5.3 同角三角函数的基本关系
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：同角三角函数的基本关系 ..................................................2
考点二：关系式的常用等价变形 .....................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................2
题型一：同角三角函数的基本关系 ..................................................2
题型二：平方关系 .......................................................................4
题型三：已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量 ...........................6
题型四：利用平方关系求参数 ........................................................7
题型五：应用同角三角函数的基本关系式化简 ....................................9
题型六：已知tanα,求关于sinα和cosα的齐次式的值 ......................10
题型七：利用sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα之间的关系求值 .....13
题型八：三角恒等式的证明 .........................................................16
模块三：综合巩固 .......................................................................17
5.3 同角三角函数的基本关系
模块一：基础知识
考点一：同角三角函数的基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系
同一个角α 的正弦、余弦的商等于角α 的正
切.
考点二：关系式的常用等价变形
1、
2
2
sin
cos
1
2
2
2
2
2
2
sin
1 cos
sin
1 cos
cos
1 sin
cos
1 sin
2、sin
tan
cos
sin
tan
cos
sin
cos
tan
模块二：题型分类
题型一：同角三角函数的基本关系
1.已知
5
sin
13
，并且是第四象限角，求cos，tan．
【答案】
12
cos
13
，
5
tan
12
．
【详解】由sin，cos之间的关系式
2
2
sin
cos
1
及第四象限角的余弦cos
0
得
2
2
5
12
cos
1 sin
1
13
13
，
sin
5
13
5
tan
cos
13
12
12
．
2.若
4
tan
3
，
0,π
，则cos的值为（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
【答案】A
【详解】因为
4
tan
3
，所以sin
4
cos
3
；
因为
2
2
sin
cos
1
，所以
2
2
16 cos
cos
1
9
，解得
3
cos
5
；
因为
π
4
t
,
,
an
0
3
0
，所以
π
0, 2
，所以
3
cos
5
.
故选：A.
3.已知是第四象限角，且
4
cos
5
，那么tanθ 的值为
【答案】
3
4
/ 0.75
【详解】由是第四象限角，则
2
3
sin
1 cos
5
，
sin
3
tan
cos
4
.
故答案为：
3
4
.
4.已知是第二象限角，且
1
cos
3
，则tan的值是（ ）
A．1
3
B．
2
3
C．
2
4
D．2 2
【答案】D
【详解】解：方法一 ∵为第二象限角，
∴
2
2
1
2 2
sin
1 cos
1
3
3
，
∴
2 2
sin
3
tan
2 2
1
cos
3
．
方法二 ∵
1
cos
3
，
∴角终边上一点P 的坐标为
1,2 2
，
则
2 2
tan
2 2
1
．
故选：D
5.若是第四象限的角，且tan
3
，则cos
.
【答案】1
2 /0.5
【详解】因为是第四象限的角，且tan
3
，
所以
π
2 π,
Z
3
k
k
，
所以
π
2
1
cos
cos
π
3
2
k
.
故答案为：
1
2
题型二：平方关系
1.已知
2
5
sin
1
m
m
，cos
1
m
m
，且为第二象限角，则tan
.
【答案】
3
4
/ 0.75
【详解】
为第二象限角，
2
5
sin
0
1
cos
0
1
m
m
m
m
，解得：
1
m 或
5
2
m
；
2
2
2
2
2
2
5
sin
cos
1
1
m
m
m
，即
2
2
2
2
5
1
m
m
m
，
2
2
11
12
0
m
m
，解得：
3
2
m
（舍）或
4
m
，
3
sin
5
，
4
cos
5
，
sin
3
tan
cos
4
.
故答案为：
3
4
.
2.若𝜃是△𝐴𝐵𝐶的一个内角，且sin𝜃cos𝜃= −
1
8，则cos𝜃−sin𝜃的值为（ ）
A．−3
2
B．3
2
C．−5
2
D．5
2
【解题思路】将所求式子平方后，利用完全平方公式展开，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将sin
𝜃cos𝜃的值代入，开方即可求解．
【解答过程】∵sin𝜃cos𝜃= −
1
8 < 0，𝜃∈(0,π)
∴cos𝜃< 0,sin𝜃> 0，即cos𝜃−sin𝜃< 0，
∴(cos𝜃−sin𝜃)2 = cos2𝜃−2sin𝜃cos𝜃+ sin2𝜃= 1−2 × −1
8 =
5
4，
则cos𝜃−sin𝜃= −5
2 ，
故选：C.
3.已知sin，cos是关于x 的方程
2
5
5
0
x
x
m
的两根，则实数m
．
【答案】
12
25
【详解】由sin，cos是关于x 的方程
2
5
5
0
x
x
m
的两根，所以
1
sin
cos
5
sin
cos
Δ
1 100
0
m
m
，
由
2
sin
cos
1+2sin
cos
，可得
2
1
1+2
5
m
，则
12
25
m
，
经检验符合题意，所以实数m 的值为
12
25
.
故答案为：
12
25
4.（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A．若sin
m
，则
2
cos
1 m
B．若sin
m
，则
2
cos
1
m
C．若tan
m
，则
2
1
cos
1
m
D．若tan
m
，则
2
sin
1
m
m
【答案】BD
【详解】对于AB，当sin
m
时，
2
2
2
cos
1 sin
1 m
，
2
cos
1
m
，A 错误，B 正确；
对于CD，由
2
2
sin
tan
cos
sin
cos
1
m
得：
2
1
cos
1
m
，
2
sin
1
m
m
，C 错误，D 正确.
故选：BD.
5.（多选）已知
4
2
cosθ
5
m
m
，
3
tan
4
2
m
m
，且
π ,π
2
，下面选项正确的是（ ）
A．
8
m
B．
0
m
或
8
m
C．sin
cos
D．
2
95
sin
2sin
cos
169
【答案】ACD
【详解】由
4
2
cosθ
5
m
m
，
3
tan
4
2
m
m
，可得
3
sin
cos
tan
5
m
m
，
2
2
sin
cos
1
，
2
2
3
4
2
1
5
5
m
m
m
m
，
解得
0
m
或
8
m
.
sin
0
，cos
0
，经检验，当
0
m
时，
4
2
cos
0
5
m
m
，不合题意，
8
m
，
此时
5
sin
13
，
12
cos
13
，
2
95
sin
2sin
cos
169
.
故A 项正确，B 项错误，CD 项正确.
故选：ACD.
题型三：已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量
1.计算：
(1)已知
3π
(π,
)
2
，tan
2
，求cos的值.
(2)已知
8
cos
17
，求sin，tan的值
【答案】(1)
5
cos
5
；
(2)答案见解析.
【详解】（1）由
sin
tan
2
cos
，
2
2
sin
cos
1
得：
2
2
4cos
cos
1
，
又
3π
(π,
)
2
，所以
5
cos
5
.
（2）因为
8
cos
17
，所以为第二或第三象限角，又
2
2
sin
cos
1
.
若为第二象限角，则
15
15
sin
,tan
17
8
；
若为第三象限角，则
15
15
sin
,tan
17
8
.
2.若
3
sin
5
，且为第三象限角，则tan（ ）
A．
4
3
B．
3
4
C．4
3
D．3
4
【答案】D
【详解】∵
3
sin
5
，且为第三象限角，
∴
2
4
cos
1 sin
5
，
∴
3
sin
3
5
tan =
4
cos
4
5
．
故选:D．
3.若
1
sin
2
，且为第二象限角，则cos
．
【答案】
3
2
/
1
3
2
【详解】因为
1
sin
2
，且为第二象限角，
所以
2
1
3
cos
1 sin
1
4
2
.
故答案为：
3
2
4.已知
3
sin
5
，
π
0 2
,
，则cos（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
【答案】C
【详解】因为
3
sin
5
，
π
0 2
,
，
故
2
2
3
4
cos
1 sin
1 ( )
5
5
，
故选：C
5.设为第二象限角，若
1
tan
2
，则sin
cos
.
【答案】
5
5
/
5
5
【详解】为第二象限角，则sin
0
，cos
0
，
若
1
tan
2
，则有
2
2
sin
1
cos
2
sin
cos
1
，解得
5
sin
5
2 5
cos
5
，
所以
5
2 5
5
5
5
5
sin
cos
.
故答案为：
5
5
.
6.已知
3
cos
3
，且
3π
π
2
，则tan
；
【答案】
2
【详解】因为
3
cos
3
，且
3π
π
2
，所以
2
6
sin
1 cos
3
，
则
sin
tan
2
cos
.
故答案为：
2 .
题型四：利用平方关系求参数
1.若sin及cos是关于x 的方程
2
2
4
3
0
x
kx
k
的两个实根，则实数k 的值为
【答案】1
4
【详解】因为sin及cos是关于x 的方程
2
2
4
3
0
x
kx
k
的两个实根，
则
4
sin
cos
2
2
k
k
，
3
sin
cos
2
k
，
因为
2
2
2
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
且
2
2
sin
cos
1
，
所以
2
3
4
1
2
2
k
k
，即
2
4
3
1
0
k
k
，
解得：
1
k 或
1
4
k
，
因为方程
2
2
4
3
0
x
kx
k
有两个实根，
所以
2
16
8
3
0
k
k
，解得：
3
2
k
或
0
k
，
所以
1
4
k
，
故答案为：1
4 .
2.已知
3
sinθ
5
m
m
，
4
2
cosθ
5
m
m
，且2
，求实数m 的值．
【答案】8
【详解】解：因为
3
sinθ
5
m
m
，
4
2
cosθ
5
m
m
，且2
，
则sin
0
，
又
2
2
sin
cos
1
，所以
2
2
3
4
2
(
)
(
)
1
5
5
m
m
m
m
，解得
0
m
或
8
m
，
当
0
m
时，
3
sin
5
θ
，不满足题意，
当
8
m
时，
5
sin
13
，
12
cos
13
，满足题意．
所以
8
m
3.已知
1
3
1
sin
,cos
1
1
a
a
a
a
，且是第二象限角，求实数a 的值.
【答案】
1
9
a
【详解】因为是第二象限角，所以
1
3
1
sin
0,cos
0
1
1
a
a
a
a
，解得
1
( 1, )
3
a
，
由
2
2
sin
cos
1
得到
2
2
1
3
1
(
)
(
)
1
1
1
a
a
a
a
，解得
1
9
a
或
1
a （舍）.
题型五：应用同角三角函数的基本关系式化简
1.已知
tan𝛼
tan𝛼−1 = 2，求下列各式的值.
(1)
2sin𝛼−3cos𝛼
4sin𝛼−9cos𝛼；
(2)4sin2𝛼−3sin𝛼cos𝛼−5cos2𝛼.
【解题思路】（1）先求得tan𝛼，将要求的表达式转化只含tan𝛼的形式，由此求得表达式的值.
（2）利用“1”的代换的方法求得表达式的值.
【解答过程】（1）由于
tan𝛼
tan𝛼−1 = 2，所以tan𝛼= 2tan𝛼−2,tan𝛼= 2，
所以
2sin𝛼−3cos𝛼
4sin𝛼−9cos𝛼=
2tan𝛼−3
4tan𝛼−9 =
4−3
8−9 = −1.
（2）4sin2𝛼−3sin𝛼cos𝛼−5cos2𝛼
= 4sin2𝛼−3sin𝛼cos𝛼−5cos2𝛼
sin2𝛼+ cos2𝛼
= 4tan2𝛼−3tan𝛼−5
tan2𝛼+ 1
=
16−6−5
4 + 1 = 1.
2.已知sin
cos
2
sin
cos
，且是第三象限的角，则1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
．
【答案】6
【详解】因为sin
cos
2
sin
cos
，则tan
1
2
tan
1
，解得tan
3
，
又因为
2
2
2
2
2
2
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
cos
cos
，
且是第三象限的角，则1 sin
0,1 sin
0,cos
0
，
所以
2
2
2
2
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
2tan
6
1 sin
1 sin
cos
cos
cos
cos
.
故答案为：6
.
3.化简：
(1)
2
2
cos
sin
tan
2sin
cos
tan
；
(2)
1 cos
1 cos
180
270
1 cos
1 cos
．
【答案】(1)
1
sin
cos
(2)
2
sin α
【详解】（1）原式
2
2
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
cos
sin
4
4
2
2
sin
cos
2sin
cos
cos
sin
2
2
2
sin
cos
1
sin
cos
sin
cos
．
（2）因为180
270
，所以sin
0
．
原式
2
2
2
2
(1 cos
)
(1 cos
)
1 cos
1 cos
1 cos
1 cos
2
2
| sin
|
| sin
|
| sin
|
sin
．
4.设cos
1
sin
1
3
x
x
，则1 sin
cos
x
x
．
【答案】1
3
【详解】因为cos
1
sin
1
3
x
x
，显然sin
1
x ，
则
2
2
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
cos
cos
cos
1 sin
cos
1 sin
cos
1 sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
cos
1
1 sin
sin
1
3
x
x
x
x
.
故答案为：1
3 .
5.化简：
2
1
2sin10 cos10
cos10
1 cos 10
.
【答案】1
【详解】因为cos10
sin10
0
，
所以，原式
2
2
2
sin 10
cos 10
2cos10 sin10
cos10
sin 10
2
(cos10
sin10 )
cos10
sin10
1
cos10
sin10
cos10
sin10
题型六：已知tanα,求关于sinα 和cosα 的齐次式的值
1.（1）已知tan
2
，求cos
5sin
3cos
sin
.
（2）已知3cos
sin
1
cos
2sin
5
，求sin
cos
的值．
【答案】（1）
9
5
；（2）2
5 .
【详解】（1）cos
5sin
1 5tan
1 10
9
3cos
sin
3
tan
3
2
5
；
（2）由3cos
sin
1
cos
2sin
5
得：15cos
5sin
cos
2sin
，
2cos
sin
；
方法一：
2
2
2
2
2
sin
cos
2cos
2
sin
cos
sin
cos
4cos
cos
5
；
方法二：由2cos
sin
得：tan
2
，
2
2
2
2
sin
cos
tan
2
2
sin
cos
sin
cos
tan
1
2
1
5
.
2.已知
1
tan
3
，则sin
2cos
5cos
sin
的值为（ ）
A．1
B．1
C．5
16
D．5
4
【答案】C
【详解】因为
1
tan
3
，
所以
1
5
2
sin
2cos
tan
2
5
3
3
1
16
5cos
sin
5
tan
16
5
(
)
3
3
.
故选：C.
3.已知sin
cos
3cos
tan
，则
2
cos
tan
1
（ ）
A．
3
5
-
B．
4
5
C．
2
3
D．
1
3
【答案】A
【详解】因为sin
cos
3cos
tan
3sin
，可得
1
tan
2
，
可得
2
2
2
2
1
sin
cos
tan
2
2
cos
tan
cos
sin
1
sin
cos
tan
1
5
1
4
，
所以
2
2
3
cos
tan
1
1
5
5
.
故选：A.
4.若2sin
3cos
1
4sin
9cos
，则tan
.
【答案】2
【详解】
2sin
3cos
2tan
3
1
4sin
9cos
4tan
9
，
2tan
3
4tan
9
，解得：tan
2
.
故答案为：2 .
5.已知tan
2
，则cos
2sin
cos
sin
（ ）
A．0
B．
5
3
C．-1
D．1
3
【答案】C
【详解】由题知，tan
2
，
则
cos
2sin
cos
2sin
1 2tan
cos
cos
cos
sin
cos
sin
1
tan
cos
cos
1 2 2
3
1
1
2
3
.
故选：C.
6.已知tan
2
，则2sin
cos
2cos
3sin
（ ）
A．1
3
B．1
4
C．3
8
D．
1
2
【答案】C
【详解】因为tan
2
，所以cos
0
.
所以
sin
cos
2
2sin
cos
2tan
1
2 2 1
3
cos
cos
cos
sin
2cos
3sin
2
3tan
2
3 2
8
2
3
cos
cos
.
故选：C.
7.若
4
tan
3
，则sin
cos
sin
cos
.
【答案】1
7
【详解】
4
tan
3
，
sin
4
1
1
sin
cos
tan
1
1
cos
3
sin
4
sin
cos
tan
1
7
1
1
cos
3
.
故答案为：1
7 .
8.已知角终边上
,2
3 ,
0
P x
x
x
, 且tan
x
，求sin
cos
sin
cos
的值．
【答案】2 或0
【详解】由于
2
3
tan
x
x
，故2
3
x
x
x
，解得
3
1
x
x
或
.
当
3
x 时, tan
3
，sin
cos
tan +1
=
2
sin
cos
tan
1
当
1
x 时，tan
1
，sin
cos
tan +1
=
0.
sin
cos
tan
1
题型七：利用sinα+cosα,sinα-cosα 与sinαcosα 之间的关系求值
1.已知
1
sin
cos
2
，
0,π
，求下列各式的值：
(1)sin
cos
；
(2)
1
tan
tan
．
【答案】(1)
7
sin
cos
2
；
(2)
2 7
3
.
【详解】（1）∵
2
2
1
sin
cos
1
2sin
cos
2
，
∴
3
sin
cos
8
，又∵
0,π
，
∴sin
0
，又
3
sin
cos
0
8
，
∴cos
0
，sinθ
cosθ
0
，
∵
2
3
7
sin
cos
1 2sin cos
1 2
8
4
，
∴
7
sin
cos
2
；
（2）∵
2
2
sin
cos
sin
cos
1
sin
cos
sin
cos
tan
tan
cos
sin
sin cos
sin cos
，
∴
1
7
1
2 7
2
2
tan
3
tan
3
8
．
2.已知
π
0, 4
，且
17
sin
cos
13
则tan的值为（ ）
A．12
5
B．
12
5
C．5
12
D．
5
12
【答案】C
【详解】由
17
sin
cos
13
，两边平方得
2
2
289
sin
cos
2sin cos
169
，
因为
2
2
sin
cos
1
，所以
120
2sin cos
169
，
又
2
2
2
49
(sin
cos )
sin
cos
2sin cos
1 169
169
120
，
又因为
π
0, 4
，所以sin
cos
，sin
cos
0
，得
7
sin
cos
13
，
联立
7
sin
cos
13
与
17
sin
cos
13
，
求得
5
12
sin
,cos
13
13
，故
sin
5
tan
cos
12
故选：C
3.若
1
cos
sin
3
x
x
，则
3
3
cos
sin x
x
.
【答案】13
27
【详解】
1
cos
sin
3
x
x
，两边平方得
1
1
2sin
cos
9
x
x
，
∴
4
sin
cos
9
x
x
，
则
3
3
2
2
1
4
13
cos
sin
cos
sin
cos
si
(
) (
)
n
cos
sin
1
3
9
27
x
x
x
x
x
x
x
x
．
故答案为：13
27 ．
4.已知为第四象限角，且
1
sin
cos
3
，则sin
cos
.
【答案】
17
3
/
1 17
3
【详解】因为为第四象限角，则sin
0
，cos
0
，则sin
cos
0
，
因为
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
2 sin
cos
2
，
将
1
sin
cos
3
代入上式可得
2
17
sin
cos
9
，
因此，
17
sin
cos
3
.
故答案为：
17
3
.
5.已知
1
sin
cos
3
，且
0,π
，则sin
cos
的值为（ ）
A．
1
3
B．
17
3
C．
17
3
D．
17
3
或
17
3
【答案】C
【详解】将
1
sin
cos
3
两边同时平方可得，
2
2
1
sin
cos
2sin
cos
9
，
可得
4
sin
cos
9
；
又
0,π
，所以sin
0,cos
0
；
易知
2
2
2
17
sin
cos
2sin
cos
9
sin
cos
，可得
3
sin
cos
17
；
又sin
0,cos
0
,所以
17
sin
cos
3
.
故选：C
6.已知
5
sin
cos
5
，则tan
.
【答案】2 或
1
2
【详解】由
5
sin
cos
5
两边平方得
2
2
1
sin
2sin
cos
cos
1 2sin
cos
5
，
解得
2
sin
cos
5
，
所以
2
2
2
sin
cos
tan
2
sin
cos
tan
1
5
，即
2
2tan
5tan
2
0
，
解得tan
2
或
1
2 ，
故答案为：2 或
1
2
7.已知
1
sin
cos
5
，求sin
cos
的值．
【答案】
12
25
【详解】因为
1
sin
cos
5
，
两边平方，得
2
1
sin
cos
25
，即
2
2
1
sin
cos
2sin
cos
25
．
将
2
2
sin
cos
1
代入上式，得
1
1
12
sin
cos
1
2 25
25
．
8.已知
7
sin
cos
13
，
0,π
.
(1)求sin
cos
的值
(2)求tan
【答案】(1)
60
169
(2)
12
5
【详解】（1）
2
2
2
49
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
1
2sin
cos
169
，
60
sin
cos
169
.
（2）
0,π
，
sin
0
，又sin
cos
0
，
cos
0
；
由
7
sin
cos
13
60
sin
cos
169
得：
5
sin
13
12
cos
13
（舍）或
12
sin
13
5
cos
13
，
sin
12
tan
cos
5
.
题型八：三角恒等式的证明
1.求证：
(1)
1 + 2sin𝑥cos𝑥
cos2𝑥−sin2𝑥=
1 + tan𝑥
1−tan𝑥；
(2)tan2𝜃−sin2𝜃= tan2𝜃sin2𝜃；
(3)(cos𝛼−1)2 + sin2𝛼= 2−2cos𝛼；
(4)sin4𝑥+ cos4𝑥= 1−2sin2𝑥cos2𝑥．
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，即可得证.
【解答过程】（1）左边=
1 + 2sin𝑥cos𝑥
cos2𝑥−sin2𝑥=
(sin𝑥+ cos𝑥)2
(sin𝑥+ cos𝑥)(cos𝑥−sin𝑥) =
sin𝑥+ cos𝑥
cos𝑥−sin𝑥=
tan𝑥+ 1
1−tan𝑥=右边，故得证，
（2）左边=tan2𝜃−sin2𝜃= sin2𝜃
cos2𝜃−sin2𝜃= sin2𝜃1−cos2𝜃
cos2𝜃= sin2𝜃sin2𝜃
cos2𝜃= tan2𝜃sin2𝜃=右边，故得证，
（3）左边=(cos𝛼−1)2 + sin2𝛼= cos2𝛼−2cos𝛼+ 1 + sin2𝛼= 2−2cos𝛼=右边，故得证，
（4）左边=sin4𝑥+ cos4𝑥= (sin2𝑥+ cos2𝑥)2−2sin2𝑥cos2𝑥= 1−2sin2𝑥cos2𝑥=右边，故得证
2.证明：
(1)2cos2𝜃+ sin4𝜃= cos4𝜃+ 1.
(2)已知
π
2 +2𝑘π < 𝑥<
3
2π +2𝑘π，𝑘∈𝑍，求证：
1−sin𝑥
1 + sin𝑥=
sin𝑥−1
cos𝑥
【解题思路】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立；
（2）由已知条件可得−1 < sin𝑥< 1，cos𝑥≥0，再利用同角三角函数的平方关系计算可证得结论成立.
【解答过程】（1）证明：因为2cos2𝜃+ sin4𝜃−(cos4𝜃+ 1) = 2cos2𝜃−1 + (sin2𝜃−cos2𝜃)(sin2𝜃+ cos2𝜃)
= 2cos2𝜃−1 + sin2𝜃−cos2𝜃= sin2𝜃+ cos2𝜃−1 = 0，
因此，2cos2𝜃+ sin4𝜃= cos4𝜃+ 1.
（2）证明：因为
π
2 +2𝑘π < 𝑥<
3
2π +2𝑘π，𝑘∈𝑍，则−1 < sin𝑥< 1，cos𝑥< 0，
所以，
1−sin𝑥
1 + sin𝑥=
(1−sin𝑥)2
(1 + sin𝑥)(1−sin𝑥) =
(1−sin𝑥)2
1−sin2𝑥= |
1−sin𝑥
cos𝑥| =
sin𝑥−1
cos𝑥.
故结论得证.
3.求证：
(1)sin2𝛼+ 2cos2𝛼+ 1
cos2𝛼−sin2𝛼
= 3 + 2tan2𝛼
1−tan2𝛼；
(2)已知tan𝛼=
1
3，求证：sin2𝛼+ sin𝛼cos𝛼=
2
5.
【解题思路】利用同角三角函数的基本关系进行证明即可.
【解答过程】（1）左边= sin2𝛼+ 2cos2𝛼+ 1
cos2𝛼−sin2𝛼
= sin2𝛼+ 2cos2𝛼+ sin2𝛼+ cos2𝛼
cos2𝛼−sin2𝛼
=
2sin2𝛼+ 3cos2𝛼
cos2𝛼
cos2𝛼−sin2𝛼
cos2𝛼
= 3 + 2tan2𝛼
1−tan2𝛼=右边.
（2）sin2𝛼+ sin𝛼cos𝛼= sin2𝛼+ sin𝛼cos𝛼
sin2𝛼+ cos2𝛼=
sin2𝛼+ sin𝛼cos𝛼
cos2𝛼
sin2𝛼+ cos2𝛼
cos2𝛼
= tan2𝛼+ tan𝛼
1 + tan2𝛼
=
1
9 + 1
3
1 + 1
9
=
2
5，成立.
模块三：综合巩固
1.若𝜃∈(0,
π
2)，sin𝜃−cos𝜃=
5
5 ，则tan𝜃= （ ）
A．
1
2
B．2
C．
1
3
D．3
【解题思路】根据给定条件，利用同角公式求出sin𝜃,cos𝜃即可求解作答.
【解答过程】由(sin𝜃+ cos𝜃)2 + (sin𝜃−cos𝜃)2 = 2，sin𝜃−cos𝜃=
5
5 ，得(sin𝜃+ cos𝜃)2 =
9
5，
而𝜃∈(0,
π
2)，即sin𝜃> 0,cos𝜃> 0，解得sin𝜃+ cos𝜃= 3 5
5 ，
因此sin𝜃= 2 5
5 ,cos𝜃=
5
5 ，所以tan𝜃=
sin𝜃
cos𝜃= 2.
故选：B.
2.函数
2
2
4
25
sin
cos
f x
x
x
的最小值为
，此时
2
tan x
．
【答案】
49
2
5 /0.4
【详解】由题意得
2
2
2
2
2
2
2
2
4
25
4cos
25sin
sin
cos
29
sin
cos
sin
cos
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
4cos
25sin
29
2
49
sin
cos
x
x
x
x
，
当且仅当
2
2
2
2
4cos
25sin
sin
cos
x
x
x
x
，即
2
2
tan
5
x
时，等号成立．
故答案为：49，2
5
3.已知
5
sin
5
，
π
0
2
，则cos （ ）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
2 5
5
D．2 5
5
【答案】D
【详解】由
π
0
2
，得cos
0
，而
5
sin
5
，
所以
2
2
5
2 5
cos
1
(
)
5
5
.
故选：D
4.已知
1
cos
2
，其中
,0
2
，sin的值为（ ）
A．－
3
2
B．－
1
2
C．
3
2
D．
1
2
【答案】A
【详解】因为
,0
2
为第四象限角，
所以
2
1
3
sin
1 cos
1
4
2
.
故选：A.
5.当x 为第二象限角时，
| co
sin
|
os
si
s
c
n
x
x
x
x
（ ）
A．1
B．0
C．2
D．－2
【答案】C
【详解】因为x 是第二象限角，
所以
sin
sin
sin
si
| cos
|
cos
1 1
2
cos
c
n
os
x
x
x
x
x
x
x
x
，
故选：C
6.已知
3
tan
2
，则sin
cos
sin
cos
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【详解】因为
3
tan
2
，
所以
3
1
sin
cos
tan
1
2
5
3
sin
cos
tan
1
1
2
，
故选：D
7．（多选）已知
0,π
，且
1
sin
cos
5
，则（ ）
A．2
B．
12
sin
cos
25
C．
7
cos
sin
5
D．
7
cos
sin
5
【答案】ABD
【详解】AB 选项，
1
sin
cos
5
两边平方得，
2
2
1
sin
cos
2sin
cos
25
，
即
1
1
2sin
cos
25
，所以
12
sin
cos
25
，B 正确，
因为
0,π
，所以sin
0
，故cos
0
，所以2
，A 正确；
CD 选项，
2
2
2
24
49
cos
sin
sin
cos
2sin
cos
1
25
25
，
因为sin
0
，cos
0
，所以cos
sin
0
，
故
7
cos
sin
5
，C 错误，D 正确.
8.若
0,π
，
2
2sin
cos
5
，则tan（ ）
A．
3
5
-
B．
4
5
C．
3
4
D．
1
4
【答案】C
【详解】由
2
2sin
cos
5
得：
2
cos
2sin
5
，
2
2
2
2
2
2
8
4
sin
cos
sin
2sin
5sin
sin
1
5
5
25
，
解得：
3
sin
5
或
7
sin
25
，
又
0,π
，
sin
0
，即
3
sin
5
，
2
6
4
cos
5
5
5
，
3
sin
3
5
tan
4
cos
4
5
.
故选：C.
9.已知
(0,π)
，且
2
3 1
2sin
8cos
5
，则sin（ ）
A．
5
3
B．2
3
C．1
3
D．
5
9
【答案】A
【详解】依题意，
2
3 1
2sin
8cos
5
，
2
3 1
2 1
cos
8cos
5
，
整理得
2
3cos
4cos
4
0
，
解得cos
2
（舍去）或
2
cos
3
．
∵
(0,π)
，
2
5
sin
1 cos
3
．
故选：A
10.若
1 cos
1 cos
2
1 cos
1 cos
sin
，则α 不可能是（ ）
A．
5π
11
B．10π
11
C．5π
11
D．20π
11
【答案】B
【详解】显然
2
2
2
2
1 cos
1 cos
(1 cos
)
(1 cos
)
1 cos
1 cos
2
1 cos
1 cos
1 cos
1 cos
sin
sin
| sin
|
，
因此
2
2
sin
sin
，从而sin
0
，
对于A，因为
5π
11
为第四象限角，所以sin
0
，A 可能；
对于B，因为10π
11 为第二象限角，所以sin
0
，B 不可能；
对于C ，因为15π
11 为第三象限角，所以sin
0
，C 可能；
对于D，因为20π
11 为第四象限角，所以sin
0
，D 可能.
故选：B
11.已知
3 5
sin
cos
5
，则
1
tan
tan
（ ）
A．
2
5
B．5
2
C．
4
5
D．5
4
【答案】B
【详解】因为
3 5
sin
cos
5
，
平方得
2
2
9
sin
2sin
cos
cos
5
，又
2
2
sin
cos
1
故
2
sin
cos
5
，
则
2
2
1
sin
cos
sin
cos
1
5
tan
tan
cos
sin
sin
cos
sin
cos
2
．
故选：B.
12.若角A 是三角形ABC 的一个内角，且
1
sin
cos
3
A
A
，则sin
cos
A
A
.
【答案】
2
2
2
1
11.8?12
11.7?12
???
11.9?12
20
/ 1 15
3
【详解】因为角A 是三角形ABC 的一个内角，且
1
sin
cos
0
3
A
A
，
所以角A 为锐角，
所以
2
sin
cos
sin
cos
A
A
A
A
2
2
sin
cos
2sin
cos
A
A
A
A
1
15
1
2
3
3
，
故答案为：
15
3
13.已知
1 π
sin
cos
π
5 2
，求tan.
【答案】
4
3
【详解】因为π
π
2
，且
1
sin
cos
0
5
，
平方可得
12
sin
cos
25
，且sin
0,cos
0
，
结合
2
2
sin
cos
1
，可得
4
sin
5
，
3
cos
5
，
所以
sin
4
tan
cos
3
.
14.求证：
(1)sin4𝛼−cos4𝛼= sin2𝛼−cos2𝛼；
(2)sin4𝑥+ sin2𝑥cos2𝑥+ cos2𝑥= 1；
(3)
cos𝛼
1 + sin𝛼−
sin𝛼
1 + cos𝛼=
2(cos𝛼−sin𝛼)
1 + sin𝛼+ cos𝛼．
【解题思路】（1）利用平方差公式及sin2𝛼+ cos2𝛼= 1证明.
（2）利用提取公因式及sin2𝑥+ cos2𝑥= 1证明.
（3）利用通分，因式分解等式的运算结合sin2𝛼+ cos2𝛼= 1证明.
【解答过程】（1）sin4𝛼−cos4𝛼= (sin2𝛼+ cos2𝛼)(sin2𝛼−cos2𝛼) = sin2𝛼−cos2𝛼.
故sin4𝛼−cos4𝛼= sin2𝛼−cos2𝛼成立.
（2）sin4𝑥+ sin2𝑥cos2𝑥+ cos2𝑥
= sin2𝑥(sin2𝑥+ cos2𝑥) + cos2𝑥= sin2𝑥+ cos2𝑥= 1
故sin4𝑥+ sin2𝑥cos2𝑥+ cos2𝑥= 1成立.
（3）
cos𝛼
1 + sin𝛼−
sin𝛼
1 + cos𝛼=
cos𝛼(1 + cos𝛼)−sin𝛼(1 + sin𝛼)
(1 + sin𝛼)(1 + cos𝛼)
= cos𝛼+ cos2𝛼−sin𝛼−sin2𝛼
1 + sin𝛼+ cos𝛼+ sin𝛼cos𝛼
= cos𝛼−sin𝛼+ (cos𝛼−sin𝛼)(cos𝛼+ sin𝛼)
1 + sin𝛼+ cos𝛼+ sin𝛼cos𝛼
=
(cos𝛼−sin𝛼)(1 + cos𝛼+ sin𝛼)
1
2(cos𝛼+ sin𝛼)2 + sin𝛼+ cos𝛼+ 1
2
=
2(cos𝛼−sin𝛼)(1 + cos𝛼+ sin𝛼)
(cos𝛼+ sin𝛼)2 + 2(sin𝛼+ cos𝛼) + 1
= 2(cos𝛼−sin𝛼)(1 + cos𝛼+ sin𝛼)
(cos𝛼+ sin𝛼+ 1)2
=
2(cos𝛼−sin𝛼)
1 + sin𝛼+ cos𝛼.
故
cos𝛼
1 + sin𝛼−
sin𝛼
1 + cos𝛼=
2(cos𝛼−sin𝛼)
1 + sin𝛼+ cos𝛼成立.
15.（1）已知角θ 的终边上有一点
(
)
,3
0
P x
x
，且
10
cos
10 x
，求sin
tan
的值．
（2）已知角θ 是三角形的内角，
1
sin
cos
5
，求sin
cos
的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）
7
sin
cos
5
【详解】（1）因为
2
9
r
x
，cos
x
r
，所以
2
10
10
9
x
x
x
．
又
0
x
，所以
1
x ，所以
10
r
．
所以点P 坐标为(1,3)或( 1,3)
，即θ 是第一或第二象限角．
当θ 为第一象限角即点
(1,3)
P
时，
3 10
sin
10
，tan
3
，则
3 10
30
sin
tan
10
．
当θ 为第二象限角即点
( 1,3)
P
时，
3 10
sin
10
，tan
3
，则
3 10
30
sin
tan
10
．
综述：当点P 坐标为(1,3)时，
3 10
30
sin
tan
10
；
当点P 坐标为( 1,3)
时，
3 10
30
sin
tan
10
.
（2）因为
1
sin
cos
5
，两边平方得
1
1
2sin
cos
25
，
所以
24
2sin
cos
25
，
又因为θ 为三角形的内角，
所以
sin
0
cos
0
，即90
180
，
所以sin
cos
0
，
又因为
2
24
49
sin
cos
1
2sin
cos
1
25
25
，
所以
7
sin
cos
5
．
16.如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径
为1）交于点P .过点P 作圆O 的切线，分别交x 轴、y 轴于点
1
0,0
P x
与
2
0
0,
P
y
.
(1)若
6
，求P 的坐标
(2)若
1
2
OPP
的面积为2，求tan的值；
(3)求
2
2
0
0
9
x
y
的最小值.
【答案】(1)
3 1
,
2
2
P
(2) tan
2
3
(3)16
【详解】（1）由题意得
cos ,sin
P
，所以
π
π
cos
,sin
6
6
P
，即
3 1
,
2
2
P
.
（2）由题意得为锐角，故P 在第一象限，则
1
2
,
P P 在,x y 轴正半轴上，
由题意可知
1
2
OP
PP
，故
1
1
cos
OP
，故
0
1
cos
x
，
2
OP P
，故
2
1
sin
OP
，则
0
1
sin
y
，
由
1
2
OPP
的面积为2，得
0
0
1
2
2 x y
，即1
1
1
2
2 cos
sin
.所以
1
sin cos
4
，
又
2
2
sin
cos
1
，故
2
2
sin cos
1
sin
cos
4
，即
2
tan
1
tan
1
4
，
所以
2
tan
4tan
1
0
，解得tan
2
3
；
（3）由题意是锐角，则
0
0
0,
0
x
y
，
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
1
9
1
9
9
sin
cos
cos
sin
cos
sin
x
y
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
9cos
sin
9cos
10
10
2
16
cos
sin
cos
sin
，
当且仅当
2
2
2
2
sin
9cos
cos
sin
，即
3
sin
,
2
3
时取等号，
所以
2
2
0
0
9
x
y
的最小值为16.
