
6
ABP
ABD
ACP
ACD
S
S
S
S
，
由
3
2
5
5
AD
AB
AC
，得
3
2
5
5
AD
AB
AC
AD
，即3
2
5
5
BD
DC
，
所以
2
3
BD
CD
，所以
2
3
ABD
ACD
S
S
，所以
5
2
6
5
3
6
ABD
ABP
ACP
ACD
S
S
S
S
.故选：D.
2．如图，
/ /
OM
AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且
OP
xOA
yOB
，则实数对
,x y 可以是（
）
A．1
3
,
3
4
B．
1
1
,
3
3
C．
2 8
,
5 5
D．
1 4
,
5 5
【答案】D
【详解】
根据向量加法的几何意义可知，
当
0,
0
x
y
时，由OP
xOA
yOB
可知，点P 应落在区域1，不符合题意；
当
0,
0
x
y
时，由OP
xOA
yOB
可知，点P 应落在区域2，不符合题意；
当
0,
0
x
y
时，由OP
xOA
yOB
可知，点P 应落在区域3，不符合题意；
当
0,
0
x
y
时，由OP
xOA
yOB
可知，点P 应落在区域4，符合题意.
又当
1
y 时，根据向量加法的几何意义可知，此时点P 应落在阴影区域之外，所以0
1
y
.
故选：D.
3．如图，在ABC
中，中线AD、BE、CF 相交于点G，点G 称为ABC
的重心，那么
:
AG GD 是（
）
A．3∶2
B．2∶1
C．3∶1
D．4∶3
【答案】B
【详解】因为AD 为ABC
的中线，所以
1
1
2
2
AD
AB
AC
，
设AG
mGD
，则
1
m
AD
AG
m
，
故
1
1
1
2
2
m
AG
AB
AC
m
，所以
2
1
2
1
m
m
AG
AB
AC
m
m
，
因为
2
AC
AE
，所以
2
1
1
m
m
AG
AB
AE
m
m
，
因为
,
,
B G E 三点共线，可设BG
nBE
，则
AG
AB
n AE
AB
，
故
1
AG
nAE
n AB
，
故
,
1
2
1
1
m
m
n
n
m
m
，相加得
1
2
1
1
m
m
m
m
，
解得
2
m
，故
:
2 :1
AG GD
.
故选：B
4．如图，平行四边形ABCD中，点E 为BC 的中点，点F 在线段AE 上，且
2
AF
FE
，记a
AB
，b
AD
，
则BF
（
）
A．1
2
3
3
a
b
B．
1
2
4
3
a
b
r
r
C．
5
1
8
3
a
b
r
r
D．
1
1
3
3
a
b
【答案】D
【详解】因为平行四边形ABCD中，E 是BC 的中点，
2
AF
FE
，
,
AD
a AB
b
，
所以
1
1
3
3
BF
BE
FE
BE
AE
BE
AB
BE
2
2
1
1
3
3
1
1
1
3
3
3
2
3
AB
BE
AB
BC
AB
BC
1
1
1
3
3
1
3
3
AB
AD
a
b
.
故选：D．
5.在如图的平面图形中，已知
2
OM
，
1
ON ，
60
MON
，
3
BM
MA
，
3
CN
NA
，则BC OM
的值
为（
）
A．-15
B．-12
C．-6
D．0
【答案】B
【解析】
3
BM
MA
，
4
AB
AM
，
3
CN
NA
，
4
AC
AN
,
4
4
4
4
BC
AC
AB
AN
AM
AN
AM
MN
,
又MN
ON
OM
,
4
BC
ON
OM
，又
2
OM
，
1
ON ，
60
MON
，
2
4
4
4
BC OM
OM
ON
OM
OM ON
OM
o
2
4 2 1 cos60
4 2
12
.故选：B.
6.如图，在四边形ABCD 中，AD=3，BC=4，E，F 分别是AB，CD 的中点，P，Q 分别是AC，BD 的中点，
则PQ FE
．
【答案】7
4
【解析】如图，连接
,
,
,
FP FQ EP EQ ，
∵
,
E F 为
,
AB CD 的中点，,
P Q 为对角线
,
AC BD 的中点，
//
//
EQ AD PF ，
1
2
EQ
PF
AD
，
∴四边形EPFQ为平行四边形，
1
2
PQ
EQ
EP
AD
BC
，
1
2
FE
FP
FQ
AD
BC
，
3
AD ，
4
BC
，
2
2
1
7 .
4
4
PQ FE
AD
BC
7.（多选）设点M 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
1
1
2
2
AM
AB
AC
，则点M 是边BC 的中点
B．若
2
AM
AB
AC
，则点M 是边BC 的三等分点
C．若AM
BM
CM
，则点M 是边ABC
的重心
D．若AM
xAB
yAC
，且
1
3
x
y
，则MBC
的面积是ABC
面积的2
3
【答案】ACD
【解析】对于A 中，根据向量的平行四边形法则，若
1
1
1 (
)
2
2
2
AM
AB
AC
AB
AC
，
则点M 是边BC 的中点，所以A 正确；
对于B 中，由
2
AM
AB
AC
，则
AB
AB
AC
AM
，即BM
CB
，
则B 为CM 的中点，所以B 错误；
对于C 中，如图所示，由AM
BM
CM
，可得
0
AM
BM
CM
，
取BC 的中点D ，可得
2
MA
MD
，则点M 为ABC
的重心，所以C 正确；
对于D 中，由AM
xAB
yAC
，且
1
3
x
y
，
所以3
3
3
AM
xAB
yAC
且3
3
1
x
y
，
设
3
AN
AM
，可得
3
3
AN
xAB
yAC
，且3
3
1
x
y
，所以
, ,
N B C 三点共线，
因为
3
AN
AM
，所以M 为AN 的一个三等分点（靠近A ），如图所示，
所以
2
3
MBC
ABC
S
S
△
△
，即则MBC
的面积是ABC
面积的2
3 ，所以D 正确.故选：ACD.
8．（多选）下列说法中正确的有（
）
A．点O 在ABC
所在平面内，若
0
OA
OB
OC
，则点O 为ABC
的重心
B．向量
1
3
(2, 3),
,
2
4
a
b
能作为平面内所有向量的一个基底
C．点O 在ABC
所在平面内，若
0
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
AB
BC
BA
OA
OB
AC
AB
BC
BA
∣
，则点O 为ABC
的垂心
D．点O 在ABC
所在平面内，且满足(
) (
2
)
0
OB
OC
OB
OC
OA
，则ABC
为等腰三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由题意，取BC 的中点为D ，并连接OD ，作图如下：
由
2
0
OA
OB
OC
OA
OD
，则
, ,
O A D共线，同理可得O为中线交点，故A 正确；
对于B，由
1
3
2, 3 ,
,
2
4
a
b
，则显然
4
a
b
，即,a b
共线，故B 错误；
对于C，由题意可作图如下：
设
AB
AM
AB
，
AC
AN
AC
，
BC
BP
BC
，
BA
BQ
BA
，
由
0
AB
AC
OA
OA
AM
AN
OA NM
AB
AC
，则OA
NM
，
由
AB
AM
AB
，
AC
AN
AC
，则
1
AM
AB
AB
，
1
AN
AC
AC
，
若AB
AC
，则NM
与CB
不共线，即OA
与CB
不垂直，
同理可得：OB
与AC
不垂直，故C 错误；
对于D，由题意, 取D 为BC 的中点，作图如下：
则
2
2
0
OB
OC
OB
OC
OA
CB
AB
AC
CB
AD
，即CB
AD
，
由D 为BC 的中点，则AD 为BC 的中垂线，即AB
AC
，故D 正确.故选：AD.
模块三：综合巩固
1．在ABC
中，AB a
= ，AC
b
，若
1
3
BD
BC
，M 为线段AD 的中点，则AM
（
）
A．1
1
3
6
a
b
B．1
1
6
3
a
b
C．1
1
3
6
a
b
D．1
1
6
3
a
b
【答案】A
【详解】
如图所示，可知
1
1
2
1
2
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
AM
，
所以
1
1
3
6
AM
a
b
.
故选：A
2．在ABC
中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a
= ，AC
b
，则AE
（
）
A．1
1
2
4
a
b
B．1
1
2
4
a
b
C．1
1
4
2
a
b
D．1
1
4
2
a
b
【答案】C
【分析】根据图形特征进行向量运算即可.
【详解】因为D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，
所以
1
1 1
1
1
2
2 2
4
2
A
C
E
C
B
，
又因为AB a
= ，AC
b
，
所以
1
1
4
2
AE
a
b
.
故选：C
3．在ABC
中，
3
2
AD
DC
，P 是直线BD 上的一点，若
2
5
AP
t AB
AC
则实数t 的值为（
）
A．
1
3
B．1
3
C．
2
3
D．2
3
【答案】B
【分析】依题意可得
5
3
AC
AD
，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为
3
2
AD
DC
，所以
5
3
AC
AD
，
又P 是直线BD 上的一点，所以
1
AP
xAB
x AD
，
又
2
5
3
2
AP
t AB
AC
t AB
AD
，
所以
2
1
3
x
t
x
，所以
1
3
x
t
.
故选：B
4．如图，在ABC
中，
1
3
AD
DC
，P 是线段BD 上一点，若
1
6
AP
mAB
AC
，则实数m 的值为（
）
A．1
3
B．2
3
C．5
6
D．1
2
【答案】A
【分析】根据向量线性运算得
2
3
AP
mAB
AD ，再利用三点共线的结论即可得到m 值.
【详解】∵
1
3
AD
DC
，∴
4
AC
AD ，
又
1
6
AP
mAB
AC
，∴
2
3
AP
mAB
AD，
∵B，P，D 三点共线，∴
2
1
3
m
，∴
1
3
m
.
故选：A.
5．如图，在ABC
中，设AB a
= ，AC
b
，
2
BD
DC
，
4
AE
ED
，则BE
（
）
A．11
8
5
15
a
b
B．2
8
3
15
a
b
C．
2
8
3
15
a
b
D．
11
8
15
15
a
b
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算法则求解.
【详解】由题意
4
4
4
1
(
)
5
5
5
5
BE
AE
AB
AD
a
AB
BD
a
BD
a
4
2
1
8
1
11
8
(
)
5
3
5
15
5
15
15
BC
a
b
a
a
a
b
,
故选：D．
6．如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上一点，若
1
5
AP
t AB
AC
，则实数t 的值为（
）
A．1
5
B．1
3
C．2
3
D．4
5
【答案】A
【分析】确定
4
AC
AN
，得到
4
5
AP
t AB
AN
，根据
4
1
5
t
计算得到答案.
【详解】
1
3
AN
NC
，故
4
AC
AN
，则
1
1
4
4
5
5
5
AP
t AB
AC
t AB
AN
t AB
AN
，
又P 是BN 上一点，所以
4
1
5
t
，解得
1
5
t
.
故选：A.
7．已知平行四边形ABCD，若点M 是边BC 的三等分点（靠近点B 处），点N 是边AB 的中点，直线BD 与
MN 相交于点H ，则BH
BD （
）
A．2
3
B．2
5
C．1
5
D．1
4
【答案】C
【分析】设
,
BM
a BN
b
，设BH
BD
，MH
MN
，利用向量的基本定理可得
3
1
2
，求得
1
5
，
从而问题可解.
【详解】
设
,
BM
a BN
b
，则
3
2
BD
a
b
，MN
b
a
，
设BH
BD
，MH
MN
，
则
3
2
BH
a
b
，MH
b
a
，
因为
1
BH
BM
MH
a
b
a
a
b
，
所以
3
1
2
，解得
1
5
，
所以
1
5
BH
BD
，即
5
|
|
1
|
|
BH
BH
BD
BD
.
故选：C.
8．在三角形ABC 中，点D 是AB 边上的四等分点且
3
AD
DB
，AC 边上存在点E 满足
0
EA
CE
，
直线CD 和直线BE 交于点F，若
0
FC
DF
，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】直线CD 和直线BE 交于点F，根据向量加，减法的法则，共线定理求出
,
BE BF
，再利用
,
,
B D F
三点共线，设BF
mBE
，根据系数对应相等可得的值.
【详解】由已知
0
EA
CE
，
则
1
1
1
1
1
1
1
BE
BC
CE
BC
CA
BC
BA
BC
BA
BC
同理可得
1
1
1
1
1
4 1
BF
BC
BD
BC
BA
，
因为直线CD 和直线BE 交于点F，
所以设
1
1
m
m
BF
mBE
BA
BC
即
1
1
1
1
4 1
m
m
解得
4
.
故选：C.
9．(多选)下列说法正确的是（
）
A．在ABC
中，若
2
CA
CB
CD
，则D 是AB 的中点
B．已知A ，B ，C 是平面内任意三点，则
0
AB
BC
CA
C．若O，A ，B ，C 是同一平面上的四个点，若
1
OA
OB
OC
R
，则A ，B ，C 三点共
线
D．若
0
GA
GB
GC
，则G 为ABC
的外心
【答案】ABC
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
在ABC
中，若
2
CA
CB
CD
，则D 是AB 的中点，故A 正确；
由三角形法则可知，
0
AB
BC
CA
AC
CA
，故B 正确；
由
1
OA
OB
OC
可得，
OA
OC
OB
OC
，
所以CA
CB
，则A ，B ，C 三点共线，故C 正确；
若
0
GA
GB
GC
，则GA
GB
GC
，由平面向量的平行四边形法则可知，
当D 为AB 中点时，有
2
GA GB
GD
，所以2GD
GC
，
所以G 为ABC
的重心，故D 错误.
故选：ABC.
10．(多选)如图，在OAB
中，P 为线段AB 的一点，OP
xOA
yOB
且
3
BP
PA
，则下列正确的是（
）
A．
2
3
x
B．
1
3
y
C．
3
4
x
D．
1
4
y
【答案】CD
【分析】由
3
BP
PA
以及向量减法运算法则得
3
1
4
4
OP
OA
OB
，再根据平面向量基本定理可得结果.
【详解】因为
3
BP
PA
，所以
3(
)
OP
OB
OA
OP
，即
3
1
4
4
OP
OA
OB
，
又OP
xOA
yOB
，所以
3
4
1
4
x
y
，故CD 正确.
故选：CD.
11．已知ABC
中，D 为AB 的中点，
1
3
AE
AC
，若DE
AB
BC
，则
.
【答案】1
6
【分析】利用向量的线性运算将DE
用
,
AB AC
表示，由此即可得到,
的值，从而可得结果.
【详解】因为
1
1
1
1
2
3
2
3
DE
DA
AE
BA
AC
BA
BC
BA
1
1
1
1
6
3
6
3
BA
BC
AB
BC
,
所以
1
1
,
6
3
,故
1
6
;
故答案为：1
6 .
12．如图，已知ABC
中，
4
AB
，
6
CA
，点I 是ABC
的内切圆圆心（即ABC
三条内角平分线的交
点），直线AI与BC 交于点D .设AD
mAB
nAC
，则m
n
.
【答案】1
5 /0.2
【分析】根据角平分线的性质得到
2
5
BD
BC
，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】由于AD 是
BAC
的平分线，
所以
2
3
BD
AB
DC
AC
，因此
2
5
BD
BC
，
从而
2
2
3
2
5
5
5
5
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
又因为AD
mAB
nAC
由平面向量基本定理可得
3
5
m
，
2
5
n
，
则
1
5
m
n
.
故答案为：1
5
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC 和BD 交于点M，E 在BC 上，且
:
1: 2
BE EC
，直线DE 与
AB 的延长线交于点F，记AB a
= ，AD
b
．
(1)试用a
，b
表示MA
、MB
；
(2)试用a
，b
表示DF
．
【详解】（1）平行四边形ABCD的对角线AC 和BD 交于点M，
1
1
1
1
1
(
)
(
)
2
2
2
2
2
MA
CA
CD
DA
AB
AD
a
b
，
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
MB
DB
AB
AD
a
b
.
（2）点E 在BC 上，且
:
1: 2
BE
EC
，
/ /
BE
AD ，则BEF
ADF
∽
，
于是
1
3
BF
BE
BE
AF
AD
BC
，即
1
3
BF
AF
，
3
3
2
2
AF
AB
a
，
所以
3
2
DF
AF
AD
a
b
.
14．己知向量(2
)
(
)
m
n a
m
n b
r
r
以
1
2
,
e e
为基底的分解式为
1
2
2e
e
，其中
1
2
1
2
,
a
e
e b
e
e
ur
ur
ur
ur
r
r
.
(1)求m，n 的值；
(2)若
(2
)
(
)
c
m
n a
m
n b
r
r
r
，且//(
)
c
a
kb
r
r
r
，求k 的值.
【详解】（1）
1
2
1
2
1
2
1
2
(2
)
(
)
(2
)
(
)
3
2
2
m
n a
m
n b
m
n
e
e
m
n
e
e
e
e
e
e
m
n
m
ur
ur
ur
ur
ur
ur
ur
ur
r
r
，
则有
3
2
2
1
m
n
m
，解得
1
1
2
m
n
.
（2）
3
1
(2
)
(
)
2
2
c
m
n a
m
n b
a
b
r
r
r
r
r
，由//(
)
c
a
kb
r
r
r
，有
(
)
c
a
kb
r
r
r
，
即3
1
(
)
2
2
a
b
a
kb
r
r
r
r
，则
3
2
1
2
k
，解得
1
3
k
.
15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB
DC
，
2
2
2
AB
BC
CD
DA
，M 为线段BC 中点，AM 与BD 交
于点N，P 为线段CD 上的一个动点．
(1)用AB
和AD
表示AM
；
(2)求AN
NM ；
(3)设AC
xDB
yAP
，求xy 的取值范围．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得AM
AB
BM
，①
AM
AD
DC
CM
，②
因为M 为线段AB 中点，则CM
BM
，
联立①②得：
3
2
2
AM
AB
AD
DC
AB
AD
，
整理得：
3
1
4
2
AM
AB
AD
．
（2）由AM 与BD 交于点N，得
3
1
3
4
2
4
2
t
t
AN
t AM
t
AB
AD
AB
AD
，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，3
1
4
2
t
t
，解得：
4
5
t
．
所以
4
5
AN
AM
，即
4
AN
NM
．
（3）由题意，可设
1
0
2
DP
mAB
m
，
代入AC
xDB
yAP
中并整理可得
AC
x AB
AD
y AD
DP
x
ym AB
y
x AD
．
又
1
2
AC
AD
DC
AB
AD
，故
1
2
1
x
ym
y
x
，可得：
1
x
y
，
3
2
1
y
m
．
因为
1
0
2
m
，所以，
3
1
2
y
．
2
2
1
1
1
2
4
xy
y
y
y
y
y
在
3
1, 2
单调递增，
则当
1
y 时，
min
0
xy
，当
3
2
y
时，
max
3
4
xy
，
所以，xy 的取值范围为
3
0, 4
