文档内容
10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 平面向量的基本定理
【例1】（2022·广东·高三开学考试）在 中，已知 ， ， 与 交于 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过 作直线 交 于 ，因为 ，
所以 ，因为 ，所以设 ，则 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.【一隅三反】
1．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形 中，点 、 分别满足 ， ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在平行四边形 中，点 、 分别满足 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：A
2．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）如图所示，在 中，点 是 的中点，且
与 相交于点 ，若 ，则 满足（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得
因为点 是 的中点，所以
由 三点共线知，存在实数 ，满足 ，
由 三点共线知，存在实数 ，满足 ，
所以 ，又因为 为不共线的非零向量，
所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故A不正确； ，故B正确；D不正确；
，故C不正确.
故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在 中， 为 中点，且 ，则（ ）
A． B．
C． ∥ D．
【答案】BC
【解析】因为 ，则 三点共线，且 ，
又因为 为中线，所以点 为 的重心，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点，
所以 ，
所以 ∥
故选：BC．
考点二 平面向量中的共线问题
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 不共线，向量 ， ，若O，
A，B三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为O，A，B三点共线，则所以 ， ，即
整理得：
又∵向量 ， 不共线，则 ，则
故选：A．
【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若M、P、Q三点共线，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．－1
【答案】A
【解析】∵M、P、Q三点共线，则 与 共线，
∴ ，即 ，得 ，解得 .
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中，E为 上一点， ，P为 上任一点，若
，则 的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】D
【解析】 ，
，
三点共线，
，
，当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值是12.
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若
， ，则 ________.
【答案】3
【解析】
如图，设F为BC的中点，则 ，又 ， ，
则 ，又G，D，E三点共线，∴ ，即 .
故答案为：3.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 不共线，若向量 与向量 共线，则
的值为____________.
【答案】
【解析】因为 与 共线，可设 ，
即 ，因为 ， 不共线，所以 ，所以 .
故答案为：
考点三 最值【例3】2（2022·北京·高三开学考试）已知 是边长为2的等边三角形， 为圆 的直径，若点
为圆 上一动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示
由图像可知 ， 与 夹角的范围为 ，
所以 ,
所以 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·浙江）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，
若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】 在圆外，则 且 ，又 ，
所以 ，
又 三点共线，
所以 ， ，而 ，所以 ．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】单位向量 满足 ，即 ，作 ，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半
轴建立平面直角坐标系，如图，
，设 ，则 ，由 得： ，
令 ，即 ，
，其中锐角 满足 ，因此，当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）在平面内，定点 满足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，即点 到 三点的距离相等，可得 为 的外心，
又由 ，
可得 ，所以 ，
同理可得 ，所以 为 的垂心，
所以 的外心与垂心重合，所以 为正三角形，且 为 的中心，
因为 ，解得 ，
所以 为边长为 的正三角形，
如图所示，以 为原点建立直角坐标系，则 ，
因为 ，可得设 ，其中 ，
又因为 ，即 为 的中点，可得 ，
所以 .
即 的最大值为 .故选：B.
考点四 平面向量与其他知识综合
【例 4-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在 中，M，N 分别是线段 ， 上的点，且
， ，D，E是线段 上的两个动点，且 ，则
的的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【解析】设 ， ， ， ，
则 ，
， ， ， .
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立.所以 的的最小值是 .
故选：B
【例4-2】（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在直角三角形 中， 在线段
上， ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】由题可知， ， ，设 ，
则 则 所以
，
当 时， 的最小值为 .
故答案为： .
【一隅三反】
1．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）（多选）在平面四边形 中， 的面积是 面
积的2倍，又数列 满足 ，当 时，恒有 ，设 的前 项和
为 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列C． 为等差数列 D．
【答案】BD
【解析】如图，连 交 于 ，
则 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
设 ，
因为当 时，恒有 ，
所以 ，
，所以当 时，恒有 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 不是常数，所以 不为等比数列，故A不正确；因为 ，即 ，所以 为递减数列，故B正确；
因为 不是常数，所以 不为等差数列，故C不正确；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
2．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋
转 角得到向量 ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已
知平面内点 ，点 ，把点 绕点 沿逆时针方向旋转 得到点 ，则向量 在向量
上的投影向量为___________.（用坐标作答）
【答案】
【解析】设点 ，则 ，根据题意若将 逆时针旋转 ，即可得 ，故
，
整理得 ，而由A、B两点坐标可知 ，
故： ，解得 ，
则点P的坐标为 ，所以 .
所以向量 在向量 上的投影向量为
故答案为： .
