6.1 平面向量的概念
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量的概念................................................................... 2
考点二：向量的几何表示............................................................. 2
考点三：相等向量与共线向量....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：向量概念的理解............................................................. 3
题型二：向量的模.................................................................... 4
题型三：零向量与单位向量.......................................................... 7
题型四：向量的几何表示与向量的模...............................................8
题型五：向量相等或共线的判断...................................................11
题型六：用向量关系研究几何图形的性质....................................... 13
模块三：综合巩固....................................................................... 15
6.1 平面向量的概念
模块一：基础知识
考点一：向量的概念
1.向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
2.数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
3.向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不
能比较大小
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我
们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”
就是由大小方向、作用点所决定的).
考点二：向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A 为起点、B 为终点的有向线段
记作AB
(如图所示),线段AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作|
|
AB
. 表示有向线段时,起点一定要
写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
2.向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方
向.
②字母表示:向量可以用字母a
,b
,c
,…表示
3.向量的模
向量AB
的大小称为向量AB
的长度(或称模),记作|
|
AB
.
4.两种特殊的向量
零向量:长度为0 的向量叫做零向量,记作0
.
单位向量:长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0 与0
的区别与联系:0 是一个实数,0
是一个向量,且有| 0 |
；书写时0
表示零向量,一定不能漏掉
0 上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1 的圆.
考点三：相等向量与共线向量
1.平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a
与b
平行,记作a b
.规定:零向量与任意向量平行,即对
于任意向量a
,都有0 a
.
2.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a
与b
相等,记作a
b
.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方
向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
3.共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
模块二：题型分类
题型一：向量概念的理解
1.下列命题中真命题的个数是（
）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x 轴､y 轴都是向量
A．0
B．1
C．2
D．3
【解题思路】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的�轴、�轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
2.下列量中是向量的为（
）
A．频率
B．拉力
C．体积
D．距离
【解题思路】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【解题思路】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力
是向量.
故选：B.
3.下列说法正确的是（
）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段��
→
和有向线段��
→
的长度相等
【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.
【解题思路】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A 错；
B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B 错；
C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C 错；
D：有向线段��
→
和有向线段��
→
的长度相等，故D 对.
故选：D.
4.下列说法错误的是（
）
A．向量��റ
ሬሬሬሬ与向量��റ
ሬሬሬሬ长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【解题思路】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【解题思路】A.��റ
ሬሬሬሬ和��റ
ሬሬሬሬ长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
题型二：向量的模
1.如图，在ABC
中，点D､E､F 分别是边BC､CA､AB 的中点，在以A､B､C､D､E､F 为端点的向量中，与向
量DF
的模相等的向量的个数是
.
【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与DF
模相等的向量，即知个数.
【详解】由图知：与向量DF
的模相等的向量有
,
,
,
,
FD AE EA EC CE
，
∴共有5 个.
故答案为：5.
2.如图，在2 4
的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB
的模相等的向量（除AB
本身）共有
个.
【分析】数出与AB
所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可.
【详解】图中AB
占图1 2
的矩形，在整个2 4
的矩形中共能数出10 个这么大的矩形，则这些矩形的对角
线共有10
2
20
个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与AB
的模相等的向量有20
2
40
个。
则模与AB
的模相等的向量（除AB
本身）共有40 1
39
个.
故答案为：39 个.
3.如果一架飞机向西飞行150km，再向南飞行350km，记飞机飞行的路程为s ，位移为a
，则（
）．
A．s
a
B．s
a
C．s
a
D．s 与a
r
不能比较大小
【答案】A
【详解】由题意，作图如下：
则该飞机由A 先飞到B ，再飞到C ，则
150
AB
km
，
350km
BC
，a
AC
r
uuur ，
则飞机飞行的路程为
500km
s
，
2
2
150
350
50 58km
a
r
，
所以s
a
.
故选：A.
4.如图，已知a是单位向量，求出图中向量b
，c，d
，e的模.
【答案】
2,
3,
10,
13
b
c
d
e
【详解】因为a
是单位向量，所以图中小正方形的边长为1；
所以
2,
3
b
c
，
由勾股定理可知，
2
2
= 1 +3 = 10
d
，
2
2
2
3
13
e
.
5.在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且
30
OCB
，
2
AB
，则AC
等
于（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
【答案】A
【详解】如图，连接AC，
由OC
OB
，得
30
ABC
OCB
.
因为C 为半圆上的点，所以
90
ACB
，
所以
1
1
2
AC
AB
．
故选：A.
6.如图，某船从点O 出发沿北偏东30°的方向行驶至点A 处，求该船航行向量OA
的长度（单位：n mile）．
【答案】2 n mile．
【详解】由题意
1
2
cos(90
30 )
OA
，
所以向量OA
的长度为2 n mile．
题型三：零向量与单位向量
1.下列说法正确的是（
）
A．向量的模是一个正实数
B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1 个单位长度
D．零向量就是实数0
【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【解题思路】对于A，零向量的模等于零，故A 错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B 错误；
对于C，根据单位向量的定义可C 知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数�只有大小没有方向，故D 错误.
故选：C.
2.下列命题正确的个数是（
）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.
【解题思路】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B.
3.下列说法正确的是（
）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
【解题思路】根据零向量和单位向量的概念求解.
【解题思路】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，
任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.
故选：C.
4.已知向量�Ԧሬ, �Ԧሬ是两个非零向量，��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ分别是与�Ԧሬ, �Ԧሬ同方向的单位向量，则以下各式正确的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ或��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ的长度相等
【解题思路】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答.
【解题思路】依题意，�Ԧሬ≠�Ԧሬ, �Ԧሬ≠�Ԧሬ，显然向量�Ԧሬ, �Ԧሬ的关系不确定，
而��Ԧ
ሬሬሬሬ与�Ԧሬ同方向，��Ԧ
ሬሬሬሬ与�Ԧሬ同方向，因此��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ关系不确定，A，B，C 都错误，
又��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ都是单位向量，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ的长度相等，D 正确.
故选：D.
题型四：向量的几何表示与向量的模
1.如图，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走
了200 3m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方．
(1)作出��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ（图中1 个单位长度表示100m）；
(2)求��Ԧ
ሬሬሬሬ的模．
【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形����是平行四边形，则可求得��Ԧ
ሬሬሬሬ的模.
【解题思路】（1）根据题意可知，B 点在坐标系中的坐标为( −�, �)，
又因为D 点在B 点的正北方，所以��⊥��，
又��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ����，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ����，即D、C 两点在坐标系中的坐标为( −�, ��)，( −�, ��)；
即可作出��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ如下图所示.
（2）如图，作出向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，
由题意可知，��//��且��= ��= ���，
所以四边形����是平行四边形，
则��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ����，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ的模为����m.
2.一艘军舰从基地A 出发向东航行了200 海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400 海里到
达C 岛，最后又改变航线向西航行了200 海里到达D 岛．
（1）试作出向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ；
（2）求|��Ԧ
ሬሬሬሬ|．
【解题思路】（1）根据题设以��Ԧ
ሬሬሬሬ为正东方向，过A 垂直于��Ԧ
ሬሬሬሬ向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知��Ԧ
ሬሬሬሬ//��Ԧ
ሬሬሬሬ，易知����为平行四边形，即可求|��Ԧ
ሬሬሬሬ|.
【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ即为所求．
（2）根据题意，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ方向相反，故向量��Ԧ
ሬሬሬሬ//��Ԧ
ሬሬሬሬ，又|��Ԧ
ሬሬሬሬ| = |��Ԧ
ሬሬሬሬ|，
∴在����中，��//��, ��= ��，故����为平行四边形，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ，则|��Ԧ
ሬሬሬሬ| = |��Ԧ
ሬሬሬሬ| = ���（海里）．
3.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝4 2，点A 在点O 北偏东45°；
（2）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝4，点B 在点A 正东；
（3）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝6，点C 在点B 北偏东30°.
【解题思路】（1）由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小
方格数相等．又|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝��，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，
于是点A 位置可以确定，画出向量��Ԧ
ሬሬሬሬ如下图所示．
（2）由于点B 在点A 正东方向处，且|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向
小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量|��Ԧ
ሬሬሬሬ|如下图所示．
（3）由于点C 在点B 北偏东30°处，且|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小
方格数为3，纵向小方格数为��≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量|��Ԧ
ሬሬሬሬ|如下图所示．
4.在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1) ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 3，点�在点�的正西方向；
(2) ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 3 2，点�在点�的北偏西45∘方向；
(3)求出��Ԧ
ሬሬሬሬ的值．
【解题思路】（1）根据向量的大小和方向，作向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，
（2）根据向量的大小和方向，作向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，
（3）根据向量的模的定义求��Ԧ
ሬሬሬሬ.
【解题思路】（1）因为��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �，点�在点�的正西方向，故向量��Ԧ
ሬሬሬሬ的图示如下：
（2）因为��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��，点�在点�的北偏西��∘方向，故向量��Ԧ
ሬሬሬሬ的图示如下：
（3）
��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
��Ԧ
ሬሬሬሬ
�−��Ԧ
ሬሬሬሬ
�= �.
题型五：向量相等或共线的判断
1.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O 中的任意一点为始点，
与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量��Ԧ
ሬሬሬሬ外，与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ共线的向量共有（
）
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
【解题思路】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.
【解题思路】图中与��Ԧ
ሬሬሬሬ共线的向量有：
��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ，共9 个，
故选：C.
2.在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别是AB，AC 的中点，则（
）
A．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬ共线
B．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ共线
C．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ相等
D．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ相等
【解题思路】根据向量共线概念即可求解结果．
【解题思路】因为��与��不平行，所以��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ不共线，A 错
因为D，E 分别是AB，AC 的中点，则��与��平行，故��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ共线，B 正确；
因为��与��不平行，所以��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ不相等，C 错；
因为��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ=−��റ
ሬሬሬሬ，则D 错．
故选：B.
3.如图，设O 是正六边形������的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ相等的向量.
【解题思路】（1）根据共线向量定义直接求解即可；
（2）根据向量相等的定义直接求解即可.
【解题思路】解：（1）��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ是共线向量；
��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ是共线向量；��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ是共线向量.
（2）��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ；��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ；��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ.
4.如图，△���和△�′�′�′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△���的边长为a，写出
图中给出的长度为
�
3的所有向量中，
（1）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ相等的向量；
（2）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ共线的向量；
（3）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ平行的向量.
【解题思路】（1）利用相等向量定义可得解；
（2）利用共线向量定义可得解；
（3）利用平行向量定义可得解.
【解题思路】（1）与向量��റ
ሬሬሬሬ相等的向量，即与向量��റ
ሬሬሬሬ大小相等，方向相同的向量，有��റ
ሬሬሬሬ，��′റ
ሬሬሬሬ；
（2）与向量��റ
ሬሬሬሬ共线的向量，即与向量��റ
ሬሬሬሬ方向相同或相反的向量，有��റ
ሬሬሬሬ，��′റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬ，��′റ
ሬሬሬሬ；
（3）与向量��റ
ሬሬሬሬ平行的向量，即与向量��റ
ሬሬሬሬ方向相同或相反的向量，有��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ，��′റ
ሬሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬሬ，��′റ
ሬሬሬሬሬ.
题型六：用向量关系研究几何图形的性质
1.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，且��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ．求证：四边形ABCD 是平
行四边形．
【解题思路】由��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ可得AC、BD 互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.
【解题思路】因为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，且��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ．
所以四边形ABCD 的对角线AC、BD 互相平分，
所以四边形ABCD 是平行四边形．
即证.
2.在四边形����中，已知��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，求证：四边形����为平行四边形．
【解题思路】根据平面向量相等的概念，即可证明��= ��，且��//��，由此即可证明结果.
【解题思路】证明：在四边形ABCD 中，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，
所以��= ��，且��//��
所以四边形����为平行四边形．
3.已知点�，�，�，�分别是平面四边形����的边��，��，��，��的中点，求证：��റ
ሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ．
【解题思路】连接AC，易得��，��分别为△���和△���的中位线，进而可得��//��，且��=��，
又向量��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ方向相同，从而得证.
【解题思路】证明：如图，连接AC，
因为�，�分别是��，��的中点，所以��为△���的中位线，
所以��//��，且��=
�
���，
同理，因为�，�分别是��，��的中点，所以��//��，且��=
�
���，
所以��//��，且��=��，
因为向量��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ方向相同，所以��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ.
4.如图，已知在四边形����中，M，N 分别是��，��的中点，又��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ.求证：��=
//
��.
【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出��=
//
��.
【解题思路】证明：由��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ可知��= ��且��//��，
所以四边形����为平行四边形，
从而��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ.
又M，N 分别是��，��的中点，于是��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬሬ.
所以��= ��且��//��.
所以四边形����是平行四边形.
从而��=
//
��.
模块三：综合巩固
1．下列说法正确的是（
）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段MN
和有向线段NM
的长度相等
【答案】D
【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.
【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A 错；
B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B 错；
C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C 错；
D：有向线段MN
和有向线段NM
的长度相等，故D 对.
故选：D
2．若向量a
与向量b
不相等，则a
与b
一定（
）
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
【答案】D
【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量a
与向量b
的方向和长度
至少有一个不同，分析选项可得结果.
【详解】若向量a
与向量b
不相等，则说明向量a
与向量b
的方向和长度至少有一个不同，
所以a
与b
有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，
所以A，B，C 都是错误的，
但是a
与b
一定不都是零向量．
故选：D.
3．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若a
b
∥
，则a
与b
的方向
相同或相反；③若a
b
∥
，且b
c
∥
，则a
c
∥
.其中，正确的命题个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.
【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；
零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当a
b
∥
，若
0
a
，而b
是非零向量，
则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；
同理若a
b
∥
，且b
c
∥
时，
0
b
，、
a c 是非零向量，也得不到a
c
∥
，即③错误.
综上正确的是1 个.
故选：B
4．如图，在四边形ABCD 中，若AB
DC
，则图中相等的向量是（
）
A．AD
与CB
B．OB
与OD
C．AO
与OC
D．AC
与BD
【答案】C
【分析】由条件可得四边形ABCD 是平行四边形，然后逐一判断即可.
【详解】因为AB
DC
，所以四边形ABCD 是平行四边形，
所以AD
CB
，OB
OD
，AO
OC
，AC
BD
，故ABD 错误，C 正确.
故选：C.
5．给出下列四个命题：①若
0
a
，则
0
a
；②若a
b
，则a
b
或a
b
；③若
/ /
a
b
，则a
b
；
④若
0
a
，则
0
a
. 其中的正确命题有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据向量的概念及零向量，平行向量的概念进行判断.
【详解】对于①，前一个零是实数，后一个应是零向量，故①错误；
对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误；
对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等，③错误；
对于④，若
0
a
，则
0
a
，④正确.
故选：A.
6．已知向量,a b
是两个非零向量，
,
AO BO
分别是与,a b
同方向的单位向量，则以下各式正确的是（
）
A．AO
BO
B．AO
BO
或AO
OB
C．AO
OB
D．AO
与BO
的长度相等
【答案】D
【分析】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答.
【详解】依题意，
0,
0
a
b
r
r r
r
，显然向量,a b
的关系不确定，
而AO
与a
同方向，BO
与b
同方向，因此AO
与BO
关系不确定，A，B，C 都错误，
又
,
AO BO
都是单位向量，所以AO
与BO
的长度相等，D 正确.
故选：D
7．下列说法错误的是（
）
A．任一非零向量都可以平行移动
B．
2
1,e
e
是单位向量，则
1
2
e
e
C．CD
DC
D．若AB
CD
，则AB
CD
【答案】D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A 正确；
由单位向量对于可知，
1
2
e
e
，故B 正确；
因为CD
DC
，所以CD
DC
，故C 正确；
因为两个向量不能比较大小，故D 错误；
故选：D
8．关于向量a
，b
，下列命题中，正确的是（
）
A．若a
b
，则a
b
B．若a
b
，则a
b
∥
C．若a
b
，则a
b
D．若a
b
∥，b
c
∥，则a
c
∥
【答案】B
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当a
b
时，,a b
方向可能不同，
a
b
未必成立，A 错误；
对于B，若a
b
，则,a b
反向，
//
a b
，B 正确；
对于C，a
b
只能说明,a b
长度的大小关系，但,
a b
还有方向，无法比较大小，C 错误；
对于D，当
0
b
时，//
a b
，//
b c
，此时,a c
未必共线，D 错误.
故选：B.
9．（多选）下面关于向量的说法正确的是（
）
A．单位向量：模为1的向量
B．零向量：模为0 的向量
C．平行（共线）向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】ABD
【分析】由单位向量、零向量、相等向量、共线向量的概念可知.
【详解】C 项，方向相反的向量也是共线向量，故错误；
ABD 项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确.
故选：ABD.
10．（多选）若,
a b
都是非零向量，且a
b
，则（
）
A．,a b
方向相同B．,
a b
方向相反
C．a
b
D．
0
a
b
【答案】AC
【分析】根据相等向量的概念判断各选项即可.
【详解】由相等向量的概念可知，由,
a b
都是非零向量，且a
b
，
则,a b
方向相同，长度相等，故AC 正确，B 错误；
而
2
0
a
b
a
，故D 错误.
故选：AC.
11．在如图所示的向量, , , ,
a b c d e
中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：
①共线向量：
；
②方向相反的向量：
；
③模相等的向量：
.
【答案】
a
与d
，b
与e
a
与d
，b
与e
, ,
a c d
【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.
【详解】观察图形，/ / , / /
a
d b
e
，因此a
与d
是共线向量，并且方向相反；b
与e
是共线向量，并且方向相
反，
显然|
|
5,| |
5,|
|
5
a
c
d
，因此, ,
a c d
的模相等.
故答案为：a
与d
，b
与e
；a
与d
，b
与e
；, ,
a c d
12．下列各量中，向量有：
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【分析】根据向量的概念判断即可.
【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
故答案为：③⑤⑥.
13．在图中的4 5
方格纸中有一个向量AB
，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB
相等的向
量有多少个？与AB
长度相等的共线向量有多少个（AB
除外）？
【答案】7 个，15 个.
【分析】根据给定条件，利用相等向量的定义，确定给定图形中的向量起点即可判断作答.
【详解】当向量CD
的起点C 是图中所圈的格点时，可以作出与AB
相等的向量，
这样的格点共有8 个，除去点A 外，还有7 个，所以共有7 个向量与AB
相等；
与AB
长度相等的共线向量（除AB
外），有与AB
相等的向量，还有与AB
方向相反且长度相等的向量，
所以与AB
长度相等的共线向量共有7 2 1 15
（个）.
14．如图所示，ABC
的三边均不相等，E，F，D 分别是AC，AB，BC 的中点，在以A，B，C，D，E，
F 为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)写出与EF
相反的向量；
(2)写出与EF
的模相等的向量；
(3)写出与EF
相等的向量.
【答案】(1) FE
，BD
，DC
(2) FE
，BD
，DB
，DC
，CD
(3) DB
，CD
【分析】（1）根据已知可推得
/ /
EF
BC ，且EF
BD
DC
.结合图象，即可得出答案；
（2）根据已知，结合（1）的结论以及图象，即可得出答案；
（3）根据（1）（2），结合图象，即可得出答案.
【详解】（1）因为E，F，D 分别是AC，AB，BC 的中点，
所以，
/ /
EF
BC ，且EF
BD
DC
.
所以，与EF
相反的向量为FE
，BD
，DC
.
（2）因为ABC
的三边均不相等，
又EF
BD
DC
，
所以，与EF
的模相等的向量为FE
，BD
，DB
，DC
，CD
.
（3）由（1）（2）可知，与EF
相等的向量为DB
，CD
.
15.下列说法错误的是（
）
A．CD
DC
B．
1e
、
2e
是单位向量，则
1
2
e
e
C．若CD
DC
，则AB
CD
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【详解】对于A 项，因为CD
DC
，所以|
| |
|
CD
DC
，故A 项正确；
对于B 项，由单位向量的定义知，
1
2
|
| |
|
e
e
，故B 项正确；
对于C 项，两个向量不能比较大小，故C 项错误；
对于D 项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D 项正确.
故选：C.
16.下列命题：①若a
b
，则a
b
；
②若a
b
，b
c
，则a
c
；
③a
b
的充要条件是a
b
且//
a b
r r ；
④若//
a b
r r ，//
b c
，则//
a c
r r ；
⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB
DC
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.其中，真命
题的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】对于①，因为a
b
，但a
、b
的方向不确定，则a
、b
不一定相等，①错；
对于②，若a
b
，b
c
，则a
c
，②对；
对于③，a
b
且//
a b
a
b
或a
b
，
所以，所以，“ a
b
且//
a b
r r ”是“ a
b
”的必要不充分条件，③错；
对于④，取
0
b
，则a
、c
不一定共线，④错；
对于⑤，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，
当AB
DC
时，则
//
AB CD 且AB
DC
，此时，四边形ABCD为平行四边形，
当四边形ABCD为平行四边形时，由相等向量的定义可知AB
DC
，
所以，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB
DC
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
17.若,a b
r r
都为非零向量，则“
0
a
b
a
b
”是“ a
与b
共线”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
,
a
b
a
b
分别表示,a b
r r
方向上的单位向量，
当
0
a
b
a
b
，即,a b
r r
共线，充分性成立；
当a
与b
共线，若同向共线时，
0
a
b
a
b
不成立，必要性不成立.
“
0
a
b
a
b
”是“ a
与b
共线”的充分不必要条件.
故选：B
18.下列关于向量的命题，序号正确的是
.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
b
；
③对于非零向量,a b
，若a
b
，则
/ /
a
b
；
④对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
与b
所在直线一定重合.
【答案】①③
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
和b
是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故a
不一定等于b
，故②错误；
对于非零向量,a b
，若a
b
，则a
与b
是相等向量或相反向量，故
/ /
a
b
，故③正确；
对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
和b
是平行向量，也是共线向量，但a
与b
所在直线不一定重合.
故选：①③
